Changes
== pages 80-105 ==
== pages 106-108 ==
և ԴՑ (գիծ) գումարած (քառակուսի) ՖԲ-ի վրա հավասար է ՖԲ-ի և ԲԴ-ի վրա (քառակուսիների
գումարին): Թող ՖԲ-ի վրա (քառակուսին) հանված լինի երկուսից: Արդյունքում մնացած (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ-ով և ԴՑ-ով, հավասար է դիպչող գծի (ԴԲ-ի) վրա (քառակուսուն): Եվ թող ԴՑԱ-ն չլինի շրջանագծի ԱԲԳ կենտրոնի միջով, և գտնվի
կենտրոնը՝ Ե-ն, և Ե կետից դեպի ԱՑ ուղղահայաց գիծ տարված լինի ԵԶ [Պնդ. 1.12]: Եվ միացվեն ԵԲ, ԵՑ և
ԵԴ: (Անկյունը) ԵԲԴ (հավասար է) ուղիղ անկյան [Պնդ. 3.18]: Եվ քանի որ ԵԿ կենտրոնի միջով անցնող ուղիղ գիծը հատում է մեկ այլ ԱՑ ուղիղ գիծ, որը կենտրոնի միջով չէ, ուղիղ անկյան տակ, ապա այն նաև բաժանում է կեսերի [Պնդ. 3.3]: Այսպիսով, ԱՖ հավասար է ՖՑ: Եվ քանի որ ԱՑ ուղիղ գիծը բաժանվում է կետ Ֆ-ում, թող ավելացվի ՑԴ-ն:
Արդյունքում (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ- ով և ԴՑ-ով, գումարած (քառակուսին) ՖՑ-ի վրա, հավասար է ՖԴ-ի վրա (քառակուսուն) [Պնդ. 2.6]: Թող ՖԵ-ի վրա (քառակուսին) ավելացվի երկուսին:
Արդյունքում (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ- ով և ԴՑ-ով, գումարած (քառակուսիների գումարը) ՑՖ- ի և ՖԵ-ի վրա, հավասար է ՖԴ-ի և ՖԵ-ի վրա
(քառակուսիների գումարին): Բայց ԵՑ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է ՑՖ-ի և ՖԵ-ի վրա (քառակուսիների գումարին): Քանի որ [անկյունը] ԵՖՑ [հավասար է] ուղիղ անկյան [Պնդ. 1.47]: Եվ ԵԴ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է ԴՖ-ի և ՖԵ-ի վրա (քառակուսիների գումարին) [Պնդ. 1.47]: Այսպիսով, (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ-ով և ԴՑ-ով, գումարած ԵՑ-ի վրա (քառակուսին), հավասար է ԵԴ-ի վրա (քառակուսուն): Եվ ԵՑ-ը (հավասար է) ԵԲ-ին: Այսպիսով, (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ-
ով և ԴՑ-ով, գումարած ԵԲ-ի վրա (քառակուսին), հավասար է ԵԴ-ի վրա (քառակուսուն): Եվ ԵԲ-ի և ԲԴ-ի վրա (քառակուսիների գումարը) հավասար է ԵԴ-ի վրա (քառակուսուն): Քանի որ ԵԲԴ անկյունը ուղիղ անկյուն է [Պնդ.1.47]: Այսպիսով, (ուղղանկյունը), որը ստացվում է ԱԴ-ով և ԴՑ-ով, գումարած ԵԲ-ի վրա (քառակուսին), հավասար է ԵԲ-ի և ԲԴ-ի վրա (քառակուսիների
գումարին): Թող ԵԲ-ի վրա (քառակուսին) հանվի երկուսից: Արդյունքում մնացած (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ-ով և ԴՑ-ով, հավասար է ԲԴ-ի
վրա (քառակուսուն):Այսպիսով, եթե որոշ կետ վերցվի շրջանի սահմաններից դուրս, և երկու ուղիղ գիծ
