«Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ»–ի խմբագրումների տարբերություն

«Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ»–ի խմբագրումների տարբերություն

17:58, 8 Հունիսի 2017-ի տարբերակ

Բովանդակություն

ԳԼՈՒԽ ԱՌԱՋԻՆ։ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ

ԳԼՈՒԽ ԵՐԿՐՈՐԴ։ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ԼԵԶՈՒՆ

17:58, 8 Հունիսի 2017-ի տարբերակ

Բովանդակություն

ԳԼՈՒԽ ԱՌԱՋԻՆ։ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ

ԳԼՈՒԽ ԵՐԿՐՈՐԴ։ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ԼԵԶՈՒՆ

Նավիգացիոն ցանկ

ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԱՍՏՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԹՎԵՐ

ՈՐՔԱ՞Ն Է ԿՇՌՈՒՄ ՕԴԸ

ԱՅՐՈՒՄ՝ ԱՌԱՆՑ ԿՐԱԿԻ ԵՎ ՋԵՐՄՈՒԹՅԱՆ

ԵՂԱՆԱԿԻ ԲԱԶՄԱԶԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԳԱՂՏՆԻ ՓԱԿՈՎ ԿՈՂՊԵՔ

ՍՆԱՀԱՎԱՏ ՀԵԾԱՆՎՈՐԴԸ

ԿՐԿՆՎՈՂ ԿՐԿՆԱՊԱՏԿՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆՔԸ

[math]100\;000[/math] ԱՆԳԱՄ ԱՎԵԼԻ ԱՐԱԳ

ՎԱՅՐԿՅԱՆՈՒՄ [math]10000[/math] ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ

ՇԱԽՄԱՏԱՅԻՆ ՀՆԱՐԱՎՈՐ ՊԱՐՏԻԱՆԵՐԻ ԹԻՎԸ

ՇԱԽՄԱՏԱՅԻՆ ԱՎՏՈՄԱՏԻ ԳԱՂՏՆԻՔԸ

ԵՐԵՔ ԵՐԿՈՒՍՆԵՐՈՎ

ԵՐԵՔ ԵՐԵՔՆԵՐՈՎ

ԵՐԵՔ ՉՈՐՍԵՐՈՎ

ԵՐԵՔ ՄԻԱՏԵՍԱԿ ԹՎԱՆՇԱՆՆԵՐՈՎ

ՉՈՐՍ ՄԵԿԵՐՈՎ

ՉՈՐՍ ԵՐԿՈՒՍՆԵՐՈՎ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԿԱԶՄԵԼՈՒ ԱՐՎԵՍՏԸ

ԴԻՈՖԱՆՏԻ ԿՅԱՆՔԸ

ՁԻՆ ԵՎ ՋՈՐԻՆ

ՉՈՐՍ ԵՂԲԱՅՐՆԵՐ

ԹՌՉՈՒՆՆԵՐԸ ԳԵՏԻ ՄՈՏ

ԶԲՈՍԱՆՔ

ՀՆՁՎՈՐՆԵՐԻ ԱՐՏԵԼԸ

ԿՈՎԵՐԸ ՄԱՐԳԱԳԵՏՆՈՒՄ

ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԽՆԴԻՐԸ

ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՀԱՄԸՆԿՆՈՒՄԸ

ՅՈԹ ԽԱՂԱՑՈՂԵՐ

ԿԵՂԾ ԱՆՀԵԹԵԹՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ ՄՏԱԾՈՒՄ Է ՄԵՐ ՓՈԽԱՐԵՆ

ԿՈՒՐՅՈԶՆԵՐ ԵՎ ԱՆԱԿՆԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՎԱՐՍԱՎԻՐԱՆՈՑՈՒՄ

ՏՐԱՄՎԱՅԸ ԵՎ ՀԵՏԻՈՏՆԸ

ՇՈԳԵՆԱՎԸ ԵՎ ԼԱՍՏԱՆԱՎԵՐԸ

ԵՐԿՈՒ ԹԻԹԵՂԱՏՈՒՓ ՍՈՒՐՃ

ԵՐԵԿՈՒՅԹ

ԾՈՎԱՅԻՆ ՀԵՏԱԽՈՒԶՈՒԹՅՈՒՆ

ՎԵԼՈԴՐՈՄՈՒՄ

ՄՈՏՈՑԻԿԼՆԵՐԻ ՄՐՑՈՒՄԸ

ԸՆԹԱՑՔԻ ՄԻՋԻՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԱՐԱԳԱԳՈՐԾ ՀԱՇՎԻՉ ՄԵՔԵՆԱՆԵՐ

ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԱՍՏՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԹՎԵՐ

ՈՐՔԱ՞Ն Է ԿՇՌՈՒՄ ՕԴԸ

ԱՅՐՈՒՄ՝ ԱՌԱՆՑ ԿՐԱԿԻ ԵՎ ՋԵՐՄՈՒԹՅԱՆ

ԵՂԱՆԱԿԻ ԲԱԶՄԱԶԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԳԱՂՏՆԻ ՓԱԿՈՎ ԿՈՂՊԵՔ

ՍՆԱՀԱՎԱՏ ՀԵԾԱՆՎՈՐԴԸ

ԿՐԿՆՎՈՂ ԿՐԿՆԱՊԱՏԿՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆՔԸ

[math]100\;000[/math] ԱՆԳԱՄ ԱՎԵԼԻ ԱՐԱԳ

ՎԱՅՐԿՅԱՆՈՒՄ [math]10000[/math] ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ

ՇԱԽՄԱՏԱՅԻՆ ՀՆԱՐԱՎՈՐ ՊԱՐՏԻԱՆԵՐԻ ԹԻՎԸ

ՇԱԽՄԱՏԱՅԻՆ ԱՎՏՈՄԱՏԻ ԳԱՂՏՆԻՔԸ

ԵՐԵՔ ԵՐԿՈՒՍՆԵՐՈՎ

ԵՐԵՔ ԵՐԵՔՆԵՐՈՎ

ԵՐԵՔ ՉՈՐՍԵՐՈՎ

ԵՐԵՔ ՄԻԱՏԵՍԱԿ ԹՎԱՆՇԱՆՆԵՐՈՎ

ՉՈՐՍ ՄԵԿԵՐՈՎ

ՉՈՐՍ ԵՐԿՈՒՍՆԵՐՈՎ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԿԱԶՄԵԼՈՒ ԱՐՎԵՍՏԸ

ԴԻՈՖԱՆՏԻ ԿՅԱՆՔԸ

ՁԻՆ ԵՎ ՋՈՐԻՆ

ՉՈՐՍ ԵՂԲԱՅՐՆԵՐ

ԹՌՉՈՒՆՆԵՐԸ ԳԵՏԻ ՄՈՏ

ԶԲՈՍԱՆՔ

ՀՆՁՎՈՐՆԵՐԻ ԱՐՏԵԼԸ

ԿՈՎԵՐԸ ՄԱՐԳԱԳԵՏՆՈՒՄ

ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԽՆԴԻՐԸ

ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՀԱՄԸՆԿՆՈՒՄԸ

ՅՈԹ ԽԱՂԱՑՈՂԵՐ

ԿԵՂԾ ԱՆՀԵԹԵԹՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ ՄՏԱԾՈՒՄ Է ՄԵՐ ՓՈԽԱՐԵՆ

ԿՈՒՐՅՈԶՆԵՐ ԵՎ ԱՆԱԿՆԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՎԱՐՍԱՎԻՐԱՆՈՑՈՒՄ

ՏՐԱՄՎԱՅԸ ԵՎ ՀԵՏԻՈՏՆԸ

ՇՈԳԵՆԱՎԸ ԵՎ ԼԱՍՏԱՆԱՎԵՐԸ

ԵՐԿՈՒ ԹԻԹԵՂԱՏՈՒՓ ՍՈՒՐՃ

ԵՐԵԿՈՒՅԹ

ԾՈՎԱՅԻՆ ՀԵՏԱԽՈՒԶՈՒԹՅՈՒՆ

ՎԵԼՈԴՐՈՄՈՒՄ

ՄՈՏՈՑԻԿԼՆԵՐԻ ՄՐՑՈՒՄԸ

ԸՆԹԱՑՔԻ ՄԻՋԻՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆԸ

ԱՐԱԳԱԳՈՐԾ ՀԱՇՎԻՉ ՄԵՔԵՆԱՆԵՐ

Որոնում

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

հեղինակ՝ Յա. Ի. Պերելման
թարգմանիչ՝ Ս. Ա. Գրիգորյան (ռուսերենից)
աղբյուր՝ «Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ»

Անավարտ
Այս ստեղծագործությունը դեռ ամբողջովին տեղադրված չէ Գրապահարանում

1
2 ԳԼՈՒԽ ԱՌԱՋԻՆ։ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ
3 ԳԼՈՒԽ ԵՐԿՐՈՐԴ։ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ԼԵԶՈՒՆ

Հաճախ հանրահաշիվն անվանում են «Յոթ գործողությունների թվաբանություն», ցանկանալով ընդգծել, որ մաթեմատիկական հանրահայտ չորս գործողություններին այն միացնում է երեք նորը՝ աստիճան բարձրացնելը և դրան հակադարձ երկու գործողությունները։

Հանրահաշվական մեր զրույցները կսկսվեն «Հինգերորդ գործողություն»- ից՝ աստիճան բարձրացնելուց։

Այդ նոր գործողության կարիքն զգացվո՞ւմ է արդյոք պրակտիկ կյանքում։ Անպայման։ Մենք իրական կյանքում հաճախ ենք հանդիպում դրան։ Հիշենք մակերեսների և ծավալների հաշվման բազմաթիվ դեպքեր, որտեղ սովորաբար հարկ է լինում թվերը բարձրացնել երկրորդ և երրորդ աստիճան։ Այնուհետև՝ տիեզերական (ձգողականության ուժը, էլեկտրաստատիկ և մագնիսական փոխազդեցությունները, լույսը, ձայնը թուլանում են հեռավորության քառակուսուն համեմատականորեն։ Մոլորակների պտույտի տևողությունը Արեգակի շուրջը (և արբանյակներինը՝ մոլորակների շուրջը) պտտման կենտրոնից նրանց ունեցած հեռավորությունների հետ նույնպես կապված է աստիճանային կախվածությամբ՝ պտտման ժամանակամիջոցների քառակուսիները միմյանց հարաբերում են այնպես, ինչպես հեռավորությունների խորանարդները։

Չպետք է մտածել, որ պրակտիկայում։ մենք հանդիպում ենք միայն երկրորդ և եըրոբդ աստիճանների, իսկ ավելի բարձր ցուցիչներ գոյության ունեն միայն հանրահաշվի խնդրագրքերի վարժություններում։ Ինժեները, կատարելով դիմացկունության վերաբերյալ հաշվարկներ, անընդհատ և միշտ գործ ունի չորրորդ աստիճանի հետ. իսկ այլ հաշվումների դեպքում, օրինակ շոգեմուղի խողովակների տրամագծի, անգամ վեցերորդ աստիճանի հետ։ Ուսումնասիրելով այն ուժը, որի դեպքում հոսուն ջուրը քշում է քարը, հիդրոտեխնիկը նույնպես առնչվում է վեցերորդ աստիճանի կախման հետ. եթե մի գետում հոսանքի արագությունը չորս անգամ մեծ է, քան մյուսում, ապա արագընթաց գետը ընդունակ է իր հունով գլորել [math]4^6[/math] այսինքն՝ [math]4096[/math]^[1] անգամ ավելի ծանր քարեր, քան դանդաղ գետը^[2]։

Ավելի բարձր աստիճանների հետ մենք հանդիպում ենք՝ ուսումնասիրելով շիկացած մարմնի պայծառության կախումը ջերմաստիճանից, օրինակ՝ շիկացած լարինը էլեկտրական լամպում։ Ընդհանուր պայծառությունն աճում է բացարձակ ջերմաստիճանի տասներկուերորդ աստիճանով՝ սպիտակ շիկացման դեպքում և շերմաստիճանի երեսուներորդ աստիճանով՝ կարմրելիս։ Այս նշանակում է, մարմինը, որը տաքացած է, օրինակ, [math]2000[/math]-ից մինչև [math]4000°[/math] (բացարձակ), այսինքն՝ երկու անգամ ուժեղ, [math]2^{12}[/math]-վ պայծառ է դառնում, այլ կերպ ասած՝ ավելի քան [math]4000[/math] անգամ։ Այն մասին, թե ինչպիսի նշանակություն ունի այդ յուրատեսակ կախումը էլեկտրական լամպերի պատրաստման տեխնիկայում, մենք դեռ կխոսենք այլ տեղ։

Թերևս ոչ ոք այնպես լայնորեն չի օգտվում մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությանից, ինչպես աստղսգետները։ Տիեզերքն ուսումնասիրելիս, յուրաքանչյուր քայլափոխում հարկ է լինում հանդիպել հսկայական թվերի, որոնք կազմված են մեկից-երկու իմաստալից թվանշաններից և զրոների երկար շարքից։ Սովորական ձևով նման վիթխարի թվերի պատկերումը, իրավացիորեն անվանելով «աստղագիտական թվեր», անխուսափելիորեն կհանգեցներ մեծ անհարմարությունների, հատկապես հաշվումների ժամանակ։ Հեռավորությունը, օրինակ, մինչև Անդրոմեդի միգամածությունը, արտահայտված կիլոմետրերով սովորական կարգով, պատկերվում է այսպիսի թվով՝

[math]9\;500\;000\;000\;000\;000\;000[/math]

Աստղագիտական հաշվումներ կատարելիս հաճախ անհրաժեշտ է լինում երկնային հեռավորություններն արտահայտել ոչ միայն կիլոմետրերով կամ ավելի խոշոր միավորներով, այլև սանտիմետրերով։ Այդ դեպքում դիտարկված հեռավորությունը պատկերվում է մի թվով, որը հինգ զրոներ ավելի ունի՝

[math]950\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000[/math]

Աստղերի զանգվածներն արտահայտվում են ավելի քան մեծ թվերով, հատկապես, եթե դրանք արտահայտել ենք գրամներով, ինչպես պահանջվում է շատ հաշվարկների համար։ Մեր արեգակի զանգվածը գրամներով հավասար է՝

[math]1\;983\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000[/math]

Դժվար չէ պատկերացնել, թե ինչպիսի դժվարություններ կլինեին այդպիսի վիթխարի թվերով հաշվումներ կատարելիս և ինչպես հեշտությամբ այդ դեպքում կարելի էր սխալվել։ Իսկ չէ՞ որ այստեղ բերված են ամենևին էլ դեռ ոչ ամենամեծ աստղագիտական թվերը։

Մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությանը հաշվողներին տալիս է այդ դժվարություններից դուրս գալու հասարակ ելք։ Մեկով և զրոներnվ պատկերվող թիվն իրենից ներկայացնում է տասի որոշակի աստիճան՝

[math]100=10^2, 100=10^3, 10000=10^4[/math] և այլն։

Ուստի սկզբում բերված թվային հսկաները կարող են ներկայացվել այսպիսի տեսքով՝

առաջինը	. . . . . .	[math]950\cdot10^{21}[/math],
երկրորդը	. . . . . .	[math]1983\cdot10^{30}[/math]։

Այդ կատարվում է ոչ միայն տեղի խնայողության, այլև հաշվումների հեշտացման համար։ Իսկ եթե պահանջվեր, օրինակ, այդ երկու թվերն էլ բազմապատկել, ապա բավական կլիներ գտնել [math]950\cdot1983\;=\;1\;883\;850[/math] արտադրյալը և գրել այն [math]10^{21+30}\;=\;10^{51}[/math] արտադրիչից առաջ.

[math]950\cdot10^{21}\cdot1983\cdot10^{36}\;=\;188\;385\cdot10^{52}։[/math]

Այդ իհարկե, անհամեմատ հարմար է, քան թե նախ [math]21[/math] զրոյով, այնուհետև [math]30[/math] և, վերջապես, [math]52[/math] զրոյով թվեր գրելը. դա ոչ միայն հարմար է, այլև հուսալի, քանի որ տասնյակ զրոներ գրելիս հնարավոր է վրիպել մեկ-երկու զրո և ստանալ ոչ ճիշտ արդյունք։

Համոզվելու համար, թե որքան են հեշտանում գործնական հաշվումները մեծ թվերից աստիճանային պատկերմամբ օգտվելու դեպքում, կատարենք այսպիսի հաշվարկ՝ որոշենք, թե քանի անգամ երկրագնդի մասսան մեծ է նրան շրջապատող ամբողջ օդի մասսայից։

Մենք գիտենք, որ երկրի մակերևույթի յուրաքանչյուր քառ. սանտիմետրի վրա օդը ճնշում է մոտ մեկ կիլոգրամ ուժով։ Այդ նշանակում է, որ մթնոլորտի այն սյունի կշիռը, որը հենված է [math]1\;քառ.\;սմ[/math]-ի վրա, հավասար է [math]1\;կգ[/math]։ Երկրի մթնոլորտային շերտը, կարծես թե, ամբողջությամբ կազմված է այդպիսի օդային սյուներից. դրանք այնքան են, որքան քառ. սանտիմետր պարունակում է մեր մոլորակի մակերևույթը. այդքան կիլոգրամ էլ կշռում է ամբողջ մթնոլորտը։ Նայելով տեղեկատուն, իմանում ենք, որ երկրագնդի մակերևույթի մեծությունը հավասար է [math]510[/math] միլիոն [math]քառ.\;կմ[/math], այսինքն՝ [math]51\cdot10^7\;քառ.\;կմ[/math]։

Հաշվենք, թե մեկ քառակուսի կիլոմետրը քանի՛ քառակուսի սանտիմետր է։ Գծային կիլոմետրը պարունակում է [math]1000\;մ[/math], յուրաքանչյուրում՝ [math]100[/math]-ական [math]սմ[/math], այսինքն հավասար է [math]10^5\;սմ[/math], իսկ [math]քառ.\;կիլոմետրը[/math] պարունակում է [math](10^5)^2\;=\;10^{10}\;քառ.\;սանտիմետր[/math]։ Ուստի՝ երկրագնդի ամբողջ մակերևույթը պարունակում է

[math]51\cdot10^7\cdot10^{10}\;=\;51\cdot10^{17}[/math]

[math]քառ.\;սանտիմետր[/math]։ Երկրի մթնոլորտը այդքան կիլոգրամ էլ կշռում է։ Վելածելով տոննաների, կստանանք՝

[math]51\cdot10^{17}:1000\;=\;51\cdot10^{17}:10^3=51\cdot10^{17-3}\;=\;51\cdot10^{14}[/math]։

Երկրագնդի մասսան արտահայտվում է հետևյալ թվով՝

[math]6\cdot10^{21}[/math] տոննա։

Որպեսզի որոշենք, թե մեր մոլորակը որքան անգամ ծանր է իր օդային շերտից, կատարենք բաժանում՝

[math]6\cdot10^{21}:51\cdot10^{14}\approx10^6[/math],

այսինքն՝ մթնոլորտի մասսան մոտավորապես կազմում է երկրագնդի մասսայի մեկ միլիոներորդական մասը։

Եթե դուք հարցնեք քիմիկոսին, թե ինչո՞ւ փայտը կամ ածուխն այրվում են միայն բարձր ջերմաստիճանում, նա ձեզ կպատասխանի, որ ածխածնի և թթվածնի միացումը կատարվում է, խիստ ասած, ամեն մի ջերմաստիճանի դեպքում, բայց ցածր ջերմաստիճանների դեպքում այդ պրոցեսն ընթանում է արտակարգ դանդաղ (այսինքն՝ ռեակցիայի մեջ են մտնում խիստ աննշան թվով մոլեկուլներ), այդ պատճառով էլ վրիպում է մեր տեսողությունից։ Քիմիական ռեակցիաների արագությունը որոշող օրենքն ասում է, որ ջերմաստիճանը [math]10°[/math]-ով իջեցնելիս ռեակցիայի արագությունը (նրա մեջ մասնակցող մոլեկուլների թիվը) փոքրանում է երկու անգամ։

Ասվածը կիրառենք թթվածնի հետ բնափայտի միացման ռեակցիայի դեպքում, այսինքն՝ փայտի այրման պրոցեսի դեպքում։ Դիցուք, [math]600[/math] ջերմությամբ կրակի մեջ յուրաքանչյուր վայրկյանում այրվում է 1 գրամ բնափայտ։ Որքա՞ն ժամանակում կայրվի [math]1[/math] գրամ փայտը [math]20°[/math]-ում։ Մենք արդեն գիտենք, որ երբ ջերմաստիճանը [math]580\;=\;58\cdot10[/math]-ով իջնում է, ռեակցիայի արագությունը փոքրանում է [math]2^{58}[/math] անգամ, այսինքն՝ [math]1[/math] գրամ փայտն այրվում է [math]2^{58}[/math] վայրկյանում։

Քանի՞ տարվա է հավասար այդ ժամանակամիջոցը։ Մենք կարող ենք դա մոտավորապես հաշվել չկատարելով [math]57[/math] կրկնվող բազմապատկումները երկուսով և շրջանցելով լոգարիթմական աղյուսակները։ Օգտվենք այն բանից, որ [math]2^{10}\;=\;1024\approx10^3[/math]։ Հետևաբար՝

[math]2^{58}\;=\;2^{60-2}\;=\;2^{60}:2^2\;=\;\frac{1}{4}\cdot2^{60}\;=\;\frac{1}{4}\cdot\left(2^{10}\right)^6\approx\frac{1}{4}\cdot10^{18}[/math],

այսինքն՝ մոտ քառորդ տրիլիոն վայրկյան։ Տարին ունի մոտ [math]30[/math] միլիոն, այսինքն՝ [math]3\cdot10^7[/math] վայրկյան, ուստի՝

[math]\left(\frac{1}{4}\cdot10^{18}\right):\left(3\cdot10^7\right)\;=\;\frac{1}{12}\cdot10^{11}\approx10^{10}[/math]։

Տա՛սը միլիարդ տարի։ Ահա թե որքան ժամանակում կայրվեր մեկ գրամ փայտն առանց բոցի և ջերմության։

Այսպիսով, փայտը, ածուխը այրվում են և սովորական ջերմաստիճանում, ամենևին չվառվելով։ Կրակ ստանալու գործիքների գյուտը անխուսափելիորեն արագացրեց այդ չափազանց դանդաղ պրոցեսը միլիարդավոր անգամ։

Խնդիր

Եղանակը մենք կբնութագրենք միայն մեկ հատկանիշով, այն է՝ երկինքը ամպամած է արդյոք, թե ոչ, այսինքն՝ կտարբերենք միայն պարզ և ամպամած օրերը։ Ի՞նչ եք կարծում, այդ դեպքում կլինե՞ն արդյոք շատ շաբաթներ՝ տարբեր եղանակի օրերի հաջորդումներով։

Թվում է թե քիչ. կանցնի մի երկու ամիս, և շաբաթվա պարզ ու ամպամած օրերի բոլոր կոմբինացիաները կսպառվեն, այդ ժամանակ անխուսափելիորեն կկրկնվի այն կոմբինացիաներից մեկը, որն արդեն դիտվել էր առաջ։

Փորձենք, սակայն, ճիշտ հաշվել, թե որքան տարբեր կոմբինացիաներ են հնարավոր այդ պայմաններում։ Դա այն խնդիրներից մեկն է, որն անսպասելիորեն հանգեցվում է մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությանը։

Այսպիսով, մի շաբաթում պարզ և ամպամած օրերը քանի՞ տարբեր եղանակներով կարող են իրար հաջորդել։

Լուծում

Շաբաթվա աոաջին օրը կարող է լինել կամ պարզ, կամ ամպամած. նշանակում է, առայժմ ունենք երկու «կոմբինացիա»։

Երկու օրվա ընթացքում հնարավոր են պարզ և ամպամած օրերի հետևյալ հաջորդականությունը՝

պարզ և պարզ,
պարզ և ամպամած,
ամպամած և պարզ,
ամպամած և ամպամած։

Ընդամենը երկու օրվա ընթացքում կա [math]2^2[/math] տարբեր տեսակի հաջորդականություն։ Երեք օրվա ընթացքում առաջին երկու օրերի չորս կոմբինացիաներից յուրաքանչյուրը զուգակցվում է երրորդ օրվա, երկու կոմբինացիաների հետ. բոլոր տեսակի հաջորդականությունները կլինեն՝

[math]2^2\cdot2\;=\;2^3[/math]։

Չորս օրերի ընթացքում հաջորդականությունների թիվը հասնում է՝

[math]2^3\cdot2\;=\;2^4[/math]։

Հինգ օրերի համար հնարավոր է [math]2^5[/math], վեց օրերի համար՝ [math]2^6[/math] և, վերջապես, շաբաթվա համար՝ [math]2^7\;=\;128[/math] տարբեր տեսակի հաջորդականություն։

Այստեղից հետևում է, որ շաբաթն ունի [math]128[/math] պարզ և ամպամած օրերի տարբեր հաջորդականություն։ [math]128\cdot7\;=\;896[/math] օր հետո անհրաժեշտորեն պետք է կրկնվի նախկին միացություններից մեկը. կրկնությունը, իհարկե, կարող է տեղի ունենալ և շուտ, բայց [math]896[/math] օրը մի այնպիսի ժամանակ է, որն անցնելով՝ նման կրկնությունն անխուսափելի է։ Եվ հակառակը, կարող է անցնել ամբողջ երկու տարի, անգամ՝ ավելի ([math]2[/math] տարի և [math]166[/math] օր), որոնց ընթացքում ոչ մի շաբաթ ըստ եղանակի նման չի լինի մյուսին։

Խնդիր

Սովետական մի հիմնարկում հայտաբերվել էր մինչռևոլյուցիոն տարիներից մնացած չհրկիզվող պահարան։ Գտնվեց նաև նրա համար մի բանալի, սակայն նրանից օգտվելու համար պետք է իմանային կողպեքի գաղտնիքը. պահարանի դուռը կրացվեր միայն այն ժամանակ, երբ գռան շրջանակների օղերի վրա այբբենական կարգով դասավորված [math]36[/math] տառերից կազմեին որոշակի բառ։ Քանի որ ոչ ոք այդ բառը չգիտեր, ապա պահարանը չկոտրելու համար որոշվել էր փորձել շրջանակների մեջ եղած տառերի բոլոր կոմբինացիաները։ Մի կոմբինացիա կազմելու համար պահանջվում էր [math]3[/math] վայրկյան ժամանակ։

Կարելի՞ է արդյոք հուսալ, որ պահարանը կբացվի մոտակա [math]10[/math] աշխատանքային օրվա ընթացքում։

Լուծում

Հաշվենք, թե ընդամենը քանի՞ կոմբինացիա էր հարկավոր փորձել։

Առաջին շրջանակի [math]36[/math] տառերից յուրաքանչյուրը կարող է համադրվել երկրորդ շրջանակի [math]36[/math] տառերից յուրաքանչյուրի հետ։ Նշանակում է. հնարավոր է երկտառալին

[math]36\cdot36 = 36^2[/math] կոմբինացիա։

Այս կոմբինացիաներից յուրաքանչյուրին կարելի է միացնել երրորդ շրջանակի [math]36[/math] տառերից ցանկացածը։ Ուստի հնարավոր է եռատառային

[math]36^2\cdot36\;=\;36^3[/math] կոմբինացիա։

Այս ձևով որոշում ենք, որ հնարավոր է չորստառային կոմբինացիաներ՝ [math]364[/math], հինգառային՝ [math]365[/math] կամ [math]60\;466\;176[/math]։ Ավելի քան [math]60[/math] միլիոն այս կոմբինացիաները կազմելու համար, եթե յուրաքանչյուրին հաշվենք [math]3[/math] վայրկյան, կպահանջվի

[math]3\cdot60\;466\;176\;=\;181\;398\;528[/math] վայրկյան։

Այդ կազմում է մոտ [math]50\;000[/math] ժամ կամ [math]6300[/math] ութժամյա աշխատանքային օր՝ ավելի քան [math]20[/math] տարի։

Նշանակում. է պահարանը մոտակա [math]10[/math] աշխատանքային օրում բացելու շանսը ունի [math]10[/math]-ը : [math]6300[/math]-ի կամ [math]1[/math]-ը : [math]630[/math]-ի հավանականություն։ Դա շատ փոքր հավանականություն է։

Խնդիր

Մեկը մի հեծանիվ գնեց, ցանկանալով քշել սովորել։ Պարզվեց, որ հեծանվի տերը բացառիկ սնահավատ մարդ է։ Իմանալով հեծանվի անվի «ութաձև» պտտվելու վնասվածքի գոյության մասին (восьмepка), նա գտավ, որ երբեք հաջողություն չի ունենա, եթե նրան ընկնի հեծանվի այնպիսի համար, որի մեջ թվանշաններից թեկուզ մեկը [math]8[/math] լինի։ Սակայն, համար ստանալու գնալիս նա իրեն մխիթարեց հետևյալ դատողությամբ։ Յուրաքանչյուր գրված թվի մեջ կարող է լինել [math]10[/math] թվանշան՝ [math]0,\;1,.....,\;9[/math]։ Դրանցից «անբախտը» հանդիսանում է միայն [math]8[/math] թվանշանը։ Ուստի տասից միայն մեկ համարը կարող է լինել «անբախտ»։

Ճիշտ է արդյո՞ք այդ դատողությունը։

Լուծում

Հեծանվային համարները վեցանիշ են լինում։ Ընդամենը կա [math]999\;999[/math] համար՝ [math]000\;001,\;000\;002[/math] և այլն, մինչև [math]999\;999[/math]։ Հաշվենք, թե քանի «բախտավոր» համարներ գոյություն ունեն։ Առաջին տեղում կարող է լինել ինը «բախտավոր» թվանշաններից ցանկացածը [math]0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;9[/math]։ Երկրորդ տեղում՝ նույնպես այդ ինը թվանշաններից ցանկացածը։ Ուստի գոյություն կունենան [math]9\cdot9\;=\;92[/math] «բախտավոր» երկանիշ կոմբինացիաներ։ Այդ կոմբինացիաներից յուրաքանչյուրին կարելի է կցագրել (երրորդ տեղում) ինը թվանշաններից ցանկացածը, այնպես որ հնարավոր է «բախտավոր» եռանիշ կոմբինացիաներ՝

[math]9^2\cdot9\;=\;9^3[/math]։

Այսպիսով որոշում ենք, որ վեցանիշ «բախտավոր» կոմբինացիաների թիվը հավասար է [math]96[/math]։ Սակայն անհրաժեշտ է հաշվի առնել, որ այդ թվի մեջ մտնում է [math]000\;000[/math] կոմբինացիան, որը պիտանի չէ որպես հեծանվային համար։ Այսպիսով, հեծանվային համարների «բախտավոր» թիվը հավասար է [math]9^6-1\;=\;531\;440[/math], որը կազմում է բոլոր համարների [math]53%[/math]-ից փոքր-ինչ ավելի, բայց ոչ [math]90%[/math]-ը, ինչպես ենթադրում էր հեծանվորդը։

Թողնում ենք ընթերցողին ինքնուրույնաբար համոզվելու, որ ութանիշ համարների մեջ «անբախտ» համարներն ավելի շատ են, քան՝ «բախտավորները»։

Կրկնվող կրկնապատկման դեպքում ամենափոքր մեծության չափազանց արագ աճման մասին զարմանալի օրինակ է տալիս շախմատ խաղի գյուտարարի պարգևատրման վերաբերյալ հանրածանոթ առասպելը^[3]։ Կանգ չառնելով այդ կլասիկ օրինակի վրա՝ բերենք ուրիշ, ոչ այնքան հայտնի օրինակներ։

Խնդիր

Հողաթափիկ ինֆուզորիան (միաբջիջ միկրոսկոպիկ օրգանիզմ) յուրաքանչյուր [math]27[/math] ժամում, (միջին հաշվով) բաժանվում է երկու հավասար մասի։ Եթե այդպիսով ծնված բոլոր ինֆուզորիաները մնային կենդանի, ապա որքա՞ն ժամանակ հարկավոր կլիներ, որպեսզի մի հողաթափիկի սերնդի զբաղեցրած ծավալը հավասար լիներ Արեգակի ծավալին։

Հաշվելու տվյալներն են՝ հողաթափիկի [math]40[/math]-րդ սերունդը, որը բաժանվելուց հետո չի ոչնչացել, զբաղեցնում է [math]1\;խոր.\;մ[/math] ծավալ, Արեգակի ծավալն ընդունենք հավասար [math]10^{27}\;խոր.\;մ[/math]։

Լուծում

Խնդիրը հանգում է այն բանին, թե քանի անգամ պետք կրկնապատկել [math]1\;խոր.\;մ[/math]-ը, որպեսզի ստացվի [math]10^{27}\;խոր.\;մ[/math] ծավալ։ Կատարենք հետևյալ ձևափոխությունները՝

[math]10^{27}\;=\;(10^3)^9\approx(2^{10})^9=2^{90}[/math]։

Քանի որ [math]2^{10}\approx1000[/math], ապա նշանակում է՝ Արեգակի ծավալին հասնելու համար քառասուներորդ սերունդը պետք է ենթարկվի դարձյալ [math]90[/math] բաժանման։ Սերունդների ընդհանուր թիվը, հաշվելով առաջինից, հավասար է [math]40+90\;=\;130[/math]։ Հեշտ է հաշվել, որ այդ տեղի կունենա [math]147[/math]-րդ օրում։

Նկատենք, որ մի միկրոբիոլոգ (Մետալնիկովը) փաստորեն դիտել է հողաթափիկի [math]8061[/math] բաժանումը։ Թողնում ենք ընթերցողին անձամբ հաշվելու, թե ինչպիսի հսկայական ծավալ կզբաղեցներ վերջին սերունդը, եթե ոչ մի ինֆուզորիա այդ քանակությունից չոչնչանար։

Այս խնդրում դիտարկված հարցը կարելի է շարադրել, այսպես ասած, հակադարձ տեսքով՝

Պատկերացնենք, որ մեր Արեգակը բաժանվել է երկու հավասար մասի, կեսը նույնպես բաժանվել է երկու հավասար մասի և այլն։ Քանի՞ այդպիսի բաժանումներ հարկավոր կլինի, որպեսզի ստացվեն ինֆուզորիայի մեծությամբ մասնիկներ։ Թեև պատասխանն արդեն հայտնի է ընթերցողներին ([math]130[/math]), այնուամենայնիվ, այն զարմացնում է իր անչափ համեստ լինելով։

Ինձ առաջարկել են նույն խնդիրը այսպիսի տեսքով։

Թղթի թերթը բաժանում են երկու հավասար մասի, ստացված մի կեսը նորից բաժանում են երկու հավասար մասի և այլն։ Որքա՞ն բաժանում հարկավոր կլինի, որպեսզի ստացվեն ատոմին հավասար մասնիկներ։

Ենթադրենք թղթի թերթը կշռում է [math]1 գ[/math] և ընդունենք, որ ատոմի կշռի մեծությունը մոտ [math]\frac{1}{10^{24}}\;գ[/math] է։ Քանի որ վերջին արտահայտության մեջ կարելի է [math]10^{24}[/math]-ը փոխարինել մոտավորապես նրան հավասար [math]2^{80}[/math] արտահայտությամբ, ապա պարզ է, որ թղթի երկու հավասար մասի բաժանելը կպահանջվեր կրկնել ընդամենը [math]80[/math] և ոչ թե միլիոն անգամ, ինչպես երբեմն լսվում է որպես այդ խնդրի հարցի պատասխան։

Էլեկտրական գործիքը, որը կոչվում է տրիգեր, պարունակում է երկու, էլեկտրոնային լամպեր (այսինքն՝ մոտավորապես այնպիսի լամպեր, ինչպիսիք կիրառվում են ռադիոընդունիչների մեջ)։ հոսանքը տրիգերում կարող է գնալ միայն մեկ լամպի միջով՝ կա՛մ «ձախի», կա՛մ «աջի»։ Տրիգերն ունի երկու կոնտակտ, որոնց կարելի է դրսից կարճատև էլեկտրական ազդանշան (իմպուլս) հաղորդել և երկու կոնտակտ, որոնցով տրիգերից ստացվում է պատասխան իմպուլսը։

Դրսից էլեկտրական իմ պուլսի մուտքի պահին տրիգերը հոսանքափոխվում է. այն լամպը, որի միջով հոսանքն անցել է, անջատվում է, և հոսանքն սկսում է գնալ արդեն մյուս լամպի միջով։ Պատասխան իմպուլսը տրիգերը տալիս է այն պահին, երբ անջատվում է աջ լամպը և միացվում ձախը։

Հետևենք, թե ինչպես կաշխատի տրիգերը, եթե մեկը մյուսի ետևից, նրան մոտեցնենք մի քանի էլեկտրական իմպուլսներ։

Տրիգերի վիճակը կբնութագրենք ըստ նրա աջ լամպի, եթե հոսանքն աջ լամպի միջով չի գնում, ապա կասենք, որ տրիգերը գտնվում է «[math]0[/math] դիրքում», իսկ եթե հոսանքն աջ լամպի միջով է գնում, ապա՝ «[math]l[/math] դիրքում»։

Դիցուք, տրիգերը սկզբում գտնվում է [math]0[/math] դիրքում, այսինքն՝ հոսանքն անցնում է ձախ լամպի միջով (նկ. 1)։ Առաջին իմպուլսից հետո հոսանքը կանցնի աջ լամպով, այսինքն՝ տրիգերը կփոխարկվի [math]1[/math] դիրքի։ Այդ դեպքում տրիգերից պատասխան իմպուլս չի ստացվի, քանի որ պատասխան ազդանշանը տրվում է աջ (այլ ոչ ձախ) լամպի անջատման պահին։

Երկրորդ իմպուլսից հետո հոսանքը կանցնի արդեն ձախ լամպով, այսինքն՝ տրիգերը նորից ընդունում է [math]0[/math] դիրքը։ Սակայն այդ դիրքում տրիգերը կտա պատասխան ազդանշան (իմպուլս)։

Վերջ ի վերջո (երկու իմպուլսներից հետո) տրիգերը կրկին կընդունի իր սկզբնական դրությունը։ Ուստի երրորդ իմպուլսից (ինչպես և առաջինից հետո) տրիգերը կընդունի [math]1[/math], իսկ չորրորդից հետո (ինչպես և երկրորդից հետո) [math]0[/math] դիրքը՝ պատասխան ազդանշանի միաժամանակյա մատուցմամբ և այլն։ Յուրաքանչյուր երկու իմպուլսներից հետո տրիգերի դրությունը կրկնվում է։

Այժմ պատկերացնենք, որ կան մի քանի տրիգերներ և որ արտաքին իմպուլսները հաղորդվում են առաջին տրիգերին, առաջին տրիգերի պատասխան իմպուլսները հաղորդվում են երկրորդին) երկրորդի պատասխան իմպուլսները՝ երրորդին և այլն (նկ. 2-րդում տրիգերները դասավորված են մեկը մյուսից հետո՝ ձախից աջ)։ Հետևենք, թե ինչպես կաշխատի տրիգերների այդպիսի շղթան։

Դիցուք, սկզբից բոլոր տրիգերները գտնվում էին [math]0[/math] դիրքում։ Օրինակ, հինգ տրիգերներից կազմված շղթայի համար մենք ունեինք [math]00000[/math] կոմբինացիան։ Առաջին իմպուլսից հետո առաջին տրիգերը (ամենաաջը) կընդունի [math]1[/math] դիրքը, իսկ քանի որ այդ դեպքում պատասխան իմպուլս չի լինի, ապա մնացած բոլոր տրիգերները կմնան [math]0[/math] դիրքերում, այսինքն՝ շղթան կբնութագրվի [math]00001[/math] կոմբինացիայով։ Երկրորդ իմպուլսից հետո առաջին տրիգերը կանջատվի (կընդունի [math]0[/math] դիրքը), բայց այդ դեպքում ստացվում է պատասխան իմպուլս, որի շնորհիվ էլ միացվում է երկրորդ տրիգերը։ Մնացած տրիգերները կմնան [math]0[/math] դիրքերում, այսինքն՝ կստացվի [math]00010[/math] կոմբինացիան։ Երրորդ իմպուլսից հետո միացվում է առաջին տրիգերը, իսկ մնացածները չեն փոխում իրենց դիրքերը։ Մենք կունենանք [math]00011[/math] կոմբինացիան։ Չորրորդ իմպուլսից հետո անջատվում է առաջին տրիգերը՝ տալով պատասխան ազդանշան. այդ պատասխան իմպուլսից կանջատվի երկրորդ տրիգերը և նույնպես կտա պատասխան իմպուլս. վերջապես, այդ վերջին իմպուլսից միացվում է երրորդ տրիգերը։ Արդյունքում մենք կստանանք [math]00100[/math] կոմբինացիան։

Համանման դատողությամբ կարելի է շարունակել և հետագայում։ Տեսնենք, թե այդ դեպքում ի՛նչ կստացվի.

