Changes

Եթե ունենք մեկ չափանիշ որը հավասար է որևէ թվի, և ունենք մեկ այլ թիվ որը մի քանի անգամ մեծ է և հավասար է մի քանի անգամ մեծ չափանիշի, ապա կարող ենք ասել որ, առաջինը թիվը հարաբերում է երկրորդ թվին այնպես, ինչպես առաջին չափանիշը երկրորդ չափանիշին:

Եթե երկու թվեր բազմապատկենք միմյանցով և ստանանք մի քանի թվեր, ապա այդ մի քանի թվերը միմյանց հավասար կլինեն:

Քանի որ A-ն ստեղծել է C-ն՝ բազմապատկելով B-ով, ուրեմն B-ն չափում է C-ն ըստ A-ի միավորների: Եվ E միավորը նույնպես չափում է A թիվը՝ ըստ նրա մեջ գտնվող միավորների: Ուրեմն E միավորը չափում է A թիվը նույնքան անգամ, որքան B-ն չափում է C-ն:

Ուրեմն փոխադարձաբար, E միավորը չափում է B թիվը նույնքան անգամ, որքան A-ն չափում է C-ն:

Եվ E միավորը չափում է B թիվը նույնքան անգամ, որքան A-ն չափում է C-ն: Ուրեմն A-ն նույնքան անգամ չափում է C-ն և D-ն: Հետևաբար, C-ն հավասար է D-ին, Ինչը և պետք էր ապացուցել:

Քանի որ D և E թվերը ստացել ենք բազմապատկելով երկու թվերը՝ B և C (համապատասխանաբար), կարելի է պնդել, որ ինչպես B-ն է հարաբերում C-ին, այնպես էլ D-ն կհարաբերի E-ին:

Քանի որ D թիվը ստացվել է A բազմապատկելով B-ն, ուրեմն B-ն չափում է D-ն՝ ըստ A-ի միավորների: Եվ F միավորը նույնպես չափում է A-ն՝ ըստ նրա մեջ գտնվող միավորների: Ուրեմն F միավորը չափում է A-ն նույնքան անգամ, որքան B-ն չափում է D-ն:

Եթե չորս թվեր համեմատական են միմյանց, ապա առաջին և չորրորդ թվերի բազմապատկումից ստացված թիվը կլինի հավասար երկրորդի և երրորդի բազմապատկումից ստացված թվին: Եվ եթե առաջինի և չորրորդի բազմապատկումից ստացված թիվը հավասար է երկրորդի և երրորդի բազմապատկումից ստացված թվին, ապա այդ չորս թվերը կլինեն համեմատական:

Օրինակ, A, B, C և D համեմատական թվեր են: Ենթադրենք ինչպես A-ն է հարաբերում B-ին, այնպես էլ C-ն է D-ին: A-ն բազմապատկելով D-ն կստանք E թիվը, իսկ B-ն բազմապատկելով C- թվին կստանանք F թիվը: Կարելի է պնդել, որ E-ն հավասար է F-ին:

Դիցուք, A-ն C-ով բազմապատկելով ստացվում է G թիվը: Քանի որ A-ից ստացվել է G թիվը C-ով բազմապատկելո և E թիվը D-ով բազմապատկելո, ապա A-ից ստացվել են է G և E թվերը համապատասխանաբար բազմապատկվելով C և D թվերի հետ: Ուրեմն ինչպես C-ն է հարաբերում D ին այնպես էլ G-ն է հարաբերում E-ին: Ինչպես C-ն է հարաբերում D-ին , այնպես էլ A-ն է հարաբերում B-ին :Ինչպես A-ն է B-ի հետ հարաբերում, այնպես էլ G-ն է E-ի հետ հարաբերում:

