«Տարրական մաթեմատիկայի տեղեկագիրք»–ի խմբագրումների տարբերություն

09:14, 17 Հունիսի 2016-ի տարբերակ

Անավարտ Այս ստեղծագործությունը դեռ ամբողջովին տեղադրված չէ Գրապահարանում

Աղյուսակներ

Թվաբանություն

Թվաբանության առարկան

Թվաբանությունը գիտություն է թվերի մասին։ Թվաբանություն անվանումն առաջացել է հունական «արիթմոս» (այլ արտահայտությամբ «արիֆմոս») բառից, որը նշանակում է «թիվ»։ Թվաբանության մեջ ուսումնասիրվում են թվերի պարզագույն հատկությունները և հաշվումների կանոնները։ Թվերի ավելի խոր հատկություններն ուսումնասիրում են թվերի տեսության մեջ։

Ամբողջ (բնական) թվեր

Առաջին պատկերացումերնը թվի մասին մարդիկ ձեռք են բերել անհիշելի ժամանակներում (տե՛ս §3)։ Նրանք առաջացել են մարդկանց, կենդանիների, պտուղների, մարդկանց պատրաստած զանազան իրերի և այլ առարկաների հաշվելու անհրաժեշտությունից։ 1, 2, 3 և այլ թվերը համրանքի արդյունքներ են, որոնք այժմ կոչվում են բնական թվեր։ Թվաբանության մեջ նրանց անվանում են նաև ամբողջ թվեր («ամբողջ թիվ» անվանումը մաթեմատիկայի մեջ ունի նաև ավելի լայն իմաստ, տես III, 3)։

Բնական թվի մասին հասկացությունը ամենապարզ հասկացություններից մեկն է։ Այն կարելի է պարզաբանել միայն առարկայական ցուցադրման միջոցով^[1]։

Ամբողջ թվերի շարքն անվերջ շարունակվում է․ նա կոչվում է բնական շարք։

Համրանքի սահմանները

Թվարկման տասնորդական սիստեմ

Թվի գաղափարի զարգացումը

Թվանշաններ

Մի շարք ժողովուրդների թվագրության սիստեմները

Մեծ թվերի անվանումները

Թվաբանական գործողություններ

Գործողությունների կարգը, փակագծեր

Բաժանելիության հայտանիշները

Պարզ և բաղադրյալ թվեր

Բոլոր ամբողջ թվերը, բացի 1֊ից, ամենաքիչն ունեն երկու բաժանարար՝ մեկը և ինքը։ Նրանք, որոնք չունեն ուրիշ ոչ մի բաժանարար, կոչվում են պարզ (կամ նախնական)։ Օրինակ, 7, 41, 53 պարզ թվեր են։ Այն թվերը, որոնք ունեն նաև ուրիշ բաժանարարներ, կոչվում են բաղադրյալ (կամ բարդ)։ Օրինակ, 21֊ը բաղադրյալ թիվ է (նա բաժանվում է 1, 3, 7, 21), 81֊ը բաղադրյալ թիվ է (նա բաժանվում է 1, 3, 9, 27, 81)։ 1 թիվը կարելի է պարզ թիվ չհամարել, սակայն գերադասելի է նրան հատուկ նշել, չդասելով ոչ պարզ, ոչ բաղադրյալ թվերի^[2] դասին։

Պարզ թվերն անվերջ բազմություն են։

200֊ին չգերազանցող պարզ թվերը նետևյալներն են՝

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

Պարզ բազմապատկիչների վերլուծումը

Ընդհանուր ամենամեծ բաժանարար

Ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկ

Հասարակ կոտորակներ

Հանրահաշիվ

Հանրահաշվի առարկան

Հանրահաշվի առարկան հանդիսանում է հավասարումների (III,15—17) և հավասարումների տեսությունից զարգացած մի շարք հարցերի ուսումնասիրությունը։ Այժմ, երբ մաթեմատիկան բաժանվել է մի շարք հատուկ բնագավառների, հանրահաշվի բաժնին է վերաբերում միայն որոշակի տիպի հավասարումներ, այսպես կոչված հանրահաշվական հավասարումներ^[3] (III, 19)։ «Հանրահաշիվ» անվանման ծագման մաս ն տես §2։