[math]1[/math]-ին	իմպուլս	[math]00001[/math]	կոմբինացիա
[math]2[/math]-րդ	»	[math]00010[/math]	»
[math]3[/math]-րդ	»	[math]00011[/math]	»
[math]4[/math]-րդ	»	[math]00100[/math]	»
[math]5[/math]-րդ	»	[math]00101[/math]	»
[math]6[/math]-րդ	»	[math]00110[/math]	»
[math]7[/math]-րդ	»	[math]00111[/math]	»
[math]8[/math]-րդ	»	[math]01000[/math]	»

Մենք նկատում ենք, որ տրիգերների շղթան «հաշվում է» դրսից տրված ազդանշանները և յուրատեսակ եղանակով՝ «գրում է» այդ ազդանշանների թիվը։ Դժվար չէ նկատել, որ արված իմպուլսների թվի «գրելը» կատարվում է ոչ թե մեզ համար սովորական տասնորդական սիստեմով, այլ թվարկության երկուական սիստեմով։

Թվարկության երկուական սիստեմով ամեն մի թիվը գրվում է զրոներով և մեկերով։ Հաջորդ կարգի մեկը ոչ թե տասն անգամ (ինչպես սովորական տասնորդական գրառումը), այլ միայն երկու անգամ է մեծ նախորդ կարգի մեկից։ Երկուական գրառման մեջ վերջին տեղում (ամենաաջ) դրված մեկը, սովորական մեկ է։ Հաջորդ կարգի մեկը (աջից երկրորդ տեղում) նշանակում է երկու, հաջորդ մեկը նշանակում է չորս, այնուհետև ութ և այլն։

Օրինակ, [math]19\;=\;16+2+1[/math] թիվը երկուական սիստեմում գրվում է [math]10011[/math] տեսքով։

Այսպիսով, տրիգերների շղթան «համրում է» տրված ազդանշանների թիվը և այն «գրում է» թվարկության երկուական սիստեմով։ Նշենք, որ տրիգերի հոսանքափոխումը, այսինքն՝ հաղորդվող մեկ իմպուլսի գրանցումը շարունակվում է ընդամենը... վայրկյանի մեկ տասմիլոներորդի ընթացքում։ Ժամանակակից տրիգերային հաշվիչները կարող են մեկ վայրկյանում «համրել» մինչև [math]1\;000\;000[/math] իմպուլս և ավելին։ Դա մոտավորապես [math]100\;000[/math] անգամ ավելի արագ է, քան այն հաշիվը, որը կարող է կատարել մարդը՝ առանց որևէ գործիքի. մարդու աչքը կարող է որոշակի տարբերել միմյանց հաջորդող ազդանշանները ոչ ավելի հաճախ, քան [math]0,1 վրկ[/math] հետո։

Եթե շղթան կազմենք քսան տրիգերներից, այսինքն՝ տրված ազդանշանների թիվը գրենք երկուական վերլուծման ոչ ավելի քան քսան թվանշաններով, ապա կարելի է «հաշվել» մինչև [math]2^{20}-1[/math]. այս թիվը մեծ է միլիոնից։ Իսկ եթե շղթան կազմենք [math]64[/math] տրիգերներից, ապա դրանց միջոցով կարելի է գրել հայտնի «շախմատային թիվը»։

Վայրկյանում հարյուրավոր ազդանշանները համրելու հնարավորությունը շատ կարևոր է միջուկային ֆիզիկային վերաբերող էքսպերիմենտալ աշխատանքների համար։ Օրինակ, կարելի է համրել այս կամ այն տեսքի մասնիկների թիվը, որոնք թռչում են ատոմի տրոհման ժամանակ։

Զարմանալի է, որ տրիգերային սխեմաները թույլ են տալիս նույնպես գործողություններ կատարել թվերի հետ։ Տեսնենք, օրինակ, թե ինչպես կարելի է իրագործել երկու թվերի գումարումը։

Դիցուք, տրիգերների երեք շղթաները միացած են այնպես, ինչպես ցույց է տրված 3-րդ նկարում։ Տրիգերների վերին շղթան ծառայում է առաջին գումարելին գրելու համար, երկրորդ շղթան՝ երկրորդ գումարելին գրելու համար, իսկ ներքևի շղթան՝ գումարը ստանալու համար։ Գործիքի միացման մոմենտին ներքևի շղթայի տրիգերին անցնում են իմպուլսներ վերին և միջին շղթաների այն տրիգերներից, որոնք գտնվում են [math]1[/math] դիրքում։

Դիսուք, օրինակ, ինչպես այդ ցույց է տրված 3-րդ նկարում,առաջին երկու շղթաներում գրված են [math]101[/math] և [math]111[/math] գումարելիները (թվարկության երկուական սիստեմով)։ Այդ ժամանակ ներքևի շղթայի առաջին (ամենաաջ) տրիգերի վրա գործիքի միացման պահին առաջանում են երկու իմպուլսներ՝ առաջին տրիգերների յուրաքանչյուր գումարելիներից։ Մենք արդեն գիտենք, որ երկու իմպուլսների ստացման հետևանքով առաջին տրիգերը կմնա [math]0[/math] դիրքում, բայց կտա պատասխան իմպուլս երկրորդ տրիգերին։ Բացի այդ, երկրորդ տրիգերին ազդանշան է գալիս երկրորդ գումարելիից։ Այսպիսով, երկրորդ տրիգերի վրա առաջանում են երկու իմպուլս, որի հետևանքով էլ երկրորդ տրիգերը կգտնվի [math]0[/math] դիրքում և կուղարկի պատասխան իմպուլս երրորդ տրիգերին։ Բացի այդ, երրորդ տրիգերին են գալիս դարձյալ երկու իմպուլսներ (գումարելիներից յուրաքանչյուրից)։ Ստացված երեք ազդանշանների հետևանքով երրորդ տրիգերը կանցնի [math]1[/math] դիրքին և կտա պատասխան իմպուլս։ Այդ պատասխան իմպուլսը չորրորդ տրիգերը կփոխադրի [math]1[/math] դիրքը (այլ ազդանշաններ չորրորդ տրիգերի վրա չեն ստացվում)։ Այսպիսով, 3-րդ նկարում պատկերված գործիքը կատարեց (թվարկության երկուական սիստեմով) երկու թվերի գումարում «սյունակով»։ [math] \dfrac { \begin{array}[b]{r} 101 \\ ^+111 \end{array} }{ \,1100 } [/math]

կամ տասնորդական սիստեմով՝ [math]5+7\;=\;12[/math]։ Տրիգերների ներքևի շղթայում պատասխան իմպուլսները համապատասխանում են նրան, որ գործիքը, կարծես թե, «հիշում է մտքում» մեկ միավոր և այն տեղափոխում հետևյալ կարգը, այսինքն՝ կատարում է նույնը, ինչ մենք կատարում ենք «սյունակով» գումարելիս։

Իսկ եթե յուրաքանչյուր շղթայում լիներ ոչ թե [math]4[/math], այլ սսենք, [math]20[/math] տրիգեր, ապա կարելի էր կատարել թվերի գումարում միլիոնի սահմաններում, իսկ մեծ թվով տրիգերների դեպքում կարելի է գումարել է՛լ ավելի մեծ թվեր։

Նկատենք, որ իրականում գործիքը գումարումներ կատարելու համար պետք է ունենա զգալիորեն ավելի բարդ սխեմա, քան 3-րդ նկարում պատկերվածը։ Մասնավորապես գործիքին պետք է միացված լինի հատուկ հարմարանք, որը իրագործի ազդանշանների «ուշացումը»։ Ընդ որում ցույց տրված սխեմայում գործիքի ազդանշանները երկու գումարելիներից ներքևի շղթայի առաջին տրիգերն են անցնում միաժամանակ (գործիքի միացման պահին)։ Արդյունքում երկու ազդանշաններն էլ միաձուլվում են, և տրիգերը դրանց ընկալում է որպես մեկ ազդանշան, այլ ոչ թե՝ երկու։ Դրանից խուսափելու նպատակով պետք է, որ ազդանշանները գումարելիներից հաղորդվեին ոչ միաժամանակ, այլ մեկը մյուսից հետո, որոշ «ուշացումով»։ Այդպիսի «ուշացումների» առկայությունը հանգում է նրան, որ երկու թվերի գումարելի ավելի շատ ժամանակ է պահանջում, քան մեկ ազդանշանի գրանցումը տրիգերային հաշվիչում։

Փոխելով սխեման՝ կարելի է ստիպել, որ գործիքը կատարի ոչ թե գումարում, այլ հանում։ Կարելի է նույնպես իրագործել բազմապատկում (այն հանգում է գումարման հաջորդական կատարմանը, և դրա համար պահանջում է մի քանի անգամ ավելի շատ ժամանակ, քան գումարումը), բաժանումը և այլ օպերացիաներ։

Այն սարքավորումները, որոնց մասին խոսվեց վերևում, կիրառվում են ժամանակակից հաշվիչ մեքենաներում։ Այդ մեքենաները մեկ վայրկյանում թվերով կարող են կատարել մինչև [math]10\;000[/math] և ավելի գործողություններ։ Թվամ է, թե գործողություններ կատարելու այդպիսի գլխապտույտ արագությունը պետք չէ։ Օրինակ, ինչ տարբերություն այն բանում, թե որքան ժամանակում մեքենան 15-անիշ թիվը կբարձրացնի քառակուսի՝ վայրկյանի մեկ տասհազարերորդական մասո՞ւմ թե՞, ասենք, քառորդ վայրկյանում։ Ե՛վ այս, և՛ այն մեզ թվում է խնդրի «ակնթարթային լուծում»։

Սակայն մի շտապեք եզրակացություններ անելու։ Վերցնենք այսպիսի օրինակ։ Լավ շախմատիստը, նախքան խաղաքայլն անելը, վերլուծում է տասնյակ և անգամ հարյուրավոր հնարավոր տարբերակներ։ Եթե, ասենք, մի տարբերակի հետազոտումը պահանջում է մի քանի վայրկյան, ապա հարյուրավոր տարբերակների վերլուծման համար հարկավոր են րոպեներ և տասնյակ րոպեներ։

Շատ անգամ պատահում է, որ խաղացողները բարդ պարտիաներում ընկնում են «ցեյտնոտի» մեջ, այսինքն՝ հարկադրվում են խաղաքայլերն արագացնել, քանի որ նախորդ խաղաքայլերի մտածելու վրա նրանք ծախսել են գրեթե նրանց համար սահմանված ամբողջ ժամանակը։ Բայց ինչո՞ւ շախմատային պարտիաների տարբերակների հետազոտումը չհանձնարարել մեքենային։ Չէ՞ որ վայրկանում կատարելով հազար հաշվումներ՝ մեքենան հետազոտում է բոլոր տարբերակները «ակնթարթորեն» և երբեք չի ընկնում ցեյտնոտի մեջ...

Դուք, իհարկե, կառարկեք, որ այլ գործ է հաշվումները (թեկուզ և շատ բարդ)) և այլ շախմատ խաղալը։ Մեքենան չի կարող այդ անել։ Շախմատիստը տարբերակների հետազոտման ժամանակ չի հաշվում, այլ մտածում է։

Չվիճենք, մենք ստորև այդ հարցին դեռ կանդրադառնանք։

Անդրադառնանք շախմատային տարբեր պարտիաների թվի մոտավոր հաշվարկմանը, այն է՝ ընդհանրապես քանի պարտիա կարող է խաղացվել շախմատային տախտակի վրա։ Տվյալ դեպքում ճիշտ հաշվարկը անհնարին է, բայց մենք ընթերցողին կծանոթացնենք շախմատային հնարավոր պարտիաների թվի մեծությունը մոտավորապես գնահատելու փորձի հետ։ Բելգիական մաթեմատիկոս Մ. Կրայչիկի „Математика игр и математические развлечения” գրքում գտնում ենք այսպիսի հաշվարկ.

«Առաջին քայլի ժամանակ սպիտակները կարող են ընտրել [math]20[/math] խաղաքայլերից մեկը ([math]16[/math] խաղաքայլ ութ զինվորի համար, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է տեղաշարժվել մեկ կամ երկու դաշտի վրա, և 2-ական խաղաքայլ յուրաքանչյուր ձիու համար)։ Սպիտակների յուրաքանչյուր խաղաքայլին սևերը կարող են պատասխանել միևնույն [math]20[/math] խաղաքայլից մեկով։ Զուգադրելով սպիտակների յուրաքանչյուր խաղաքայլը սևերի յուրաքանչյուր խաղաքայլի հետ՝ կունենանք [math]20\cdot20\;=\;400[/math] տարբեր պարտիաներ յուրաքանչյուր կողմի առաջին քայլից հետո։

Աոաջին քայլից հետո հնարավոր խաղաքայլերի թիվը մեծանում է։ Եթե, օրինակ, սպիտակներն արել են առաջին e2—e4 խաղաքայլը, նրանք երկրորդ քայլի համար կարող են ընտրել [math]20[/math] խաղաքայլից որևէ մեկը։ Հետագայում հնարավոր խաղաքայլերի թիվն ավելի մեծ է։ Միայն թագուհին, կանգնելով, օրինակ, d5 դաշտում՝ կարող է ընտրել [math]27[/math] խաղաքայլից մեկը (ենթադրելով, որ բոլոր դաշտերը, որտեղ նա կարող է կանգնել, ազատ են)։ Սակայն հաշվարկը պարզ դարձնելու համար նկատի կունենանք հետևյալ թվերի միջինը՝

առաջին հինգ խաղաքայլերում երկու կողմերի համար 20-ական հնարավոր խաղաքայլ։

հետագա խաղաքայլերի դեպքում երկու կողմերի համար էլ 30-ական հնարավոր խաղաքայլ։

Բացի դրանից։ ընդունենք, որ նորմալ պարտիայի խաղաքայլերի միջին թիվը հավասար է [math]40[/math]-ի։ Այն ժամանակ հնարավոր պարտիաների թվի համար կունենանք հետևյալ արտահայտությունը՝

[math](20\cdot20)^5\cdot(30\cdot30)^{35}[/math]։

Այս արտահայտության մոտավոր մեծությունը որոշելու համար օգտվենք հետևյալ ձևափոխություններից և պարզեցումներից՝

[math](20\cdot20)^5\cdot(30\cdot30)^{35}\;=\;20^{10}\cdot30^{70}\;=\;2^{10}\cdot3^{70}\cdot10^{80}[/math]։

[math]2^{10}[/math]-ը փոխարինենք նրան մոտ թվով՝ [math]1000[/math]-ով, այսինքն [math]10^3[/math]-ով։

[math]370[/math] արտահայտությունը ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

[math]3^{70}\;=\;3^{68}\cdot3^2\approx10(3^4)^{17}\approx10\cdot80^{17}\;=\;10\cdot8^{17}\cdot10^{17}=2^{51}\cdot10^{18}\;=\;2(2^{10})^5\cdot10^{18}\approx2\cdot10^{15}\cdot10^{18}\approx2\cdot10^{33}[/math]։

Հետևաբար՝

[math](20\cdot20)^5\cdot(30\cdot30)^{35}\approx10^3\cdot2\cdot10^{33}\cdot10^{80}\;=\;2\cdot10^{116}[/math]։

Այս թվից շախմատի խաղի գյուտի համար պահանջված պարգևը՝ ցորենի հատիկների առասպելական բազմությունը [math](2^{64}-1\approx18\cdot10^{18})[/math] չափազանց ետ է մնում։ Եթե երկրագնդի ամբողջ բնակչությունը օր ու գիշեր շախմատ խաղար, անելով ամեն վայրկյանում մեկական քայլ, ապա շախմատային բոլոր հնարավոր պարտիաները սպառելու համար այդպիսի ընդհանուր և անընդհատ խաղը պետք է շարունակվեր ոչ պակաս [math]10100[/math] դար։

Դուք, հավանաբար, շատ կզարմանաք՝ իմանալով, որ մի ժամանակ գոյություն են ունեցել շախմատային ավտոմատներ։ Իրոք, ինչպե՞ս այդ համատեղել այն բանի հետ, որ շախմատային տախտակի վրա ֆիգուրների կոմբինացիաները գործնականորեն անսահման են։

Դա պարզաբանվում է հեշտությամբ։ Գոյություն է ունեցել ոչ թե շախմատային ավտոմատ, այլ միայն հավատ նրա նկատմամբ։ Հատուկ ժողովրդականություն է ունեցել հունգարական մեխանիկ Վոլֆգանգ ֆոն Կեմպելենի (1734-1804) ավտոմատը, որն իր մեքենան ցույց տվեց ավստրիական և ռուսական պալատներում, իսկ այնուհետև հրապարակորեն ցուցադրեց Փարիզում և Լոնդոնում։

Նապոլեոն առաջինը խաղացել է այդ ավտոմատի հետ, վստահ լինելով, որ իր ուժը չափում է մեքենայի ուժի հետ։ Անցյալ դարի կեսերին հանրահայտ ավտոմատն ընկավ Ամերիկա, և այնտեղ էլ Ֆիլադելֆիայի հրդեհի ժամանակ վերջ տրվեց նրա գոյությանը։

Շախմատային խաղի մյուս ավտոմատները արդեն չեն ունեցել այդպիսի հռչակ։ Այնուամենայնիվ, հավատը նման ավտոմատորեն գործող մեքենաների գոյության նկատմամբ չսպառվեց նաև հետագայում։

Իրականում ոչ մի շախմատային մեքենա ավտոմատիկորեն չի գործել։ Ներսում թագնվում էր հմուտ, կենդանի շախմատիստ, որը և շարժում էր ֆիգուրները։ Այն կեղծ ավտոմատը, որի մասին մենք հիմա հիշատակեցինք, իրենից ներկայացրել է մեծածավալ արկղ բարդ մեխանիզմով։ Արկղի վրա կար շախմատային տախտակ՝ ֆիգուրներով, որոնք տեղաշարժվում էին մեծ տիկնիկի ձեռքով։ Նախքան խաղն սկսվելը հասարակությանը հնարավորություն էին տալիս համոզվելու, որ արկղի ներսում ոչինչ չկա, բացի մեխանիզմի դետալներից։ Սակայն նրա մեջ մնում էր բավականաչափ տեղ, որպեսզի թաքնվեր ոչ մեծ հասակի մարդ (այդ դերը խաղում էին հանրաճանաչ խաղացողներ Իոհան Ալգայերը և Վիլյամ Լյուիսը)։ հավանական է, որ մինչև հասարակությանը հաջորդաբար ցույց էին տալիս արկղի տարբեր մասերը, թաքնված մարդը անաղմուկ տեղափոխվում էր հարևան բաժանմունքը։ Իսկ մեխանիզմը ապարատի աշխատանքին ոչ մի մասնակցություն չէր ունենում և միայն քողարկում էր կենդանի խաղացողի ներկայությունը։

Ամբողջ ասածից կարելի է անել հետևյալ եզրակացությունը՝ շախմատային պարտիաների թիվը գործնականորեն անսահման է, իսկ մեքենա, որը թույլատրում է ավտոմատիկորեն ընտրել ամենաճիշտ խաղաքայլը, գոյություն ունի միայն դյուրահավատ մարդկանց երևակայության մեջ։ Ուստի, շախմատային ճգնաժամի երկյուղ կրելու հարկ չկա։

Սակայն վերջին տարիներում տեղի են ունեցել դեպքեր, որոնք թույլ են տալիս կասկածելու այդ եզրակացության ճշտությունը։ Ներկայումս արդեն գոյություն ունեն շախմատ «խաղացող» մեքենաներ։ Դրանք բարդ հաշվիչ մեքենաներն են, որոնք հնարավորություն են տալիս վայրկյանում կատարել հազարավոր հաշվումներ։ Այդպիսի մեքենաների մասին մենք արդեն խոսել ենք։ Ինչպե՞ս կարող է մեքենան շախմատ «խաղալ»։

Իհարկե, հաշվիչ ոչ մի մեքենա ոչինչ անել չի կարող բացի թվերով գործողություններից։ Բայց մեքենայով հաշվումը կատարվում է գործողությունների որոշակի սխեմայով, նախապես կազմված որոշակի ծրագրով։

Շախմատային «ծրագիրը» կազմվում է մաթեմատիկոսների կողմից խաղի որոշակի տակտիկայի հիման վրա. ընդսմին, տակտիկա ասելով հասկացվում է կանոնների սիստեմը, որը թույլատրում է յուրաքանչյուր դիրքի համար ընտրել միակ («ամենալավագույն»-ը այդ տակտիկայի իմաստով) խաղաքայլը։ Ահա այդպիսի տակտիկայի օրինակներից մեկը։ Յուրաքանչյուր ֆիգուրին վերագրվում է միավորների որոշակի թիվ (արժեք)։

Թագավոր	+200 միավոր	Զինվոր	+1 միավոր
Թագուհի	+9 միավոր	Ետ մնացած զինվոր	-0,5 միավոր
Նավակ	+5 միավոր	Մեկուսացված զինվոր	-0,5 միավոր
Փիղ	+3 միավոր	Կրկնակի զինվոր	-0,5 միավոր
Ձի	+3 միավոր

Բացի այդ, որոշակի ձևով գնահատվում են դիրքային առավելությունները (ֆիգուրների շարժունակությանը, ֆիգուրների դասավորությունը կենտրոնին ավելի մոտ, քան ծայրերում և այլն), որոնք արտահայտվում են միավորի տասներորդ մասերով։ Սպիտակ ֆիգուրների համար միավորների ընդհանուր գումարից հանում ենք սև ֆիգուրների համար միավորների ընդհանուր գամարը։ Ստացված տարբերությունը որոշ չափով բնութագրվում է սպիտակների նյութական և դիրքային առավելությունը սևերի նկատմամբ։ Եթե այդ տարբերությունը դրական է, ապա սպիտակների մոտ ավելի հարմար դրություն է, քան սևերի մոտ, իսկ եթե այն բացասական է՝ ավելի քիչ հարմար դրություն։

Հաշվիչ մեքենան հաշվում է, թե ինչպես կարող է փոխվել մատնանշված տարբերությունը մոտակա երեք խաղաքայլերի ընթացքում, ընտրում է ամենալավագույն տարբերակը երեք խաղաքայլերի երեք հնարավոր կոմբինացիաներից և այն տպում է հատուկ քարտի վրա՝ «խաղաքայլն» արված է^[4]։

Մեքենան մեկ խաղաքայլի վրա վատնում է շատ քիչ ժամանակ (նայած ծրագրի տեսակին և մեքենայի գործելու արագությանը), այնպես որ նա «ցեյտնոտից» չի վախենում։

Իհարկե, միայն երեք խաղաքայլ առաջ «մտածելը» մեքենային բնութագրում է որպես բավական թույլ «խաղացողի»^[5], բայց կարելի է չկասկածել նրանում, որ ներկայումս հաշվիչ տեխնիկայի ավելի արագ կատարելագործմամբ մեքենաները շուտով «կսովորեն» անհամեմատ ավելի լավ «խաղալ» շախմատ։

Հաշվիչ մեքենաների համար շախմատային ծրագրեր կազմելու մասին ավելի մանրամասն պատմելը այս գրքում դժվար կլիներ։ Ծրագրերի մի քանի պարզագույն տեսակները մենք սխեմատիկ կերպով կդիտարկենք հաջորդ գլխում։

Բոլորին հավանաբար հայտնի է, թե ինչպես պետք է գրել երեք թվանշան, որպեսզի նրանցով պատկերենք հնարավորին չափ մեծ թիվ։ Պետք է վերցնել երեք ինը և դրանց դասավորել այսպես՝

[math]9^{9^9}[/math],

այսինքն՝ գրել երրորդ «գերաստիճան» [math]9[/math]-ից։

Այդ թիվն այնքան ահռելի մեծ է, որ ոչ մի բաղդատում չի օգնում պարզելու նրա վիթխարիությունը։ Տեսանելի տիեզերքի էլեկտրոնների թիվը չնչին է նրա հետ համեմատած։ Իմ «Հետաքրքրաշարժ թվաբանություն» գրքում (գլ. 10) արդեն ասվել է այդ մասին։ Անդրադառնում եմ այս խնդրին միայն նրա համար, որովհետև ուզում եմ այստեղ նրա ձևով առաջարկել մեկ ուրիշը։

Երեք երկուսներով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով գործողությունների նշանները։

Լուծում

Ինների եռահարկ դասավորության թարմ տպավորության տակ դուք, հավանաբար, պատրաստ եք երկուսներին տալու այսպիսի դասավորություն՝

[math]2^{2^2}[/math] Սակայն այս անգամ սպասվելիք արդյունքը չի ստացվում։ Գրված թիվը մեծ չէ, անգամ փոքր է, քան [math]222[/math]-ը։ Իրոք, չէ՞ որ մենք ընդամենը գրել էինք միայն [math]2^4[/math], այսինքն՝ [math]16[/math]։

Իսկապես, երեք երկուսներից կազմված ամենամեծ թիվը ո՛չ [math]222[/math] է, և ո՛չ էլ [math]22^2[/math] (այսինքն՝ [math]484[/math]), այլ՝

[math]2^{22}\;=\;4\;194\;304[/math]։

Օրինակը շատ ուսանելի է։ Այն ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկայի մեջ վտանգավոր է վարվել համանմանությամբ. դա հեշտությամբ կարող է սխալ եզրակացությունների հասցնել։

Խնդիր

Այժմ, հավանաբար, դուք զգուշորեն կմոտենաք հետևյալ խնդրի լուծմանը՝

Երեք երեքներով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով գործողությունների նշանները։

Լուծում

Եռահարկ դասավորությունը ևս այստեղ չի բերում սպասելիք արդյունքին, քանի որ

[math]3^{3^3}[/math]-ը, այսինքն՝ [math]3^{27}[/math]-ը փոքր է, քան [math]3^{33}[/math]-ը։

Վերջին դասավորությունը տալիս է խնդրի հարցի պատասխանը։

Խնդիր

Երեք չորսերով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով գործողութսունների նշանները։

Լուծում

Եթե տվյալ դեպքում դուք վարվեք նախորդ երկու խնդիրների ձևով, այսինքն՝ տաք ալդպիսի պատասխան

[math]4^{44}[/math],

ապա կսխալվեք, քանի որ այս անգամ եռահարկ դասավորությունը՝

[math]4^{4^4}[/math]

հենց տալիս է ավելի մեծ թիվ։ Իրոք, [math]4^4\;=\;256[/math], իսկ [math]4^{256}[/math]-ը մեծ է, քան [math]4^{44}[/math]-ը։

Փորձենք խորանալ այդ կասկած առաջացնող երևույթի մեջ և պարզենք, թե ինչու որոշ թվանշաններ եռահարկ դասավորության դեպքում առաջացնում են թվային հսկաներ, իսկ մյուսները՝ ոչ։ Դիտարկենք ընդհանուր դեպքը։

Երեք հավասար թվանշաններով պատկերել հնարավորին մեծ թիվ չկիրառելով գործողությունների նշանները։

Թվանշանը նշանակենք [math]3[/math] տառով։

[math]2^{22},\;3^{33},\;4^{44}[/math]

դասավորություններին համապատասխանում է հետևյալ արտահայտությունը՝

[math]a^{10a+a}[/math], այսինքն՝ [math]a^{11a}[/math]։

Իսկ եռահարկ դասավորությունն ընդհանուր տեսքով կպատկերվի այսպես`

[math]a^{a^a}[/math]

Որոշենք` [math]a[/math]-ի ի՞նչ արժեքների դեպքում վերջին դասավորությունը կպատկերի ավելի մեծ թիվ, քան առաջին դասավորությունը։ Քանի որ երկու արտահայտություններն էլ հանդիսանում են հավասար ամբողջական հիմք ունեցող թվի աստիճաններ, ապա մեծ մեծությանը համապատասխանում է մեծ ցուցիչին։ Իսկ ե՞րբ կլինի՝

[math]a^a\;\gt\;11a[/math]։^[6]

Անհավասարության երկու մասն էլ բաժանենք [math]a[/math]-ի վրա, կստանանք՝

[math]a^{a-1}\;\gt\;11[/math]։

Հեշտ է նկատել, որ [math]a^{a—1}[/math]-ն մեծ է [math]11[/math]-ից միայն այն պայմանի դեպքում, երբ [math]a[/math]-ն մեծ է [math]3[/math]-ից, քանի որ

[math]4^{4-1}\;\gt\;11[/math],

մինչդեռ,

[math]3^2[/math]-ն և [math]2^1[/math]-ը

փոքր են [math]11[/math]-ից։

Այժմ հասկանալիի են ալն անակնկալութլունները, որոնց մենք հանդիպեցինք նախորդ խնդիրները լուծելիս. երկուսների և երեքների համար հարկավոր էր վերցնել այլ դասավորություն, չորս և մեծ թվերի համար՝ այլ։

Խնդիր

Չորս միավորներով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով մաթեմատիկական գործողությունների և ոչ մի նշան։

Լուծում

Բնականորեն մտքով անցած [math]1111[/math] թիվը չի պատասխանում խնդրի պահանջին, քանի որ՝

[math]11^{11}[/math]

շատ անգամ մեծ է այդ թվից։ Հազիվ թե որևէ մեկը համբերություն ունենա այդ թիվը հաշվելու համար [math]10[/math] անգամ բազմապատկում կատարել [math]11[/math]-ով։ Բայց նրա մեծությունը անհամեմատ արագ կարելի է գնահատել լոգարիթմական աղյուսակների միջոցով։

Այդ թիվը գերազանցում է [math]285[/math] միլիարդը և, հետևաբար, [math]1111[/math] թվից մեծ է ավելի քան [math]25[/math] միլիոն անգամ։

Խնդիր

Դիտարկվող բնույթի խնդիրների զարգացման մեջ անենք հաջորդ քայլը և մեր հարցը դնենք չորս երկուսների համար։

Իչպիսի՞ դասավորության դեպքում են չորս երկուսները պատկերում. ամենամեծ թիվ։

Լուծում

Հնարավոր են 8 կոմբինացիաներ՝

[math]2222,\;222^2,\;22^{22},\;2^{222}[/math]

[math]22^{2^2},\;2^{22^2},\;2^{2^{22}},\;2^{2^{2^{2}}}[/math]

Այդ թվերից ո՞րն է ամենամեծը։

Նախ զբաղվենք վերին շարքով, այսինքն երկհարկ դասավորված թվերով։

Առաջինը՝ [math]2222[/math]-ը, ակնհայտ է, փոքր է մնացած երեքից։ Հաջորդ երկուսը՝

[math]222^2[/math] և [math]22^{22}[/math]

բաղդատելու համար ձևափոխենք նրանցից երկրորդը՝

[math]22^{22}\;=\;22^{2\cdot11}\;=\;(22^2)^{11}=484^{11}[/math]։

Վերջին թիվը մեծ է [math]222^2[/math]-ից, քանի որ [math]484^{11}[/math] աստիճանի թե՛ հիմքը, թե՛ ցուցիչը ավելի մեծ է։ քան [math]222^2[/math]-ը։

Այժմ [math]22^{22}[/math]-ը բաղդատենք առաջին տողի չորրորդ թվի՝ [math]2^{222}[/math]-ի հետ։ [math]22^{22}[/math]-ը փոխարինեք [math]32^{22}[/math] մեծ թվով և ցույց տանք, որ անգամ այդ մեծ թիվն իր մեծությամբ զիջում է [math]2^{222}[/math] թվին։

Իրոք՝

[math]32^{22}\;=\;(2^5)^{22}\;=\;2^{110}[/math],

իսկ այս թիվը փոքր է քան թե [math]2^{222}[/math]-ը։

Այսպիսով, վերին տողի ամենամեծ թիվը [math]2^{222}[/math]-ն է։

Այժմ մեզ մնում է միմյանց հետ բաղդատել հինդ թվեր՝ հենց նոր ստացվածը և հետևյալ չորսը՝

[math]22^{2^2},\;2^{22^2},\;2^{2^{22}},\;2^{2^{2^{2}}}[/math]։

Վերջին թիվն ընդամենը [math]2^{16}[/math] է և միանգամից դուրս է գալիս մրցությունից։

Այնուհետև, այդ շարքի առաջին թիվը հավասար է [math]22^4[/math] և փոքր է, քան [math]32^4[/math]-ը կամ [math]2^{20}[/math]-ը. փոքր է հաջորդ երկու թվերից յուրաքանչյուրից։ Բաղդատման ենթակա են, հետևաբար, երեք թվեր, որոնցից յուրաքանչյուրը [math]2[/math]-ի տարբեր աստիճաններն են։ Ակնհայտ է, որ մեծ է [math]2[/math]-ի այն աստիճանը, որի ցուցիչը մեծ է։ Բայց երեք ցուցիչներից՝

[math]222,\:484\text{ և } 2^{20+2}\;(=\;2^{10\cdot2}\cdot2^2\approx10^3\cdot4)[/math]^[7]

վերջինը, բացահայտորեն ամենամեծն է։

Ուստի, ամենամեծ թիվը, որ կարելի է պատկերել չորս երկուսներով, այսպիսին է

[math]2^{2^{22}}[/math]։

Չդիմելով լոգարիթմական աղյուսակների, մենք կարող ենք մոտավոր պատկերացում կազմել այդ թվի մեծության մասին, օգտվելով հետևյալ մոտավոր հավասարությունից՝

[math]2^{10}\approx1000[/math]

Իրոք՝

[math]2^{22}\;=\;2^{20}\cdot2^2\approx4\cdot10^6,[/math]

[math]2^{2^{22}}\approx2^{4000000}\;\gt\;10^{1200000}[/math]։^[8]

Այսպիսով, այդ թվի թվանշանների քանակը միլիոնից ավելի է։

Հանրահաշվի լեզուն հավասարումներն են։ «Թվերին կամ մեծությունների վերացական հարաբերություններին վերաբերող հարցը լուծելու համար։ Հարկավոր է միայն մայրենի լեզվից այն թարգմանել հանրահաշվական լեզվի»— գրել է մեծ Նյուտոնը հանրահաշվի իր դասագրքում, որը կոչվում է «Համընդհանուր թվաբանություն»։ Թե ինչպես է կատարվում այդպիսի թարգմանությունը մայրենի լեզվից հանրահաշվական լեզվի, Նյուտոնը ցույց է ավել օրինակներով։ Ահա դրանցից մեկը.

