Տարրական մաթեմատիկայի տեղեկագիրք

Թվաբանության առարկան

Թվաբանությունը գիտություն է թվերի մասին։ Թվաբանություն անվանումն առաջացել է հունական «արիթմոս» (այլ արտահայտությամբ «արիֆմոս») բառից, որը նշանակում է «թիվ»։ Թվաբանության մեջ ուսումնասիրվում են թվերի պարզագույն հատկությունները և հաշվումների կանոնները։ Թվերի ավելի խոր հատկություններն ուսումնասիրում են թվերի տեսության մեջ։

Ամբողջ (բնական) թվեր

Առաջին պատկերացումերնը թվի մասին մարդիկ ձեռք են բերել անհիշելի ժամանակներում (տե՛ս §3)։ Նրանք առաջացել են մարդկանց, կենդանիների, պտուղների, մարդկանց պատրաստած զանազան իրերի և այլ առարկաների հաշվելու անհրաժեշտությունից։ 1, 2, 3 և այլ թվերը համրանքի արդյունքներ են, որոնք այժմ կոչվում են բնական թվեր։ Թվաբանության մեջ նրանց անվանում են նաև ամբողջ թվեր («ամբողջ թիվ» անվանումը մաթեմատիկայի մեջ ունի նաև ավելի լայն իմաստ, տես III, 3)։

Բնական թվի մասին հասկացությունը ամենապարզ հասկացություններից մեկն է։ Այն կարելի է պարզաբանել միայն առարկայական ցուցադրման միջոցով^[1]։

Ամբողջ թվերի շարքն անվերջ շարունակվում է․ նա կոչվում է բնական շարք։

Համրանքի սահմանները

Թվարկման տասնորդական սիստեմ

Թվի գաղափարի զարգացումը

Թվանշաններ

Մի շարք ժողովուրդների թվագրության սիստեմները

Մեծ թվերի անվանումները

Թվաբանական գործողություններ

Գործողությունների կարգը, փակագծեր

Բաժանելիության հայտանիշները

Պարզ և բաղադրյալ թվեր

Բոլոր ամբողջ թվերը, բացի 1֊ից, ամենաքիչն ունեն երկու բաժանարար՝ մեկը և ինքը։ Նրանք, որոնք չունեն ուրիշ ոչ մի բաժանարար, կոչվում են պարզ (կամ նախնական)։ Օրինակ, 7, 41, 53 պարզ թվեր են։ Այն թվերը, որոնք ունեն նաև ուրիշ բաժանարարներ, կոչվում են բաղադրյալ (կամ բարդ)։ Օրինակ, 21֊ը բաղադրյալ թիվ է (նա բաժանվում է 1, 3, 7, 21), 81֊ը բաղադրյալ թիվ է (նա բաժանվում է 1, 3, 9, 27, 81)։ 1 թիվը կարելի է պարզ թիվ չհամարել, սակայն գերադասելի է նրան հատուկ նշել, չդասելով ոչ պարզ, ոչ բաղադրյալ թվերի^[2] դասին։

Պարզ թվերն անվերջ բազմություն են։

200֊ին չգերազանցող պարզ թվերը նետևյալներն են՝

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

Պարզ բազմապատկիչների վերլուծումը

Ընդհանուր ամենամեծ բաժանարար

Ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկ

Հասարակ կոտորակներ

Հանրահաշվի առարկան

Հանրահաշվի առարկան հանդիսանում է հավասարումների (III,15—17) և հավասարումների տեսությունից զարգացած մի շարք հարցերի ուսումնասիրությունը։ Այժմ, երբ մաթեմատիկան բաժանվել է մի շարք հատուկ բնագավառների, հանրահաշվի բաժնին է վերաբերում միայն որոշակի տիպի հավասարումներ, այսպես կոչված հանրահաշվական հավասարումներ^[3] (III, 19)։ «Հանրահաշիվ» անվանման ծագման մաս ն տես §2։