ուղղվի այնտեղից դեպի շրջան, որոնցից մեկը կտրում է շրջանը, իսկ մյուսը դիպչում է դրան, ապա (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է շրջանը կտրող ամբողջ ուղիղ գծի և դրա արտաքին հատվածի միջև, հավասար կլինի դիպչող գծի վրա քառակուսուն: Սա հենց այն է, ինչ պետք էր ցույց տալ:
Պնդում 37
Եթե կետ վերցվի շրջանից դուրս, և այդ կետից դեպի
շրջան տարվեն երկու ուղիղ, որոնցից մեկը հատում է շրջանը, իսկ մյուսը՝ շոշափում, ապա (ուղղանկյունը), որը ամբողջ հատողի և դրա արտաքին հատվածի միջև է, հավասար կլինի հանդիպող գծի քառակուսուն։
[[Պատկեր:Pndum37.jpg]]
Թող կետ Դ վերցված լինի ԱԲՑ շրջանից դուրս, և թող Դ կետից երկու ուղիղ գծեր՝ ԴՑԱ և ԴԲ, ուղղվեն դեպի ԱԲՑ շրջան։ Թող ԴՑԱ գիծը կտրի շրջանը, իսկ ԴԲ գիծը հանդիպի (շրջանին)։ Եվ թող ԱԴ և ԴՑ գծերով
պարունակվող (ուղղանկյունը) հավասար լինի ԴԲ-ի
վրա (քառակուսուն)։ Ասում եմ, որ ԴԲ-ն դիպչում է ԱԲՑ շրջանին։ Թող ԴԵ գիծը նկարած լինի՝ դիպչելով ԱԲՑ շրջանագծին [Պնդ․ 3.17], և թող գտնված լինի ԱԲՑ շրջանի կենտրոնը, որը գտնվում է Ֆ կետում։ Թող միացված լինեն ՖԵ, ՖԲ և ՖԴ գծերը։ (Անկյունը) ՖԵԴ, հետևաբար, ուղիղ անկյուն է [Պնդ․ 3.18]։ Եվ քանի որ ԴԵ գիծը դիպչում է ԱԲՑ շրջանագծին, իսկ ԴՑԱ գիծը կտրում է այն, ապա ԱԴ և ԴՑ գծերով պարունակվող (ուղղանկյունը) հավասար է ԴԵ-ի վրա (քառակուսուն) [Պնդ․ 3.36]։ Նույնպես, ԱԴ և ԴՑ գծերով պարունակվող (ուղղանկյունը) հավասար էր ԴԲ-ի վրա
(քառակուսուն)։ Հետևաբար, ԴԵ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է ԴԲ-ի վրա (քառակուսուն)։ Այսպիսով, ԴԵ-ն հավասար է ԴԲ-ին։ Եվ ՖԵ-ն նույնպես հավասար է ՖԲ- ին։ Այսպիսով, երկու ուղիղ գծեր՝ ԴԵ և ԵՖ, հավասար
են երկու ուղիղ գծերին՝ ԴԲ և ԲՖ (համապատասխանաբար)։ Նրանց հիմքը՝ ՖԴ-ն, ընդհանուր է։ Այսպիսով, ԴԵՖ անկյունը հավասար է ԴԲՖ անկյունին [Պնդ․ 1.8]։ Եվ ԴԵՖ անկյունը ուղիղ անկյուն է։ Այսպիսով, ԴԲՖ անկյունը նույնպես ուղիղ անկյուն է։ Եվ ՖԲ գիծը, որը շարունակված է,
տրամագիծ է, իսկ (ուղիղ գիծը), որը անցկացված է
տրամագծի ծայրակետին ուղիղ անկյան տակ, դիպչում է շրջանին [Պնդ․ 3.16, լրացում]։ Այսպիսով, ԴԲ-ն դիպչում է ԱԲՑ շրջանին։ Նույնը կարելի է ցույց տալ, նույնիսկ եթե կենտրոնը պատահաբար գտնվի ԱՑ
ուղիղ գծի վրա։ Այսպիսով, եթե որոշ կետ վերցվի շրջանից դուրս, և այդ կետից դեպի շրջան ուղղվեն
երկու ուղիղ գիծ, որոնցից մեկը կտրում է շրջանը, իսկ մյուսը հանդիպում է դրան, և եթե կտրող (ուղիղ գծի) ամբողջ երկարությամբ և դրա արտաքին հատվածով
պարունակվող (ուղղանկյունը), որը գտնվում է շրջանի կոր մակերեսի միջև, հավասար է հանդիպող գծի վրա (քառակուսուն), ապա հանդիպող (ուղիղ գիծը) կդիպչի շրջանին։ Սա հենց այն է, ինչ պետք էր ցույց տալ։