Մայրենի լեզվով	Հանրահաշվի լեզվով
Վաճառականը ուներ մի որոշ գումար։	[math]x[/math]
Առաջին տարում նա ծախսեց [math]100[/math] ֆունտ։	[math]x-100[/math]
Մնացած գումարին նա ավելացրեց նրա երրորդ մասը։	[math](x-100)+\frac{x-100}{3}\;=\;\frac{4x-400}{3}[/math]
Հաջորդ տարում նա նորից ծախսեց [math]100[/math] ֆունտ	[math]\frac{4x-400}{3}-100 \;=\; \frac{4x-700}{3}[/math]
և մնացած գումարը մեծացրեց նրա երրորդ մասով։	[math]\frac{4x—700}{3} + \frac{4x—700}{9} \;=\; \frac{16x-2800}{9}[/math]
Երրորդ տաքում նա դարձյալ ծախսեց [math]100[/math] ֆունտ։	[math]\frac{16x-2800}{9}-100 \;=\; \frac{16x-3700}{9}[/math]
Դրանից հետո, երբ նա մնացորդին ավելացրեց դրա երրորդ մասը,	[math]\frac{16x-3700}{9} + \frac{16x- 3700}{27} \;=\; \frac{64x-14800}{27}[/math]
նրա դրամագլուխը դարձավ սկզբնականից երկու անգամ ավելի։	[math]\frac{64x-14800}{27} \;=\; 2x[/math]

Վաճառականի սկզբնական դրամագլուխը որոշելու համար մնում է միայն լուծել վերքին հավասարումը։

Հավասարումների կազմելն ըստ խնդրի տվյալների ավելի դժվար է, քան դրանց լուծումը։ Դուք այժմ նկատեցիք, որ հավասարումներ կազմելու արվեստը իրոք հանգում է «մայրենի լեզվից հանրահաշվականի» հմտորեն թարգմանելուն։ Բայց հանրահաշվի լեզուն խիստ սակավաբառ է. դրա համար էլ մայրենի լեզվից հանրահաշվականի թարգմանելը այնքան էլ դյուրին գործ չէ։ Ըստ դժվարությունների թարգմանությունները լինում են տարբեր, դրանում կհամոզվի ընթերցողը առաջին աստիճանի հավասարումներ կազմելու վերաբերյալ բերված հետագա մի շարք օրինակներից։

Խնդիր

Պատմությունը հնադարյան նշանավոր մաթեմատիկոս Դիոֆանտի կենսագրության վերաբերյալ մեզ քիչ բան է թողել։ Այն բոլորը, ինչ հայտնի է նրա մասին, վերցված է նրա գերեզմանաքարի վրայի արձանագրությունից, արձանագրություն, որը կազմված է մաթեմատիկական խնդրի տեսքով։ Բերենք այդ արձանագրությունը՝

Մայրենի լեզվով	Հանրահաշվի լեզվով
Ճանապարհո՛րդ։ Այստեղ հանգչում է Դիոֆանտը, և թվերը կպատմեն քեզ, թե որքան է տևել նրա կյանքը։	[math]x[/math]
Նրա կյանքի վեցերորդ մասը կազմել է սքանչելի մանկությունը։	[math]\frac{x}{6}[/math]
Էլի կյանքի տասներկուերորդ մասն անցավ և դեմքը ծածկվեց աղվամազով։	[math]\frac{x}{12}[/math]
Ամուսնությունից հետո կյանքի յոթերորդ մասն անզավակ ապրեց Դիոֆանտը։	[math]\frac{x}{7}[/math]
Անցավ հինգ տարի և բախտավորվեց նա՝ ունենալով արու զավակ,	[math]5[/math]
որին ճակատագիրը հոր սքանչելի ու պայծառ կյանքի միայն կեսը պարգևեց։	[math]\frac{x}{2}[/math]
Եվ խոր թախծի մեջ ծերուկը մահ ընդունեց, ապրելով միայն չորս տարի այն պահից ի վեր, երբ զրկվեց որդուց։	[math]x \;=\; \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4[/math]
Ասա՛, քանի՞ տարեկան հասակում մահացավ Դիոֆանտը։

Լուծում

Լուծելով հավասարումը և գտնելով, որ [math]x=84[/math], իմանում ենք Դիոֆանտի կենսագրության հետևյալ գծերը. նա ամուսնացավ [math]21[/math] տարեկան հասակում, դարձավ հայր [math]38[/math]-րդ տարում, որդուն կորցրեց [math]80[/math]-րդ տարում և մեռավ [math]84[/math] տարեկան հասակում։

Խնդիր

Ահա դարձյալ հինավուրց ոչ բարդ խնդիր, որը հեշտությամբ մայրենի լեզվից թարգմանվում է հանրահաշվական լեզվի։

«Ձին և ջորին գնում էին կողք-կողքի՝ ծանր բեռով բեռնված։ Ձին դժգոհեց իր անչափ ծանր բեռան համար։ Ինչո՚՞ւ ես դու դժգոհում,— պատասխանեց նրան ջորին, չէ՞ որ եթե ես վերցնեմ քեզանից մեկ պարկ, իմ բեռը երկու անգամ ծանր կդառնա քոնից։ Իսկ եթե դու իմ մեջքից վերցնես մի պարկ, քո բեռը կդառնա իմին հավասար»։

Ասացե՛ք, իմաստուն մաթեմատիկոսներ, քանի՞ պարկ էր կրում ձին և քանի՞սը՝ ջորին։

Լուծում

Եթե ես քեզանից վերցնեմ մի պարկ,	[math]x-1[/math]
իմ բեռը	[math]y+1[/math]
երկու անգամ ծանր կդառնա քոնից։	[math]y+1 \;=\; 2(x-1)[/math]
Իսկ եթե դու իմ բեռից վերցնես մի պարկ,	[math]y-1[/math]
քո բեռը	[math]x+l[/math]
իմին հավասար կդառնա։	[math]y-1\; =\; x+1[/math]

Մենր խնդիրը բերեցինք երկու անհայտով հավասարումների սիստեմի.

[math] \begin{cases} y+1=2(x-1)\\ y-1=x+1\\ \end{cases}[/math] կամ [math] \begin{cases} 2x-y=3\\ y-x=2\\ \end{cases}[/math]

Լուծելով այն, գտնում ենք [math]x=5,\;y=7[/math]։ Ձին կրում էր [math]5[/math] պարկ, շորին՝ [math]7[/math]։

Խնդիր

Չորս եղբայրներ ունեին [math]43[/math] ռուբլի։ Եթե առաջինի փողը ավելացնենք [math]2[/math] ռուբլով, երկրորդի փողը պակասեցնենք [math]2[/math] ռուբլով, երրորդի փողն ավելացնենք երկու անգամ, իսկ չորրորդի փողը պակասեցնենք երկու անգամ, ապա բոլորն էլ կունենան հավասարապես։ Որքա՞ն փող ուներ յուրաքանչյուրը։

Լուծում

Չորս հղբայրներ ունեին [math]45[/math] ռուրլի,	[math]x+y+z+t \;=\; 45[/math]
Եթե առաջինի փողը ավելացնենք [math]2[/math] ռուբլով,	[math]x+2[/math]
երկրորդի փողը պակասեցնենք [math]2[/math] ռուբլով,	[math]y-2[/math]
երրորդի փողը ավելացնենք երկու անգամ,	[math]2z[/math]
չորրորդի փողը պակասեցնենք երկու անցամ,	[math]\frac{t}{2}[/math]
ապա բոլորն էլ կունենան հավասարապես։	[math]x+2 \;=\; y-2 \;=\; 2z \;=\; \frac{t}{2}[/math]

Վերջին հավասարումը մասնատենք երեք մասերի՝

[math]x+2 \;=\; y-2[/math],

[math]x+2 \;=\; 2z[/math],

[math]x+2 \;=\; \frac{t}{2}[/math],

որտեղից՝

[math]y \;=\; x+4[/math],

[math]z \;=\; \frac{x+2}{2}[/math],

[math]t \;=\; 2x+4[/math]։

Այս արժեքները տեղադրելով առաջին հավասարման մեջ, կստանանք՝

[math]x + x+4 + \frac{x+2}{2} + 2x+4 \;=\; 45[/math],

որտեղից [math]x=8[/math]։ Այնուհետև կգտնենք՝ [math]y=12,\; z=5,\; t=20[/math]։ Այսպիսով, եղբայրներն ունեին՝ 8 ռ., 12 ռ., 5ռ., 20 ռ.։

Խնդիր

11-րդ դարի արաբական մի մաթեմատիկոսի մոտ գտնում ենք հետևյալ խնդիրը։

Գետի երկու ափերին աճում են երկու արմավենիներ՝ մեկը մյուսի դիմաց։ Մեկի բարձրությունը [math]30[/math] կանգուն է, մյուսինը՝ [math]20[/math]։ Դրանց հիմքերի միջև եղած հեռավորությունը [math]50[/math] կանգուն է։ Յուրաքանչյուր արմավենու կատարին նստած է մի թռչուն։ Երկու թռչունն էլ հանկարծ նկատեցին մի ձուկ, որը արմավենիների միջև ջրի մեջ լողում էր դեպի մակերևույթը։ Նրանք դեպի ձուկը նետվեցին միանգամից և նրան հասան միաժամանակ (նկ. 4)։

Բարձր արմավենու հիմքից ի՞նչ հեռավորության վրա երևաց ձուկը։

Լուծում

Սխեմատիկ գծագրից ելնելով (նկ. 5), օգտվելով Պյութագորի թեորեմայից, գտնում ենք՝

[math]\overline{AB}^2=30^2+x^2, \; \; \overline{AC}^2=20^2+(50-x)^2[/math]

Բայց AB=AC, քանի որ երկու թռչունն էլ այդ հեռավորությունները թռչել են միևնույն ժամանակում։ Ուստի՝

[math]30^2+x^2=20^2+(50-x)^2[/math]։ Բացելով փակագծերը և կատարելով պարզեցումները՝ կստանանք առաջին աստիճանի հավասարում.

[math]100x=2000[/math],

որտեղից

[math]x=20[/math]։

Ձուկը երևաց [math]20[/math] կանգուն հեռու այն արմավենուց, որի բարձրությունը [math]30[/math] կանգուն է։

Խնդիր

— Անցեք ինձ մոտ վաղը ցերեկով։— ասաց ծեր բժիշկն իր ծանոթին։

— Շնորհակալություն։ Ես դուրս կգամ ժամը երեքին։ Գուցե դուք ևս ցանկանաք զբոսնել, այդ դեպքում դուրս եկեք նույն ժամին, կհանդիպենք կիսաճանապարհին։

— Դուք մոռանում եք, որ ես ծեր եմ, ընդամենը ժամnւմ քայլում եմ միայն [math]3 \; կմ[/math], իսկ դուք՝ երիտասարդ, ամենադանդաղ քայլելու դեպքում անցնում եք ժամում [math]4 \; կմ[/math]։ Հանցանք չէր լինի ինձ մի փոքր արտոնություն տալ։

— Արդարացի է։ Քանի որ ես ձեզանից ժամում [math]1 \; կմ[/math]-ով ավելի եմ անցնում, ապա հավասարության համար այդ կիլոմետրը կտամ ձեզ, այսինքն՝ դուրս կգամ քառորդ ժամ առաջ։ Բավակա՞ն է։

— Ձեր կողմից դա մեծ սիրալիրություն է,— շտապեց համաձայնվել ծերունին։

Երիտասարդն այդպես էլ կատարեց. տնից դուրս եկավ երեքին քառորդ պակաս և անցավ ժամում [math]4 \; կմ[/math] արագությամբ։ Իսկ բժիշկը դուրս եկավ ուղիղ երեքին՝ ժամում անցնելով [math]3 \; կմ[/math]։ Երբ նրանք հանդիպեցին, ծերունին ետ դարձավ և երիտասարդ բարեկամի հետ միասին ուղղվեց դեպի տուն։

Միայն տուն վերադառնալիս, երիտասարդը կշռադատեց, որ մի քառորդ ժամ արտոնության պատճառով, նա ընդհանրապես անցավ ոչ թե երկու, այլ չորս անգամ ավելի, քան բժիշկը։

Ի՞նչ հեռավորության վրա էր բժշկի տունը իր երիտասարդ ծանոթի տնից։

Լուծում

Տների միջև եղած հեռավորությունը նշանակենք [math]x[/math]-ով։

Երիտասարդն ընդամենը անցավ [math]2x[/math], իսկ բժիշկը չորս անգամ պակաս, այսինքն՝ [math]\frac{x}{2}[/math]։ Մինչև հանդիպելը բժիշկն անցավ իր անցնելիք ճանապարհի կեսը, այսինքն [math]\frac{x}{4}[/math], իսկ երիտասարդը մնացածը, այսինքն՝ [math]\frac{3x}{4}[/math]։ Բժիշկը ճանապարհի իր մասն անցավ [math]\frac{x}{12}[/math] ժամում, իսկ երիտասարդը [math]\frac{3x}{16}[/math] ժամում, ընդ որում մենք գիտենք, որ նա ճանապարհին եղավ ¼ ժամով ավելի, քան բժիշկը։

Ունենք հետևյալ հավասարումը՝

[math]\frac{3x}{16}-\frac{x}{12} \;=\; \frac{1}{4}[/math],

որtեղից՝ [math]x=2,4 կմ[/math]։

Երիտասարդի տնից մինչև բժշկի տունը [math]2,4 կմ[/math] է։

Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Վ. Ցինգերը Լ. Ն. Տոլստոյի մասին իր հիշողություններում պատմում է հետևյալ խնդրի մասին, որը մեծ գրողին շատ էր դուր եկել։

«Հնձվորների արտելը պետք է հնձեր երկու մարդագետին, մեկը մյուսից երկու անգամ մեծ։ Կես օր արտելը հունձ արեց մեծ մարգագետնում։ Դրանից հետո արտելը բաժանվեց երկու հավասար մասի՝ առաջին կեսը մնաց մեծ մարգագետնում և մինչև երեկո այն հնձեց ու վերջացրեց, իսկ երկրորդ կեսը հնձեց փոքր մարգագետինը, որի որոշ մասը երեկոյան մնաց չհնձված և որը հաջորդ օրվա ընթացքում հնձեց մի հնձվոր։ Քանի՞ հնձվոր կար արտելում։

Լուծում

Այս դեպքում, բացի գլխավոր անհայտից՝ հնձվորների թվից, որը մենք կնշանակվեք [math]x[/math]-ով, հարկ է լինում մտցնել օժանդակ անհայտ, այսինքն՝ այն հողամասի չափը, որը մի հնձվորը հնձում է մեկ օրում. այն նշանակենք [math]y[/math]-ով։ Թեպետ խնդիրը չի պահանջում նրա որոշելը, բայց այն հեշտացնում է գլխավոր անհայտի գտնելը։

Մեծ մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք [math]x[/math]-ի և [math]y[/math]-ի միջոցով։ Այդ մարգագետինը հնձեցին x հնձվորները կես օրում. նրանք հնձեցին՝

[math]x \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{2}[/math] Օրվա երկրորդ կեսին այն հնձեց միայն արտելի կեսը այսինքն՝ [math]\frac{x}{2}[/math] հնձվոր։ Նրանք Հնձեցին

[math]\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{4}[/math] Քանի որ երեկոյան հնձվեց ամբողջ մարգագետինը, ապա նրա մակերեսը հավասար է՝

[math]\frac{xy}{2} + \frac{xy}{4} \;=\; \frac{3xy}{4}[/math]։ Այժմ փոքր մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք [math]x[/math]-ի և [math]y[/math]-ի միջոցով։ Այն կես օրում հնձեցին [math]\frac{x}{2}[/math] հնձվորներ և հնձեցին [math]\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{4}[/math] մակերես։ Ավելացնենք չհնձված հողամասը, որ հավասար է [math]y[/math]-ի (մի հնձվորի մեկ աշխատանքային օրում հնձած մակերեսը), և կստանանք փոքր մարգագետնի մակերեսը՝

[math]\frac{xy}{4}+y \;=\; \frac{xy+4y}{4}[/math]։

Մնում է հանրահաշվական լեզվի թարգմանել հետևյալ դարձվածքը. «Առաջին մարգագետինը երկու անգամ մեծ է երկրորդից» և հավասարումը կազմված է՝

[math]\frac{3xy}{4} : \frac{xy+4y}{4} \;=\; 2[/math] կամ [math]\frac{3xy}{xy+4y} \;=\; 2[/math]։

Հավասարման ձախ մասի կոտորակը կրճատենք y-ով։ Դրա շնորհիվ օժանդակ անհայտը արտաքսվում է, և հավասարումն ընդունում է հետևյալ տեսքը՝

[math]\frac{3x}{x+4} \;=\; 2[/math] կամ [math]3x \;=\; 2x+8[/math],

որտեղից [math]x=8[/math]^[9]։

Արտելում կար [math]8[/math] հնձվոր։

«Հետաքրքրաշարժ հանրահաշվի» առաջին հրատարակության լույս տեսնելուց հետո պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը ինձ ուղարկեց այս խնդրի վերաբերյալ շատ հետաքրքիր և մանրամասն հաղորդում։ Խնդրի գլխավոր էֆեկտը, ըստ նրա կարծիքի, այն է, որ «այն բոլորովին էլ հանրահաշվական չէ, այլ թվաբանական է և այն էլ չափազանց հասարակ, միայն դժվարացնողը նրա ոչ շաբլոն ձևն է»։

«Այդ խնդրի պատմությունն այսպես է,— շարունակում է պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը։— Մոսկվայի Համալսարանի մաթեմատիկական ֆակուլտետում այն ժամանակ, երբ այնտեղ սովորում էին իմ հայրը և իմ քեռին՝ Ի. Ի. Ռաևսկին (Լ. Տոլստոյի մոտիկ բարեկամը), այլ առարկաների հետ միասին դասավանդվում էր մանկավարժության նման ինչ-որ բան։ Այդ նպատակով ուսանողները պետք է հաճախեին համալսարանի համար հատկացված քաղաքային ժողովրդական դպրոցը և այնտեղ աշխատակցելով փորձված հմուտ ուսուցիչների հետ՝ վարժվեին դասավանդման մեջ։ Ցինգերի և Ռաևսկու ընկերների մեջ կար ոմն ուսանող՝ Պետրով, ըստ պատմածների — արտակարգ շնորհալի և յուրահատուկ մարդ։ Այդ Պետրովը (մահացել է շատ երիտասարդ հասակում, թվում է, թոքախտից) հաստատում էր, որ թվաբանության դասերին աշակերտներին փչացնում են՝ նրանց սովորեցնելով շաբլոն խնդիրներ և լուծման շաբլոն եղանակներ։ Իր միտքը հաստատելու համար Պետրովը հորինեց խնդիրներ, որոնք շաբլոն չլինելու հետևանքով շատ էին դժվարացնում «փորձված հմուտ ուսուցիչներին», բայց հեշտությամբ լուծվում էին ավելի ընդունակ աշակերտների կողմից» որոնք դեռ չէին փչացել այդ պարապմունքներում։ Այդպիսի խնդիրների (Պետրովը հնարել է նման մի քանի խնդիրներ) թվին է պատկանում նաև հնձվորների արտելի մասին խնդիրը։ Փորձված ուսուցիչները, անշուշտ, հեշտությամբ կարող էին լուծել այն՝ հավասարում կազմելու միջոցով, բայց թվաբանական պարզ լուծումը նրանց մտքով չէր անցնում։ Այնինչ խնդիրը այնքան պարզ է, որ նրա լուծման համար հանրահաշվական եղանակ մեջ բերել բոլորովին չարժե։

«Եթե մեծ մարգագետինը հնձել է մինչև օրվա կեսը ամբողջ արտելը և օրվա մյուս կեսը՝ արտելի կեսը, ապա պարզ է, որ կես օրում արտելի կեսը կարող է հնձել մարգագետնի [math]^1/_3[/math] մասը։

Հետևաբար, փոքր մարգագետնում մնում է չհնձված [math]\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/math]

հողամաս։ Եթե մեկ հնձվորը օրական հնձում է մարգագետնի [math]^1/_6[/math]-ը,

իսկ հնձվածը եղել է [math]\frac{6}{6}+\frac{2}{6}=\frac{8}{6}[/math], ապա հնձվորները [math]8[/math]-ն էին։

Տոլստոյը, որ իր կյանքում սիրում էր ֆոկուսային և ոչ թե խիստ խորամանկ խնդիրներ, այդ խնդիրը սովորել էր իմ հորից դեռ երիտասարդ տարիներին։ Երբ այդ խնդրի մասին իմ և ծերունի Տոլստոյի միջև զրույց տեղի ունեցավ, նրան առանձնապես զմայլեց այն, որ խնդիրը դառնում է անհամեմատ պարզ և հստակ, եթե լուծելիս օգտվել միանգամայն պարզունակ գծագրից (նկ. 7)։

Ստորև մեզ կհանդիպեն ևս մի քանի խնդիրներ, որոնք որոշ ըմբռնողության դեպքում թվաբանորեն ավելի պարզ են լուծվում, քան հանրահաշվորեն։

Խնդիր

«Գիտություններն ուսումնասիրելիս խնդիրներն ավելի օգտավետ են, քան կանոնները»— գրել է Նյուտոնը իր «Համընդհանուր թվաբանություն» աշխատության մեջ, և տեսական ցուցումներին նա կցում էր մի շարք օրինակներ։ Այդ վարժությունների թվում գտնում ենք մարգագետնում արածող կովերի մասին եղած խնդիրը, որը և հանդիսանում է հետևյալ խնդրի նման հատուկ տիպի յուրատեսակ խնդիրների նախամայրը։

«Ամբողջ մարգագետնում խոտն աճում է նույն խտությամբ և արագությամբ։ Հայտնի է, որ [math]70[/math] կովը այն կարածեին [math]24[/math] օրում, իսկ [math]30[/math] կովը՝ [math]60[/math] օրում։ Քանի՞ կով կարող էին արածել մարգագետնի ամբողջ խոտը [math]96[/math] օրում»։

Այս խնդիրը հումորիստական պատմվածքի համար սյուժետ դարձավ՝ հիշեցնելով չեխովյան „Penemumop”-ը։ Մի դպրոցականի հանձնարարել էին լուծելու այդ խնդիրը։ Նրա երկու չափահաս ազգականները ապարդյուն կերպով աշխատում էին նրա վրա և տարակուսում.

— Ստացվում է ինչ-որ տարօրինակ բան։— ասում է լուծողներից մեկը,— եթե 24 օրում 70 կովը արածում են մարգագետնի ամբողջ խոտը, ապա քանի՞ կով այն կարող է արածել 96 օրում։ Իհարկե, [math]70[/math]-ի ¼-ը, այսինքն՝ [math]17[/math]½ կով... Առաջին անհեթեթություն։ Եվ ահա երկրորդը՝ [math]30[/math] կով արածում են խոտը [math]60[/math] օրում, քանի՞ կով կարող է այն արածել [math]96[/math] օրում։ Ստացվում է ավելի վատ՝ [math]18[/math]¾ կով։ Բացի այդ, եթե [math]70[/math] կովը խոտն արածում է [math]24[/math] օրում, ապա [math]30[/math] կովը այն կարածի [math]56[/math] օրում և ոչ թե [math]60[/math] օրում, ինչպես հաստատում է խնդիրը։

— Իսկ դուք հաշվի առնո՞ւմ եք, որ խոտն ամբողջ ժամանակ աճում է,— հարցնում է մյուսը։

Դիտողությունը խելացի է՝ խոտն անընդհատ աճում է, և եթե այդ հաշվի չառնվի, ապա ոչ միայն չի կարելի լուծել խնդիրը, այլև հենց նրա պայմանը կթվա հակասական։ Իսկ ինչպե՞ս է լուծվում խնդիրը։

Լուծում

Այստեղ ևս մտցնենք օժանդակ անհայտ, այսինքն՝ մարգագետնի խոտի օրվա աճը նրա պահեստի այն հողակտորներում, որ տվյալ օրը կովերը չեն արածում։ Մեկ օրում աճում է [math]y[/math], [math]24[/math] օրում՝ [math]24y[/math]. եթե ընդհանուր պաշարն ընդունենք [math]1[/math], ապա [math]24[/math] օրվա ընթացքում կովերը կարածեն

[math]1+24y[/math]։

Ամբողջ նախիրը ([math]70[/math] կովից) մեկ օրում կարածի

[math]\frac{1+24y}{24}[/math],

իսկ մեկ կովը մեկ օրում՝

[math]\frac{1+24y}{24 \cdot 70}[/math]

Նույն ձևով, քանի որ [math]30[/math] կովը միևնույն մարգագետնի խոտը կարածեր [math]60[/math] օրում, եզրակացնում ենք, որ մեկ կովը մեկ օրում արածում է

[math]\frac{1+60y}{30 \cdot 60}[/math] Բայց մի կովի մեկ օրում կերած խոտի քանակը երկու նախիրների համար հավասար է։ Ուստի՝

[math]\frac{1+24y}{24 \cdot 70} \;=\; \frac{1 + 60y}{30 \cdot 60}[/math],

որտեղից՝

[math]y=\frac{1}{480}[/math]։

Գտնելով [math]y[/math]-ը (խոտի աճի մեծությունը), արդեն հեշտ է որոշել, թե մեկ կովը խոտի նախնական պաշարի ո՛ր մասը կուտի մեկ օրում.

[math]\frac{1+24y}{24 \cdot 70} \;=\; \frac{1+24 \cdot \frac{1}{480}}{24 \cdot 70} \;=\; \frac{1}{1600}[/math]։

Վերջապես, խնդրի վերջնական լուծման համար կազմենք հավասարում. եթե կովերի որոնելի թիվը [math]x[/math] է, ապա

[math]\frac{1+96 \cdot \frac{1}{480}}{96x} \;=\; \frac{1}{1600}[/math],

որտեղից [math]x=20[/math]։

[math]20[/math] կովը ամբողջ խոտը կարածեր [math]96[/math] օրում։

Այժմ դիտարկենք եզների մասին նյուտոնյան խնդիրը, որի ձևով կազմված է ստորև դիտարկվող խնդիրը։

Խնդիրը, ի միջի այլոց, հորինված չէ հենց Նյուտոնի կողմից. այն ժողովրդի մաթեմատիկական ստեղծագործության արդյունքն է։

«Երեք մարգագետիններ, որոնք ծածկված են միատեսակ խտություն և աճման արագություն ունեցող խոտով, ունեն [math]3^1/_3 \; հա[/math], [math]10 հա[/math] և [math]24 հա[/math] մակերեսներ։ Առաջինում կերակրվում է [math]12[/math] եզ [math]4[/math] շաբաթվա ընթացքում. երկրորդում՝ [math]21[/math] եզ [math]9[/math] շաբաթվա ընթացքում։ Քանի՞ եզ կարող է կերակրել երրորդ մարգագետինը [math]18[/math] շաբաթվա ընթացքում»։

Լուծում

Մտցնենք օժանդակ անհայտ՝ [math]y[/math], որը նշանակում է, թե խոտի նախնական պաշարի ո՞ր մասն է աճում [math]1 \; հա[/math]-ի վրա մեկ շաբաթվա ընթացքում։ Առաջին մարգագետնի վրա մեկ շաբաթվա ընթացքում աճում է նրա վրա եղած խոտի նախնական ամբողջ պաշարի [math]3^1/_3y[/math], իսկ [math]4[/math] շաբաթվա ընթացքում` [math]3^1/_3 \cdot 4 \;=\; \frac{40}{3}y[/math] մասը։ Սա համարժեք է այն բանին, թե իբր մարգագետնի նախնական մակերեսը մեծացվել և հավասարվել է

[math]\left(3\frac{1}{3}+\frac{40}{3}y\right)[/math] հեկտարի։

Այլ խոսքով, եզները կերել են այնքան խոտ, որքան կծածկեր [math]\left(3\frac{1}{3} + \frac{40}{3}y\right)[/math] հեկտար մակերեսով մարգագետինը։ Մեկ շաբաթում [math]12[/math] եզը կուտեր այդ քանակի ¼-ը, իսկ մեկ եզը նույն քանակի, այսինքն՝

[math]\left(3\frac{1}{3}+\frac{40}{3}y\right) : 48 \;=\; \frac{10+40y}{144}[/math]

հեկտար մակերես ունեցող մարգագետնի խոտի պաշարի [math]^1/_{48}[/math]-ը։

Նույն ձևով, երկրորդ մարգագետնի տվյալներից գտնում ենք նրա այն մակերեսը, որ մեկ շաբաթում կերակրում է մեկ եզան։

[math]1 \; հա[/math]-ի	մեկ	շաբաթվա աճը =	[math]y[/math],
[math]1 \; հա[/math]-ի	[math]9[/math]	շաբաթվա աճը =	[math]9y[/math],
[math]10 \; հա[/math]-ի	[math]9[/math]	շաբաթվա աճը =	[math]90y[/math]։

[math]9[/math] շաբաթ [math]21[/math] եզ կերակրելու համար խոտի պաշար ունեցող հողակտորի մակերեսը հավասար է

[math]10+90y[/math]։

Մեկ շաբաթ 1 եզանը կերակրելու համար անհրաժեշտ է

[math]\frac{10+90y}{9 \cdot 21} \;=\; \frac{10+90y}{189}[/math]

հեկտար։

Կերակրման երկու նորմաներն էլ պետք է լինեն հավասար՝

[math]\frac{10+40y}{144} \;=\; \frac{10+90y}{189}[/math]

Լուծելով այդ հավասարումը կգտնենք [math]y=^1/_{12}[/math]։ Այժմ որոշենք մարգագետնի այն մակերեսը, որի խոտի պաշարը բավականացնում է մեկ շաբաթվա ընթացքում մեկ եզ կերակրելու համար.

[math]\frac{10+40y}{144} \;=\; \frac{10+40 \cdot \frac{1}{12}}{144} \;=\; \frac{5}{54}[/math] հեկտար։

Վերջապես մոտենում ենք խնդրի հարցին։ Նշանակելով եզների որոնելի թիվը [math]x[/math]-ով, կունենանք.

[math]\frac{24+24 \cdot 18 \cdot \frac{1}{12}}{18x} \;=\; \frac{5}{54}[/math],

որտեղից [math]x=36[/math]։ Երրորդ մարգագետինը [math]18[/math] շաբաթվա ընթացքում կարող է կերակրել [math]36[/math] եզ։

Խնդիր

Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Էյնշտեյնի կենսագիր և բարեկամ Ա. Մոշկովսկին, մեկ անգամ ցանկանալով զբաղեցնել իր մտերիմին նրա հիվանդության ժամանակ, նրան առաջարկեց հետևյալ խնդիրը (նկ. 9)։

«Վերցնենք սլաքների դիրքը ժամը [math]12[/math]-ին,— ասաց Մոշկովսկին։ Եթե այդ դիրքում մեծ և փոքր սլաքները փոխանակեին տեղերը, այնուամենայնիվ, նրանք ճիշտ ցույց կտային ժամանակը։ Բայց մյուս պահերին, օրինակ՝ ժամը [math]6[/math]-ին, սլաքների փոխադարձ տեղափոխումը կհանգեցներ անհեթեթության, մի դրության, որ կանոնավոր աշխատող ժամացույցների վրա տեղի չի ունենա, րոպե ցույց տվող սլաքը չի կարող կանգնել [math]6[/math]-ի վրա, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը ցույց է տալիս [math]12[/math]-ը։ Հարց է առաջանում՝ ե՞րբ և քանի՞ ժամը մեկ ժամացույցի սլաքները գրավում են այնպիսի դիրք, որ մեկը մյուսով փոխարինելիս տալիս են այնպիսի նոր դիրք, որը նույնպես հնարավոր է ճիշտ աշխատող ժամացույցների համար։

— Այո,— պատասխանեց Էյնշտեյնը, դա միանգամայն հարմար խնդիր է այն մարդու համար, որը որևէ հիվանդությունից հարկադրված՝ մնում է անկողնում. բավականաչափ հետաքրքիր է և շատ էլ հեշտ չէ։ Միայն վախենում եմ, որ զվարճությունը երկար չի տևի, ես արդեն նշմարեցի լուծման ճանապարհը։

Եվ մի փոքր բարձրանալով անկողնում, նա մի քանի գծանշումներով թղթի վրա գծեց խնդրի պայմանը պատկերող սխեման։ Լուծելու համար նրան հարկավոր եղավ ավելի քիչ ժամանակ, քան թե ինձ՝ խնդիրը ձևակերպելու համար...»

Ինչպե՞ս է լուծվում այս խնդիրը։

Լուծում

Շրջանագծի [math]60[/math]-երորդական մասերով կչափենք սլաքների հեռավորությունները թվացույցի շրջանով, այն կետից, որտեղ գրված է [math]12[/math] թվանշանը։

Դիցուք, սլաքների պահանջվող դիրքերից մեկը գիտվում է այն ժամանակ, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը [math]12[/math] թվանշանից հեռացավ [math]x[/math] բաժանումով, իսկ րոպեներինը՝ [math]y[/math] բաժանումով։ Քանի որ ժամ ցույց տվող սլաքը [math]12[/math] ժամվա ընթացքում անցնում է [math]60[/math] բաժանում, այսինքն՝ ժամում [math]5[/math] բաժանում, ապա [math]x[/math], բաժանումը նա կանցնի [math]\frac{x}{5}[/math] ժամում։ Այլ կերպ ասած, այն պահից հետո,երբ ժամացույցը ցույց էր տալիս [math]12[/math]-ը, անցավ [math]\frac{x}{5}[/math] ժամ։ Րոպե ցույց տվող սլաքը [math]y[/math] բաժանումն անցավ [math]y[/math] րոպեում, այսինքն՝ [math]\frac{y}{60}[/math] ժամում։ Այլ կերպ ասած, րոպե ցույց տվող սլաքը [math]12[/math] թվանշանն անցավ [math]\frac{y}{60}[/math] ժամ այն պահից առաջ, կամ [math]\frac{x}{5}-\frac{y}{60}[/math] ժամ այն պահից հետո, երբ երկու սլաքներն էլ գտնվում էին տասներկուսի վրա։ Այս թիվն ամբողջական է (զրոյից մինչև [math]11[/math]), քանի որ նա ցույց է տալիս, թե քանի լրիվ ժամ անցավ տասներկուսից հետո։

Երբ սլաքները տեղերը փոխում են, մենք համանման ձևով գտնում ենք, որ ժամը [math]12[/math]-ից հետո անցած այն ժամանակը, որ ցույց են տալիս սլաքները, կազմում է

[math]\frac{y}{5}-\frac{x}{60}[/math]

լրիվ ժամ։ Այդ թիվը նույնպես ամբողջական է (զրոյից մինչև [math]11[/math])։

Ունենք հավասարումների հետևյալ սիստեմը՝

[math] \begin{cases} \frac{x}{5}-\frac{y}{60} \;=\; m\\ \frac{y}{5}-\frac{x}{60} \;=\; n,\\ \end{cases} [/math]

որտեղ [math]m[/math]-ը և [math]n[/math]-ը ամբողջ թվեր են, որոնք կարող են փոխվել [math]0[/math]-ից մինչև [math]11[/math]։ Այդ սիստեմից գտնում ենք՝

[math] \begin{array}{r} x \;=\; \frac{60(12m+n)}{143}\\ y \;=\; \frac{60(12n+m)}{143}\\ \end{array} [/math]։

[math]m[/math]-ին և [math]n[/math]-ին տալով [math]0[/math]-ից մինչև [math]11[/math] ամբողջ արժեքները, մենք որոշում ենք սլաքների բոլոր պահանջվող դիրքերը։ Քանի որ [math]m[/math]-ի [math]12[/math] արժեքներից յուրաքանչյուրը կարելի է համադրել [math]n[/math]-ի [math]12[/math] արժեքներից յուրաքանչյուրի հետ, ապա թվում է, թե բոլոր լուծումների թիվը հավասար է [math]12 \cdot 12 = 144[/math]։

Բայց իրականում ալն հավասար է [math]143[/math]-ի, որովհետև երբ [math]m=0, \; ո=0[/math] և երբ [math]m=11, \; ո=11[/math] ստացվում է սլաքների միևնույն դիրքը։

[math]m=11, \; ո=11[/math]-ի դեպքում ունենք՝

[math]x=60, \; y=60[/math],

այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս [math]12[/math]-ը այնպես, ինչպես [math]m=0, \; ո=0[/math] դեպքում։

Բոլոր հնարավոր դիրքերը մենք չենք քննարկի, վերցնենք միայն երկու օրինակ։

Առաջին օրինակ.