Պատմական տեղեկություններ հանրահաշվի մասին

Բաբելոն։ Հանրահաշվի ակունքները ծագում են խոր հնությունից։ Մոտ 4000 տարի առաջ արդեն բաբելոնյան գիտնականները տիրապետում էին քառակուսի հավասարումների լուծմանը (III, 29) և լուծում էին երկու հավասարումների սիստեմներ, որոնցից մեկը՝ երկրորդ աստիճանի էր (III, 33)։ Այդպիսի հավասարումների օգնությամբ լուծվում էին տարբեր տիպի խնդիրներ՝ հողաչափության, կառուցման արվեստի և ռազմական գործի վերաբերյալ։

Մեր կողմից հանրահաշվի մեջ կիրառվող տառային նշանակումները բաբելացիները չէին օգտագործում. հավասարումները գրի էին առնվում բառերով։

Հունաստան։ Անհայտ մեծությունների առաջին կրճատ նշանակումները հանդիպում են հին հունական մաթեմատիկոս Դիոֆանտի մոտ (մ.թ. 2-3 դարում)։

Անհայտը Դիոֆանտը անվանում է «արիթմոս» (թիվ), անհայտի երկրորդ աստիճանը՝ «դյունամիս» (այդ բառն ունի բազմաթիվ նշանակություններ՝ ուժ, հզորություն, ունեցվածք, աստիճան և այլն^[4])։ Երրորդ աստիճանը Դիոֆանտը անվանում է «կյուբոս» (խորանարդ), չորրորդը՝ «դյունամոդյունամիս», հինգերորդը՝ «դյունամոկյուբոս», վեցերորդը՝ «կյուրոկյուբոս»։ Այդ մեծութքունները նա նշանակում է համապատասխան անվանումների սկզբնատառերով (ար, դյու, կյու, դդյու, դկյու, կկյու)։ Հայտնի թվերը անհայտներից տարբերելու համար, ուղեկցվում է «մո» (մոնա - միավոր) նշանակումով։ Գումարումը ամենևին չի նշանակվում, հանման համար կա կրճատ նշանակում, հավասարությունը նշանակվում է «իս» (իսոս - հավասար)։

Ո՛չ բաբելացիները, ո՛չ հույները չեն դիտարկել բացասական թվերը։ 3 ար 6 մո իս 2 ար 1 մո (\(3x+6=2x+1\)) հավասարմանը Դիոֆանտն անվանում է «անտեղի» («неуместным»), անդամները հավասարման մի մասից մյուսը տեղափոխվելով, Դիոֆանտն ասում է, գումարելին դառնում է հանելի, իսկ հանելին՝ գումարելի։

Չինաստան։ Մեր ժամանակներից 2000 տարի առաջ չինական գիտնականները լուծում էին առաջին աստիճանի հավասարումները և նրանց սիստեմները, ինչպես նաև քառակուսի հավասարումները։ Նրանց հայտնի են եղել բացասական և իռացիոնալ թվերը։ Քանի որ չինական գրության մեջ յուրաքանչյուր նշան պատկանում է որևէ հասկացողության, ապա չինական հանրահաշվի մեջ չէր կարող լինել «կրճատ» նշանակումներ։

Հետագա դարաշրջաններում չինական մաթեմատիկան հարստացավ նոր նվաճումներով։ Այսպես, 13֊րդ դարի վերջում չինացիները գիտեին բինոմիական գործակիցների հաշվելու օրենքը՝ այժմ հայտնի է «Պասկալի եռանկյուն» անվան տակ (տես § 72)» Արևմտյան Եվրոպայում այդ օրենքը հայտնագործվել Է (Շտիֆելի կողմից) 250 տարի հետո։

Հնդկաստան։ Հնդկական գիտնականները լայնորեն կիրառում էին անհայտ մեծությունների և նրանց աստիճանների կրճատ նշանակումները։ Այդ նշանակումները հանդիսանում են համապատասխան անվանումների սկզբնատառերը (անհայտը կոչվում էր («այսքան»), երկրորդ, երրորդ և այլն անհայտը տարբերելու համար օգտագործվում էին «սև», «երկնագույն», «դեղին» և այլ գույների անվանումները։ Հնդկական հեղինակները լայնորեն օգտագործում էին իռացիոնալ^[5] և բացասական թվերը։ Բացասական թվերի հետ միասին թվային ընտանիքի մեջ մտավ զրոն, որով առաջներում նշանակում էին միայն թվի բացակայությունը։