Պատմական տեղեկություններ հանրահաշվի մասին

Բաբելոն։ Հանրահաշվի ակունքները ծագում են խոր հնությունից։ Մոտ 4000 տարի առաջ արդեն բաբելոնյան գիտնականները տիրապետում էին քառակուսի հավասարումների լուծմանը (III, 29) և լուծում էին երկու հավասարումների սիստեմներ, որոնցից մեկը՝ երկրորդ աստիճանի էր (III, 33)։ Այդպիսի հավասարումների օգնությամբ լուծվում էին տարբեր տիպի խնդիրներ՝ հողաչափության, կառուցման արվեստի և ռազմական գործի վերաբերյալ։

Մեր կողմից հանրահաշվի մեջ կիրառվող տառային նշանակումները բաբելացիները չէին օգտագործում. հավասարումները գրի էին առնվում բառերով։

Հունաստան։ Անհայտ մեծությունների առաջին կրճատ նշանակումները հանդիպում են հին հունական մաթեմատիկոս Դիոֆանտի մոտ (մ.թ. 2-3 դարում)։

Անհայտը Դիոֆանտը անվանում է «արիթմոս» (թիվ), անհայտի երկրորդ աստիճանը՝ «դյունամիս» (այդ բառն ունի բազմաթիվ նշանակություններ՝ ուժ, հզորություն, ունեցվածք, աստիճան և այլն^[4])։ Երրորդ աստիճանը Դիոֆանտը անվանում է «կյուբոս» (խորանարդ), չորրորդը՝ «դյունամոդյունամիս», հինգերորդը՝ «դյունամոկյուբոս», վեցերորդը՝ «կյուրոկյուբոս»։ Այդ մեծութքունները նա նշանակում է համապատասխան անվանումների սկզբնատառերով (ար, դյու, կյու, դդյու, դկյու, կկյու)։ Հայտնի թվերը անհայտներից տարբերելու համար, ուղեկցվում է «մո» (մոնա - միավոր) նշանակումով։ Գումարումը ամենևին չի նշանակվում, հանման համար կա կրճատ նշանակում, հավասարությունը նշանակվում է «իս» (իսոս - հավասար)։

Ո՛չ բաբելացիները, ո՛չ հույները չեն դիտարկել բացասական թվերը։ 3 ար 6 մո իս 2 ար 1 մո (\(3x+6=2x+1\)) հավասարմանը Դիոֆանտն անվանում է «անտեղի» («неуместным»), անդամները հավասարման մի մասից մյուսը տեղափոխվելով, Դիոֆանտն ասում է, գումարելին դառնում է հանելի, իսկ հանելին՝ գումարելի։

Չինաստան։ Մեր ժամանակներից 2000 տարի առաջ չինական գիտնականները լուծում էին առաջին աստիճանի հավասարումները և նրանց սիստեմները, ինչպես նաև քառակուսի հավասարումները։ Նրանց հայտնի են եղել բացասական և իռացիոնալ թվերը։ Քանի որ չինական գրության մեջ յուրաքանչյուր նշան պատկանում է որևէ հասկացողության, ապա չինական հանրահաշվի մեջ չէր կարող լինել «կրճատ» նշանակումներ։

Հետագա դարաշրջաններում չինական մաթեմատիկան հարստացավ նոր նվաճումներով։ Այսպես, 13֊րդ դարի վերջում չինացիները գիտեին բինոմիական գործակիցների հաշվելու օրենքը՝ այժմ հայտնի է «Պասկալի եռանկյուն» անվան տակ (տես § 72)» Արևմտյան Եվրոպայում այդ օրենքը հայտնագործվել Է (Շտիֆելի կողմից) 250 տարի հետո։