[math]m=1, \; ո=1[/math].

[math]x \;=\; \frac{60 \cdot 13}{143} \;=;\ 5\frac{1}{5}, \; y \;=\; 5\frac{5}{11}[/math],

այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս [math]1[/math] ժամ [math]5\frac{5}{11}[/math] րոպե. այդ պահին սլաքները համատեղվում են. դրանց տեղերը, իհարկե, կարելի է փոխել (ինչպես և սլաքների մյուս բոլոր համատեղումների դեպքերում)։

Երկրորդ օրինակ.

[math]m=8, \; ո=5[/math]։

[math]x \;=\; \frac{60(5+12 \cdot 8)}{143} \approx 42,38, \; y \;=\; \frac{60(8+12 \cdot 5)}{143} \approx 28,53[/math]։

Համապատասխանող պահերն են` [math]8[/math] ժամ [math]28,53[/math] րոպե և [math]5[/math] ժամ [math]42,38[/math] րոպե։

Լուծումների թիվը մենք գիտենք՝ [math]143[/math]։ Որպեսզի գտնենք թվացույցի ալն բոլոր կետերը, որոնք տալիս են սլաքների պահանջվող դիրքերը, պետք է թվացույցի շրջանագիծը բաժանենք [math]143[/math] հավասար մասի. կստանանք [math]143[/math] կետ, որոնք հանդիսանում են որոնելիներ։ Սլաքների պահանջվող դիրքերը այդ կետերի միջակայքներում հնարավոր չեն։

Խնդիր

Կանոնավոր աշխատող ժամացույցի վրա քանի՞ դիրք կա, երբ ժամ և րոպե ցույց տվող սլաքները համատեղվում են։

Լուծում

Մենք կարող ենք օգտվել այն հավասարումներից, nրոնք ստացվել են նախորդ խնդիրը լուծելիս. չէ՞ որ, եթե ժամ և րոպե ցույց տվող սլաքները համատեղվել են, ապա կարելի է դրանց տեղերը փոխել. դրանից ոչինչ չի փոխվի։ Ընդ որում երկու սլաքներն էլ [math]12[/math] թվանշանից անցել են հավասար թվով բաժանումներ, այսինքն՝ [math]x=y[/math]։ Այսպիսով, նախորդ խնդրի վերաբերյալ արած դատողություններից մենք արտածում ենք հետևյալ հավասարումը.

[math]\frac{x}{5}-\frac{x}{60} \;=\; m[/math],

որտեղ [math]m[/math]-ը ամբողջ թիվ է՝ [math]0[/math]-ից մինչև [math]11[/math]։ Այդ հավասարումից գտնում ենք՝

[math]x \;=\; \frac{60m}{11}[/math]։

[math]m[/math]-ի համար տասներկու հնարավոր արժեքներից ([math]0[/math]-ից մինչև [math]11[/math]) մենք կստանանք սլաքների ոչ թե [math]12[/math], այլ միայն [math]11[/math] տարբեր դիրքեր, քանի որ [math]m=11[/math] դեպքում մենք գտնում ենք [math]x=60[/math], այսինքն՝ երկու սլաքներն էլ անցել են [math]60[/math] բաժանում և գտնվում են թվանշանի վրա, այդ նույնը ստացվում է, երբ [math]m=0[/math]։

Խնդիր

Յոթ խաղացողներ պայմանավորվեցին, որ յուրաքանչյուր տարվող մնացած վեց խաղակիցներից յուրաքանչյուրին վճարի այնքան փող, որքան նա ունի, այլ խոսքով, կրկնապատկի նրա փողը։

Խաղացին [math]7[/math] պարտիա։ Բոլորն էլ տարվեցին՝ յուրաքանչյուրը մեկական անգամ։ Խաղն ավարտվելուց հետո հաշվեցին, թե յուրաքանչյուրը որքան փող ունի։ Պարզվեց, որ յուրաքանչյուրի մոտ կա [math]12[/math] ռուբ. [math]80[/math] կ.։

Յուրաքանչյուրը որքա՞ն փող ուներ խաղի սկզբին։

Լուծում

Չնայած թվացող բարդությանը, խնդիրը լուծվում է բավականին հեշտ, եթե ըմբռնենք, որ խաղի ժամանակ բոլոր խաղացողների մոտ փողի ընդհանուր գումարը եղել է անփոփոխ՝ միայն մեկի գրպանից այն անցել է մյուսը գրպանը։ Այստեղից հետևում է, որ խաղի սկզբին փողի ընդհանուր քանակը եղել է նույնը, ինչ որ վերջում, այսինքն՝ [math]7 \times 12,8[/math] ռուբլի։

Հետևենք, թև առաջին տարվողի փողի քանակն ինչպես էր փոխվում խաղի ընթացքում։

Նրա մոտ խաղի սկզբին կար [math]x[/math] ռուբլի։

Առաջին պարտիայից հետո, տարվելով, նա վեց խաղակիցներին վճարեց այնքան, որքան նրանք բոլորն ունեին, այսինքն՝ [math]7 \times 12,8-x[/math]։ Առաջին պարտիայից հետո նրա մոտ մնաց՝

[math]x-(7 \times 12,8-X) \;=\; 2x-7 \times 12,8[/math]։

Երկրորդ պարտիայից հետո նրա փողը կրկնապատկվեց և, այդպիսով, հավասար եղավ՝

[math]2(2x-7 \times 12,8)[/math]։

Երրորդ պարտիայից հետո նրա փողը նորից կրկնապատկվեց և կազմեց՝

[math]2^2(2x-7 \times 12,8)[/math]։

Չորրորդ պարտիայից հետո նրա մոտ եղավ՝

[math]2^3(2x-7 \times 12,8)[/math]։

Յոթերորդ պարտիայից հետո, ալսինքն՝ խաղի ավարտից հետո, նա ուներ [math]12,8[/math] ռ., հետևաբար՝

[math]2^6(2x-7 \times 12,8) \;=\; 12,8[/math]։

Լուծենք այս հավասարումը՝

[math]64(2x-7 \times 12,8) \;=\; 12,8[/math],

[math]2x-7 \times 12,8 \;=\; 0,2[/math],

[math]2x-7 \times 89,6 \;=\; 0,2, \; x=44,9[/math]։

Այսպիսով, խաղի սկզբին առաջին խաղացողն ուներ [math]44[/math] ռ. [math]90[/math] կ.։ Նույն ձևով որոշենք երկրորդ տարվողի փողը։ Խաղի սկզբին նրա մոտ կար [math]y[/math]։

Առաջին պարտիայից հետո նրա մոտ դարձավ [math]2y[/math]։

Երկրորդ պարտիան նա տարվեց և վճարեց

[math]7 \times 12,82y[/math],

նրա մոտ մնաց

[math]2y-(7 \times 12,8-2y) \;=\; 4y-7 \times 12,8[/math]։

Երրորդ պարտիայից հետո նրա մոտ կար

[math]2(4y-7 \times 12,8)[/math]։

Չորրորդից հետո`

[math]2^2(4y-7 \times 12,8)[/math]։

Յոթերորդից հետո՝

[math]2^5(4y-7 \times 12,8)[/math]։

Կունենանք հետևյալ հավասարումը

[math]2^5(4y-7 \times 12,8) \;=\; 12,8[/math],

որտեղից՝

[math]y=22[/math] ռուբ. [math]50[/math] կ.։

Նման ձևով էլ կգտնենք երրորդ խաղացողի փողը՝ [math]11[/math] ռ. [math]30[/math] կ.։

Առաջարկում ենք ընթերցողին ինքնուրույնաբար որոշելու մնացած խաղացողների փողերը։ Լուծման ստուգումը կլինի այն, որ բոլոր խաղացողների փողերի ընդհանուր գումարը խաղից առաջ և հետո պետք է հավասար լինի։

Խնդիր

Ահա մի խնդիր, որ կարող է միանգամայն անհեթեթ թվալ։

Ինչի՞ է հավասար [math]84[/math]-ը, եթե [math]8 \times 8=54[/math]-ի։

Այս տարօրինակ հարցը իմաստից զուրկ չէ և խնդիրը հնարավոր է լուծել հավասարման միջոցով։

Փորձեցեք վերծանել այն։

Լուծում

Հավանաբար դուք գուշակեցիք, որ խնդրի մեջ մտնող թվերը գրված են ոչ տասնորդական սիստեմով, այլապես «ինչի է հավասար [math]84[/math]-ը» հարցը կլիներ անհեթեթ։ Դիցուք թվարկության անհայտ սիստեմի հիմքը [math]x[/math] է։ Այն ժամանակ «[math]84[/math]» թիվը նշանակում է երկրորդ կարգի [math]8[/math] միավոր և առաջինի՝ [math]4[/math] միավոր, այսինքն՝

„[math]84[/math]” [math] =\; 8x+4[/math]։

„[math]54[/math]” թիվը նշանակում է [math]5x+4[/math]։

Կունենանք [math]8 \times 8 \;=\; 5x+4[/math] հավասարումը, այսինքն՝ տասնորդական սիստեմում.

[math]64=5x+4[/math],

որտեղից [math]x = 12[/math]։ Թվերը գրված են տասներկուական սիստեմով, և „[math]84[/math]” [math] = 8 \times 12+4 = 100[/math]։ Նշանակում է՝ եթե [math]8 \times 8 =[/math] „[math]54[/math]”, ապա „[math]84[/math]” [math] = 100[/math]։

Նման ձևով էլ լուծվում է այդ տիպի այլ խնդիր։

Ինչի՞ է հավասար [math]100[/math]-ը, երբ [math]5 \times 6 = 33[/math]։

Պատասխան՝ [math]81[/math] (թվարկության իննական սիստեմ)։

Եթե դուք կասկածում եք այն բանում, որ հավասարումը որոշ դեպքում մեզանից կանխատես է լինում, լուծեցեք հետևյալ խնդիրը.

Հայրը [math]32[/math] տարեկան է, տղան [math]5[/math] տարեկան։ Քանի՞ տարի հետո հայրը [math]10[/math] անգամ մեծ կլինի տղայից։

Որոնելի ժամանակը նշանակենք [math]x[/math]-ով։ [math]x[/math] տարի հետո հայրը կլինի [math]32+x[/math] տարեկան, տղան՝ [math]5+x[/math]։ Եվ քանի որ հայրը այդ ժամանակ պետք է [math]10[/math] անգամ մեծ լինի տղայից, ապա կունենանք հետևյալ հավասարումը

[math]32+x \;=\; 10(5+x)[/math]։

Լուծելով այն, կստանանք [math]x=-2[/math]։

«Մինուս երկու տարի հետո» նշանակում է՝ «երկու տարի առաջ»։ Երբ մենք կազմեցինք հավասարումը, չմտածեցինք այն մասին, որ հոր տարիքը ապագայում երբեք [math]10[/math] անգամ չի կարող մեծ լինել տղայի տարիքից, այդպիսի հարաբերություն կարող էր տեղի ունենալ միմիայն անցյալում։ Հավասարումն ավելի խորհող հանդիսացավ, քան թե մենք և շտկեց սխալը։

Հավասարումներ լուծելիս մենք երբեմն հանդիպում ենք այնպիսի պատասխանների, որոնք անփորձ մաթեմատիկոսին կարող են փակուղու, մեջ դնել։ Բերենք մի քանի օրինակներ։

I. Գտնել երկանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները։ Տասնավորների թվանշանը միավորների թվանշանից փոքր լինի [math]4[/math]-ով։ Եթե նույն թվանշաններով, բայց հակառակ կարգով գրված թվից հանենք որոնելի թիվը, ապա կստանանք [math]27[/math]։

Նշանակելով տասնավորների թվանշանը [math]x[/math]-ով, իսկ միավորների թվանշանը՝ [math]y[/math]-ով, մենք այդ խնդրի համար հեշտությամբ կկազմենք հետևյալ հավասարումների սիստեմը՝

[math] \begin{cases} x \;=\; y-4,\\ (10y+x)-(10x+y) \;=\; 27։\\ \end{cases} [/math]

Առաջին հավասարումից [math]x[/math]-ի արժեքը տեղադրելով երկրորդի մեջ՝ կգտնենք

[math]10y+y-4-[10(y-4)+y] \;=\; 27[/math],

իսկ ձևափոխությունից հետո՝

[math]36 \;=\; 27[/math]։

Մեզ մոտ չորոշվեցին անհայտների արժեքները, սակայն մենք իմացանք, որ [math]36=27[/math]... Ի՞նչ է սա նշանակում։

Այս նշանակում է՝ որ տրված հավասարումներին բավարարող երկանիշ թվեր գոյություն չունեն և որ այդ հավասարումները հակասում են մեկը մյուսին։ Իսկապես առաջին հավասարման երկու մասերը բազմապատկելով [math]9[/math]-ով, մենք նրանից կգտնենք՝

[math]9y-9x \;=\; 36[/math]։

իսկ երկրորդից (փակագծերը բացելուց և նման անդամների միացումից հետո)՝

[math]9y-9x \;=\; 27[/math]։

Միևնույն մեծությունը՝ [math]9y-9x[/math], համաձայն առաջին հավասարման, հավասար է [math]36[/math]-ի, իսկ համաձայն երկրորդի՝ [math]27[/math]-ի։ Դա անպայման անհնարին է, քանի որ [math]36 \neq 27[/math]։

Նման թյուրիմացություն է սպասում նաև հետևյալ հավասարումների սիստեմը լուծողին՝

[math] \begin{cases} x^2y^2 = 8,\\ xy = 4։\\ \end{cases} [/math]

Առաջին հավասարումը բաժանելով երկրորդի վրա, կստանանք

[math]xy = 2[/math],

իսկ նոր ստացված հավասարումը համեմատելով երկրորդի հետ, նկատում ենք, որ

[math] \begin{cases} xy = 4, \\ xy = 2, \end{cases} [/math]

այսինքն՝ [math]4=2[/math]։ Այդ սիստեմին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։ (Այն հավասարումները, որոնց կազմած սիստեմը լուծումներ չունի, կոչվում են անհամատեղելի)։

II. Այլ տեսքի անսպասելիության կհանդիպենք մենք, եթե մասամբ փոխենք նախորդ խնդրի պայմանը։ Այն է՝ հաշվենք, որ տասնավորների թվանշանը ոչ թե [math]4[/math]-ով, այլ [math]3[/math]-ով է փոքր միավորների թվանշանից, իսկ խնդրի մնացած պայմանը նույնն է։ Ի՞նչ թիվ է դա։

Կազմում ենք հավասարում։ Եթե տասնավորների թվանշանը նշանակենք [math]x[/math]-ով, ապա միավորների թվանշանը կլինի [math]x+3[/math]։ Խնդիրը թարգմանելով հանրահաշվի լեզվով, կստանանք՝

[math]10(x+3)+x-[10x+(x+3)] \;=\; 27[/math]։

Կատարելով պարզումներ, կհանգենք հետևյալ հավասարությանը՝

[math]27=27[/math]։

Այս հավասարությունը անվիճելիորեն ճիշտ է, բայց նա մեզ ոչինչ չի ասի [math]x[/math]-ի արժեքի մասին։ Սա նշանակո՞ւմ է արդյոք, որ խնդրի պահանջին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։

Ընդհակառակն, այդ նշանակում է, որ մեր կազմած հավասարումը նույնություն է, այսքիքն՝ այն ճիշտ է [math]x[/math] անհայտի ցանկացած արժեքի դեպքում։ Իսկապես, հեշտ է համոզվել նրանում, որ խնդրում նշված հատկությունն ունի յուրաքանչյուր երկանիշ թիվ, որի միավորների թվանշանը [math]3[/math]-ով մեծ է տասնավորների թվանշանից.

[math]14+27=41[/math],		[math]47+27=74[/math],
[math]25+27=52[/math],		[math]58+27=85[/math],
[math]36+27=63[/math],		[math]69+27=96[/math]։

III. Գտնել եռանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները՝

1) տասնավորների թվանշանը [math]7[/math] է,

2) հարյուրավորների թվանշանը [math]4[/math]-ով փոքր է միավորների թվանշանից։

3) եթե այդ թվի թվանշանները դասավորենք հակառակ կարգով, ապա նոր թիվը [math]396[/math]-ով մեծ կլինի որոնելիից։

Կազմենք հավասարում, միավորների թվանշանը նշանակելով [math]x[/math]-ով.

[math]100x+70+x-4-[100(x-4)+70+x] \;=\; 396[/math]։

Այս հավասարումը պարզեցնելուց հետո բերվում է հետևյալ հավասարությանը՝

[math]396=396[/math]։

Ընթերցողներն արդեն գիտեն, թե ինչպես պետք է մեկնաբանել նման արդյունքը։ Այն նշանակում է, որ յուրաքանչյուր եռանիշ թիվ, որի առաջին թվանշանը [math]4[/math]-ով փոքր է երրորդից^[10], մեծանում է [math]396[/math]-ով, եթե թվանշանները գրենք հակառակ կարգով։

Մինչև այժմ մենք դիտարկել ենք խնդիրներ, որոնք քիչ թե շատ արհեստական, գրքային բնույթ ունեին։ Դրանք ուղղված էին հավասարումներ կազմելու և լուծելու համար հմտություն ձեռք բերելու նպատակին։ Այժմ տեսականորեն զինված զբաղվենք գործնական խնդիրների մի քանի օրինակներով՝ արտադրության, առօրյա կենցաղի, ռազմական գործի և սպորտի բնագավառներից։

Խնդիր

Կարո՞ղ է արդյոք հանրահաշիվը պետք գալ վարսավիրանոցում։ Պարզվում է, որ այդպիսի դեպքեր պատահում են։ Ես դրանում համոզվեցի, երբ մի անգամ վարսավիրանոցում ինձ մոտեցավ վարպետը անսպասելի խնդրանքով՝

— Չէիք բարեհաճի մեզ օգնել լուծելու մի խնդիր, որից մենք ոչ մի կերպ գլուխ չենք հանում։

— Արդեն դրա պատճառով ինչքա՜ն լուծույթ է փչացել,— ավելացրեց մյուսը։

— Ինչո՞ւմն է խնդիրը,— հարց ու փորձ արի ես։

— Մենք ունենք ջրածնի պերօքսիդի երկու լուծույթ՝ [math]30[/math] տոկոսանոց և [math]3[/math] տոկոսանոց։ Հարկավոր է դրանք խառնել այնպես, որ ստացվի [math]12[/math] տոկոսանոց լուծույթ։ Չենք կարող գտնել ճիշտ հարաբերություն...

Ինձ տվեցին թուղթ, և պահանջված հարաբերությունը գտնվեց։

Պարզվեց, որ այն շատ պարզ է։ Իսկ ի՞նչու։

Լուծում

Խնդիրր կարելի է լուծել նաև թվաբանորեն, բայց այստեղ հանրահաշիվը նպատակին է հասցնում ավելի պարզ և ավելի արագ։ Դիցուք, [math]12[/math] տոկոսանոց խառնուրդ կազմելու համար պահանջվում է վերցնել [math]x[/math] գրամ [math]3[/math] տոկոսանոց և [math]y[/math] գրամ [math]30[/math] տոկոսանոց լուծույթներ։ Այդ ժամանակ առաջին բաժնում պարունակվում է [math]0,03x[/math] գրամ մաքուր ջրածնի պերօքսիդ, երկրորդում՝ [math]0,3y[/math], իսկ ընդամենը՝

[math]0,03x+0,3y[/math]։

Արդյունքում ստացվում է [math](x+y)[/math] գրամ լուծույթ, որի մեջ մաքուր պերօքսիդը պետք է լինի [math]0,12(x+y)[/math]։

Ունենք հետևյալ հավասարումը՝

[math]0,03x+0,3y=0,12(x+y)[/math]։

Այս հավասարումից գտնում ենք [math]x=2y[/math], այսինքն՝ [math]3[/math] տոկոսանոց լուծույթից պետք է վերցնել երկու անգամ ավելի, քան [math]30[/math] տոկոսանոցից։

Գնալով տրամվայի ճանապարհի երկարությամբ, ես նկատեցի, որ յուրաքանչյուր [math]12[/math] րոպեից հետո ինձ հասնում է տրամվայը, իսկ յուրաքանչյուր [math]4[/math] րոպեում ես ինքս եմ դիմավորում տրամվային։ Թե՛ ես, թե՛ տրամվայները շարժվում ենք հավասարաչափ։ Յուրաքանչյուր քանի՞ րոպեն մեկ տրամվայները մեկը մյուսի ետևից հեռանում են իրենց վերջին կետից։

Լուծում

Եթե վագոններն իրենց վերջին կետից հեռանում են յուրաքանչյուր [math]x[/math] րոպեն մեկ, ապա այդ նշանակում է, որ այն տեղով, որտեղ ես հանդիպել եմ տրամվայներից մեկին, յուրաքանչյուր [math]x[/math] րոպեն մեկ անցում է հաջորդ տրամվայը։ Եթե նա հասնում է իմ հետևից, ապա մնացած [math]12-x[/math] րոպեում նա պետք է անցնի այն ճանապարհը, որ ես կարողանում եմ անցնել [math]12[/math] րոպեում։ Նշանակում է, այն ճանապարհը, որը ես անցնում եմ [math]1[/math] րոպեում, տրամվայը կանցնի [math]\frac{12-x}{12}[/math] րոպեում։

Մինչդեռ, եթե տրամվայը գալիս է ինձ ընդառաջ, ապա նա ինձ կհանդիպի նախորդից [math]4[/math] րոպե հետո, իսկ մնացած [math](x-4)[/math] րոպեում նա կանցնի այն ճանապարհը, որ ես կարողացա անցնել այդ [math]4[/math] րոպեում։ Հետևաբար, այն Ճանապարհը, որ ես անցնում եմ [math]1[/math] րոպեում, տրամվայը կանցներ [math]\frac{x-4}{4}[/math] րոպեում։

Կստանանք հետնյալ հավասարումը՝

[math]\frac{12-x}{12} \;=\; \frac{x-4}{4}[/math]։

Այստեղից [math]x=6[/math]։ Վագոնները հեռանում են յուրաքանչյուր [math]6[/math] րոպեն մեկ։

Կարելի է նաև առաջարկել խնդրի հետևյալ (ըստ էության թվաբանորեն) լուծումը։ Մեկը մյուսին հաջորդող երկու տրամվայների միջև եղած հեռավորությունը նշանակենք [math]a[/math]-ով։ Այդ ժամանակ իմ և ինձ ընդառաջ շարժվող տրամվայի միջև եղած հեռավորությունը փոքրանում է րոպեում [math]\frac{a}{4}[/math]-ով (քանի որ հենց նոր անցնող տրամվայի և հաջորդի միջև եղած հեռավորությունը, որը հավասար է [math]a[/math]-ի, մենք միասին անցնում ենք [math]4[/math] րոպեում)։ Իսկ եթե տրամվայը հասնում է ինձ, ապա մեր միջև եղած հեռավորությունը ամեն րոպե փոքրանում է [math]\frac{a}{12}[/math]-ով։ Այժմ ենթադրենք, որ ես մի րոպե տևողությամբ շարժվեցի առաջ, իսկ այնուհետև շրջվեցի և գնացի էլի մի րոպե (այսինքն՝ վերադարձա նախկին տեղը)։ Այդ ժամանակ իմ և տրամվայի միջև որը սկզբում շարժվում էր ինձ ընդառաջ) եղած հեռավորությունը առաջին րոպեից հետո կփոքրանա [math]a / 4[/math]-ով, իսկ երկրորդ րոպեում (երբ այդ տրամվայը արդեն հասել էր ինձ) կփոքրանա [math]a / 12[/math]-ով։ Ընդամենը [math]2[/math] րոպեում մեր միջև եղած հեռավորությունը կփոքրանա [math]\frac{a}{4} + \frac{a}{12} \;=\; \frac{a}{3}[/math]-ով։ Նույնը տեղի կունենար, եթե ես ամբողջ ժամանակ կանգնած մնայի տեղում, քանի որ վերջին հաշվով ես վերադարձա ետ։ Այսպիսով, եթե ես շարժվեի, ապա մեկ րոպեում (և ոչ թե երկու) տրամվայը կմոտենար ինձ [math]\frac{a}{3} \;:\; 2 \;=\; \frac{a}{6}[/math]-ով, իսկ ամբողջ [math]a[/math] հեռավորությունը նա կանցներ [math]6[/math] րոպեում։ Այդ նշանակում է, որ անշարժ կանգնած դիտողի մոտով տրամվայներն անցնում են [math]6[/math] րոպե ընդմիջումներով։

Խնդիր

[math]A[/math] քաղաքից դեպի [math]B[/math] քաղաքը շոգենավը գետի հոսանքով առանց կանգառումների անցավ [math]5[/math] ժամում։ Մինչդեռ հոսանքին հակառակ նա անցավ (շարժվելով սեփական նույն արագությամբ և առանց կանգառումների) [math]7[/math] ժամում։ Քանի՞ ժամում կանցնեն լաստանավերը [math]A[/math]-ից [math]B[/math] (լաստանավերը շարժվում են գետի հոսանքի արագությամբ)։

Լուծում

Այն ժամանակը, որը պետք է շոգենավին [math]A[/math]-ից մինչև [math]B[/math] հեռավորությունը կանգնած ջրում այսինքն՝ սեփական արագությամբ շարժվելիս, նշանակենք [math]x[/math]-ով, իսկ լաստանավերի շարժման ժամանակը՝ [math]y[/math]-ով։ Այդ ժամանակ շոգենավը մեկ ժամում կանցնի [math]AB[/math] հեռավորության [math]\frac{1}{x}[/math]-ը, իսկ լաստանավերը (հոսանքը)՝ այդ հեռավորության [math]\frac{1}{y}[/math]-ը։ Ուստի՝ հոսանքի ուղղությամբ շոգենավը մեկ ժամում կանցնի [math]AB[/math] հեռավորության [math]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/math]-ը, իսկ հոսանքին հակառակ՝ [math]\frac{1}{x}-\frac{1}{y}[/math]-ը։ Բայց խնդրի պայմանից մենք գիտենք, որ հոսանքի ուղղությամբ շոգենավը մեկ ժամում անցնում է հեռավորության [math]\frac{1}{5}[/math]-ը, իսկ հոսանքին հակառակ՝ [math]\frac{1}{7}[/math]-ը։ Կստանանք հետևյալ սիստեմը՝

[math] \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \;=\; \frac{1}{5}, \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \;=\; \frac{1}{7}։ \end{cases} [/math]

Նկատենք, որ այս սիստեմի լուծման համար պետք չէ

ազատվել հայտարարներից, պետք է պարզապես առաջին հավասարումից հանել երկրորդը։ Արդյունքում մենք կստանանք՝

[math]\frac{2}{y} \;=\; \frac{2}{35}[/math],

որտեղից՝ [math]y=35[/math]։ Լաստանավերը [math]A[/math]-ից [math]B[/math] կգնան [math]35[/math] ժամում։

Խնդիր

Սուրճով լփված երկու թիթեղատուփեր ունեն միատեսակ ձև և պատրաստված են միևնույն թիթեղից։ Առաջինը կշռում է [math]2 կգ[/math] և ունի [math]12 սմ[/math] բարձրություն. երկրորդը կշռում է [math]1 կգ[/math] և ունի [math]9,5 սմ[/math] բարձրություն։

Որքա՞ն է սուրճի մաքուր կշիռը թիթեղատուփերում։

Լուծում

Մեծ թիթեղատուփի պարունակության կշիռը նշանակենք [math]x[/math]-ով, փոքրինը՝ [math]y[/math]-ով։ Թիթեղատուփերի կշիռը համապատասխանորեն նշանակենք [math]z[/math]-ով և [math]t[/math]-ով։ Կունենանք հետևյալ հավասարումները՝

[math] \begin{cases} x + z \;=\; 2, \\ y + t \;=\; 1։ \end{cases} [/math]

Քանի որ լիքը թիթեղատուփերի պարունակության կշիռները հարաբերում են, ինչպես դրանց ծավալները, այսինքն՝ ինչպես դրանց բարձրությունների^[11] խորանարդները, ապա

[math]\frac{x}{y} \;=\; \frac{12^3}{9,5^3} \approx 2,02[/math] կամ [math]x=2,02y[/math]։

Իսկ դատարկ թիթեղատուփերի կշիռները հարաբերում են, ինչպես դրանց լրիվ մակերևույթները, այսինքն՝ ինչպես դրանց բարձրությունների քառակուսիները։ Ուստի՝

[math]\frac{z}{t} \;=\; \frac{12^2}{9,5^2} \approx 1,60[/math] կամ [math]z=1,60t[/math]։

[math]x[/math] և [math]z[/math]-ի արժեքները տեղադրելով առաջին հավասարման մեջ՝ կստանանք հետևյալ սեստեմը՝

[math] \begin{cases} 2,02y+1,60t \;=\; 2, \\ y+t \;=\; 1։ \end{cases} [/math]

Լուծելով այն՝ գտնում ենք.

[math]y \;=\; 20.21 \;=\; 0,95, \; t=0,05[/math]։

Եվ հետևաբար՝

[math]x=1,92, \; z=0,08[/math]։

Առանց տարայի սուրճի կշիռը մեծ թիթեղատուփի մեջ [math]1,92[/math] կգ է, փոքրում՝ [math]0,95 կգ[/math]^[12]։

Երեկույթին կային [math]20[/math] պարողներ։ Մարիան պարում էր յոթ պարողների հետ, Օլգան՝ ութի հետ, Վերան՝ իննի հետ և այդպես շարունակ մինչև Նինան, որը պարում էր բոլոր պարողների հետ։ Քանի՞ պարողներ (տղամարդ) կային երեկույթին։

Լուծում

Խնդիրր լուծվում է շատ պարզ, եթե անհայտը ընտրենք հաջողությամբ։ Կորոնենք ոչ թե պարողների թիվը, այլ պարողուհիների, որը կնշանակենք [math]x[/math]-ով։

I-ը,	Մարիան	պարում էր	[math]6+1[/math]	պարողների	հետ,
II-ը,	Օլգան	»	[math]6+2[/math]	»	»
III-ը,	Վերան	»	[math]6+3[/math]	»	»
...............................................................................
x-ը,	Նինան	»	[math]6+x[/math]	»	»

Կունենանք հավասարումը՝

[math]x + (6+x)=20[/math],

որտեղից

[math]x=7[/math],

և, հետևաբար, պարող տղամարդկանց թիվը կլինի՝

[math]20-7=13[/math]։

Խնդիր առաջին

Հետախույզին (հետախույզ նավին), որը շարժվում է նավախմբի հետ, տրված է առաջադրանք՝ նավախմբի շարժման ուղղությամբ հետազոտել ծովի շրջանը [math]70[/math] մղոնի վրա։ Նավախմբի արագությունը ժամում [math]15[/math] մղոն է, հետախույզի արագությունը ժամում [math]28[/math] մղոն։ Պահանջվում է որոշել որքա՞ն ժամանակից հետո հետախույզը կվերադառնա նավախումբը։

Լուծում

Ժամերի որոնելի թիվը նշանակենք [math]x[/math]-ով։ Այդ ժամանակամիջոցում նավախումբը կարող է անցնել [math]15x[/math] մղոն, իսկ հետախուզող նավը՝ [math]28x[/math]։ Հետախույզն անցավ [math]70[/math] մղոն առաջ և դեպի ետ դարձավ այդ ճանապարհի մի մասը, իսկ նավախումբը անցավ այդ ճանապարհի մնացած մասը։ Նրանք միասին անցան [math]28x+15x[/math] ճանապարհ, որը հավասար է [math]2.70[/math] մղոն։ Ունենք հետևյալ հավասարումը՝

[math]28x+15x=140[/math],

Հետախույզը նավախումբ է վերադառնում մոտավորապես [math]3[/math] ժամ [math]13[/math] րոպե հետո։

Խնդիր երկրորդ

Հետախույզը հրաման ստացավ հետախուզումը կատարել նավախմբի առջևից՝ նրա շարժման ուղղությամբ։ [math]3[/math] ժամ հետո այդ նավը պետք է վերադառնա նավախումբ։ Նավախումբը թողնելուց որքա՞ն ժամանակ անց հետախուզական նավը պետք է ետ դառնա, եթե նրա արագությունը [math]25[/math] հանգույց է, իսկ նավախմբի արագությանը՝ [math]15[/math] հանգույց։

Լուծում

Դիցուք հետախույզը պետք է ետ դառնա [math]x[/math] ժամ հետո. նշանակում է, նավախմբից նա հեռանում էր [math]x[/math] ժամ, իսկ գալիս է նրան ընդառաջ [math]3-x[/math] ժամ։ Քանի դեռ բոլոր նավերը գնում են մեկ ուղղությամբ, հետախույզը [math]x[/math] ժամում նավախմբից կհեռանա նրանց անցած ճանապարհների տարբերության չափով, այսինքն՝

[math]25x-15x \;=\; 10x[/math]։

Վերադարձին, մինչև նավախմբին հանդիպելը, հետախույզն անցավ [math]25(3-x)[/math] ճանապարհ, իսկ նավախումբը՝ [math]15(3-x)[/math]։ Մեկը և մյուսը միասին անցան [math]10x[/math]։ Հետևաբար՝

[math]25(3-x)+15(3-x)=10x[/math],

որտեղից՝

[math]x=2\frac{2}{5}[/math]։ Հետախույզը պետք է ետ դառնա նավախումբը թողնելուց [math]2[/math] ժամ [math]24[/math] րոպե հետո։

Խնդիր

Վելոդրոմի շրջանաձև ճանապարհով գնում են երկու հեծանվորդներ անփոփոխ արագությամբ։ Երբ նրանք գնում են հակադիր ուղղություններով, ապա հանդիպում են յուրաքանչյուր [math]10[/math] վայրկյանը մեկ, իսկ երթ գնում են մի ուղղությամբ, ապա մեկը մյուսին հասնում է յուրաքանչյուր [math]170[/math] վայրկյանից հետո։ Որքա՞ն է յուրաքանչյուր հեծանվորդի արագությունը, եթե շրջանաձև ճանապարհի երկարությանը [math]170 մ[/math] է։

Լուծում

Եթե առաջին հեծանվորդի արագությունը [math]x[/math] է, ապա [math]10[/math] վայրկյանում նա անցնում է [math]10x[/math] մետր, իսկ երկրորդը, շարժվելով նրան ընդառաջ, հանդիպումից մինչև մյուս հանդիպումն անցնում է շրջանի մնացած մասը, այսինքն՝ [math]170-10x[/math] մետր։ Եթե երկրորդի արագությունը [math]y[/math] է, ապա դա կազմում է [math]10y[/math] մետր. այսպիսով,

[math]170-10x=10y[/math]։

Իսկ եթե հեծանվորդները գնում են միևնույն ուղղությամբ, ապա [math]170[/math] վայրկյանում առաջինը անցնում է [math]170x[/math] մետր, իսկ երկրորդը՝ [math]170y[/math] մետր։ Եթե առաջինը երկրորդից արագ է գնում, ապա մի հանդիպումից մինչև մյուսը նա անցնում է երկրորդից մի շրջանով ավելի, այսինքն՝

[math]170x-170y \;=\; 170[/math]։

Այդ հավասարումները պարզեցնելուց հետո կստանանք՝

[math]x+y=17, \; x-y=1[/math],

որտեղից՝

[math]x=9, \; y=8[/math] (մետր վայրկյանում)։

Խնդիր

Մոտոցիկլետային մրցումների դեպքում միաժամանակ ստարտ վերցնող երեք մեքենաներից մեկը, կատարելով ժամում առաջինից [math]13 \; կմ[/math]-ով պակաս և երրորդից [math]3 \; կմ[/math]-ով ավել վազք, հասավ վերջին վայրը առաջինից [math]12[/math] րոպեով ավելի ուշ և երրորդից [math]3[/math] րոպեով շուտ։ Ճանապարհին կանգառումներ չեն եղել։

Պահանջվում է որոշել՝

ա) ի՞նչ մեծություն ունի ճանապարհի հատվածը.

բ) ի՞նչ մեծություն ունի յուրաքանչյուր մեքենայի արագությունը.