Արաբական լեզվի երկրները։ Ուզբեկստան, Տաջիկստան։ Հնդկական հեղինակների մոտ հանրահաշվական հարցերը շարադրվում էին աստղաբաշխական գրվածքներում. հանրահաշիվը ինքնուրույն առարկա է դառնում մուսուլմանական գիտնականների մոտ, որոնք գրել են մուսուլմանական աշխարհի միջագգային՝ արաբերեն լեզվով։ Հանրահաշվի, իբրև հատուկ գիտության հիմնադիր պետք Է համարել ուզբեկական գիտնական Խորեզմացի Մուհամմեդին, որը հայտնի է արաբական ալ֊Խվարիզմ (Խորեզմացի) մականունով։ Մ. թ. 9-րդ դարում գրված նրա հանրահաշվական աշխատությունը կրում է «Գիրք վերականգնման և հակադրման» անունը։ «Վերականգնում» Մուհամմեդն անվանում է հանելիին հավասարման մի մասից մյուսը տեղափոխելը, որտեղ այն դառնում է գումարելի. «հակադրում»՝ անհայտները հավասարման մի մասում, իսկ հայտնիները մյուս մասում հավաքելը։ Արաբերեն «վերականգնում» կոչվում է «ալ-ջեբր»։ Այստեղից էլ «алгебра» ավանումը։

Խորեզմացի Մուհամմեդի և հաջորդ հեղինակների մոտ հանրահաշիվը լայն կերպով կիրառվում է առևտրական և այլ դրամական հաշիվներում։ Ոչ նա, ոչ էլ արաբերեն գրող ուրիշ այլ մաթեմատիկոսներ չէին օգտագործում կրճատ նշանակումներ^[6]։ Նրանք չէին ընդունում նաև բացասական թվերը, բացասական թվերի վերաբերյալ ուսմունքը նրանց ծանոթ էր հնդկական աղբյուրներից և այն համարում էին վատ հիմնավորված։ Այդ ճիշտ էր, բայց դրա փոխարեն հնդկական գիտնականները կարող էին սահմանափակվել լրիվ քառակուսի հավասարման մի դեպքով, այն ժամանակ երբ Խորեզմացի Մուհամմեդը և նրա հետնորդները պետք է տարբերեին երեք դեպքեր (\(x^2+px=q\), \(x^2+q=px\), \(x^2=px+q\), \(p\)-ն և \(q\)֊ն դրական թվեր են)։

Ուզբեկական, տաջիկական, պարսկական և արաբական մաթեմատիկոսները հանրահաշիվը հարստացրին մի շարք նոր նվաճումներով։ Բարձր աստիճանի հավասարումների համար նրանք կարողանում էին մեծ ճշտությամբ գտնել արմատների մոտավոր արժեքները։ Այսպես, ականավոր ուզբեկական փիլիսոփա, աստղագետ և մաթեմատիկոս ալ֊Բիրունին (973—1048), նույնպես ծնված Խորեզմում, տվյալ շրջանագծին ներգծված կանոնավոր 9-անկյան կողմը հաշվելու խնդիրը հանգեցրեց \(x^3=1+3x\) խորանարդ հավասարմանը և գտավ \(x=1.52' 45' ' 47' ' ' 13' ' ' '\) մոտավոր արժեքը^[7] (60—րդ ական կոտորակներով՝ \(\frac{1}{60^4}\) ճշտությամբ։ Տասնորդական կոտորակներով այդ կտա յոթ հուսալի տասնորդական նիշեր։) Տաջիկական մեծ բանաստեղծ և գիտնական Նիշապուրցի Օմար ալ-Խայամը (1036-1123) ենթարկեց սիստեմատիկ ուսումնասիրության երրորդ աստիճանի հավասարումներր։ Ոչ նրան և ոչ Էլ մուսուլմանական աշխարհի մյուս մաթեմատիկոսներին չհաջողվեց գտնել խորանարդ հավասարման արմատների արտահայտությունը գործակիցների միջոցով։ Բայց ալ-Խայամը մշակեց այնպիսի եղանակ, որով կարելի էր գտնել խորանարդ հավասարման իրական (երկրաչափորեն) արմատների թիվը (նրան հետաքրքրում էին միայն դրական արմատները)։