Հնդկաստան։ Հնդկական գիտնականները լայնորեն կիրառում էին անհայտ մեծությունների և նրանց աստիճանների կրճատ նշանակումները։ Այդ նշանակումները հանդիսանում են համապատասխան անվանումների սկզբնատառերը (անհայտը կոչվում էր («այսքան»), երկրորդ, երրորդ և այլն անհայտը տարբերելու համար օգտագործվում էին «սև», «երկնագույն», «դեղին» և այլ գույների անվանումները։ Հնդկական հեղինակները լայնորեն օգտագործում էին իռացիոնալ^[5] և բացասական թվերը։ Բացասական թվերի հետ միասին թվային ընտանիքի մեջ մտավ զրոն, որով առաջներում նշանակում էին միայն թվի բացակայությունը։

Արաբական լեզվի երկրները։ Ուզբեկստան, Տաջիկստան։ Հնդկական հեղինակների մոտ հանրահաշվական հարցերը շարադրվում էին աստղաբաշխական գրվածքներում. հանրահաշիվը ինքնուրույն առարկա է դառնում մուսուլմանական գիտնականների մոտ, որոնք գրել են մուսուլմանական աշխարհի միջագգային՝ արաբերեն լեզվով։ Հանրահաշվի, իբրև հատուկ գիտության հիմնադիր պետք Է համարել ուզբեկական գիտնական Խորեզմացի Մուհամմեդին, որը հայտնի է արաբական ալ֊Խվարիզմ (Խորեզմացի) մականունով։ Մ. թ. 9-րդ դարում գրված նրա հանրահաշվական աշխատությունը կրում է «Գիրք վերականգնման և հակադրման» անունը։ «Վերականգնում» Մուհամմեդն անվանում է հանելիին հավասարման մի մասից մյուսը տեղափոխելը, որտեղ այն դառնում է գումարելի. «հակադրում»՝ անհայտները հավասարման մի մասում, իսկ հայտնիները մյուս մասում հավաքելը։ Արաբերեն «վերականգնում» կոչվում է «ալ-ջեբր»։ Այստեղից էլ «алгебра» ավանումը։

Երկրաչափություն

Եռանկյունաչափություն

Ֆունկցիաներ, Գրաֆիկներ

1. ↑ Էվկլիդեսը (մ․թ․ա․ 3֊րդ դար) թիվը (բնական) սահմանեց որպես միավորներից կազմված բազմություն։ Այդ կարգի սահմանումներ կարելի է գտնել ժամանակակից շատ դասագրքերում։ Սակայն «բազմություն» բառը (կամ «հավաքածու», կամ «միակցություն» և նման բառեր) ամենևին ավելի հասկանալի չէ, քան «թիվ» բառը։
2. ↑ Այս համաձայնությունը պայմանավորված է նրանով, որ շատ կանոններ, որոնք ճիշտ են մնացած բոլոր պարզ թվերի համար, կիրառելի չեն միավորի համար։
3. ↑ Պետք է նշել, որ հանրահաշվի դպրոցական դասընթացում ընդունված է ընդգրկել նաև այնպիսի հարցեր, որոնք հավասարումների ուսմունքին առնչվում են միայն հեռավոր կերպով։ Այդպիսիք են, օրինակ, պրոգրեսիաների տեսությունը և լոգարիթմական հաշվումները, որոնք ըստ էության պատկանում են ավելի շուտ թվաբանությանը, քան հանրահաշվին։ Նրանց հանրահաշվի դասընթացի մեջ մտցնելը արդարացվում է մանկավարժական նկատառումներով։
4. ↑ Արաբերեն լեզվով «դյունամիս» տերմինը թարգմանված է եղել «մալ», բառով, որը նշանակում է «ունեցվածք»։ Արևմտաևրոպական մաթեմատիկոսները 12-րդ դարում «մալ» տերմինը թարգմանել են լատինական լեզվով հավասարարժեք census բառի։ Քառակուսի» («квадрат») տերմինը գործառության մեջ մտավ միայն 10-րդ դարում։
5. ↑ Հունական մաթեմատիկոսները կարողանում էին գտնել արմաաների մոտավոր արժեքները, բայց հանրահաշվի մեջ ջանում էին խուսափել իռացիոնալությունից։