գ) որքա՞ն է յուրաքանչյուր մեքենայի վազքի տևողությունը։

Լուծում

Թեև պահանջվում է որոշել յոթ անհայտ մեծություններ, բայց խնդիրը լուծելիս մենք կբավարարվենք միայն երկուսով. կազմենք երկու անհայտով երկու հավասարումների սիստեմ։

Երկրորդ մեքենայի արագությունը նշանակենք [math]x[/math]-ով։ Այն ժամանակ առաջինի արագությունը կարտահայտվի [math]x+15[/math]-ով, իսկ երրորդինը [math]x-3[/math]-ով։

Ճանապարհի հատվածի երկարությունը նշանակենք [math]y[/math] տառով։ Այդ դեպքում վազքի տևողությունը կլինի՝

առաջին	մեքենայի	համար	. . .	[math]\frac{y}{x +15}[/math],
երկրորդ	»	»	. . .	[math]\frac{y}{x}[/math],
երրորդ	»	»	. . .	[math]\frac{y}{x-3}[/math]։

Մեն գիտենք, որ երկրորդ մեքենան ճանապարհին եղել է առաջինից [math]12[/math] րոպեով (այսինքն՝ [math]\frac{1}{5}[/math] ժամով) ավելի։ Ուստի՝

[math]\frac{y}{x}-\frac{y}{x+15} \;=\; \frac{1}{5}[/math]։

Երրորդ մեքենան ճանապարհին եղել է երկրորդից [math]3[/math] րոպեով (այսինքն, [math]\frac{1}{20}[/math] ժամով) ավելի։ Հետևաբար՝

[math]\frac{y}{x-3} - \frac{y}{x} \;=\; \frac{1}{20}[/math]։

Այդ հավասարումներից երկրորդը բազմապատկենք [math]4[/math]-ով և հանենք աոաջինից՝

[math]\frac{y}{x} - \frac{y}{x+15} - 4\left(\frac{3}{x-3} - \frac{y}{x}\right) \;=\; 0[/math]։

Այս հավասարման բոլոր անդամները բաժանենք [math]y[/math]-ի վրա (այդ մեծությունը, ինչպես մենք գիտենք, զրոյի հավասար չէ) և դրանից հետո ազատվենք հայտարարներից։ Մենք կստանանք՝

[math](x+15)(x-3) - x(x-3) - 4x(x+15)+4(x+15)(x-3) \;=\; 0[/math]

կամ փակագծերը բացելուց և նման անդամների միացումից հետո՝

[math]3x-225=0[/math],

որտեղից՝

[math]x=75[/math]։

Գիտենալով [math]x[/math]-ը, առաջին հավասարումից գտնում ենք [math]y[/math]-ը՝

[math]\frac{y}{75}-\frac{y}{90} \;=\; \frac{1}{5}[/math],

որտեղից՝

[math]y=90[/math]։

Այսպիսով, մեքենաների արագությունները որոշված են՝ ժամում [math]90, \; 75[/math] և [math]72[/math] կիլոմետր։

Ամբողջ ճանապարհի երկարությունը [math]=90 կմ[/math]։

Ճանապարհի երկարությունը բաժանելով յուրաքանչյուր մեքենայի արագության վրա, գտնում ենք վազքերի տևողությունը՝

առաջին մեքենայինը . . . [math]1[/math] ժամ։

երկրորդ մեքենայինը . . . [math]1[/math] ժամ [math]12[/math] րոպե։

երրորդ մեքենայինը . . . [math]1[/math] ժամ [math]15[/math] րոպե։

Այսպիսով, բոլոր յոթ անհայտները որոշված են։

Խնդիր

Ավտոմեքենան երկու քաղաքների միջև եղած հեռավորությունն անցավ [math]60 կմ/ժամ[/math] արագությամբ և վերադարձավ [math]40 կմ/ժամ[/math] արագությամբ։ Որքա՞ն է եղել նրա ընթացքի միջին արագությունը։

Լուծում

Խնդրի խաբուսիկ պարզությունը շատերին մոլորության մեջ է գցում։ Խորամուխ չլինելով հարցի պայմանի մեջ, հաշվում են [math]60[/math]-ի և [math]40[/math]-ի միջին թվաբանականը, այսինքն՝ գտնում են հետևյալ կիսագումարը՝

[math]\frac{60+40}{2} \;=\; 50[/math]։

Այդ «պարզ» լուծումը ճիշտ կլիներ, եթե ընթացքը երկու ուղղությամբ էլ հավասար ժամանակ տևեր։ Բայց պարզ է, որ ետ վերադառնալը (փոքր արագությամբ) պետք է խլեր ավելի շատ ժամանակ, քան այնտեղ գնալը։ Նկատի ունենալով այս, մենք գտնում ենք, որ պատասխանը՝ [math]50[/math]-ը ճիշտ չէ։

Եվ իրոք, հավասարումը տալիս է այլ պատասխան։ Հավասարում կազմելը դժվար չէ, եթե մտցնենք օժանդակ անհայտ [math]l[/math] մեծությունը՝ քաղաքների միջև հղած հեռավորությունը։ Նշանակելով որոնելի միջին արագությունը [math]x[/math]-ով, կազմում ենք հավասարում՝

[math]\frac{2l}{x} \;=\; \frac{l}{60}+\frac{l}{40}[/math]։

Քանի որ [math]l[/math]-ը զրոյի հավասար չէ, կարող ենք հավասարումը բաժանել [math]l[/math]-ի վրա. կստանանք՝

[math]\frac{2}{x} \;=\; \frac{1}{60}+\frac{1}{40}[/math],

որտեղից՝

[math]x \;=\; \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} \;=\; 48[/math]։

Այսպիսով, ճիշտ պատասխանը ոչ թե [math]50 կմ/ժամ[/math] է, այլ՝ [math]48[/math]։

Իսկ եթե մենք այդ խնդիրը լուծեինք տառային նշանակումներով (ավտոմեքենան գնում էր [math]a կմ/ժամ[/math] արագությամբ և ետ էր վերադառնում [math]b կմ/ժամ[/math] արագությամբ), ապա կստացվեր հետևյալ հավասարումը՝

[math]\frac{2l}{x} \;=\; \frac{l}{a}+\frac{l}{b}[/math],

որտեղից [math]x[/math]-ի համար կստանանք հետևյալ արժեքը՝

[math]\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}[/math]։

Այդ մեծությունը [math]a[/math] և [math]b[/math] մեծությունների համար կոչվում է միջին հարմոնիկ։

Այսպիսով, ընթացքի միջին արագությանը շարժման արագությունների համար արտահայտվում է ոչ թե միջին թվաբանականով, այլ միջին հարմոնիկով։ [math]a[/math] և [math]b[/math] դրական թվերի համար միջին հարմոնիկը միշտ փոքր է դրանք միջին թվաբանականից՝

[math]\frac{a+b}{2}[/math]-ից,

որը և մենք նկատեցինք թվային օրինակի վրա ([math]48[/math]-ը փոքր է [math]50[/math]-ից)։

Հետաքրքրաշարժ հանրահաշվի» պլանում հավասարումների մասին եղած զրույցը չի կարող հաշվիչ մեքենաներով հավասարումների լուծման կողքով անցնել։ Մենք արդեն խոսել ենք այն մասին, որ հաշվիչ մեքենաները կարող են շախմատ (կամ շաշկի) «խաղալ»։ Մաթեմատիկական մեքենաները կարող են կատարել և այլ առաջադրանքներ, օրինակ, մի լեզվից մյուսին թարգմանելը, երաժշտական մելոդիաները նվագախմբի համար պատրաստելը և այլն։ Հարկավոր է միայն մշակել համապատասխան «ծրագիր», որով մեքենան գործելու է։

Իհարկե, մենք այստեղ չենք դիտարկի «ծրագրեր» մշակելու հարցը շախմատ խաղալու կամ մի լեզվից մյուսին թարգմանելու համար։ Այդ «ծրագրերը» ծայրահեղ բարդ են։ Մենք կվերլուծենք միայն երկու շատ հասարակ «ծրագրեր»։ Սակայն, սկզբում հարկավոր է մի քանի խոսք ասել հաշվիչ մեքենայի կառուցվածքի մասին։

Վերևում (գլ. I) մենք խոսել ենք այն հարմարանքների մասին, որոնք թույլատրում են վայրկյանում հազարավոր և տասը հազարավոր հաշվումներ կատարել։ Մեքենալի այն մասը, որը ծառայում է գործողությունները անմիջականորեն կատարելու համար (մեծ մասամբ թվարկության երկուական սիստեմով), կոչվում է արիֆմոմետր։ Բացի այդ, մեքենան կազմված է կառավարող հարմարանքից (որ կարգավորում է ամբողջ մեքենայի աշխատանքը) և այսպես կոչված հիշողությունից։ Հիշողությունը կամ, այլ կերպ, հիշող հարմարանքն իրենից ներկայացնում է թվերի և պայմանական ազդանշանների համար պահեստարան։ Վերջապես, մեքենան ունի հատուկ հարմարանքներ նիշավոր նոր տվյալներ մտցնելու և պատրաստի արդյունքներ ստանալու համար։ Այդ պատրաստի արդյունքները մեքենան տպում է (արդեն տասնորդական սիստեմով) հատուկ քարտերի վրա։

Բոլորին լավ հայտնի է, որ ձայնը կարելի է գրի առնել սկավառակի կամ ժապավենի վրա և այնուհետև վերարտադրել։ Բայց ձայնի գրառումը սկավառակի վրա հնարավոր է կատարել միայն մեկ անգամ. նոր գրանցման համար արդեն հարկավոր է նոր սկավառակ։ Փոքր ինչ այլ կերպ է իրականացվում մագնիտաֆոնով ձայնագրումը, որը տեղի է ունենում հատուկ ժապավենի մագնիսացման միջոցով։ Գրված ձայնը կարելի է վերարտադրել ուզածին չափ, իսկ եթե գրառումը հարկավոր չէ, ապա կարելի է ժապավենը «ապամագնիսացնել» և նրա վրա կատարել նոր գրանցում։ Միևնույն ժապավենի վրա կարելի է կատարել հաջորդաբար մի քանի գրանցումներ, ընդ որում յուրաքանչյուր նոր գրանցման դեպքում նախորդը «ջնջվում է»։

Նման սկզբունքի վրա էլ հիմնված է հիշող հարմարանքների գործողությունը։ Թվերը և պայմանական ազդանշանները գրանցվում են (էլեկտրական, մագնիսական կամ մեխանիկական ազդանշանների միջոցով) հատուկ թմբկագլանի, ժապավենի կամ այլ հարմարանքի վրա։ Անհրաժեշտ պահին գրված թիվը հնարավոր է «կարդալ», իսկ եթե այն այլևս հարկավոր չէ, ապա կարելի է ջնջել և նրա տեղը դրել նոր թիվ։ Թվերի կամ պայմանական ազդանշանների «հիշելը» և «կարդալը» ընդամենը տևում է վայրկյանի միլիոներորդ մասը։

«Հիշողությունը» կարող է պարունակել մի քանի հազար բջիջներ, յուրաքանչյուր բջիջ մի քանի տասնյակ էլեմենտներ, օրինակ՝ մագնիսական։ Թվերը երկուական սիստեմով գրելու համար պայմանավորվում ենք հաշվել, որ յուրաքանչյուր մագնիսացված էլեմենտ պատկերում է [math]1[/math] թվանշանը, իսկ չմագնիսացվածը՝ [math]0[/math] թվանշանը։ Դիցուք, հիշողության յուրաքանչյուր բջիջը պարունակում է [math]25[/math] էլեմենտ (կամ, ինչպես ասում են, [math]25[/math] «երկուական կարգեր»), ընդ որում բջիջի առանձին էլեմենտը ծառայում է թվի նշանը (+ կամ -) նշանակելու համար, հաջորդ [math]14[/math] կարգերը ծառայում են թվի ամբողջ մասը գրելու համար, իսկ վերջին [math]10[/math] կարգերը՝ կոտորակային մասը գրելու համար։ 11-րդ նկարում սխեմատիկորեն պատկերված են հիշողության երկու բջիջներ՝ յուրաքանչյուրը [math]25[/math] կարգով։ Մագնիսացված էլեմենտները նշանակված են + նշանով, չմագնիսացվածները՝ - նշանով։ Պատկերված բջիջներից դիտարկենք վերևինը (ստորակետը ցույց է տալիս, թե որտեղ է սկսվում թվի կոտորակային մասը, իսկ կետագիծը մնացածներից անջատում է առաջին կարգը, որը ծառայում է նշանը գրելու համար)։ Նրա մեջ գրված է (թվարկության երկուական սիստեմով) [math]+1011,01[/math] թիվը կամ մեզ համար սովորական թվարկության տասնորդական սիստեմով՝ [math]11,25[/math] թիվը։

Բացի թվերից, հիշողության բշիջներում գրվում են հրամաններ, որոնցից կազմված է ծրագիրը։ Դիտարկենք, թե ինչպիսի տեսք կունենան հրամանները այսպես կոչված երեքհասցեանի մեքենայի համար։ Այդ դեպքում հրամանը գրելիս հիշողության բջիջը բաժանվում է 4 մասի (կետագծերը ներքևի բջիջի վրա, նկ. 11)։ Առաջին մասը ծառայում է օպերացիան նշանակելու համար, ընդ որում օպերացիաները գրվում են թվերով (համարներով)։ Օրինակ,

գումարում	—	օպերացիա	I	,
հանում	—	օպերացիա	II	,
բազմապատկում	—	օպերացիա	III	և այլն։

Հրամանները վերծանում են այսպես՝ բջիջի առաջին մասը օպերացիայի համարն է, երկրորդ և երրորդ մասերի բջիջների համարները (հասցեները), որոնցից պետք է վերցնել այդ օպերացիան կատարելու համար թվեր, չորրորդ մասը բջիջի համարն է (հասցեն), որտեղ պետք է ուղարկել ստացված արդյունքը։ Օրինակ, 11-րդ նկարի վրա ներքևի տողում) գրված են երկուական սիստեմով [math]11, \; 11, \; 111, \; 1011[/math] կամ տասնորդական սիստեմով՝ [math]3, \; 3, \; 7, \; 11[/math] թվերը, որ նշանակում է հետևյալ հրամանը՝ կատարել III օպերացիան (այսինքն բազմապատկում) այն թվերի հետ, որոնք գտնվում են հիշողության երրորդ և յոթերորդ բջիջներում, իսկ ստացված արդյունքը «հիշել» (այսինքն՝ գրել) տասնմեկերորդ բջիջում։

Հետագայում մենք թվերը և հրւսմանները կգրենք ոչ թե պայմանական նշաններով, ինչպես 11-րդ նկարում է, այլ ուղղակի թվարկության տասնորդական սիստեմով։ Օրինակ, 11-րդ նկարի ներքևի տողում պատկերված հրամանը գրվում է այսպես՝

բազմապատկում

3

7

11։

Այժմ դիտարկենք ծրագրերի երկու հասարակ օրինակներ։

Տեսնենք թե ինչպես կաշխատի մեքենան, որի առաջին հինգ բջիջներում գրված են այդ տվյալները։

1-ին հրաման՝ գումարել 4-րդ և 5-րդ բջիջներում գրված թվերը և արդյունքը նորից ուղարկել 4-րդ բջիջը (վաղօրոք այնտեղ գրվածի փոխարեն)։ Այսպիսով, մեքենան 4-րդ բջիջում գրում է [math]0+1=1[/math] թիվը։ Առաջին հրամանը կատարելուց հետո 4-րդ և 5-րդ բջիջներում կլինեն հետևյալ թվերը՝

4)	1
5)	1։

2-րդ հրամանը. չորրորդ բջիջում եղած թիվը բազմապատկել իրենով (այսինքն՝ այն բարձրացնել քառակուսի) և արդյունքը, այսինքն՝ [math]1^2[/math], գրել քարտի վրա (սլաքը ցույց է տալիս պատրաստի արդյունքը)։

3-րդ հրաման՝ կառավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին։ Այլ կերպ ասած, կ. փ. հրամանը նշանակում է, որ պետք է նորից կատարել բոլոր հրամանները ըստ կարգի, սկսած 1-ից։ Այսպիսով, նորից 1-ին հրաման։

1-ին հրաման. 4-րդ և 5-րդ բջիջներում եղած թվերը գումարել և արդյունքը նորից գրել 4-րդ բջիջում։ 4-րդ բջիջում արդյունքը կլինի [math]1+1=2[/math] թիվը

4)	2
5)	1։

2-րդ հրաման. 4-րդ բջիջում եղած թիվը բարձրացնել քառակուսի և ստացված արդյունքը, այսինքն [math]2^2[/math], գրել քարտի վրա (սլաքը ցույց է տալիս արդյունքը)։

3-րդ հրաման. կատավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին (այսինքն՝ դարձյալ անցում առաջին հրամանին)։

1-ին հրաման. [math]2+1=3[/math] թիվը ուղարկել 4-րդ բջիջին.

4)	3
5)	1։

2-րդ հրաման. քարտի վրա գրել [math]3^2[/math] թիվը։

3-րդ հրաման. կառավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին և այլն։

Մենք տեսնում ենք, որ մեքենան մեկը մյուսի հետևից հաշվում է ամբողջ թվերի քառակուսիները և դրանք գրում է քարտի վրա։ Նկատեցեք, որ յուրաքանչյուր անգամ ձեռքով նոր թիվ հավաքելը պետք չէ, մեքենան ինքը իրար հետևից ընտրում է ամբողջ թվեր և դրանց բարձրացնում քառակուսի։ Գործելով այդ ծրագրով՝ մեքենան հաշվում է [math]1[/math]-ից մինչև [math]10\;000[/math]-ը եղած բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները մի քանի տասնյակ վայրկյանի ընթացքում։

Պետք է նշել, որ իրականում ամբողջ թվերի քառակուսիները հաշվելու համար ծրագիրը մասամբ ավելի բարդ կլինի, քան այն, որ բերված է վերևում։ Դա ամենից առաջ վերաբերում է 2-րդ հրամանին։ Բանն այն է, որ քարտի վրա պատրաստի արդյունքի գրելը պահանջում է ավելի շատ ժամանակ, քան մեքենայով մեկ օպերացիայի կատարելը։ Ուստի, սկզբից պատրաստի արդյունքները «հիշվում են» «հիշողության» ազատ բջիջներում, իսկ դրանից հետո «առանց շտապելու» արտադրվում են քարտի վրա։ Այսպիսով, առաջին վերջնական արդյունքը պետք է «հիշվի» «հիշողության» 1-ին ազատ բջիջում, երկրորդ արդյունքը՝ 2-րդ ազատ բջիջում, երրորդը՝ 3-րդում և այլն։ Վերը բերված պարզեցված ծրագրում դա ոչ մի կերպ հաշվի չէր առնված։

Բացի այդ, մեքենան չի կարող երկար ժամանակ զբաղվել քառակուսիների հաշվումներով, քանի որ «հիշողության» րջիջները չեն բավարարում, իսկ մենք չենք կարող «գուշակել», թե մեքենան արդեն հաշվե՞լ է մեզ անհրաժեշտ քառակուսիների թիվը, որպեսզի այդ պահին անջատենք այն. (չէ՞ որ մեքենան վայրկյանում կատարում է հազարավոր օպերացիաներ)։ Դրա համար էլ նախատեսված են հատուկ հրամաններ՝ պահանջված պահին մեքենաները կանգնեցնելու համար։ Օրինակ, ծրագիրը կարելի է կազմել այնպես, որ մեքենան հաշվի 1-ից մինչև 10000 բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները և դրանից հետո ավտոմատորեն անջատվի։

Կան և հրամանների ուրիշ, ավելի բարդ տեսակները, որոնց մենք այստեղ չենք անդրադառնա պարզության համար։

Ահա թե ինչ տեսք կունենա [math]1[/math]-ից մինչն [math]10\;000[/math]-ը բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները հաշվելու ծրագիրը (ավելի լրիվ տեսքով)։

Ծրագիր 1ա
1)	գումարում	8	9	8
2)	բազմապատկում	8	8	10
3)	գումարում	2	6	2
4)	կ. պ. փ. (կառավարման պայմանական փոխանցում)	8	7	1
5)	կանգնիր
6)		0	0	1
7)	10000
8)	0
9)	1
10)	0
11)	0
12)	0
..................................

Առաջին երկու հրամանները քիչ են տարբերվում այն հրամաններից, որոնք կային նախորդ պարզեցված ծրագրում։ Այդ երկու հրամանների կատարումից հետո 8-րդ, 9-րդ և 10-րդ բջիջներում կլինեն հետևյալ թվերը՝

8)	1
9)	1
10)	[math]1^2[/math]

Երրորդ հրամանը շատ հետաքրքիր է. պետք է գումարել այն, ինչ կա 2-րդ և 6-րդ բջիջներում, և արդյունքները նորից գրել 2-րդ բջիջում, որից հետո 2-րդ բջիջը կունենա հետևյալ տեսքը՝

2)

բազմապատկում

8

11

Ինչպես տեսնում եք, երրորդ հրամանը կատարելուց հետո փոխվում է երկրորդ հրամանը, ավելի ճիշտ՝ փոխվում է 2-րդ հրամանի հասցեներից մեկը։ Ստորև մենք կպարզաբանենք, թե ինչի համար է դա արվում։

Չորրորդ հրաման. կառավարման պայմանական փոխանցումը (ծրագրում վաղօրոք դիտարկված 3-րդ հրամանի փոխարեն)։ Այդ հրամանը կատարվում է այսպես. եթե 8-րդ բջիջում եղած թիվը փոքր է 7-րդ բջիջում եղած թվից, ապա կառավարումն հաղորդվում է 1-ին բջիջին. հակառակ դեպքում կատարվում է հաջորդ (այսինքն՝ 5-րդ) հրամանը։ Մեր դեպքում իրոք [math]1\lt10000[/math], այնպես որ տեղի կունենա կառավարման փոխանցում 1-ին բջիջին։ Այսպիսով, նորից 1-ին հրամանը։

1-ին հրամանը կատարելուց հետո, 8-րդ բջիջում կլինի 2 թիվը.

Երկրորդ հրամանը, որն այժմ ունի հետևյալ տեսքը՝

2)

բազմապատկում

8

11

կայանում է նրանում, որ [math]2^2[/math] թիվը ուղարկվում է 11-րդ բջիջին։ Այժմ պարզ է, թե ինչու ավելի շուտ կատարվեց 3-րդ հրամանը նոր թիվը, այսինքն [math]2^2[/math], պետք է ընկնի ոչ թե 10-րդ բջիջում, որն արդեն զբաղված է, այլ հաջորդում։ 1-ին և 2-րդ հրամանները կատարվելուց հետո մենք կունենանք հետևյալ թվերը

8)	2
9)	1
10)	[math]1^2[/math]
11)	[math]2^2[/math]

3-րդ հրամանը կատարվելուց հետո 2-րդ բջիջը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

2)

բազմապատկում

8

12։

Քանի որ 8-րդ բջիջում դեռևս փոքր թիվ է գտնվում, քան 9-րդ բջիջում, ապա 4-րդ հրամանը նշանակում է կրկին կառավարման փոխանցում 1-ին բջիջին։

Այժմ 1-ին և 2-րդ հրամանները կատարվելուց հետո կստանանք՝

8)	3
9)	1
10)	[math]1^2[/math]
11)	[math]2^2[/math]
12)	[math]3^2[/math]

Մինչև ե՞րբ մեքենան այդ ծրագրով կհաշվի քառակուսիները։ Այնքան ժամանակ, մինչև որ 6-րդ բջիջում չի հայտնվել [math]10\;000[/math] թիվը, այսինքն՝ քանի դեռ [math]1[/math]-ից մինչև [math]10\;000[/math] թվերի քառակուսիները չեն հաշվարկվել։ Դրանից հետո 4-րդ հրամանը կառավարումն արդեն չի փոխանցի 1-ին բջիջին (քանի որ 8-րդ բջիջում եղած թիվը ոչ թե փոքր է, այլ հավասար է այն թվին, որը գտնում է 7-րդ բջիջում), այսինքն՝ 4-րդ հրամանից հետո մեքենան կատարում է 5-րդ հրամանը՝ կանգնում է(անջատվում է)։

Այժմ դիտարկենք ավելի բարդ ծրագրի օրինակ՝ հավասարումների սիստեմների լուծումը։ Այդ դեպքում մենք կդիտարկենք պարզեցված ծրագիրը։ Ցանկության դեպքում ընթերցողն ինքը կմտածի այն մասին, թե ինչպես կարտահայտվի այդպիսի ծրագիրը ավելի լրիվ տեսքով։

Դիցու֊ք տրված է հավասարումների հետևյալ սիստեմը՝

[math] \begin{cases} ax+by=c, \\ dx+ey=f։ \end{cases} [/math]

Այս սիստեմը դժվար չէ լուծել.

[math]x \;=\; \frac{ce-bf}{ae-bd},\; y \;=\; \frac{af-cd}{ae-bd}[/math]։

Այդպիսի սիստեմներ լուծելու համար (a, b, c, d, e, f գործակիցների տրված թվային արժեքներով) հավանաբար, ձեզ անհրաժեշտ է մի քանի տասնյակ վայրկյան։ Իսկ մեքենան կարող է լուծել վայրկյանում հարյուրավոր այդպիսի սիստեմներ։

Դիտարկենք համապատասխան ծրագիրը։ Ասենք թե միանգամից տրված են մի քանի սիստեմներ՝

a, b, c, d, e, f, a՛, b՛,... գործակիցների թվային արժեքներով։

Ահա համապատասխան ծրագիրը՝

Ծրագիր 2
1)	[math]\times[/math]	28	30	20	14)	[math]+[/math]	3	19	3	27)	b
2)	[math]\times[/math]	27	31	21	15)	[math]+[/math]	4	19	4	28)	c
3)	[math]\times[/math]	26	30	22	16)	[math]+[/math]	5	19	5	29)	d
4)	[math]\times[/math]	27	29	23	17)	[math]+[/math]	6	19	6	30)	e
5)	[math]\times[/math]	26	31	24	18)	կ. փ.			1	31)	f
6)	[math]\times[/math]	28	29	25	19)		6	6	0	32)	a՛
7)	[math]-[/math]	20	21	20	20)	0				33)	b՛
8)	[math]-[/math]	22	23	21	21)	0				34)	c՛
9)	[math]-[/math]	24	25	22	22)	0				35)	d՛
10)	[math]:[/math]	20	21	[math]\to[/math]	23)	0				36)	e՛
11)	[math]:[/math]	22	21	[math]\to[/math]	24)	0				37)	f՛
12)	[math]+[/math]	1	19	1	25)	0				38)	a՛՛
13)	[math]+[/math]	2	19	2	26)	a				.....

1-ին հրաման. կազմել 28-րդ և 30-րդ բջիջներում գտնվող թվերի արտադրյալը և արդյունքն ուղարկել 20-րդ բջիջին։ Այլ կերպ աաած, 20-րդ բջիջում կգրվի [math]ce[/math] թիվը։

Համանման ձևով կատարվում են 2-րդից 6-րդ հրամանները։ Դրանց անջատումից հետո 20-րդից մինչև 25-րդ բջիջներում կգտնվեն հետևյալ թվերը՝

20)	[math]ce[/math]
21)	[math]bf[/math]
22)	[math]ae[/math]
23)	[math]bd[/math]
24)	[math]af[/math]
25)	[math]cd[/math]

7-րդ հրաման. 20-րդ բջիջում գտնվող թվերից հանել 21-րդ բջիջում գտնվող թիվը և արդյունքը (այսինքն՝ [math](ce-bf)[/math] նորից գրել 20-րդ բջիջում։

Համանման ձևով կատարվում են 8-րդ և 9-րդ հրամանները։ 20-րդ, 21-րդ, 22-րդ բջիջներում կառաջանան հետևյալ թվերը

20)	[math]ce-bf[/math]
21)	[math]ae-bd[/math]
22)	[math]af-cd[/math]

10-րդ և 11-րդ հրամաններ. կազմվում են

[math]\frac{cp-bf}{ae-bd} \text{ և } \frac{af-cd}{ae-bd}[/math]

քանորդները և գրվում քարտի վրա (այսինքն՝ տրվում են՝ ինչպես պատրաստի արդյունքներ)։ Դա հենց հավասարումների առաջին սիստեմից ստացված անհայտների արժեքներն են։

Այսպիսով, առաջին սիստեմը լուծված է։ Ինչի՞ համար են հետագա հրամանները։ Ծրագրի հետագա մասը (12-րդից մինչև 19-րդ բջիջները) նշանակված է նրա համար, որպեսզի մեքենային ստիպեն «անցնելու» հավասարումների երկրորդ սիստեմին։ Տեսնենք, թե ինչպես է կատարվում այդ։

10-րդից մինչև 11-րդ հրամանները կայանում են նրանում, որ 1-ից 6-րդ բջիջների պարունակությանն ավելանում է այն գրանցումը, որն ունի 19-րդ բջիջը, իսկ արդյունքում նորից մնում են 1-ից 6-րդ բջիջները։ Այս ձևով 17-րդ հրամանը կատարելուց հետո առաջին վեց բջիջները կունենան հետևյալ տեսքը՝

18-րդ հրաման. կառավարման փոխանցումը առաջին բջիջին։

Առաջին վեց բջիջներում ինչո՞վ են տարբերվում նոր գրանցումները նախկին գրանցումներից։ Նրանով, որ այդ բջիջներում առաջին երկու հասցեներն ունեն ոչ թե 26-ից մինչև 31^[13] համարները,ինչպես առաջ, այլ 32-ից մինչև 37 համարները։ Այլ կերպ ասած, մեքենան կրկին կկատարի նույն գործողությունները, բայց թվերը կվերցնի ոչ թե 20-րդ, 31-րդ բջիջներից, այլ 32-րդ, 37-րդ բջիջներից, որտեղ գտնվում են հավասարումների երկրորդ սիստեմի գործակիցները։ Այսպիսով, մեքենան լուծում է հավասարումների երկրորդ, սիստեմը։ Երկրորդ սիստեմը լուծելուց հետո մեքենան անցնում է երրորդին և այլն։

Ասածից պարզ է դառնում, թե ինչքան կարևոր է ճիշտ «ծրագիր» կազմել կարողանալը։ Չէ՞ որ մեքենան «ինքը» ոչինչ անել չի «կարող»։ Նա կարող է կատարել միայն իրեն առաջադրված ծրագիրը։ Կան ծրագրեր, արմատներ, լոգարիթմներ, սինուսներ հաշվելու, բարձր աստիճանի հավասարումներ լուծելու համար և այլն։ Մենք արդեն վերևում խոսել ենք այն մասին, որ գոյություն ունեն ծրագրեր շախմատի խաղի, օտար լեզուներից թարգմանություն կատարելու համար,...։ Իհարկե, որքան բարդ է առաջադրանքը, այնքան էլ բարդ է նրան համապատասխանող ծրագիրը։

Վերջում նշենք, որ գոյություն ունեն այսպես կոչված ծրագրող ծրագրեր, այսինքն այնպիսիներ, որոնց օգնությամբ մեքենան ինքը կարող է կազմել խնդրի լուծման համար պահանջվող ծրագիրը։

Այդ զգալիորեն թեթևացնում է ծրագրի կազմելը, որը հաճախ շատ աշխատատար է լինում։

↑ Գրքում վրիպակ է՝ 4036։— Մ.։
↑ Այդ մասին մանրամասն տե՛ս իմ գրքում՝ „Занимательная механика”, գլուխ 9։
↑ Տե՛ս իմ գիրքը „Живая математика”, գլ. 7։
↑ Գոյություն ունեն շախմատային «տակտիկայի» և այլ տեսակներ։ Այսպես, օրինակ, հաշվումներում կարելի է դիտարկել հակառակորդի ոչ բոլոր հնարավոր պատասխան խաղաքայլերր, այլ միայն «ուժեղ» խաղաքայլերր (շախը, վերցնելը, հարձակումը, պաշտպանությունը և այլն)։ Այնուհետև, հակառակորդի հատուկ ուժեղ խաղաքայլերի դեպքում կարելի է անել հաշվումներ ոչ թե երեք, այլ վաղօրոք ավելի թվով խաղաքայլեր։ Կարելի է նույնպես օգտագործել ֆիգուրների արժեքի այլ սանդղակ։ Նայած այս կամ այն տակտիկայի ընտրության, փոխվում է մեքենայի «խաղի ոճը»։
↑ Շախմատային խաղի լավագույն վարպետների պարտիաներում հանդիպում են կոմբինացիաներ, որոնք հաշվարկված են 10 և ավելի խաղաքայլ առաջ։
↑ Գրքում վրիպակ է՝ [math]a^2\;\gt\;11a[/math]։— Մ.։
↑ Գրքում վրիպակ է՝ [math](=\;2^{10\cdot2}\cdot2^2\approx10\cdot4)[/math]։— Մ.։
↑ Գրքում վրիպակ է՝ [math]2^{2^{22}}\approx2^{4000000}\;\gt\;20^{1200000}[/math]։— Մ.։
↑ Գրքում վրիպակ է՝ [math]x=6[/math]։— Մ.։
↑ Տասնավորների թվանշանը դեր չի խաղա։
↑ Այդ համեմատությունից թույլատրելի է օգտվել միայն այն դեպքում, երբ թիթեդատուփերի պատերը չափազանց հաստ չեն (քանի որ թիթհղատուփերի արտաքին և ներքին մակերևույթները, խիստ ասած, նման չեն և, բացի այդ, բանկայի ներքին խոռոչի բարձրությունը, խիստ ասած, տարբերվում է բանկայի բարձրությունից։
↑ Գրքում վրիպակ է՝ [math]0,94 կգ[/math]։— Մ.։
↑ Գրքում վրիպակ է՝ 11։— Մ.։

[1] Գրքում վրիպակ է՝ 4036։— Մ.։

[2] Այդ մասին մանրամասն տե՛ս իմ գրքում՝ „Занимательная механика”, գլուխ 9։

[3] Տե՛ս իմ գիրքը „Живая математика”, գլ. 7։

[4] Գոյություն ունեն շախմատային «տակտիկայի» և այլ տեսակներ։ Այսպես, օրինակ, հաշվումներում կարելի է դիտարկել հակառակորդի ոչ բոլոր հնարավոր պատասխան խաղաքայլերր, այլ միայն «ուժեղ» խաղաքայլերր (շախը, վերցնելը, հարձակումը, պաշտպանությունը և այլն)։ Այնուհետև, հակառակորդի հատուկ ուժեղ խաղաքայլերի դեպքում կարելի է անել հաշվումներ ոչ թե երեք, այլ վաղօրոք ավելի թվով խաղաքայլեր։ Կարելի է նույնպես օգտագործել ֆիգուրների արժեքի այլ սանդղակ։ Նայած այս կամ այն տակտիկայի ընտրության, փոխվում է մեքենայի «խաղի ոճը»։

[5] Շախմատային խաղի լավագույն վարպետների պարտիաներում հանդիպում են կոմբինացիաներ, որոնք հաշվարկված են 10 և ավելի խաղաքայլ առաջ։

[6] Գրքում վրիպակ է՝ [math]a^2\;\gt\;11a[/math]։— Մ.։

[7] Գրքում վրիպակ է՝ [math](=\;2^{10\cdot2}\cdot2^2\approx10\cdot4)[/math]։— Մ.։

[8] Գրքում վրիպակ է՝ [math]2^{2^{22}}\approx2^{4000000}\;\gt\;20^{1200000}[/math]։— Մ.։

[9] Գրքում վրիպակ է՝ [math]x=6[/math]։— Մ.։

[10] Տասնավորների թվանշանը դեր չի խաղա։

[11] Այդ համեմատությունից թույլատրելի է օգտվել միայն այն դեպքում, երբ թիթեդատուփերի պատերը չափազանց հաստ չեն (քանի որ թիթհղատուփերի արտաքին և ներքին մակերևույթները, խիստ ասած, նման չեն և, բացի այդ, բանկայի ներքին խոռոչի բարձրությունը, խիստ ասած, տարբերվում է բանկայի բարձրությունից։