Միջնադարյան Եվրոպան։ 12-րդ դարում ալ-Խվարիզմի «հանրահաշիվը» հայտնի դարձավ Եվրոպայում և այն թարգմանված էր լատիներեն լեզվով։ Այդ ժամանակից սկսվոմ է հանրահաշվի զարգացումը եվրոպական երկրներում (սկզբում արևելյան ժողովուրդների գիտության ուժեղ ազդեցության ներքո)։ Երևան են գալիս անհայտների կրճատ նշանակումները, լուծվում են մի շարք նոր խնդիրներ՝ կապված առևտրի պահանջների հետ։ Բայց մինչև 16-րդ դարը էական առաջխաղացում չի եղել։ 16-րդ դարի առաջին երեսնամյակում իտալացիներ դել-Ֆերոն և Տարտալյան գտան \(x^3 = px+q\), \(x^3+px = q\), \(x^3+q=px\) տեսքի խորանարդ հավասարումների լուծման կանոնները, իսկ 1545 թվին Կարդանոն ցույց տվեց, որ ամեն մի խորանարդ հավասարում հանգում է այդ երեքից մեկին. այդ նույն ժամանակ Կարդանոյի աշակերտ Ֆերրարին գտավ 4֊րդ աստիճանի հավասարումների լուծումը։

Այդ հավասարումների լուծման կանոնների բարդությունից անհրաժեշտ դարձավ նշանակումների կատարելագործումը։ Այդ կատարվեց աստիճանաբար ամբողջ հարյուրամյակի ընթացքում։ 16-րդ դարի վերջում ֆրանսիական մաթեմատիկոս Վիետը մտցրեց տառային նշանակումները, ոչ միայն անհայտների համար, այլ նաև հայտնի մեծությունների համար (անհայտները նշանակվում էին ձայնավոր մեծատառերով, հայտնիները՝ բաղաձայն մեծատառերով)։ Մուծվեցին նաև գործողությունների կրճատ նշանակումները, տարբեր հեղինակների մոտ նրանք ունեին տարբեր տեսք։ 17֊րդ դարի կեսերին շնորհիվ ֆրանսիական գիտնական Դեկարտի (1590— 1650) հանրահաշվական սիմվոլիկան ընդունում է այժմեականին շատ մոտ տեսք։

Բացասական թվեր։ 13-16֊րդ դարերում բացասական թվերը եվրոպացիների կողմից դիտարկվում էին միայն բացառիկ դեպքերում։ Խորանարդ հավասարումների լուծման հայտնագործումից հետո հանրահաշվի մեջ բացասական թվերը աստիճանաբար քաղաքացիական իրավունք են նվաճում, թեև նրանց և անվանում էին «սուտ»։ 1629 թվին Ժիրարը (Ֆրանսիա) տվեց բացասական թվերի, այժմ հանրահայտնի երկրաչափական պատկերման եղանակը։ Քսան տարի անց բացասական թվերը ընդհանուր տարածում գտան։

Կոմպլեքս թվեր։ Կոմպլեքս թվերի (III, 28 և III, 34) ներմուծումը նույնպես կապված էր խորանարդ հավասարումների լուծման հայտնագործման հետ։

Եվ մինչ այդ հայտնագործումը \(x^2+q=px\) քառակուսի հավասարումը լուծելիս հաճախ հարկ էր լինում հանդիպել այն դեպքին, երբ պահանջվում էր քառակուսի արմատ հանել \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\) արտահայտությունից, որտեղ \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)֊ն փոքր է քան \(q\)֊ն։ Բայց այդպիսի դեպքում եզրակացնում էին, որ հավասարումը լուծումներ չունի։

Նոր (կոմպլեքս) թվերի ներմուծման մասին այն ժամանակ (երբ նույնիսկ բացասական թվերը «սուտ» էին համարվում) խոսք անգամ չէր կարող լինել։ Բայց Տարտալի կանոնով խորանարդ հավասարումները լուծելիս պարզվում է, որ առանց կեղծ թվերի նկատմամբ գործողություններ կատարելու հնարավոր չէ ստանալ իրական արմատ։