[12] Գրքում վրիպակ է՝ [math]0,94 կգ[/math]։— Մ.։

[13] Գրքում վրիպակ է՝ 11։— Մ.։

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

@@ Տող 630. / Տող 630. @@
 Այսպիսով, այդ թվի թվանշանների քանակը միլիոնից ավելի է։
+==ԳԼՈՒԽ ԵՐԿՐՈՐԴ։ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ԼԵԶՈՒՆ==
+===ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԿԱԶՄԵԼՈՒ ԱՐՎԵՍՏԸ===
+Հանրահաշվի լեզուն հավասարումներն են։ «Թվերին կամ մեծությունների վերացական հարաբերություններին վերաբերող հարցը լուծելու համար։ Հարկավոր է միայն մայրենի լեզվից այն թարգմանել հանրահաշվական լեզվի»— գրել է մեծ Նյուտոնը հանրահաշվի իր դասագրքում, որը կոչվում է «Համընդհանուր թվաբանություն»։ Թե ինչպես է կատարվում այդպիսի թարգմանությունը մայրենի լեզվից հանրահաշվական լեզվի, Նյուտոնը ցույց է ավել օրինակներով։ Ահա դրանցից մեկը.
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Մայրենի լեզվով</TD>
+        <TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Հանրահաշվի լեզվով</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Վաճառականը ուներ մի որոշ գումար։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>x</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Առաջին տարում նա ծախսեց <math>100</math> ֆունտ։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>x-100</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Մնացած գումարին նա ավելացրեց նրա երրորդ մասը։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>(x-100)+\frac{x-100}{3}\;=\;\frac{4x-400}{3}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Հաջորդ տարում նա նորից ծախսեց <math>100</math> ֆունտ</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{4x-400}{3}-100 \;=\; \frac{4x-700}{3}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>և մնացած գումարը մեծացրեց նրա երրորդ մասով։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{4x—700}{3} + \frac{4x—700}{9} \;=\; \frac{16x-2800}{9}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Երրորդ տաքում նա դարձյալ ծախսեց <math>100</math> ֆունտ։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{16x-2800}{9}-100 \;=\; \frac{16x-3700}{9}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Դրանից հետո, երբ նա մնացորդին ավելացրեց դրա երրորդ մասը,</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{16x-3700}{9} + \frac{16x- 3700}{27} \;=\; \frac{64x-14800}{27}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>նրա դրամագլուխը դարձավ սկզբնականից երկու անգամ ավելի։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{64x-14800}{27} \;=\; 2x</math></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Վաճառականի սկզբնական դրամագլուխը որոշելու համար մնում է միայն լուծել վերքին հավասարումը։
+Հավասարումների կազմելն ըստ խնդրի տվյալների ավելի դժվար է, քան դրանց լուծումը։ Դուք այժմ նկատեցիք, որ հավասարումներ կազմելու արվեստը իրոք հանգում է «մայրենի լեզվից հանրահաշվականի» հմտորեն թարգմանելուն։ Բայց հանրահաշվի լեզուն խիստ սակավաբառ է. դրա համար էլ մայրենի լեզվից հանրահաշվականի թարգմանելը այնքան էլ դյուրին գործ չէ։ Ըստ դժվարությունների թարգմանությունները լինում են տարբեր, դրանում կհամոզվի ընթերցողը առաջին աստիճանի հավասարումներ կազմելու վերաբերյալ բերված հետագա մի շարք օրինակներից։
+===ԴԻՈՖԱՆՏԻ ԿՅԱՆՔԸ===
+'''''Խնդիր'''''
+Պատմությունը հնադարյան նշանավոր մաթեմատիկոս Դիոֆանտի կենսագրության վերաբերյալ մեզ քիչ բան է թողել։ Այն բոլորը, ինչ հայտնի է նրա մասին, վերցված է նրա գերեզմանաքարի վրայի արձանագրությունից, արձանագրություն, որը կազմված է մաթեմատիկական խնդրի տեսքով։ Բերենք այդ արձանագրությունը՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Մայրենի լեզվով</TD>
+        <TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Հանրահաշվի լեզվով</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Ճանապարհո՛րդ։ Այստեղ հանգչում է Դիոֆանտը, և թվերը կպատմեն քեզ, թե որքան է տևել նրա կյանքը։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>x</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Նրա կյանքի վեցերորդ մասը կազմել է սքանչելի մանկությունը։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{x}{6}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Էլի կյանքի տասներկուերորդ մասն անցավ և դեմքը ծածկվեց աղվամազով։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{x}{12}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Ամուսնությունից հետո կյանքի յոթերորդ մասն անզավակ ապրեց Դիոֆանտը։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{x}{7}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Անցավ հինգ տարի և բախտավորվեց նա՝ ունենալով արու զավակ,</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>5</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>որին ճակատագիրը հոր սքանչելի ու պայծառ կյանքի միայն կեսը պարգևեց։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{x}{2}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Եվ խոր թախծի մեջ ծերուկը մահ ընդունեց, ապրելով միայն չորս տարի այն պահից ի վեր, երբ զրկվեց որդուց։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>x \;=\; \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD colspan=2 align=center style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Ասա՛, քանի՞ տարեկան հասակում մահացավ Դիոֆանտը։</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Լուծում
+Լուծելով հավասարումը և գտնելով, որ <math>x=84</math>, իմանում ենք Դիոֆանտի կենսագրության հետևյալ գծերը. նա ամուսնացավ <math>21</math> տարեկան հասակում, դարձավ հայր <math>38</math>-րդ տարում, որդուն կորցրեց <math>80</math>-րդ տարում և մեռավ <math>84</math> տարեկան հասակում։
+===ՁԻՆ ԵՎ ՋՈՐԻՆ===
+'''''Խնդիր'''''
+Ահա դարձյալ հինավուրց ոչ բարդ խնդիր, որը հեշտությամբ մայրենի լեզվից թարգմանվում է հանրահաշվական լեզվի։
+«Ձին և ջորին գնում էին կողք-կողքի՝ ծանր բեռով բեռնված։ Ձին դժգոհեց իր անչափ ծանր բեռան համար։ Ինչո՚՞ւ ես դու դժգոհում,— պատասխանեց նրան ջորին, չէ՞ որ եթե ես վերցնեմ քեզանից մեկ պարկ, իմ բեռը երկու անգամ ծանր կդառնա քոնից։ Իսկ եթե դու իմ մեջքից վերցնես մի պարկ, քո բեռը կդառնա իմին հավասար»։
+Ասացե՛ք, իմաստուն մաթեմատիկոսներ, քանի՞ պարկ էր կրում ձին և քանի՞սը՝ ջորին։
+'''''Լուծում'''''
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Եթե ես քեզանից վերցնեմ մի պարկ,</TD>
+        <TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>x-1</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>իմ բեռը</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>y+1</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>երկու անգամ ծանր կդառնա քոնից։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>y+1 \;=\; 2(x-1)</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Իսկ եթե դու իմ բեռից վերցնես մի պարկ,</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>y-1</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>քո բեռը</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>x+l</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>իմին հավասար կդառնա։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>y-1\; =\; x+1</math></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Մենր խնդիրը բերեցինք երկու անհայտով հավասարումների սիստեմի.
+<math>
+\begin{cases}
+    y+1=2(x-1)\\
+    y-1=x+1\\
+\end{cases}</math>
+կամ
+<math>
+\begin{cases}
+x-y=3\\
+    y-x=2\\
+\end{cases}</math>
+Լուծելով այն, գտնում ենք <math>x=5,\;y=7</math>։ Ձին կրում էր <math>5</math> պարկ, շորին՝ <math>7</math>։
+===ՉՈՐՍ ԵՂԲԱՅՐՆԵՐ===
+'''''Խնդիր'''
+Չորս եղբայրներ ունեին <math>43</math> ռուբլի։ Եթե առաջինի փողը ավելացնենք <math>2</math> ռուբլով, երկրորդի փողը պակասեցնենք <math>2</math> ռուբլով, երրորդի փողն ավելացնենք երկու անգամ, իսկ չորրորդի փողը պակասեցնենք երկու անգամ, ապա բոլորն էլ կունենան հավասարապես։ Որքա՞ն փող ուներ յուրաքանչյուրը։
+'''''Լուծում'''''
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Չորս հղբայրներ ունեին <math>45</math> ռուրլի,</TD>
+        <TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>x+y+z+t \;=\; 45</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Եթե առաջինի փողը ավելացնենք <math>2</math> ռուբլով,</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>x+2</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>երկրորդի փողը պակասեցնենք <math>2</math> ռուբլով,</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>y-2</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>երրորդի փողը ավելացնենք երկու անգամ,</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>2z</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>չորրորդի փողը պակասեցնենք երկու անցամ,</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>\frac{t}{2}</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>ապա բոլորն էլ կունենան հավասարապես։</TD>
+        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>x+2 \;=\; y-2 \;=\; 2z \;=\; \frac{t}{2}</math></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Վերջին հավասարումը մասնատենք երեք մասերի՝
+<math>x+2 \;=\; y-2</math>,
+<math>x+2 \;=\; 2z</math>,
+<math>x+2 \;=\; \frac{t}{2}</math>,
+որտեղից՝
+<math>y \;=\; x+4</math>,
+<math>z \;=\; \frac{x+2}{2}</math>,
+<math>t \;=\; 2x+4</math>։
+Այս արժեքները տեղադրելով առաջին հավասարման մեջ, կստանանք՝
+<math>x + x+4 + \frac{x+2}{2} + 2x+4 \;=\; 45</math>,
+որտեղից <math>x=8</math>։ Այնուհետև կգտնենք՝ <math>y=12,\; z=5,\; t=20</math>։ Այսպիսով, եղբայրներն ունեին՝ 8 ռ., 12 ռ., 5ռ., 20 ռ.։
+===ԹՌՉՈՒՆՆԵՐԸ ԳԵՏԻ ՄՈՏ===
+'''''Խնդիր'''''
+-րդ դարի արաբական մի մաթեմատիկոսի մոտ գտնում ենք հետևյալ խնդիրը։
+Գետի երկու ափերին աճում են երկու արմավենիներ՝ մեկը մյուսի դիմաց։ Մեկի բարձրությունը <math>30</math> կանգուն է, մյուսինը՝ <math>20</math>։ Դրանց հիմքերի միջև եղած հեռավորությունը <math>50</math> կանգուն է։ Յուրաքանչյուր արմավենու կատարին նստած է մի թռչուն։ Երկու թռչունն էլ հանկարծ նկատեցին մի ձուկ, որը արմավենիների միջև ջրի մեջ լողում էր դեպի մակերևույթը։ Նրանք դեպի ձուկը նետվեցին միանգամից և նրան հասան միաժամանակ (նկ. 4)։
+Բարձր արմավենու հիմքից ի՞նչ հեռավորության վրա երևաց ձուկը։
+'''''Լուծում'''''
+Սխեմատիկ գծագրից ելնելով (նկ. 5), օգտվելով Պյութագորի թեորեմայից, գտնում ենք՝
+<math>\overline{AB}^2=30^2+x^2, \; \; \overline{AC}^2=20^2+(50-x)^2</math>
+Բայց AB=AC, քանի որ երկու թռչունն էլ այդ հեռավորությունները թռչել են միևնույն ժամանակում։ Ուստի՝
+<math>30^2+x^2=20^2+(50-x)^2</math>։
+Բացելով փակագծերը և կատարելով պարզեցումները՝ կստանանք առաջին աստիճանի հավասարում.
+<math>100x=2000</math>,
+որտեղից
+<math>x=20</math>։
+Ձուկը երևաց <math>20</math> կանգուն հեռու այն արմավենուց, որի բարձրությունը <math>30</math> կանգուն է։
+===ԶԲՈՍԱՆՔ===
+'''''Խնդիր'''''
+— Անցեք ինձ մոտ վաղը ցերեկով։— ասաց ծեր բժիշկն իր ծանոթին։
+— Շնորհակալություն։ Ես դուրս կգամ ժամը երեքին։ Գուցե դուք ևս ցանկանաք զբոսնել, այդ դեպքում դուրս եկեք նույն ժամին, կհանդիպենք կիսաճանապարհին։
+— Դուք մոռանում եք, որ ես ծեր եմ, ընդամենը ժամnւմ քայլում եմ միայն <math>3 \; կմ</math>, իսկ դուք՝ երիտասարդ, ամենադանդաղ քայլելու դեպքում անցնում եք ժամում <math>4 \; կմ</math>։ Հանցանք չէր լինի ինձ մի փոքր արտոնություն տալ։
+— Արդարացի է։ Քանի որ ես ձեզանից ժամում <math>1 \; կմ</math>-ով ավելի եմ անցնում, ապա հավասարության համար այդ կիլոմետրը կտամ ձեզ, այսինքն՝ դուրս կգամ քառորդ ժամ առաջ։ Բավակա՞ն է։
+— Ձեր կողմից դա մեծ սիրալիրություն է,— շտապեց համաձայնվել ծերունին։
+Երիտասարդն այդպես էլ կատարեց. տնից դուրս եկավ երեքին քառորդ պակաս և անցավ ժամում <math>4 \; կմ</math> արագությամբ։ Իսկ բժիշկը դուրս եկավ ուղիղ երեքին՝ ժամում անցնելով <math>3 \; կմ</math>։ Երբ նրանք հանդիպեցին, ծերունին ետ դարձավ և երիտասարդ բարեկամի հետ միասին ուղղվեց դեպի տուն։
+Միայն տուն վերադառնալիս, երիտասարդը կշռադատեց, որ մի քառորդ ժամ արտոնության պատճառով, նա ընդհանրապես անցավ ոչ թե երկու, այլ չորս անգամ ավելի, քան բժիշկը։
+Ի՞նչ հեռավորության վրա էր բժշկի տունը իր երիտասարդ ծանոթի տնից։
+'''''Լուծում'''''
+Տների միջև եղած հեռավորությունը նշանակենք <math>x</math>-ով։
+Երիտասարդն ընդամենը անցավ <math>2x</math>, իսկ բժիշկը չորս անգամ պակաս, այսինքն՝ <math>\frac{x}{2}</math>։ Մինչև հանդիպելը բժիշկն անցավ իր անցնելիք ճանապարհի կեսը, այսինքն <math>\frac{x}{4}</math>, իսկ երիտասարդը մնացածը, այսինքն՝ <math>\frac{3x}{4}</math>։ Բժիշկը ճանապարհի իր մասն անցավ <math>\frac{x}{12}</math> ժամում, իսկ երիտասարդը <math>\frac{3x}{16}</math> ժամում, ընդ որում մենք գիտենք, որ նա ճանապարհին եղավ ¼ ժամով ավելի, քան բժիշկը։
+Ունենք հետևյալ հավասարումը՝
+<math>\frac{3x}{16}-\frac{x}{12} \;=\; \frac{1}{4}</math>,
+որtեղից՝ <math>x=2,4 կմ</math>։
+Երիտասարդի տնից մինչև բժշկի տունը <math>2,4 կմ</math> է։
+===ՀՆՁՎՈՐՆԵՐԻ ԱՐՏԵԼԸ===
+Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Վ. Ցինգերը Լ. Ն. Տոլստոյի մասին իր հիշողություններում պատմում է հետևյալ խնդրի մասին, որը մեծ գրողին շատ էր դուր եկել։
+«Հնձվորների արտելը պետք է հնձեր երկու մարդագետին, մեկը մյուսից երկու անգամ մեծ։ Կես օր արտելը հունձ արեց մեծ մարգագետնում։ Դրանից հետո արտելը բաժանվեց երկու հավասար մասի՝ առաջին կեսը մնաց մեծ մարգագետնում և մինչև երեկո այն հնձեց ու վերջացրեց, իսկ երկրորդ կեսը հնձեց փոքր մարգագետինը, որի որոշ մասը երեկոյան մնաց չհնձված և որը հաջորդ օրվա ընթացքում հնձեց մի հնձվոր։ Քանի՞ հնձվոր կար արտելում։
+'''''Լուծում'''''
+Այս դեպքում, բացի գլխավոր անհայտից՝ հնձվորների թվից, որը մենք կնշանակվեք <math>x</math>-ով, հարկ է լինում մտցնել օժանդակ անհայտ, այսինքն՝ այն հողամասի չափը, որը մի հնձվորը հնձում է մեկ օրում. այն նշանակենք <math>y</math>-ով։ Թեպետ խնդիրը չի պահանջում նրա որոշելը, բայց այն հեշտացնում է գլխավոր անհայտի գտնելը։
+Մեծ մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի միջոցով։ Այդ մարգագետինը հնձեցին x հնձվորները կես օրում. նրանք հնձեցին՝
+<math>x \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{2}</math>
+Օրվա երկրորդ կեսին այն հնձեց միայն արտելի կեսը այսինքն՝ <math>\frac{x}{2}</math> հնձվոր։ Նրանք Հնձեցին
+<math>\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{4}</math>
+Քանի որ երեկոյան հնձվեց ամբողջ մարգագետինը, ապա նրա մակերեսը հավասար է՝
+<math>\frac{xy}{2} + \frac{xy}{4} \;=\; \frac{3xy}{4}</math>։
+Այժմ փոքր մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի միջոցով։ Այն կես օրում հնձեցին <math>\frac{x}{2}</math> հնձվորներ և հնձեցին <math>\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{4}</math> մակերես։ Ավելացնենք չհնձված հողամասը, որ հավասար է <math>y</math>-ի (մի հնձվորի մեկ աշխատանքային օրում հնձած մակերեսը), և կստանանք փոքր մարգագետնի մակերեսը՝
+<math>\frac{xy}{4}+y \;=\; \frac{xy+4y}{4}</math>։
+Մնում է հանրահաշվական լեզվի թարգմանել հետևյալ դարձվածքը. «Առաջին մարգագետինը երկու անգամ մեծ է երկրորդից» և հավասարումը կազմված է՝
+<math>\frac{3xy}{4} : \frac{xy+4y}{4} \;=\; 2</math> կամ <math>\frac{3xy}{xy+4y} \;=\; 2</math>։
+Հավասարման ձախ մասի կոտորակը կրճատենք y-ով։ Դրա շնորհիվ օժանդակ անհայտը արտաքսվում է, և հավասարումն ընդունում է հետևյալ տեսքը՝
+<math>\frac{3x}{x+4} \;=\; 2</math> կամ <math>3x \;=\; 2x+8</math>,
+որտեղից <math>x=8</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>x=6</math>։— ''Մ.''։</ref>։
+Արտելում կար <math>8</math> հնձվոր։
+«Հետաքրքրաշարժ հանրահաշվի» առաջին հրատարակության լույս տեսնելուց հետո պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը ինձ ուղարկեց այս խնդրի վերաբերյալ շատ հետաքրքիր և մանրամասն հաղորդում։ Խնդրի գլխավոր էֆեկտը, ըստ նրա կարծիքի, այն է, որ «այն բոլորովին էլ հանրահաշվական չէ, այլ թվաբանական է և այն էլ չափազանց հասարակ, միայն դժվարացնողը նրա ոչ շաբլոն ձևն է»։
+«Այդ խնդրի պատմությունն այսպես է,— շարունակում է պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը։— Մոսկվայի Համալսարանի մաթեմատիկական ֆակուլտետում այն ժամանակ, երբ այնտեղ սովորում էին իմ հայրը և իմ քեռին՝ Ի. Ի. Ռաևսկին (Լ. Տոլստոյի մոտիկ բարեկամը), այլ առարկաների հետ միասին դասավանդվում էր մանկավարժության նման ինչ-որ բան։ Այդ նպատակով ուսանողները պետք է հաճախեին համալսարանի համար հատկացված քաղաքային ժողովրդական դպրոցը և այնտեղ աշխատակցելով փորձված հմուտ ուսուցիչների հետ՝ վարժվեին դասավանդման մեջ։ Ցինգերի և Ռաևսկու ընկերների մեջ կար ոմն ուսանող՝ Պետրով, ըստ պատմածների — արտակարգ շնորհալի և յուրահատուկ մարդ։ Այդ Պետրովը (մահացել է շատ երիտասարդ հասակում, թվում է, թոքախտից) հաստատում էր, որ թվաբանության դասերին աշակերտներին փչացնում են՝ նրանց սովորեցնելով շաբլոն խնդիրներ և լուծման շաբլոն եղանակներ։ Իր միտքը հաստատելու համար Պետրովը հորինեց խնդիրներ, որոնք շաբլոն չլինելու հետևանքով շատ էին դժվարացնում «փորձված հմուտ ուսուցիչներին», բայց հեշտությամբ լուծվում էին ավելի ընդունակ աշակերտների կողմից» որոնք դեռ չէին փչացել այդ պարապմունքներում։ Այդպիսի խնդիրների (Պետրովը հնարել է նման մի քանի խնդիրներ) թվին է պատկանում նաև հնձվորների արտելի մասին խնդիրը։ Փորձված ուսուցիչները, անշուշտ, հեշտությամբ կարող էին լուծել այն՝ հավասարում կազմելու միջոցով, բայց թվաբանական պարզ լուծումը նրանց մտքով չէր անցնում։ Այնինչ խնդիրը այնքան պարզ է, որ նրա լուծման համար հանրահաշվական եղանակ մեջ բերել բոլորովին չարժե։
+«Եթե մեծ մարգագետինը հնձել է մինչև օրվա կեսը ամբողջ արտելը և օրվա մյուս կեսը՝ արտելի կեսը, ապա պարզ է, որ կես օրում արտելի կեսը կարող է հնձել մարգագետնի <math>^1/_3</math> մասը։
+Հետևաբար, փոքր մարգագետնում մնում է չհնձված <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}</math>
+հողամաս։ Եթե մեկ հնձվորը օրական հնձում է մարգագետնի <math>^1/_6</math>-ը,
+իսկ հնձվածը եղել է <math>\frac{6}{6}+\frac{2}{6}=\frac{8}{6}</math>, ապա հնձվորները <math>8</math>-ն էին։
+Տոլստոյը, որ իր կյանքում սիրում էր ֆոկուսային և ոչ թե խիստ խորամանկ խնդիրներ, այդ խնդիրը սովորել էր իմ հորից դեռ երիտասարդ տարիներին։ Երբ այդ խնդրի մասին իմ և ծերունի Տոլստոյի միջև զրույց տեղի ունեցավ, նրան առանձնապես զմայլեց այն, որ խնդիրը դառնում է անհամեմատ պարզ և հստակ, եթե լուծելիս օգտվել միանգամայն պարզունակ գծագրից (նկ. 7)։
+Ստորև մեզ կհանդիպեն ևս մի քանի խնդիրներ, որոնք որոշ ըմբռնողության դեպքում թվաբանորեն ավելի պարզ են լուծվում, քան հանրահաշվորեն։
+===ԿՈՎԵՐԸ ՄԱՐԳԱԳԵՏՆՈՒՄ===
+'''''Խնդիր'''''
+«Գիտություններն ուսումնասիրելիս խնդիրներն ավելի օգտավետ են, քան կանոնները»— գրել է Նյուտոնը իր «Համընդհանուր թվաբանություն» աշխատության մեջ, և տեսական ցուցումներին նա կցում էր մի շարք օրինակներ։ Այդ վարժությունների թվում գտնում ենք մարգագետնում արածող կովերի մասին եղած խնդիրը, որը և հանդիսանում է հետևյալ խնդրի նման հատուկ տիպի յուրատեսակ խնդիրների նախամայրը։
+«Ամբողջ մարգագետնում խոտն աճում է նույն խտությամբ և արագությամբ։ Հայտնի է, որ <math>70</math> կովը այն կարածեին <math>24</math> օրում, իսկ <math>30</math> կովը՝ <math>60</math> օրում։ Քանի՞ կով կարող էին արածել մարգագետնի ամբողջ խոտը <math>96</math> օրում»։
+Այս խնդիրը հումորիստական պատմվածքի համար սյուժետ դարձավ՝ հիշեցնելով չեխովյան „Penemumop”-ը։ Մի դպրոցականի հանձնարարել էին լուծելու այդ խնդիրը։ Նրա երկու չափահաս ազգականները ապարդյուն կերպով աշխատում էին նրա վրա և տարակուսում.
+— Ստացվում է ինչ-որ տարօրինակ բան։— ասում է լուծողներից մեկը,— եթե 24 օրում 70 կովը արածում են մարգագետնի ամբողջ խոտը, ապա քանի՞ կով այն կարող է արածել 96 օրում։ Իհարկե, <math>70</math>-ի ¼-ը, այսինքն՝ <math>17</math>½ կով... Առաջին անհեթեթություն։ Եվ ահա երկրորդը՝ <math>30</math> կով արածում են խոտը <math>60</math> օրում, քանի՞ կով կարող է այն արածել <math>96</math> օրում։ Ստացվում է ավելի վատ՝ <math>18</math>¾ կով։ Բացի այդ, եթե <math>70</math> կովը խոտն արածում է <math>24</math> օրում, ապա <math>30</math> կովը այն կարածի <math>56</math> օրում և ոչ թե <math>60</math> օրում, ինչպես հաստատում է խնդիրը։
+— Իսկ դուք հաշվի առնո՞ւմ եք, որ խոտն ամբողջ ժամանակ աճում է,— հարցնում է մյուսը։
+Դիտողությունը խելացի է՝ խոտն անընդհատ աճում է, և եթե այդ հաշվի չառնվի, ապա ոչ միայն չի կարելի լուծել խնդիրը, այլև հենց նրա պայմանը կթվա հակասական։ Իսկ ինչպե՞ս է լուծվում խնդիրը։
+'''''Լուծում'''
+Այստեղ ևս մտցնենք օժանդակ անհայտ, այսինքն՝ մարգագետնի խոտի օրվա աճը նրա պահեստի այն հողակտորներում, որ տվյալ օրը կովերը չեն արածում։ Մեկ օրում աճում է <math>y</math>, <math>24</math> օրում՝ <math>24y</math>. եթե ընդհանուր պաշարն ընդունենք <math>1</math>, ապա <math>24</math> օրվա ընթացքում կովերը կարածեն
+<math>1+24y</math>։
+Ամբողջ նախիրը (<math>70</math> կովից) մեկ օրում կարածի
+<math>\frac{1+24y}{24}</math>,
+իսկ մեկ կովը մեկ օրում՝
+<math>\frac{1+24y}{24 \cdot 70}</math>
+Նույն ձևով, քանի որ <math>30</math> կովը միևնույն մարգագետնի խոտը կարածեր <math>60</math> օրում, եզրակացնում ենք, որ մեկ կովը մեկ օրում արածում է
+<math>\frac{1+60y}{30 \cdot 60}</math>
+Բայց մի կովի մեկ օրում կերած խոտի քանակը երկու նախիրների համար հավասար է։ Ուստի՝
+<math>\frac{1+24y}{24 \cdot 70} \;=\; \frac{1 + 60y}{30 \cdot 60}</math>,
+որտեղից՝
+<math>y=\frac{1}{480}</math>։
+Գտնելով <math>y</math>-ը (խոտի աճի մեծությունը), արդեն հեշտ է որոշել, թե մեկ կովը խոտի նախնական պաշարի ո՛ր մասը կուտի մեկ օրում.
+<math>\frac{1+24y}{24 \cdot 70} \;=\; \frac{1+24 \cdot \frac{1}{480}}{24 \cdot 70} \;=\; \frac{1}{1600}</math>։
+Վերջապես, խնդրի վերջնական լուծման համար կազմենք հավասարում. եթե կովերի որոնելի թիվը <math>x</math> է, ապա
+<math>\frac{1+96 \cdot \frac{1}{480}}{96x} \;=\; \frac{1}{1600}</math>,
+որտեղից <math>x=20</math>։
+<math>20</math> կովը ամբողջ խոտը կարածեր <math>96</math> օրում։
+===ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԽՆԴԻՐԸ===
+Այժմ դիտարկենք եզների մասին նյուտոնյան խնդիրը, որի ձևով կազմված է ստորև դիտարկվող խնդիրը։
+Խնդիրը, ի միջի այլոց, հորինված չէ հենց Նյուտոնի կողմից. այն ժողովրդի մաթեմատիկական ստեղծագործության արդյունքն է։
+«Երեք մարգագետիններ, որոնք ծածկված են միատեսակ խտություն և աճման արագություն ունեցող խոտով, ունեն <math>3^1/_3 \; հա</math>, <math>10 հա</math> և <math>24 հա</math> մակերեսներ։ Առաջինում կերակրվում է <math>12</math> եզ <math>4</math> շաբաթվա ընթացքում. երկրորդում՝ <math>21</math> եզ <math>9</math> շաբաթվա ընթացքում։ Քանի՞ եզ կարող է կերակրել երրորդ մարգագետինը <math>18</math> շաբաթվա ընթացքում»։
+'''''Լուծում'''''
+Մտցնենք օժանդակ անհայտ՝ <math>y</math>, որը նշանակում է, թե խոտի նախնական պաշարի ո՞ր մասն է աճում <math>1 \; հա</math>-ի վրա մեկ շաբաթվա ընթացքում։ Առաջին մարգագետնի վրա մեկ շաբաթվա ընթացքում աճում է նրա վրա եղած խոտի նախնական ամբողջ պաշարի <math>3^1/_3y</math>, իսկ <math>4</math> շաբաթվա ընթացքում` <math>3^1/_3 \cdot 4 \;=\; \frac{40}{3}y</math> մասը։ Սա համարժեք է այն բանին, թե իբր մարգագետնի նախնական մակերեսը մեծացվել և հավասարվել է
+<math>\left(3\frac{1}{3}+\frac{40}{3}y\right)</math> հեկտարի։
+Այլ խոսքով, եզները կերել են այնքան խոտ, որքան կծածկեր <math>\left(3\frac{1}{3} + \frac{40}{3}y\right)</math> հեկտար մակերեսով մարգագետինը։ Մեկ շաբաթում <math>12</math> եզը կուտեր այդ քանակի ¼-ը, իսկ մեկ եզը նույն քանակի, այսինքն՝
+<math>\left(3\frac{1}{3}+\frac{40}{3}y\right) : 48 \;=\; \frac{10+40y}{144}</math>
+հեկտար մակերես ունեցող մարգագետնի խոտի պաշարի <math>^1/_{48}</math>-ը։
+Նույն ձևով, երկրորդ մարգագետնի տվյալներից գտնում ենք նրա այն մակերեսը, որ մեկ շաբաթում կերակրում է մեկ եզան։
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right><math>1 \; հա</math>-ի</TD>
+        <TD align=center>մեկ</TD>
+        <TD>շաբաթվա աճը = </TD>
+        <TD align=right><math>y</math>,</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right><math>1 \; հա</math>-ի</TD>
+        <TD align=center><math>9</math></TD>
+        <TD>շաբաթվա աճը = </TD>
+        <TD align=right><math>9y</math>,</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right><math>10 \; հա</math>-ի</TD>
+        <TD align=center><math>9</math></TD>
+        <TD>շաբաթվա աճը = </TD>
+        <TD align=right><math>90y</math>։</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+<math>9</math> շաբաթ <math>21</math> եզ կերակրելու համար խոտի պաշար ունեցող հողակտորի մակերեսը հավասար է
+<math>10+90y</math>։
+Մեկ շաբաթ 1 եզանը կերակրելու համար անհրաժեշտ է
+<math>\frac{10+90y}{9 \cdot 21} \;=\; \frac{10+90y}{189}</math>
+հեկտար։
+Կերակրման երկու նորմաներն էլ պետք է լինեն հավասար՝
+<math>\frac{10+40y}{144} \;=\; \frac{10+90y}{189}</math>
+Լուծելով այդ հավասարումը կգտնենք <math>y=^1/_{12}</math>։ Այժմ որոշենք մարգագետնի այն մակերեսը, որի խոտի պաշարը բավականացնում է մեկ շաբաթվա ընթացքում մեկ եզ կերակրելու համար.
+<math>\frac{10+40y}{144} \;=\; \frac{10+40 \cdot \frac{1}{12}}{144} \;=\; \frac{5}{54}</math> հեկտար։
+Վերջապես մոտենում ենք խնդրի հարցին։ Նշանակելով եզների որոնելի թիվը <math>x</math>-ով, կունենանք.
+<math>\frac{24+24 \cdot 18 \cdot \frac{1}{12}}{18x} \;=\; \frac{5}{54}</math>,
+որտեղից <math>x=36</math>։ Երրորդ մարգագետինը <math>18</math> շաբաթվա ընթացքում կարող է կերակրել <math>36</math> եզ։
+===ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆԸ===
+'''''Խնդիր'''''
+Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Էյնշտեյնի կենսագիր և բարեկամ Ա. Մոշկովսկին, մեկ անգամ ցանկանալով զբաղեցնել իր մտերիմին նրա հիվանդության ժամանակ, նրան առաջարկեց հետևյալ խնդիրը (նկ. 9)։
+«Վերցնենք սլաքների դիրքը ժամը <math>12</math>-ին,— ասաց Մոշկովսկին։ Եթե այդ դիրքում մեծ և փոքր սլաքները փոխանակեին տեղերը, այնուամենայնիվ, նրանք ճիշտ ցույց կտային ժամանակը։ Բայց մյուս պահերին, օրինակ՝ ժամը <math>6</math>-ին, սլաքների փոխադարձ տեղափոխումը կհանգեցներ անհեթեթության, մի դրության, որ կանոնավոր աշխատող ժամացույցների վրա տեղի չի ունենա, րոպե ցույց տվող սլաքը չի կարող կանգնել <math>6</math>-ի վրա, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը ցույց է տալիս <math>12</math>-ը։ Հարց է առաջանում՝ ե՞րբ և քանի՞ ժամը մեկ ժամացույցի սլաքները գրավում են այնպիսի դիրք, որ մեկը մյուսով փոխարինելիս տալիս են այնպիսի նոր դիրք, որը նույնպես հնարավոր է ճիշտ աշխատող ժամացույցների համար։
+— Այո,— պատասխանեց Էյնշտեյնը, դա միանգամայն հարմար խնդիր է այն մարդու համար, որը որևէ հիվանդությունից հարկադրված՝ մնում է անկողնում. բավականաչափ հետաքրքիր է և շատ էլ հեշտ չէ։ Միայն վախենում եմ, որ զվարճությունը երկար չի տևի, ես արդեն նշմարեցի լուծման ճանապարհը։
+Եվ մի փոքր բարձրանալով անկողնում, նա մի քանի գծանշումներով թղթի վրա գծեց խնդրի պայմանը պատկերող սխեման։ Լուծելու համար նրան հարկավոր եղավ ավելի քիչ ժամանակ, քան թե ինձ՝ խնդիրը ձևակերպելու համար...»
+Ինչպե՞ս է լուծվում այս խնդիրը։
+'''''Լուծում'''''
+Շրջանագծի <math>60</math>-երորդական մասերով կչափենք սլաքների հեռավորությունները թվացույցի շրջանով, այն կետից, որտեղ գրված է <math>12</math> թվանշանը։
+Դիցուք, սլաքների պահանջվող դիրքերից մեկը գիտվում է այն ժամանակ, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը <math>12</math> թվանշանից հեռացավ <math>x</math> բաժանումով, իսկ րոպեներինը՝ <math>y</math> բաժանումով։ Քանի որ ժամ ցույց տվող սլաքը <math>12</math> ժամվա ընթացքում անցնում է <math>60</math> բաժանում, այսինքն՝ ժամում <math>5</math> բաժանում, ապա <math>x</math>, բաժանումը նա կանցնի <math>\frac{x}{5}</math> ժամում։ Այլ կերպ ասած, այն պահից հետո,երբ ժամացույցը ցույց էր տալիս <math>12</math>-ը, անցավ <math>\frac{x}{5}</math> ժամ։ Րոպե ցույց տվող սլաքը <math>y</math> բաժանումն անցավ <math>y</math> րոպեում, այսինքն՝ <math>\frac{y}{60}</math> ժամում։ Այլ կերպ ասած, րոպե ցույց տվող սլաքը <math>12</math> թվանշանն անցավ <math>\frac{y}{60}</math> ժամ այն պահից առաջ, կամ <math>\frac{x}{5}-\frac{y}{60}</math> ժամ այն պահից հետո, երբ երկու սլաքներն էլ գտնվում էին տասներկուսի վրա։ Այս թիվն ամբողջական է (զրոյից մինչև <math>11</math>), քանի որ նա ցույց է տալիս, թե քանի լրիվ ժամ անցավ տասներկուսից հետո։
+Երբ սլաքները տեղերը փոխում են, մենք համանման ձևով գտնում ենք, որ ժամը <math>12</math>-ից հետո անցած այն ժամանակը, որ ցույց են տալիս սլաքները, կազմում է
+<math>\frac{y}{5}-\frac{x}{60}</math>
+լրիվ ժամ։ Այդ թիվը նույնպես ամբողջական է (զրոյից մինչև <math>11</math>)։
+Ունենք հավասարումների հետևյալ սիստեմը՝
+<math>
+\begin{cases}
+    \frac{x}{5}-\frac{y}{60} \;=\; m\\
+    \frac{y}{5}-\frac{x}{60} \;=\; n,\\
+\end{cases}
+</math>
+որտեղ <math>m</math>-ը և <math>n</math>-ը ամբողջ թվեր են, որոնք կարող են փոխվել <math>0</math>-ից մինչև <math>11</math>։ Այդ սիստեմից գտնում ենք՝
+<math>
+\begin{array}{r}
+x \;=\; \frac{60(12m+n)}{143}\\
+y \;=\; \frac{60(12n+m)}{143}\\
+\end{array}
+</math>։
+<math>m</math>-ին և <math>n</math>-ին տալով <math>0</math>-ից մինչև <math>11</math> ամբողջ արժեքները, մենք որոշում ենք սլաքների բոլոր պահանջվող դիրքերը։ Քանի որ <math>m</math>-ի <math>12</math> արժեքներից յուրաքանչյուրը կարելի է համադրել <math>n</math>-ի <math>12</math> արժեքներից յուրաքանչյուրի հետ, ապա թվում է, թե բոլոր լուծումների թիվը հավասար է <math>12 \cdot 12 = 144</math>։
+Բայց իրականում ալն հավասար է <math>143</math>-ի, որովհետև երբ <math>m=0, \; ո=0</math> և երբ <math>m=11, \; ո=11</math> ստացվում է սլաքների միևնույն դիրքը։
+<math>m=11, \; ո=11</math>-ի դեպքում ունենք՝
+<math>x=60, \; y=60</math>,
+այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս <math>12</math>-ը այնպես, ինչպես <math>m=0, \; ո=0</math> դեպքում։
+Բոլոր հնարավոր դիրքերը մենք չենք քննարկի, վերցնենք միայն երկու օրինակ։
+Առաջին օրինակ.
+<math>m=1, \; ո=1</math>.
+<math>x \;=\; \frac{60 \cdot 13}{143} \;=;\ 5\frac{1}{5}, \; y \;=\; 5\frac{5}{11}</math>,
+այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս <math>1</math> ժամ <math>5\frac{5}{11}</math> րոպե. այդ պահին սլաքները համատեղվում են. դրանց տեղերը, իհարկե, կարելի է փոխել (ինչպես և սլաքների մյուս բոլոր համատեղումների դեպքերում)։
+Երկրորդ օրինակ.
+<math>m=8, \; ո=5</math>։
+<math>x \;=\; \frac{60(5+12 \cdot 8)}{143} \approx 42,38, \; y \;=\; \frac{60(8+12 \cdot 5)}{143} \approx 28,53</math>։
+Համապատասխանող պահերն են` <math>8</math> ժամ <math>28,53</math> րոպե և <math>5</math> ժամ <math>42,38</math> րոպե։
+Լուծումների թիվը մենք գիտենք՝ <math>143</math>։ Որպեսզի գտնենք թվացույցի ալն բոլոր կետերը, որոնք տալիս են սլաքների պահանջվող դիրքերը, պետք է թվացույցի շրջանագիծը բաժանենք <math>143</math> հավասար մասի. կստանանք <math>143</math> կետ, որոնք հանդիսանում են որոնելիներ։ Սլաքների պահանջվող դիրքերը այդ կետերի միջակայքներում հնարավոր չեն։
+===ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՀԱՄԸՆԿՆՈՒՄԸ===
+'''''Խնդիր'''''
+Կանոնավոր աշխատող ժամացույցի վրա քանի՞ դիրք կա, երբ ժամ և րոպե ցույց տվող սլաքները համատեղվում են։
+'''''Լուծում'''''
+Մենք կարող ենք օգտվել այն հավասարումներից, nրոնք ստացվել են նախորդ խնդիրը լուծելիս. չէ՞ որ, եթե ժամ և րոպե ցույց տվող սլաքները համատեղվել են, ապա կարելի է դրանց տեղերը փոխել. դրանից ոչինչ չի փոխվի։ Ընդ որում երկու սլաքներն էլ <math>12</math> թվանշանից անցել են հավասար թվով բաժանումներ, այսինքն՝ <math>x=y</math>։ Այսպիսով, նախորդ խնդրի վերաբերյալ արած դատողություններից մենք արտածում ենք հետևյալ հավասարումը.
+<math>\frac{x}{5}-\frac{x}{60} \;=\; m</math>,
+որտեղ <math>m</math>-ը ամբողջ թիվ է՝ <math>0</math>-ից մինչև <math>11</math>։ Այդ հավասարումից գտնում ենք՝
+<math>x \;=\; \frac{60m}{11}</math>։
+<math>m</math>-ի համար տասներկու հնարավոր արժեքներից (<math>0</math>-ից մինչև <math>11</math>) մենք կստանանք սլաքների ոչ թե <math>12</math>, այլ միայն <math>11</math> տարբեր դիրքեր, քանի որ <math>m=11</math> դեպքում մենք գտնում ենք <math>x=60</math>, այսինքն՝ երկու սլաքներն էլ անցել են <math>60</math> բաժանում և գտնվում են թվանշանի վրա, այդ նույնը ստացվում է, երբ <math>m=0</math>։
+===ՅՈԹ ԽԱՂԱՑՈՂԵՐ===
+'''''Խնդիր'''''
+Յոթ խաղացողներ պայմանավորվեցին, որ յուրաքանչյուր տարվող մնացած վեց խաղակիցներից յուրաքանչյուրին վճարի այնքան փող, որքան նա ունի, այլ խոսքով, կրկնապատկի նրա փողը։
+Խաղացին <math>7</math> պարտիա։ Բոլորն էլ տարվեցին՝ յուրաքանչյուրը մեկական անգամ։ Խաղն ավարտվելուց հետո հաշվեցին, թե յուրաքանչյուրը որքան փող ունի։ Պարզվեց, որ յուրաքանչյուրի մոտ կա <math>12</math> ռուբ. <math>80</math> կ.։
+Յուրաքանչյուրը որքա՞ն փող ուներ խաղի սկզբին։
+'''''Լուծում'''''
+Չնայած թվացող բարդությանը, խնդիրը լուծվում է բավականին հեշտ, եթե ըմբռնենք, որ խաղի ժամանակ բոլոր խաղացողների մոտ փողի ընդհանուր գումարը եղել է անփոփոխ՝ միայն մեկի գրպանից այն անցել է մյուսը գրպանը։ Այստեղից հետևում է, որ խաղի սկզբին փողի ընդհանուր քանակը եղել է նույնը, ինչ որ վերջում, այսինքն՝ <math>7 \times 12,8</math> ռուբլի։
+Հետևենք, թև առաջին տարվողի փողի քանակն ինչպես էր փոխվում խաղի ընթացքում։
+Նրա մոտ խաղի սկզբին կար <math>x</math> ռուբլի։
+''Առաջին'' պարտիայից հետո, տարվելով, նա վեց խաղակիցներին վճարեց այնքան, որքան նրանք բոլորն ունեին, այսինքն՝ <math>7 \times 12,8-x</math>։ Առաջին պարտիայից հետո նրա մոտ մնաց՝
+<math>x-(7 \times 12,8-X) \;=\; 2x-7 \times 12,8</math>։
+''Երկրորդ'' պարտիայից հետո նրա փողը կրկնապատկվեց և, այդպիսով, հավասար եղավ՝
+<math>2(2x-7 \times 12,8)</math>։
+''Երրորդ'' պարտիայից հետո նրա փողը նորից կրկնապատկվեց և կազմեց՝
+<math>2^2(2x-7 \times 12,8)</math>։
+''Չորրորդ'' պարտիայից հետո նրա մոտ եղավ՝
+<math>2^3(2x-7 \times 12,8)</math>։
+''Յոթերորդ'' պարտիայից հետո, ալսինքն՝ խաղի ավարտից հետո, նա ուներ <math>12,8</math> ռ., հետևաբար՝
+<math>2^6(2x-7 \times 12,8) \;=\; 12,8</math>։
+Լուծենք այս հավասարումը՝
+<math>64(2x-7 \times 12,8) \;=\; 12,8</math>,
+<math>2x-7 \times 12,8 \;=\; 0,2</math>,
+<math>2x-7 \times 89,6 \;=\; 0,2, \; x=44,9</math>։
+Այսպիսով, խաղի սկզբին առաջին խաղացողն ուներ <math>44</math> ռ. <math>90</math> կ.։ Նույն ձևով որոշենք երկրորդ տարվողի փողը։ Խաղի սկզբին նրա մոտ կար <math>y</math>։
+''Առաջին'' պարտիայից հետո նրա մոտ դարձավ <math>2y</math>։
+''Երկրորդ'' պարտիան նա տարվեց և վճարեց
+<math>7 \times 12,82y</math>,
+նրա մոտ մնաց
+<math>2y-(7 \times 12,8-2y) \;=\; 4y-7 \times 12,8</math>։
+''Երրորդ'' պարտիայից հետո նրա մոտ կար
+<math>2(4y-7 \times 12,8)</math>։
+''Չորրորդից'' հետո`
+<math>2^2(4y-7 \times 12,8)</math>։
+''Յոթերորդից'' հետո՝
+<math>2^5(4y-7 \times 12,8)</math>։
+Կունենանք հետևյալ հավասարումը
+<math>2^5(4y-7 \times 12,8) \;=\; 12,8</math>,
+որտեղից՝
+<math>y=22</math> ռուբ. <math>50</math> կ.։
+Նման ձևով էլ կգտնենք երրորդ խաղացողի փողը՝ <math>11</math> ռ. <math>30</math> կ.։
+Առաջարկում ենք ընթերցողին ինքնուրույնաբար որոշելու մնացած խաղացողների փողերը։ Լուծման ստուգումը կլինի այն, որ բոլոր խաղացողների փողերի ընդհանուր գումարը խաղից առաջ և հետո պետք է հավասար լինի։
+===ԿԵՂԾ ԱՆՀԵԹԵԹՈՒԹՅՈՒՆ===
+'''''Խնդիր'''''
+Ահա մի խնդիր, որ կարող է միանգամայն անհեթեթ թվալ։
+Ինչի՞ է հավասար <math>84</math>-ը, եթե <math>8 \times 8=54</math>-ի։
+Այս տարօրինակ հարցը իմաստից զուրկ չէ և խնդիրը հնարավոր է լուծել հավասարման միջոցով։
+Փորձեցեք վերծանել այն։
+'''''Լուծում'''''
+Հավանաբար դուք գուշակեցիք, որ խնդրի մեջ մտնող թվերը գրված են ոչ տասնորդական սիստեմով, այլապես «ինչի է հավասար <math>84</math>-ը» հարցը կլիներ անհեթեթ։ Դիցուք թվարկության անհայտ սիստեմի հիմքը <math>x</math> է։ Այն ժամանակ «<math>84</math>» թիվը նշանակում է երկրորդ կարգի <math>8</math> միավոր և առաջինի՝ <math>4</math> միավոր, այսինքն՝
+„<math>84</math>” <math> =\; 8x+4</math>։
+„<math>54</math>” թիվը նշանակում է <math>5x+4</math>։
+Կունենանք <math>8 \times 8 \;=\; 5x+4</math> հավասարումը, այսինքն՝ տասնորդական սիստեմում.
+<math>64=5x+4</math>,
+որտեղից <math>x = 12</math>։ Թվերը գրված են տասներկուական սիստեմով, և „<math>84</math>”  <math> = 8 \times 12+4 = 100</math>։ Նշանակում է՝ եթե <math>8 \times 8 =</math> „<math>54</math>”, ապա „<math>84</math>” <math> = 100</math>։
+Նման ձևով էլ լուծվում է այդ տիպի այլ խնդիր։
+Ինչի՞ է հավասար <math>100</math>-ը, երբ <math>5 \times 6 = 33</math>։
+Պատասխան՝ <math>81</math> (թվարկության իննական սիստեմ)։
+===ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ ՄՏԱԾՈՒՄ Է ՄԵՐ ՓՈԽԱՐԵՆ===
+Եթե դուք կասկածում եք այն բանում, որ հավասարումը որոշ դեպքում մեզանից կանխատես է լինում, լուծեցեք հետևյալ խնդիրը.
+Հայրը <math>32</math> տարեկան է, տղան <math>5</math> տարեկան։ Քանի՞ տարի հետո հայրը <math>10</math> անգամ մեծ կլինի տղայից։
+Որոնելի ժամանակը նշանակենք <math>x</math>-ով։ <math>x</math> տարի հետո հայրը կլինի <math>32+x</math> տարեկան, տղան՝ <math>5+x</math>։ Եվ քանի որ հայրը այդ ժամանակ պետք է <math>10</math> անգամ մեծ լինի տղայից, ապա կունենանք հետևյալ հավասարումը
+<math>32+x \;=\; 10(5+x)</math>։
+Լուծելով այն, կստանանք <math>x=-2</math>։
+«Մինուս երկու տարի հետո» նշանակում է՝ «երկու տարի առաջ»։ Երբ մենք կազմեցինք հավասարումը, չմտածեցինք այն մասին, որ հոր տարիքը ''ապագայում'' երբեք <math>10</math> անգամ չի կարող մեծ լինել տղայի տարիքից, այդպիսի հարաբերություն կարող էր տեղի ունենալ միմիայն անցյալում։ Հավասարումն ավելի խորհող հանդիսացավ, քան թե մենք և շտկեց սխալը։
+===ԿՈՒՐՅՈԶՆԵՐ ԵՎ ԱՆԱԿՆԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ===
+Հավասարումներ լուծելիս մենք երբեմն հանդիպում ենք այնպիսի պատասխանների, որոնք անփորձ մաթեմատիկոսին կարող են փակուղու, մեջ դնել։ Բերենք մի քանի օրինակներ։
+I. Գտնել երկանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները։ Տասնավորների թվանշանը միավորների թվանշանից փոքր լինի <math>4</math>-ով։ Եթե նույն թվանշաններով, բայց հակառակ կարգով գրված թվից հանենք որոնելի թիվը, ապա կստանանք <math>27</math>։
+Նշանակելով տասնավորների թվանշանը <math>x</math>-ով, իսկ միավորների թվանշանը՝ <math>y</math>-ով, մենք այդ խնդրի համար հեշտությամբ կկազմենք հետևյալ հավասարումների սիստեմը՝
+<math>
+\begin{cases}
+    x \;=\; y-4,\\
+    (10y+x)-(10x+y) \;=\; 27։\\
+\end{cases}
+</math>
+Առաջին հավասարումից <math>x</math>-ի արժեքը տեղադրելով երկրորդի մեջ՝ կգտնենք
+<math>10y+y-4-[10(y-4)+y] \;=\; 27</math>,
+իսկ ձևափոխությունից հետո՝
+<math>36 \;=\; 27</math>։
+Մեզ մոտ չորոշվեցին անհայտների արժեքները, սակայն մենք իմացանք, որ <math>36=27</math>... Ի՞նչ է սա նշանակում։
+Այս նշանակում է՝ որ տրված հավասարումներին բավարարող երկանիշ թվեր գոյություն չունեն և որ այդ հավասարումները հակասում են մեկը մյուսին։ Իսկապես առաջին հավասարման երկու մասերը բազմապատկելով <math>9</math>-ով, մենք նրանից կգտնենք՝
+<math>9y-9x \;=\; 36</math>։
+իսկ երկրորդից (փակագծերը բացելուց և նման անդամների միացումից հետո)՝
+<math>9y-9x \;=\; 27</math>։
+Միևնույն մեծությունը՝ <math>9y-9x</math>, համաձայն առաջին հավասարման, հավասար է <math>36</math>-ի, իսկ համաձայն երկրորդի՝ <math>27</math>-ի։ Դա անպայման անհնարին է, քանի որ <math>36 \neq 27</math>։
+Նման թյուրիմացություն է սպասում նաև հետևյալ հավասարումների սիստեմը լուծողին՝
+<math>
+\begin{cases}
+    x^2y^2 = 8,\\
+    xy = 4։\\
+\end{cases}
+</math>
+Առաջին հավասարումը բաժանելով երկրորդի վրա, կստանանք
+<math>xy = 2</math>,
+իսկ նոր ստացված հավասարումը համեմատելով երկրորդի հետ, նկատում ենք, որ
+<math>
+\begin{cases}
+    xy = 4, \\
+    xy = 2,
+\end{cases}
+</math>
+այսինքն՝ <math>4=2</math>։ Այդ սիստեմին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։ (Այն հավասարումները, որոնց կազմած սիստեմը լուծումներ չունի, կոչվում են ''անհամատեղելի'')։
+II. Այլ տեսքի անսպասելիության կհանդիպենք մենք, եթե մասամբ փոխենք նախորդ խնդրի պայմանը։ Այն է՝ հաշվենք, որ տասնավորների թվանշանը ոչ թե <math>4</math>-ով, այլ <math>3</math>-ով է փոքր միավորների թվանշանից, իսկ խնդրի մնացած պայմանը նույնն է։ Ի՞նչ թիվ է դա։
+Կազմում ենք հավասարում։ Եթե տասնավորների թվանշանը նշանակենք <math>x</math>-ով, ապա միավորների թվանշանը կլինի <math>x+3</math>։ Խնդիրը թարգմանելով հանրահաշվի լեզվով, կստանանք՝
+<math>10(x+3)+x-[10x+(x+3)] \;=\; 27</math>։
+Կատարելով պարզումներ, կհանգենք հետևյալ հավասարությանը՝
+<math>27=27</math>։
+Այս հավասարությունը անվիճելիորեն ճիշտ է, բայց նա մեզ ոչինչ չի ասի <math>x</math>-ի արժեքի մասին։ Սա նշանակո՞ւմ է արդյոք, որ խնդրի պահանջին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։
+Ընդհակառակն, այդ նշանակում է, որ մեր կազմած հավասարումը նույնություն է, այսքիքն՝ այն ճիշտ է <math>x</math> անհայտի ցանկացած արժեքի դեպքում։ Իսկապես, հեշտ է համոզվել նրանում, որ խնդրում նշված հատկությունն ունի յուրաքանչյուր երկանիշ թիվ, որի միավորների թվանշանը <math>3</math>-ով մեծ է տասնավորների թվանշանից.
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD><math>14+27=41</math>,</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD><math>47+27=74</math>,</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD><math>25+27=52</math>,</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD><math>58+27=85</math>,</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD><math>36+27=63</math>,</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD><math>69+27=96</math>։</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+III. Գտնել եռանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները՝
+) տասնավորների թվանշանը <math>7</math> է,
+) հարյուրավորների թվանշանը <math>4</math>-ով փոքր է միավորների թվանշանից։
+) եթե այդ թվի թվանշանները դասավորենք հակառակ կարգով, ապա նոր թիվը <math>396</math>-ով մեծ կլինի որոնելիից։
+Կազմենք հավասարում, միավորների թվանշանը նշանակելով <math>x</math>-ով.
+<math>100x+70+x-4-[100(x-4)+70+x] \;=\; 396</math>։
+Այս հավասարումը պարզեցնելուց հետո բերվում է հետևյալ հավասարությանը՝
+<math>396=396</math>։
+Ընթերցողներն արդեն գիտեն, թե ինչպես պետք է մեկնաբանել նման արդյունքը։ Այն նշանակում է, որ յուրաքանչյուր եռանիշ թիվ, որի առաջին թվանշանը <math>4</math>-ով փոքր է երրորդից<ref>Տասնավորների թվանշանը դեր չի խաղա։</ref>, մեծանում է <math>396</math>-ով, եթե թվանշանները գրենք հակառակ կարգով։
+Մինչև այժմ մենք դիտարկել ենք խնդիրներ, որոնք քիչ թե շատ արհեստական, գրքային բնույթ ունեին։ Դրանք ուղղված էին հավասարումներ կազմելու և լուծելու համար հմտություն ձեռք բերելու նպատակին։ Այժմ տեսականորեն զինված զբաղվենք գործնական խնդիրների մի քանի օրինակներով՝ արտադրության, առօրյա կենցաղի, ռազմական գործի և սպորտի բնագավառներից։
+===ՎԱՐՍԱՎԻՐԱՆՈՑՈՒՄ===
+'''''Խնդիր'''''
+Կարո՞ղ է արդյոք հանրահաշիվը պետք գալ վարսավիրանոցում։ Պարզվում է, որ այդպիսի դեպքեր պատահում են։ Ես դրանում համոզվեցի, երբ մի անգամ վարսավիրանոցում ինձ մոտեցավ վարպետը անսպասելի խնդրանքով՝
+— Չէիք բարեհաճի մեզ օգնել լուծելու մի խնդիր, որից մենք ոչ մի կերպ գլուխ չենք հանում։
+— Արդեն դրա պատճառով ինչքա՜ն լուծույթ է փչացել,— ավելացրեց մյուսը։
+— Ինչո՞ւմն է խնդիրը,— հարց ու փորձ արի ես։
+— Մենք ունենք ջրածնի պերօքսիդի երկու լուծույթ՝ <math>30</math> տոկոսանոց և <math>3</math> տոկոսանոց։ Հարկավոր է դրանք խառնել այնպես, որ ստացվի <math>12</math> տոկոսանոց լուծույթ։ Չենք կարող գտնել ճիշտ հարաբերություն...
+Ինձ տվեցին թուղթ, և պահանջված հարաբերությունը գտնվեց։
+Պարզվեց, որ այն շատ պարզ է։ Իսկ ի՞նչու։
+'''''Լուծում'''''
+Խնդիրր կարելի է լուծել նաև թվաբանորեն, բայց այստեղ հանրահաշիվը նպատակին է հասցնում ավելի պարզ և ավելի արագ։ Դիցուք, <math>12</math> տոկոսանոց խառնուրդ կազմելու համար պահանջվում է վերցնել <math>x</math> գրամ <math>3</math> տոկոսանոց և <math>y</math> գրամ <math>30</math> տոկոսանոց լուծույթներ։ Այդ ժամանակ առաջին բաժնում պարունակվում է <math>0,03x</math> գրամ մաքուր ջրածնի պերօքսիդ, երկրորդում՝ <math>0,3y</math>, իսկ ընդամենը՝
+<math>0,03x+0,3y</math>։
+Արդյունքում ստացվում է <math>(x+y)</math> գրամ լուծույթ, որի մեջ մաքուր պերօքսիդը պետք է լինի <math>0,12(x+y)</math>։
+Ունենք հետևյալ հավասարումը՝
+<math>0,03x+0,3y=0,12(x+y)</math>։
+Այս հավասարումից գտնում ենք <math>x=2y</math>, այսինքն՝ <math>3</math> տոկոսանոց լուծույթից պետք է վերցնել երկու անգամ ավելի, քան <math>30</math> տոկոսանոցից։
+===ՏՐԱՄՎԱՅԸ ԵՎ ՀԵՏԻՈՏՆԸ===
+Գնալով տրամվայի ճանապարհի երկարությամբ, ես նկատեցի, որ յուրաքանչյուր <math>12</math> րոպեից հետո ինձ հասնում է տրամվայը, իսկ յուրաքանչյուր <math>4</math> րոպեում ես ինքս եմ դիմավորում տրամվային։ Թե՛ ես, թե՛ տրամվայները շարժվում ենք հավասարաչափ։ Յուրաքանչյուր քանի՞ րոպեն մեկ տրամվայները մեկը մյուսի ետևից հեռանում են իրենց վերջին կետից։
+'''''Լուծում'''''
+Եթե վագոններն իրենց վերջին կետից հեռանում են յուրաքանչյուր <math>x</math> րոպեն մեկ, ապա այդ նշանակում է, որ այն տեղով, որտեղ ես հանդիպել եմ տրամվայներից մեկին, յուրաքանչյուր <math>x</math> րոպեն մեկ անցում է հաջորդ տրամվայը։ Եթե նա հասնում է իմ հետևից, ապա մնացած <math>12-x</math> րոպեում նա պետք է անցնի այն ճանապարհը, որ ես կարողանում եմ անցնել <math>12</math> րոպեում։ Նշանակում է, այն ճանապարհը, որը ես անցնում եմ <math>1</math> րոպեում, տրամվայը կանցնի <math>\frac{12-x}{12}</math> րոպեում։
+Մինչդեռ, եթե տրամվայը գալիս է ինձ ընդառաջ, ապա նա ինձ կհանդիպի նախորդից <math>4</math> րոպե հետո, իսկ մնացած <math>(x-4)</math> րոպեում նա կանցնի այն ճանապարհը, որ ես կարողացա անցնել այդ <math>4</math> րոպեում։ Հետևաբար, այն Ճանապարհը, որ ես անցնում եմ <math>1</math> րոպեում, տրամվայը կանցներ <math>\frac{x-4}{4}</math> րոպեում։
+Կստանանք հետնյալ հավասարումը՝
+<math>\frac{12-x}{12} \;=\; \frac{x-4}{4}</math>։
+Այստեղից <math>x=6</math>։ Վագոնները հեռանում են յուրաքանչյուր <math>6</math> րոպեն մեկ։
+Կարելի է նաև առաջարկել խնդրի հետևյալ (ըստ էության թվաբանորեն) լուծումը։ Մեկը մյուսին հաջորդող երկու տրամվայների միջև եղած հեռավորությունը նշանակենք <math>a</math>-ով։ Այդ ժամանակ իմ և ինձ ընդառաջ շարժվող տրամվայի միջև եղած հեռավորությունը փոքրանում է րոպեում <math>\frac{a}{4}</math>-ով (քանի որ հենց նոր անցնող տրամվայի և հաջորդի միջև եղած հեռավորությունը, որը հավասար է <math>a</math>-ի, մենք միասին անցնում ենք <math>4</math> րոպեում)։ Իսկ եթե տրամվայը հասնում է ինձ, ապա մեր միջև եղած հեռավորությունը ամեն րոպե փոքրանում է <math>\frac{a}{12}</math>-ով։ Այժմ ենթադրենք, որ ես մի րոպե տևողությամբ շարժվեցի առաջ, իսկ այնուհետև շրջվեցի և գնացի էլի մի րոպե (այսինքն՝ վերադարձա նախկին տեղը)։ Այդ ժամանակ իմ և տրամվայի միջև որը սկզբում շարժվում էր ինձ ընդառաջ) եղած հեռավորությունը առաջին րոպեից հետո կփոքրանա <math>a / 4</math>-ով, իսկ երկրորդ րոպեում (երբ այդ տրամվայը արդեն հասել էր ինձ) կփոքրանա <math>a / 12</math>-ով։ Ընդամենը <math>2</math> րոպեում մեր միջև եղած հեռավորությունը կփոքրանա <math>\frac{a}{4} + \frac{a}{12} \;=\; \frac{a}{3}</math>-ով։ Նույնը տեղի կունենար, եթե ես ամբողջ ժամանակ կանգնած մնայի տեղում, քանի որ վերջին հաշվով ես վերադարձա ետ։ Այսպիսով, եթե ես շարժվեի, ապա մեկ րոպեում (և ոչ թե երկու) տրամվայը կմոտենար ինձ <math>\frac{a}{3} \;:\; 2 \;=\; \frac{a}{6}</math>-ով, իսկ ամբողջ <math>a</math> հեռավորությունը նա կանցներ <math>6</math> րոպեում։ Այդ նշանակում է, որ անշարժ կանգնած դիտողի մոտով տրամվայներն անցնում են <math>6</math> րոպե ընդմիջումներով։
+===ՇՈԳԵՆԱՎԸ ԵՎ ԼԱՍՏԱՆԱՎԵՐԸ===
+'''''Խնդիր'''''
+<math>A</math> քաղաքից դեպի <math>B</math> քաղաքը շոգենավը գետի հոսանքով առանց կանգառումների անցավ <math>5</math> ժամում։ Մինչդեռ հոսանքին հակառակ նա անցավ (շարժվելով սեփական նույն արագությամբ և առանց կանգառումների) <math>7</math> ժամում։ Քանի՞ ժամում կանցնեն լաստանավերը <math>A</math>-ից <math>B</math> (լաստանավերը շարժվում են գետի հոսանքի արագությամբ)։
+'''''Լուծում'''''
+Այն ժամանակը, որը պետք է շոգենավին <math>A</math>-ից մինչև <math>B</math> հեռավորությունը ''կանգնած ջրում'' այսինքն՝ սեփական արագությամբ շարժվելիս, նշանակենք <math>x</math>-ով, իսկ լաստանավերի շարժման ժամանակը՝ <math>y</math>-ով։ Այդ ժամանակ շոգենավը մեկ ժամում կանցնի <math>AB</math> հեռավորության <math>\frac{1}{x}</math>-ը, իսկ լաստանավերը (հոսանքը)՝ այդ հեռավորության <math>\frac{1}{y}</math>-ը։ Ուստի՝ հոսանքի ուղղությամբ շոգենավը մեկ ժամում կանցնի <math>AB</math> հեռավորության <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}</math>-ը, իսկ հոսանքին հակառակ՝ <math>\frac{1}{x}-\frac{1}{y}</math>-ը։ Բայց խնդրի պայմանից մենք գիտենք, որ հոսանքի ուղղությամբ շոգենավը մեկ ժամում անցնում է հեռավորության <math>\frac{1}{5}</math>-ը, իսկ հոսանքին հակառակ՝ <math>\frac{1}{7}</math>-ը։ Կստանանք հետևյալ սիստեմը՝
+<math>
+\begin{cases}
+    \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \;=\; \frac{1}{5}, \\
+    \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \;=\; \frac{1}{7}։
+\end{cases}
+</math>
+Նկատենք, որ այս սիստեմի լուծման համար պետք չէ
+ազատվել հայտարարներից, պետք է պարզապես առաջին հավասարումից հանել երկրորդը։ Արդյունքում մենք կստանանք՝
+<math>\frac{2}{y} \;=\; \frac{2}{35}</math>,
+որտեղից՝ <math>y=35</math>։ Լաստանավերը <math>A</math>-ից <math>B</math> կգնան <math>35</math> ժամում։
+===ԵՐԿՈՒ ԹԻԹԵՂԱՏՈՒՓ ՍՈՒՐՃ===
+'''''Խնդիր'''''
+Սուրճով լփված երկու թիթեղատուփեր ունեն միատեսակ ձև և պատրաստված են միևնույն թիթեղից։ Առաջինը կշռում է <math>2 կգ</math> և ունի <math>12 սմ</math> բարձրություն. երկրորդը կշռում է <math>1 կգ</math> և ունի <math>9,5 սմ</math> բարձրություն։
+Որքա՞ն է սուրճի մաքուր կշիռը թիթեղատուփերում։
+'''''Լուծում'''''
+Մեծ թիթեղատուփի պարունակության կշիռը նշանակենք <math>x</math>-ով, փոքրինը՝ <math>y</math>-ով։ Թիթեղատուփերի կշիռը համապատասխանորեն նշանակենք <math>z</math>-ով և <math>t</math>-ով։ Կունենանք հետևյալ հավասարումները՝
+<math>
+\begin{cases}
+    x + z \;=\; 2, \\
+    y + t \;=\; 1։
+\end{cases}
+</math>
+Քանի որ լիքը թիթեղատուփերի պարունակության կշիռները հարաբերում են, ինչպես դրանց ծավալները, այսինքն՝ ինչպես դրանց բարձրությունների<ref>Այդ համեմատությունից թույլատրելի է օգտվել միայն այն դեպքում, երբ թիթեդատուփերի պատերը չափազանց հաստ չեն (քանի որ թիթհղատուփերի արտաքին և ներքին մակերևույթները, խիստ ասած, նման չեն և, բացի այդ, բանկայի ներքին խոռոչի բարձրությունը, խիստ ասած, տարբերվում է բանկայի բարձրությունից։</ref> խորանարդները, ապա
+<math>\frac{x}{y} \;=\; \frac{12^3}{9,5^3} \approx 2,02</math> կամ <math>x=2,02y</math>։
+Իսկ դատարկ թիթեղատուփերի կշիռները հարաբերում են, ինչպես դրանց լրիվ ''մակերևույթները'', այսինքն՝ ինչպես դրանց բարձրությունների քառակուսիները։ Ուստի՝
+<math>\frac{z}{t} \;=\; \frac{12^2}{9,5^2} \approx 1,60</math> կամ <math>z=1,60t</math>։
+<math>x</math> և <math>z</math>-ի արժեքները տեղադրելով առաջին հավասարման մեջ՝ կստանանք հետևյալ սեստեմը՝
+<math>
+\begin{cases}
+,02y+1,60t \;=\; 2, \\
+    y+t \;=\; 1։
+\end{cases}
+</math>
+Լուծելով այն՝ գտնում ենք.
+<math>y \;=\; 20.21 \;=\; 0,95, \; t=0,05</math>։
+Եվ հետևաբար՝
+<math>x=1,92, \; z=0,08</math>։
+Առանց տարայի սուրճի կշիռը մեծ թիթեղատուփի մեջ <math>1,92</math> կգ է, փոքրում՝ <math>0,95 կգ</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>0,94 կգ</math>։— ''Մ.''։</ref>։
+===ԵՐԵԿՈՒՅԹ===
+Երեկույթին կային <math>20</math> պարողներ։ Մարիան պարում էր յոթ պարողների հետ, Օլգան՝ ութի հետ, Վերան՝ իննի հետ և այդպես շարունակ մինչև Նինան, որը պարում էր բոլոր պարողների հետ։ Քանի՞ պարողներ (տղամարդ) կային երեկույթին։
+Լուծում
+Խնդիրր լուծվում է շատ պարզ, եթե անհայտը ընտրենք հաջողությամբ։ Կորոնենք ոչ թե պարողների թիվը, այլ պարողուհիների, որը կնշանակենք <math>x</math>-ով։
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>I-ը,</TD>
+        <TD>Մարիան</TD>
+        <TD align=center>պարում էր</TD>
+        <TD><math>6+1</math></TD>
+        <TD align=center>պարողների</TD>
+        <TD align=center>հետ,</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>II-ը,</TD>
+        <TD>Օլգան</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD><math>6+2</math></TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>III-ը,</TD>
+        <TD>Վերան</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD><math>6+3</math></TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD colspan=6> ...............................................................................</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>x-ը,</TD>
+        <TD>Նինան</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD><math>6+x</math></TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Կունենանք հավասարումը՝
+<math>x + (6+x)=20</math>,
+որտեղից
+<math>x=7</math>,
+և, հետևաբար, պարող տղամարդկանց թիվը կլինի՝
+<math>20-7=13</math>։
+===ԾՈՎԱՅԻՆ ՀԵՏԱԽՈՒԶՈՒԹՅՈՒՆ===
+'''''Խնդիր առաջին'''''
+Հետախույզին (հետախույզ նավին), որը շարժվում է նավախմբի հետ, տրված է առաջադրանք՝ նավախմբի շարժման ուղղությամբ հետազոտել ծովի շրջանը <math>70</math> մղոնի վրա։ Նավախմբի արագությունը ժամում <math>15</math> մղոն է, հետախույզի արագությունը ժամում <math>28</math> մղոն։ Պահանջվում է որոշել որքա՞ն ժամանակից հետո հետախույզը կվերադառնա նավախումբը։
+'''''Լուծում'''''
+Ժամերի որոնելի թիվը նշանակենք <math>x</math>-ով։ Այդ ժամանակամիջոցում նավախումբը կարող է անցնել <math>15x</math> մղոն, իսկ հետախուզող նավը՝ <math>28x</math>։ Հետախույզն անցավ <math>70</math> մղոն առաջ և դեպի ետ դարձավ այդ ճանապարհի մի մասը, իսկ նավախումբը անցավ այդ ճանապարհի մնացած մասը։ Նրանք միասին անցան <math>28x+15x</math> ճանապարհ, որը հավասար է <math>2.70</math> մղոն։ Ունենք հետևյալ հավասարումը՝
+<math>28x+15x=140</math>,
+Հետախույզը նավախումբ է վերադառնում մոտավորապես <math>3</math> ժամ <math>13</math> րոպե հետո։
+'''''Խնդիր երկրորդ'''''
+Հետախույզը հրաման ստացավ հետախուզումը կատարել նավախմբի առջևից՝ նրա շարժման ուղղությամբ։ <math>3</math> ժամ հետո այդ նավը պետք է վերադառնա նավախումբ։ Նավախումբը թողնելուց որքա՞ն ժամանակ անց հետախուզական նավը պետք է ետ դառնա, եթե նրա արագությունը <math>25</math> հանգույց է, իսկ նավախմբի արագությանը՝ <math>15</math> հանգույց։
+'''''Լուծում'''''
+Դիցուք հետախույզը պետք է ետ դառնա <math>x</math> ժամ հետո. նշանակում է, նավախմբից նա հեռանում էր <math>x</math> ժամ, իսկ գալիս է նրան ընդառաջ <math>3-x</math> ժամ։ Քանի դեռ բոլոր նավերը գնում են մեկ ուղղությամբ, հետախույզը <math>x</math> ժամում նավախմբից կհեռանա նրանց անցած ճանապարհների տարբերության չափով, այսինքն՝
+<math>25x-15x \;=\; 10x</math>։
+Վերադարձին, մինչև նավախմբին հանդիպելը, հետախույզն անցավ <math>25(3-x)</math> ճանապարհ, իսկ նավախումբը՝ <math>15(3-x)</math>։ Մեկը և մյուսը միասին անցան <math>10x</math>։ Հետևաբար՝
+<math>25(3-x)+15(3-x)=10x</math>,
+որտեղից՝
+<math>x=2\frac{2}{5}</math>։
+Հետախույզը պետք է ետ դառնա նավախումբը թողնելուց <math>2</math> ժամ <math>24</math> րոպե հետո։
+===ՎԵԼՈԴՐՈՄՈՒՄ===
+'''''Խնդիր'''''
+Վելոդրոմի շրջանաձև ճանապարհով գնում են երկու հեծանվորդներ անփոփոխ արագությամբ։ Երբ նրանք գնում են հակադիր ուղղություններով, ապա հանդիպում են յուրաքանչյուր <math>10</math> վայրկյանը մեկ, իսկ երթ գնում են մի ուղղությամբ, ապա մեկը մյուսին հասնում է յուրաքանչյուր <math>170</math> վայրկյանից հետո։ Որքա՞ն է յուրաքանչյուր հեծանվորդի արագությունը, եթե շրջանաձև ճանապարհի երկարությանը <math>170 մ</math> է։
+'''''Լուծում'''''
+Եթե առաջին հեծանվորդի արագությունը <math>x</math> է, ապա <math>10</math> վայրկյանում նա անցնում է <math>10x</math> մետր, իսկ երկրորդը, շարժվելով նրան ընդառաջ, հանդիպումից մինչև մյուս հանդիպումն անցնում է շրջանի մնացած մասը, այսինքն՝ <math>170-10x</math> մետր։ Եթե երկրորդի արագությունը <math>y</math> է, ապա դա կազմում է <math>10y</math> մետր. այսպիսով,
+<math>170-10x=10y</math>։
+Իսկ եթե հեծանվորդները գնում են միևնույն ուղղությամբ, ապա <math>170</math> վայրկյանում առաջինը անցնում է <math>170x</math> մետր, իսկ երկրորդը՝ <math>170y</math> մետր։ Եթե առաջինը երկրորդից արագ է գնում, ապա մի հանդիպումից մինչև մյուսը նա անցնում է երկրորդից մի շրջանով ավելի, այսինքն՝
+<math>170x-170y \;=\; 170</math>։
+Այդ հավասարումները պարզեցնելուց հետո կստանանք՝
+<math>x+y=17, \; x-y=1</math>,
+որտեղից՝
+<math>x=9, \; y=8</math> (մետր վայրկյանում)։
+===ՄՈՏՈՑԻԿԼՆԵՐԻ ՄՐՑՈՒՄԸ===
+'''''Խնդիր'''''
+Մոտոցիկլետային մրցումների դեպքում միաժամանակ ստարտ վերցնող երեք մեքենաներից մեկը, կատարելով ժամում առաջինից <math>13 \; կմ</math>-ով պակաս և երրորդից <math>3 \; կմ</math>-ով ավել վազք, հասավ վերջին վայրը առաջինից <math>12</math> րոպեով ավելի ուշ և երրորդից <math>3</math> րոպեով շուտ։ Ճանապարհին կանգառումներ չեն եղել։
+Պահանջվում է որոշել՝
+ա) ի՞նչ մեծություն ունի ճանապարհի հատվածը.
+բ) ի՞նչ մեծություն ունի յուրաքանչյուր մեքենայի արագությունը.
+գ) որքա՞ն է յուրաքանչյուր մեքենայի վազքի տևողությունը։
+'''''Լուծում'''''
+Թեև պահանջվում է որոշել յոթ անհայտ մեծություններ, բայց խնդիրը լուծելիս մենք կբավարարվենք միայն երկուսով. կազմենք երկու անհայտով երկու հավասարումների սիստեմ։
+Երկրորդ մեքենայի ''արագությունը'' նշանակենք <math>x</math>-ով։ Այն ժամանակ առաջինի արագությունը կարտահայտվի <math>x+15</math>-ով, իսկ երրորդինը <math>x-3</math>-ով։
+Ճանապարհի հատվածի երկարությունը նշանակենք <math>y</math> տառով։ Այդ դեպքում վազքի տևողությունը կլինի՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD>առաջին</TD>
+        <TD align=center>մեքենայի</TD>
+        <TD align=center>համար</TD>
+        <TD> . . . </TD>
+        <TD><math>\frac{y}{x +15}</math>,</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD>երկրորդ</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD> . . . </TD>
+        <TD><math>\frac{y}{x}</math>,</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD>երրորդ</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD align=center>»</TD>
+        <TD> . . . </TD>
+        <TD><math>\frac{y}{x-3}</math>։</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Մեն գիտենք, որ երկրորդ մեքենան ճանապարհին եղել է առաջինից <math>12</math> րոպեով (այսինքն՝ <math>\frac{1}{5}</math> ժամով) ավելի։ Ուստի՝
+<math>\frac{y}{x}-\frac{y}{x+15} \;=\; \frac{1}{5}</math>։
+Երրորդ մեքենան ճանապարհին եղել է երկրորդից <math>3</math> րոպեով (այսինքն, <math>\frac{1}{20}</math> ժամով) ավելի։ Հետևաբար՝
+<math>\frac{y}{x-3} - \frac{y}{x} \;=\; \frac{1}{20}</math>։
+Այդ հավասարումներից երկրորդը բազմապատկենք <math>4</math>-ով և հանենք աոաջինից՝
+<math>\frac{y}{x} - \frac{y}{x+15} - 4\left(\frac{3}{x-3} - \frac{y}{x}\right) \;=\; 0</math>։
+Այս հավասարման բոլոր անդամները բաժանենք <math>y</math>-ի վրա (այդ մեծությունը, ինչպես մենք գիտենք, զրոյի հավասար չէ) և դրանից հետո ազատվենք հայտարարներից։ Մենք կստանանք՝
+<math>(x+15)(x-3) - x(x-3) - 4x(x+15)+4(x+15)(x-3) \;=\; 0</math>
+կամ փակագծերը բացելուց և նման անդամների միացումից հետո՝
+<math>3x-225=0</math>,
+որտեղից՝
+<math>x=75</math>։
+Գիտենալով <math>x</math>-ը, առաջին հավասարումից գտնում ենք <math>y</math>-ը՝
+<math>\frac{y}{75}-\frac{y}{90} \;=\; \frac{1}{5}</math>,
+որտեղից՝
+<math>y=90</math>։
+Այսպիսով, մեքենաների արագությունները որոշված են՝ ժամում <math>90, \; 75</math> և <math>72</math> կիլոմետր։
+Ամբողջ ճանապարհի երկարությունը <math>=90 կմ</math>։
+Ճանապարհի երկարությունը բաժանելով յուրաքանչյուր մեքենայի արագության վրա, գտնում ենք վազքերի տևողությունը՝
+առաջին մեքենայինը . . . <math>1</math> ժամ։
+երկրորդ մեքենայինը . . . <math>1</math> ժամ <math>12</math> րոպե։
+երրորդ մեքենայինը . . . <math>1</math> ժամ <math>15</math> րոպե։
+Այսպիսով, բոլոր յոթ անհայտները որոշված են։
+===ԸՆԹԱՑՔԻ ՄԻՋԻՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆԸ===
+'''''Խնդիր'''''
+Ավտոմեքենան երկու քաղաքների միջև եղած հեռավորությունն անցավ <math>60 կմ/ժամ</math> արագությամբ և վերադարձավ <math>40 կմ/ժամ</math> արագությամբ։ Որքա՞ն է եղել նրա ընթացքի միջին արագությունը։
+Լուծում
+Խնդրի խաբուսիկ պարզությունը շատերին մոլորության մեջ է գցում։ Խորամուխ չլինելով հարցի պայմանի մեջ, հաշվում են <math>60</math>-ի և <math>40</math>-ի միջին թվաբանականը, այսինքն՝ գտնում են հետևյալ կիսագումարը՝
+<math>\frac{60+40}{2} \;=\; 50</math>։
+Այդ «պարզ» լուծումը ճիշտ կլիներ, եթե ընթացքը երկու ուղղությամբ էլ հավասար ժամանակ տևեր։ Բայց պարզ է, որ ետ վերադառնալը (փոքր արագությամբ) պետք է խլեր ավելի շատ ժամանակ, քան այնտեղ գնալը։ Նկատի ունենալով այս, մենք գտնում ենք, որ պատասխանը՝ <math>50</math>-ը ճիշտ չէ։
+Եվ իրոք, հավասարումը տալիս է այլ պատասխան։ Հավասարում կազմելը դժվար չէ, եթե մտցնենք օժանդակ անհայտ <math>l</math> մեծությունը՝ քաղաքների միջև հղած հեռավորությունը։ Նշանակելով որոնելի միջին արագությունը <math>x</math>-ով, կազմում ենք հավասարում՝
+<math>\frac{2l}{x} \;=\; \frac{l}{60}+\frac{l}{40}</math>։
+Քանի որ <math>l</math>-ը զրոյի հավասար չէ, կարող ենք հավասարումը բաժանել <math>l</math>-ի վրա. կստանանք՝
+<math>\frac{2}{x} \;=\; \frac{1}{60}+\frac{1}{40}</math>,
+որտեղից՝
+<math>x \;=\; \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} \;=\; 48</math>։
+Այսպիսով, ճիշտ պատասխանը ոչ թե <math>50 կմ/ժամ</math> է, այլ՝ <math>48</math>։
+Իսկ եթե մենք այդ խնդիրը լուծեինք տառային նշանակումներով (ավտոմեքենան գնում էր <math>a կմ/ժամ</math> արագությամբ և ետ էր վերադառնում <math>b կմ/ժամ</math> արագությամբ), ապա կստացվեր հետևյալ հավասարումը՝
+<math>\frac{2l}{x} \;=\; \frac{l}{a}+\frac{l}{b}</math>,
+որտեղից <math>x</math>-ի համար կստանանք հետևյալ արժեքը՝
+<math>\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}</math>։
+Այդ մեծությունը <math>a</math> և <math>b</math> մեծությունների համար կոչվում է ''միջին հարմոնիկ''։
+Այսպիսով, ընթացքի միջին արագությանը շարժման արագությունների համար արտահայտվում է ոչ թե միջին թվաբանականով, այլ միջին հարմոնիկով։ <math>a</math> և <math>b</math> դրական թվերի համար միջին հարմոնիկը միշտ ''փոքր է'' դրանք միջին թվաբանականից՝
+<math>\frac{a+b}{2}</math>-ից,