Այդ բացատրենք ավելի մանրամասնորեն։ Ըստ Տարտալի կանոնի

Հավասարման արմատները ներկայացվում են՝

արտահայտությամբ, որտեղ \(u\)-ն և \(v\)-ն հետևյալ սիստեմի լուծումներն են։

Օրինակ՝ \(x^3=9x+28\), \((p=9,\,q=28\) հավասարման համար ունենք՝ \(u+v=28\), \(uv=27\), որտեղից գտնում ենք` կամ \(u=27\), \(v=1\), կամ \(u=1\), \(v=27\)։

Երկու դեպքում էլ

Տվյալ հավասարումն այլ իրական արմատներ չունի։

Բայց, ինչպես արդեն Կարդանոն նկատել էր (3֊րդ) սիստեմը կարող է չունենալ իրական լուծումներ, մինչդեռ (1) հավասարումն ունի իրական, այն էլ դրական արմատ։ Այսպես, \(x^3=15x+4\) հավասարումն ունի \(x=4\) արմատը, բայց

սիստեմն ունի \(u=2+11i\), \(v=2-11i\) (կամ \(u=2-11i\), \(v=2+11i\)) կոմպլեքս արմատները։

Այդ հանելուկային երևույթի վրա առաջին անգամ լույս սփռեց Բոմբելին 1572 թվին։ Նա ցույց տվեց, որ \(2+11i \) թիվը \(2+i\) թվի խորանարդն է, իսկ \(2-11i\) թիվը \(2-i\) թվի խորանարդն է. նշանակում է կարելի է գրել \(\sqrt[3]{2+11i}=2+i\), \(\sqrt[3]{2-11i}=2-i\) և այդ դեպքում (2) բանաձևը կտա \(x=(2+i)+(2-i)=4\)։

1. ↑ Էվկլիդեսը (մ․թ․ա․ 3֊րդ դար) թիվը (բնական) սահմանեց որպես միավորներից կազմված բազմություն։ Այդ կարգի սահմանումներ կարելի է գտնել ժամանակակից շատ դասագրքերում։ Սակայն «բազմություն» բառը (կամ «հավաքածու», կամ «միակցություն» և նման բառեր) ամենևին ավելի հասկանալի չէ, քան «թիվ» բառը։
2. ↑ Այս համաձայնությունը պայմանավորված է նրանով, որ շատ կանոններ, որոնք ճիշտ են մնացած բոլոր պարզ թվերի համար, կիրառելի չեն միավորի համար։
3. ↑ Պետք է նշել, որ հանրահաշվի դպրոցական դասընթացում ընդունված է ընդգրկել նաև այնպիսի հարցեր, որոնք հավասարումների ուսմունքին առնչվում են միայն հեռավոր կերպով։ Այդպիսիք են, օրինակ, պրոգրեսիաների տեսությունը և լոգարիթմական հաշվումները, որոնք ըստ էության պատկանում են ավելի շուտ թվաբանությանը, քան հանրահաշվին։ Նրանց հանրահաշվի դասընթացի մեջ մտցնելը արդարացվում է մանկավարժական նկատառումներով։
4. ↑ Արաբերեն լեզվով «դյունամիս» տերմինը թարգմանված է եղել «մալ», բառով, որը նշանակում է «ունեցվածք»։ Արևմտաևրոպական մաթեմատիկոսները 12-րդ դարում «մալ» տերմինը թարգմանել են լատինական լեզվով հավասարարժեք census բառի։ Քառակուսի» («квадрат») տերմինը գործառության մեջ մտավ միայն 10-րդ դարում։
5. ↑ Հունական մաթեմատիկոսները կարողանում էին գտնել արմաաների մոտավոր արժեքները, բայց հանրահաշվի մեջ ջանում էին խուսափել իռացիոնալությունից։
6. ↑ Նրանց կարիքը չկար, որովհետև արաբերեն գրությունը խիստ համառոտ է՝ ձայնավորները չեն նշվում, բաղաձայն և կիսաձայն տառերը ըստ գրության պարզ են և մի քանիսը միաձուլվում են մի նշանով։ Շատ բառեր գրելու համար պահանջվում է գրեթե այնքան ժամանակ որքան մեր մի քանի տառերի գրելու համար։ Այնինչ արաբական գրագիտությունը անհամեմատ ավելի դժվար է մերից։
7. ↑ Այսինքն՝ մեկ ամբողջ, 58 վաթսուներորդական, 45 երեք հազար վեց հարյուրերորդական և այլն։