+որը և մենք նկատեցինք թվային օրինակի վրա (<math>48</math>-ը փոքր է <math>50</math>-ից)։
+===ԱՐԱԳԱԳՈՐԾ ՀԱՇՎԻՉ ՄԵՔԵՆԱՆԵՐ===
+Հետաքրքրաշարժ հանրահաշվի» պլանում հավասարումների մասին եղած զրույցը չի կարող հաշվիչ մեքենաներով հավասարումների լուծման կողքով անցնել։ Մենք արդեն խոսել ենք այն մասին, որ հաշվիչ մեքենաները կարող են շախմատ (կամ շաշկի) «խաղալ»։ Մաթեմատիկական մեքենաները կարող են կատարել և այլ առաջադրանքներ, օրինակ, մի լեզվից մյուսին թարգմանելը, երաժշտական մելոդիաները նվագախմբի համար պատրաստելը և այլն։ Հարկավոր է միայն մշակել համապատասխան «ծրագիր», որով մեքենան գործելու է։
+Իհարկե, մենք այստեղ չենք դիտարկի «ծրագրեր» մշակելու հարցը շախմատ խաղալու կամ մի լեզվից մյուսին թարգմանելու համար։ Այդ «ծրագրերը» ծայրահեղ բարդ են։ Մենք կվերլուծենք միայն երկու շատ հասարակ «ծրագրեր»։ Սակայն, սկզբում հարկավոր է մի քանի խոսք ասել հաշվիչ մեքենայի կառուցվածքի մասին։
+Վերևում (գլ. I) մենք խոսել ենք այն հարմարանքների մասին, որոնք թույլատրում են վայրկյանում հազարավոր և տասը հազարավոր հաշվումներ կատարել։ Մեքենալի այն մասը, որը ծառայում է գործողությունները անմիջականորեն կատարելու համար (մեծ մասամբ թվարկության երկուական սիստեմով), կոչվում է արիֆմոմետր։ Բացի այդ, մեքենան կազմված է ''կառավարող հարմարանքից'' (որ կարգավորում է ամբողջ մեքենայի աշխատանքը) և այսպես կոչված ''հիշողությունից''։ Հիշողությունը կամ, այլ կերպ, հիշող հարմարանքն իրենից ներկայացնում է թվերի և պայմանական ազդանշանների համար պահեստարան։ Վերջապես, մեքենան ունի հատուկ հարմարանքներ նիշավոր նոր տվյալներ մտցնելու և պատրաստի արդյունքներ ստանալու համար։ Այդ պատրաստի արդյունքները մեքենան տպում է (արդեն տասնորդական սիստեմով) հատուկ քարտերի վրա։
+Բոլորին լավ հայտնի է, որ ձայնը կարելի է գրի առնել սկավառակի կամ ժապավենի վրա և այնուհետև վերարտադրել։ Բայց ձայնի գրառումը սկավառակի վրա հնարավոր է կատարել միայն մեկ անգամ. նոր գրանցման համար արդեն հարկավոր է նոր սկավառակ։ Փոքր ինչ այլ կերպ է իրականացվում մագնիտաֆոնով ձայնագրումը, որը տեղի է ունենում հատուկ ժապավենի մագնիսացման միջոցով։ Գրված ձայնը կարելի է վերարտադրել ուզածին չափ, իսկ եթե գրառումը հարկավոր չէ, ապա կարելի է ժապավենը «ապամագնիսացնել» և նրա վրա կատարել նոր գրանցում։ Միևնույն ժապավենի վրա կարելի է կատարել հաջորդաբար մի քանի գրանցումներ, ընդ որում յուրաքանչյուր նոր գրանցման դեպքում նախորդը «ջնջվում է»։
+Նման սկզբունքի վրա էլ հիմնված է հիշող հարմարանքների գործողությունը։ Թվերը և պայմանական ազդանշանները գրանցվում են (էլեկտրական, մագնիսական կամ մեխանիկական ազդանշանների միջոցով) հատուկ թմբկագլանի, ժապավենի կամ այլ հարմարանքի վրա։ Անհրաժեշտ պահին գրված թիվը հնարավոր է «կարդալ», իսկ եթե այն այլևս հարկավոր չէ, ապա կարելի է ջնջել և նրա տեղը դրել նոր թիվ։ Թվերի կամ պայմանական ազդանշանների «հիշելը» և «կարդալը» ընդամենը տևում է վայրկյանի միլիոներորդ մասը։
+«Հիշողությունը» կարող է պարունակել մի քանի հազար բջիջներ, յուրաքանչյուր բջիջ մի քանի տասնյակ էլեմենտներ, օրինակ՝ մագնիսական։ Թվերը երկուական սիստեմով գրելու համար պայմանավորվում ենք հաշվել, որ յուրաքանչյուր մագնիսացված էլեմենտ պատկերում է <math>1</math> թվանշանը, իսկ չմագնիսացվածը՝ <math>0</math> թվանշանը։ Դիցուք, հիշողության յուրաքանչյուր բջիջը պարունակում է <math>25</math> էլեմենտ (կամ, ինչպես ասում են, <math>25</math> «երկուական կարգեր»), ընդ որում բջիջի առանձին էլեմենտը ծառայում է թվի նշանը (+ կամ -) նշանակելու համար, հաջորդ <math>14</math> կարգերը ծառայում են թվի ամբողջ մասը գրելու համար, իսկ վերջին <math>10</math> կարգերը՝ կոտորակային մասը գրելու համար։ 11-րդ նկարում սխեմատիկորեն պատկերված են հիշողության երկու բջիջներ՝ յուրաքանչյուրը <math>25</math> կարգով։ Մագնիսացված էլեմենտները նշանակված են + նշանով, չմագնիսացվածները՝ - նշանով։ Պատկերված բջիջներից դիտարկենք վերևինը (ստորակետը ցույց է տալիս, թե որտեղ է սկսվում թվի կոտորակային մասը, իսկ կետագիծը մնացածներից անջատում է առաջին կարգը, որը ծառայում է նշանը գրելու համար)։ Նրա մեջ գրված է (թվարկության երկուական սիստեմով) <math>+1011,01</math> թիվը կամ մեզ համար սովորական թվարկության տասնորդական սիստեմով՝ <math>11,25</math> թիվը։
+Բացի թվերից, հիշողության բշիջներում գրվում են հրամաններ, որոնցից կազմված է ծրագիրը։ Դիտարկենք, թե ինչպիսի տեսք կունենան հրամանները այսպես կոչված երեքհասցեանի մեքենայի համար։ Այդ դեպքում հրամանը գրելիս հիշողության բջիջը բաժանվում է 4 մասի (կետագծերը ներքևի բջիջի վրա, նկ. 11)։ Առաջին մասը ծառայում է օպերացիան նշանակելու համար, ընդ որում օպերացիաները գրվում են թվերով (համարներով)։ Օրինակ,
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD>գումարում</TD>
+        <TD>—</TD>
+        <TD>օպերացիա</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>I</TD>
+        <TD>,</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD>հանում</TD>
+        <TD>—</TD>
+        <TD>օպերացիա</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>II</TD>
+        <TD>,</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD>բազմապատկում</TD>
+        <TD>—</TD>
+        <TD>օպերացիա</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>III</TD>
+        <TD>և այլն։</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Հրամանները վերծանում են այսպես՝ բջիջի առաջին մասը օպերացիայի համարն է, երկրորդ և երրորդ մասերի բջիջների համարները (հասցեները), որոնցից պետք է վերցնել այդ օպերացիան կատարելու համար թվեր, չորրորդ մասը բջիջի համարն է (հասցեն), որտեղ պետք է ուղարկել ստացված արդյունքը։ Օրինակ, 11-րդ նկարի վրա ներքևի տողում) գրված են երկուական սիստեմով <math>11, \; 11, \; 111, \; 1011</math> կամ տասնորդական սիստեմով՝ <math>3, \; 3, \; 7, \; 11</math> թվերը, որ նշանակում է հետևյալ հրամանը՝ կատարել III օպերացիան (այսինքն բազմապատկում) այն թվերի հետ, որոնք գտնվում են հիշողության ''երրորդ և յոթերորդ'' բջիջներում, իսկ ստացված արդյունքը «հիշել» (այսինքն՝ գրել) ''տասնմեկերորդ'' բջիջում։
+Հետագայում մենք թվերը և հրւսմանները կգրենք ոչ թե պայմանական նշաններով, ինչպես 11-րդ նկարում է, այլ ուղղակի թվարկության տասնորդական սիստեմով։ Օրինակ, 11-րդ նկարի ներքևի տողում պատկերված հրամանը գրվում է այսպես՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD>բազմապատկում</TD>
+        <TD>3</TD>
+        <TD>7</TD>
+        <TD>11։</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Այժմ դիտարկենք ծրագրերի երկու հասարակ օրինակներ։
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD colspan=7 align=center>''Ծրագիր 1''</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>1)</TD>
+        <TD>գումարում</TD>
+        <TD>4</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>5</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>4</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>2)</TD>
+        <TD>բազմապատկում</TD>
+        <TD>4</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>4</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD><math>\to</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>3)</TD>
+        <TD>կ. փ.</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>1</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>4)</TD>
+        <TD>0</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>5)</TD>
+        <TD>1</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Տեսնենք թե ինչպես կաշխատի մեքենան, որի առաջին հինգ բջիջներում գրված են այդ տվյալները։
+''1-ին հրաման''՝ գումարել 4-րդ և 5-րդ բջիջներում գրված թվերը և արդյունքը նորից ուղարկել 4-րդ բջիջը (վաղօրոք այնտեղ գրվածի փոխարեն)։ Այսպիսով, մեքենան 4-րդ բջիջում գրում է <math>0+1=1</math> թիվը։ Առաջին հրամանը կատարելուց հետո 4-րդ և 5-րդ բջիջներում կլինեն հետևյալ թվերը՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>4)</TD>
+        <TD>1</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>5)</TD>
+        <TD>1։</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+''2-րդ հրամանը''. չորրորդ բջիջում եղած թիվը բազմապատկել իրենով (այսինքն՝ այն բարձրացնել քառակուսի) և արդյունքը, այսինքն՝ <math>1^2</math>, գրել քարտի վրա (սլաքը ցույց է տալիս պատրաստի արդյունքը)։
+''3-րդ հրաման՝ կառավարման փոխանցումը'' 1-ին բջիջին։ Այլ կերպ ասած, կ. փ. հրամանը նշանակում է, որ պետք է նորից կատարել բոլոր հրամանները ըստ կարգի, սկսած 1-ից։ Այսպիսով, նորից 1-ին հրաման։
+''1-ին հրաման''. 4-րդ և 5-րդ բջիջներում եղած թվերը գումարել և արդյունքը նորից գրել 4-րդ բջիջում։ 4-րդ բջիջում արդյունքը կլինի <math>1+1=2</math> թիվը
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>4)</TD>
+        <TD>2</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>5)</TD>
+        <TD>1։</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+''2-րդ հրաման''. 4-րդ բջիջում եղած թիվը բարձրացնել քառակուսի և ստացված արդյունքը, այսինքն <math>2^2</math>, գրել քարտի վրա (սլաքը ցույց է տալիս արդյունքը)։
+''3-րդ հրաման''. կատավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին (այսինքն՝ դարձյալ անցում առաջին հրամանին)։
+''1-ին հրաման''. <math>2+1=3</math> թիվը ուղարկել 4-րդ բջիջին.
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>4)</TD>
+        <TD>3</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>5)</TD>
+        <TD>1։</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+''2-րդ հրաման''. քարտի վրա գրել <math>3^2</math> թիվը։
+''3-րդ հրաման''. կառավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին և այլն։
+Մենք տեսնում ենք, որ մեքենան մեկը մյուսի հետևից հաշվում է ''ամբողջ թվերի քառակուսիները'' և դրանք գրում է քարտի վրա։ Նկատեցեք, որ յուրաքանչյուր անգամ ձեռքով նոր թիվ հավաքելը պետք չէ, մեքենան ինքը իրար հետևից ընտրում է ամբողջ թվեր և դրանց բարձրացնում քառակուսի։ Գործելով այդ ծրագրով՝ մեքենան հաշվում է <math>1</math>-ից մինչև <math>10\;000</math>-ը եղած բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները մի քանի տասնյակ վայրկյանի ընթացքում։
+Պետք է նշել, որ իրականում ամբողջ թվերի քառակուսիները հաշվելու համար ծրագիրը մասամբ ավելի բարդ կլինի, քան այն, որ բերված է վերևում։ Դա ամենից առաջ վերաբերում է 2-րդ հրամանին։ Բանն այն է, որ քարտի վրա պատրաստի արդյունքի գրելը պահանջում է ավելի շատ ժամանակ, քան մեքենայով մեկ օպերացիայի կատարելը։ Ուստի, սկզբից պատրաստի արդյունքները «հիշվում են» «հիշողության» ազատ բջիջներում, իսկ դրանից հետո «առանց շտապելու» արտադրվում են քարտի վրա։ Այսպիսով, առաջին վերջնական արդյունքը պետք է «հիշվի» «հիշողության» 1-ին ազատ բջիջում, երկրորդ արդյունքը՝ 2-րդ ազատ բջիջում, երրորդը՝ 3-րդում և այլն։ Վերը բերված պարզեցված ծրագրում դա ոչ մի կերպ հաշվի չէր առնված։
+Բացի այդ, մեքենան չի կարող երկար ժամանակ զբաղվել քառակուսիների հաշվումներով, քանի որ «հիշողության» րջիջները չեն բավարարում, իսկ մենք չենք կարող «գուշակել», թե մեքենան արդեն հաշվե՞լ է մեզ անհրաժեշտ քառակուսիների թիվը, որպեսզի այդ պահին անջատենք այն. (չէ՞ որ մեքենան վայրկյանում կատարում է հազարավոր օպերացիաներ)։ Դրա համար էլ նախատեսված են հատուկ հրամաններ՝ պահանջված պահին մեքենաները կանգնեցնելու համար։ Օրինակ, ծրագիրը կարելի է կազմել այնպես, որ մեքենան հաշվի 1-ից մինչև 10000 բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները և դրանից հետո ավտոմատորեն անջատվի։
+Կան և հրամանների ուրիշ, ավելի բարդ տեսակները, որոնց մենք այստեղ չենք անդրադառնա պարզության համար։
+Ահա թե ինչ տեսք կունենա <math>1</math>-ից մինչն <math>10\;000</math>-ը բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները հաշվելու ծրագիրը (ավելի լրիվ տեսքով)։
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD colspan=5 align=center>''Ծրագիր 1ա''</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>1)</TD>
+        <TD>գումարում</TD>
+        <TD>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>9</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>8</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>2)</TD>
+        <TD>բազմապատկում</TD>
+        <TD>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>10</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>3)</TD>
+        <TD>գումարում</TD>
+        <TD>2</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>6</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>2</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD valign=top align=right>4)</TD>
+        <TD>կ. պ. փ.<br>(կառավարման<br>պայմանական<br>փոխանցում)</TD>
+        <TD valign=top>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD valign=top>7</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD valign=top align=right>1</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>5)</TD>
+        <TD>կանգնիր</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>6)</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>0</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>0</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>1</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>7)</TD>
+        <TD colspan=6>10000</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>8)</TD>
+        <TD colspan=6>0</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>9)</TD>
+        <TD colspan=6>1</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>10)</TD>
+        <TD colspan=6>0</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>11)</TD>
+        <TD colspan=6>0</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>12)</TD>
+        <TD colspan=6>0</TD>
+     </TR>
+    <TR>
+        <TD colspan=7>..................................</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Առաջին երկու հրամանները քիչ են տարբերվում այն հրամաններից, որոնք կային նախորդ պարզեցված ծրագրում։ Այդ երկու հրամանների կատարումից հետո 8-րդ, 9-րդ և 10-րդ բջիջներում կլինեն հետևյալ թվերը՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>8)</TD>
+        <TD colspan=6>1</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>9)</TD>
+        <TD colspan=6>1</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>10)</TD>
+        <TD colspan=6><math>1^2</math></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Երրորդ հրամանը շատ հետաքրքիր է. պետք է գումարել այն, ինչ կա 2-րդ և 6-րդ բջիջներում, և արդյունքները նորից գրել 2-րդ բջիջում, որից հետո 2-րդ բջիջը կունենա հետևյալ տեսքը՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>2)</TD>
+        <TD>բազմապատկում</TD>
+        <TD>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>11</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Ինչպես տեսնում եք, երրորդ հրամանը կատարելուց հետո ''փոխվում է երկրորդ'' հրամանը, ավելի ճիշտ՝ փոխվում է 2-րդ հրամանի հասցեներից մեկը։ Ստորև մենք կպարզաբանենք, թե ինչի համար է դա արվում։
+''Չորրորդ հրաման''. կառավարման պայմանական փոխանցումը (ծրագրում վաղօրոք դիտարկված 3-րդ հրամանի փոխարեն)։ Այդ հրամանը կատարվում է այսպես. եթե 8-րդ բջիջում եղած թիվը փոքր է 7-րդ բջիջում եղած թվից, ապա կառավարումն հաղորդվում է 1-ին բջիջին. հակառակ դեպքում կատարվում է հաջորդ (այսինքն՝ 5-րդ) հրամանը։ Մեր դեպքում իրոք <math>1<10000</math>, այնպես որ տեղի կունենա կառավարման փոխանցում 1-ին բջիջին։ Այսպիսով, նորից 1-ին հրամանը։
+-ին հրամանը կատարելուց հետո, 8-րդ բջիջում կլինի 2 թիվը.
+Երկրորդ հրամանը, որն այժմ ունի հետևյալ տեսքը՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>2)</TD>
+        <TD>բազմապատկում</TD>
+        <TD>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>11</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+կայանում է նրանում, որ <math>2^2</math> թիվը ուղարկվում է 11-րդ բջիջին։ Այժմ պարզ է, թե ինչու ավելի շուտ կատարվեց 3-րդ հրամանը նոր թիվը, այսինքն <math>2^2</math>, պետք է ընկնի ոչ թե 10-րդ բջիջում, որն արդեն զբաղված է, այլ հաջորդում։ 1-ին և 2-րդ հրամանները կատարվելուց հետո մենք կունենանք հետևյալ թվերը
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>8)</TD>
+        <TD>2</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>9)</TD>
+        <TD>1</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>10)</TD>
+        <TD><math>1^2</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>11)</TD>
+        <TD><math>2^2</math></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+-րդ հրամանը կատարվելուց հետո 2-րդ բջիջը կընդունի հետևյալ տեսքը՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>2)</TD>
+        <TD>բազմապատկում</TD>
+        <TD>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>8</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>12։</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Քանի որ 8-րդ բջիջում դեռևս փոքր թիվ է գտնվում, քան 9-րդ բջիջում, ապա 4-րդ հրամանը նշանակում է կրկին կառավարման փոխանցում 1-ին բջիջին։
+Այժմ 1-ին և 2-րդ հրամանները կատարվելուց հետո կստանանք՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>8)</TD>
+        <TD>3</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>9)</TD>
+        <TD>1</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>10)</TD>
+        <TD><math>1^2</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>11)</TD>
+        <TD><math>2^2</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>12)</TD>
+        <TD><math>3^2</math></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+Մինչև ե՞րբ մեքենան այդ ծրագրով կհաշվի քառակուսիները։ Այնքան ժամանակ, մինչև որ 6-րդ բջիջում չի հայտնվել <math>10\;000</math> թիվը, այսինքն՝ քանի դեռ <math>1</math>-ից մինչև <math>10\;000</math> թվերի քառակուսիները չեն հաշվարկվել։ Դրանից հետո 4-րդ հրամանը կառավարումն արդեն չի փոխանցի  1-ին բջիջին (քանի որ 8-րդ բջիջում եղած թիվը ոչ թե փոքր է, այլ հավասար է այն թվին, որը գտնում է 7-րդ բջիջում), այսինքն՝ 4-րդ հրամանից հետո մեքենան կատարում է 5-րդ հրամանը՝ կանգնում է(անջատվում է)։
+Այժմ դիտարկենք ավելի բարդ ծրագրի օրինակ՝ հավասարումների սիստեմների լուծումը։ Այդ դեպքում մենք կդիտարկենք պարզեցված ծրագիրը։ Ցանկության դեպքում ընթերցողն ինքը կմտածի այն մասին, թե ինչպես կարտահայտվի այդպիսի ծրագիրը ավելի լրիվ տեսքով։
+Դիցու֊ք տրված է հավասարումների հետևյալ սիստեմը՝
+<math>
+\begin{cases}
+    ax+by=c, \\
+    dx+ey=f։
+\end{cases}
+</math>
+Այս սիստեմը դժվար չէ լուծել.
+<math>x \;=\; \frac{ce-bf}{ae-bd},\; y \;=\; \frac{af-cd}{ae-bd}</math>։
+Այդպիսի սիստեմներ լուծելու համար (a, b, c, d, e, f գործակիցների տրված թվային արժեքներով) հավանաբար, ձեզ անհրաժեշտ է մի քանի տասնյակ վայրկյան։ Իսկ մեքենան կարող է լուծել վայրկյանում հարյուրավոր այդպիսի սիստեմներ։
+Դիտարկենք համապատասխան ծրագիրը։ Ասենք թե միանգամից տրված են մի քանի սիստեմներ՝
+a, b, c, d, e, f, a՛, b՛,... գործակիցների թվային արժեքներով։
+Ահա համապատասխան ծրագիրը՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD colspan=22 align=center>''Ծրագիր 2''</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>1)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>28</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>30</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>20</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>14)</TD>
+        <TD><math>+</math></TD>
+        <TD align=right>3</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>19</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>3</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>27)</TD>
+        <TD>b</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>2)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>27</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>31</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>21</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>15)</TD>
+        <TD><math>+</math></TD>
+        <TD align=right>4</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>19</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>4</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>28)</TD>
+        <TD>c</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>3)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>26</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>30</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>22</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>16)</TD>
+        <TD><math>+</math></TD>
+        <TD align=right>5</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>19</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>5</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>29)</TD>
+        <TD>d</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>4)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>27</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>29</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>23</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>17)</TD>
+        <TD><math>+</math></TD>
+        <TD align=right>6</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>19</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>6</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>30)</TD>
+        <TD>e</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>5)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>26</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>31</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>24</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>18)</TD>
+        <TD colspan=5>կ. փ.</TD>
+        <TD align=right>1</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>31)</TD>
+        <TD>f</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>6)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>28</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>29</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>25</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>19)</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>6</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>6</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>0</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>32)</TD>
+        <TD>a՛</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>7)</TD>
+        <TD><math>-</math></TD>
+        <TD align=right>20</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>21</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>20</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>20)</TD>
+        <TD colspan=2 align=right>0</TD>
+        <TD colspan=7></TD>
+        <TD align=right>33)</TD>
+        <TD>b՛</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>8)</TD>
+        <TD><math>-</math></TD>
+        <TD align=right>22</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>23</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>21</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>21)</TD>
+        <TD colspan=2 align=right>0</TD>
+        <TD colspan=7></TD>
+        <TD align=right>34)</TD>
+        <TD>c՛</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>9)</TD>
+        <TD><math>-</math></TD>
+        <TD align=right>24</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>25</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>22</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>22)</TD>
+        <TD colspan=2 align=right>0</TD>
+        <TD colspan=7></TD>
+        <TD align=right>35)</TD>
+        <TD>d՛</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>10)</TD>
+        <TD><math>:</math></TD>
+        <TD align=right>20</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>21</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right><math>\to</math></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>23)</TD>
+        <TD colspan=2 align=right>0</TD>
+        <TD colspan=7></TD>
+        <TD align=right>36)</TD>
+        <TD>e՛</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>11)</TD>
+        <TD><math>:</math></TD>
+        <TD align=right>22</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>21</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right><math>\to</math></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>24)</TD>
+        <TD colspan=2 align=right>0</TD>
+        <TD colspan=7></TD>
+        <TD align=right>37)</TD>
+        <TD>f՛</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>12)</TD>
+        <TD><math>+</math></TD>
+        <TD align=right>1</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>19</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>1</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>25)</TD>
+        <TD colspan=2 align=right>0</TD>
+        <TD colspan=7></TD>
+        <TD align=right>38)</TD>
+        <TD>a՛՛</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>13)</TD>
+        <TD><math>+</math></TD>
+        <TD align=right>2</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>19</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>2</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>26)</TD>
+        <TD colspan=2 align=right>a</TD>
+        <TD colspan=7></TD>
+        <TD align=right colspan=2>.....</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+''1-ին հրաման''. կազմել 28-րդ և 30-րդ բջիջներում գտնվող թվերի արտադրյալը և արդյունքն ուղարկել 20-րդ բջիջին։ Այլ կերպ աաած, 20-րդ բջիջում կգրվի <math>ce</math> թիվը։
+Համանման ձևով կատարվում են 2-րդից 6-րդ հրամանները։ Դրանց անջատումից հետո 20-րդից մինչև 25-րդ բջիջներում կգտնվեն հետևյալ թվերը՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>20)</TD>
+        <TD><math>ce</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>21)</TD>
+        <TD><math>bf</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>22)</TD>
+        <TD><math>ae</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>23)</TD>
+        <TD><math>bd</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>24)</TD>
+        <TD><math>af</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>25)</TD>
+        <TD><math>cd</math></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+''7-րդ հրաման''. 20-րդ բջիջում գտնվող թվերից հանել 21-րդ բջիջում գտնվող թիվը և արդյունքը (այսինքն՝ <math>(ce-bf)</math> նորից գրել 20-րդ բջիջում։
+Համանման ձևով կատարվում են 8-րդ և 9-րդ հրամանները։ 20-րդ, 21-րդ, 22-րդ բջիջներում կառաջանան հետևյալ թվերը
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>20)</TD>
+        <TD><math>ce-bf</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>21)</TD>
+        <TD><math>ae-bd</math></TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>22)</TD>
+        <TD><math>af-cd</math></TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+''10-րդ և 11-րդ հրամաններ''. կազմվում են
+<math>\frac{cp-bf}{ae-bd} \text{ և } \frac{af-cd}{ae-bd}</math>
+քանորդները և գրվում քարտի վրա (այսինքն՝ տրվում են՝ ինչպես պատրաստի արդյունքներ)։ Դա հենց հավասարումների առաջին սիստեմից ստացված անհայտների արժեքներն են։
+Այսպիսով, առաջին սիստեմը լուծված է։ Ինչի՞ համար են հետագա հրամանները։ Ծրագրի հետագա մասը (12-րդից մինչև 19-րդ բջիջները) նշանակված է նրա համար, որպեսզի մեքենային ստիպեն «անցնելու» հավասարումների երկրորդ սիստեմին։ Տեսնենք, թե ինչպես է կատարվում այդ։
+-րդից մինչև 11-րդ հրամանները կայանում են նրանում, որ 1-ից 6-րդ բջիջների պարունակությանն ավելանում է այն գրանցումը, որն ունի 19-րդ բջիջը, իսկ արդյունքում նորից մնում են 1-ից 6-րդ բջիջները։ Այս ձևով 17-րդ հրամանը կատարելուց հետո առաջին վեց բջիջները կունենան հետևյալ տեսքը՝
+<TABLE border = 0>
+    <TR>
+        <TD align=right>1)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>34</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>36</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>20</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>2)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>33</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>37</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>21</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>3)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>32</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>36</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>22</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>4)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>33</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>35</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>23</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>5)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>32</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>37</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>24</TD>
+    </TR>
+    <TR>
+        <TD align=right>6)</TD>
+        <TD><math>\times</math></TD>
+        <TD align=right>34</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD>35</TD>
+        <TD></TD>
+        <TD align=right>25</TD>
+    </TR>
+</TABLE>
+''18-րդ հրաման''. կառավարման փոխանցումը առաջին բջիջին։
+Առաջին վեց բջիջներում ինչո՞վ են տարբերվում նոր գրանցումները նախկին գրանցումներից։ Նրանով, որ այդ բջիջներում առաջին երկու հասցեներն ունեն ոչ թե 26-ից մինչև 31<ref>Գրքում վրիպակ է՝ 11։— ''Մ.''։</ref> համարները,ինչպես առաջ, այլ 32-ից մինչև 37 համարները։ Այլ կերպ ասած, մեքենան կրկին կկատարի նույն գործողությունները, բայց թվերը կվերցնի ոչ թե 20-րդ, 31-րդ բջիջներից, այլ 32-րդ, 37-րդ բջիջներից, որտեղ գտնվում են հավասարումների երկրորդ սիստեմի գործակիցները։ Այսպիսով, մեքենան լուծում է հավասարումների երկրորդ, սիստեմը։ Երկրորդ սիստեմը լուծելուց հետո մեքենան անցնում է երրորդին և այլն։
+Ասածից պարզ է դառնում, թե ինչքան կարևոր է ճիշտ «ծրագիր» կազմել կարողանալը։ Չէ՞ որ մեքենան «ինքը» ոչինչ անել չի «կարող»։ Նա կարող է կատարել միայն իրեն առաջադրված ծրագիրը։ Կան ծրագրեր, արմատներ, լոգարիթմներ, սինուսներ հաշվելու, բարձր աստիճանի հավասարումներ լուծելու համար և այլն։ Մենք արդեն վերևում խոսել ենք այն մասին, որ գոյություն ունեն ծրագրեր շախմատի խաղի, օտար լեզուներից թարգմանություն կատարելու համար,...։ Իհարկե, որքան բարդ է առաջադրանքը, այնքան էլ բարդ է նրան համապատասխանող ծրագիրը։
+Վերջում նշենք, որ գոյություն ունեն այսպես կոչված ''ծրագրող ծրագրեր'', այսինքն այնպիսիներ, որոնց օգնությամբ մեքենան ինքը կարող է կազմել խնդրի լուծման համար պահանջվող ծրագիրը։
+Այդ զգալիորեն թեթևացնում է ծրագրի կազմելը, որը հաճախ շատ աշխատատար է լինում։

Ծրագիր 1

բազմապատկում

[math]\to[/math]