Քանի որ նույն կառուցվածքով E-ն հավասար է F-ին, ուրեմն ինչպես G-ն է E-ի հետ համեմատում, այնպես էլ G-ն է F-ի հետ համեմատում: Ինչպես G-ն է հարաբերում E-ին, այնպես էլ C-ն է հարաբերում D-ին: Եվ ինչպես G-ն է F-ի հանդեպ, այնպես էլ A-ն է B-ի հանդեպ: Այսպիսով, ինչպես A-ն է B-ի հանդեպ, այնպես էլ C-ն է D-ի հանդեպ:

Թող լինեն ամենափոքր թվերը, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը՝ ինչպես A-ն և B-ն: Ասում եմ, որ CD-ն չափում է A-ն այնքան անգամ, որքան և EF-ն չափում է B-ն՝ մեծը՝ մեծին, և փոքրն՝ փոքրին: Այնպես որ, թող CD և EF լինեն ամենափոքր թվերը, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը՝ A-ի և B-ի հետ համապատասխանաբար: Ես ասում եմ, որ CD-ն չափում է A-ն նույն քանակությամբ անգամ, որքան EF-ն չափում է B-ն։

Դիցուք, A եւ B թվերը պարզ թվեր ենէ : Կարելի է պնդել, , որ A եւ B թվերը, նրանց պես հարաբերություն ունեցող թվերից ամենափոքր թվերն են: Եթե դա այդպես չէ, ապա կլինեն ինչ-որ թվեր, որոնք A եւ B-ից փոքր կլինեն և նրանք կհարաբերեն նույնպես, ինչպես A եւ B-: Թող դրանք լինեն C եւ D:

Ասպիսով, քանի որ այս թվերը նվազագույններն են, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն, և մեծ հարաբերությունը չափում է մեծին, և փոքրն այնքանն է, որքան փոքրին՝ այսինքն, ավելի մեծը հարաբերում է ավելի մեծին, իսկ ավելի փոքրը ՝ փոքրին։ Այսպիսով, որքան որ C հարաբերում է Aին, այնքան անգամեր թող լինեն E-ում։ Եվ D-ը, ամփոփելով B-ը, E-ում չափում է ըստ նույն միավորների։ Այսպես, քանի որ C-ը հարաբերում է Aին ըստ E-ում առկա միավորների, E-ն էլ, ըստ C-ի, հարաբերում է Aին նույնչափ ։ Հետևաբար E-ն և B-ը չափում են D-ում առկա միավորներով։ Այնպես որ, հնարավոր չէ, որպեսզի A-ի և B-ից ավելի փոքր թվեր լինեն, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն A և B թվերի հետ։ Հետեւաբար, A և B-ն են այդ թվերը, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։ Սա հենց այն բանն է, որը պետք էր ապացուցել:

Այն նվազագույն թվերը, որոնք ունեն նույնպիսի հարաբերություն, միմյանց նկատմամբ

Եթե երկու թվեր փոխադարձաբար պարզ են, ապա դրանցից մեկը բաժանող թիվը կմնա փոխադարձաբար պարզ մյուս թվի հետ։

Եթե երկու թվեր փոխադարձաբար պարզ են որևէ թվի հետ, ապա դրանցից բազմապատկված, ստեղծված թիվը նույնպես փոխադարձաբար պարզ կլինի նույն թվի հետ։

Եթե երկու թվեր փոխադարձաբար պարզ են, ապա դրանցից մեկի քառակուսիով ստեղծված թիվը փոխադարձաբար պարզ կլինի մյուսի հետ։

Դիցուք A և B երկու պարզ թվեր են, որոնք փոխադարձաբար պարզ են։ Թող A-ն ինքն իրեն բազմապատկելով ստեղծի C-ն։ Կարելի է պնդել , որ B-ն և C-ն փոխադարձաբար պարզ են։

Այլ կերպ ասած, D-ից և A-ից ստացված թիվը նույնպես փոխադարձաբար պարզ կլինի B-ի հետ։ Եվ C-ն է այն թիվը, որը ստացվում է D-ի և A-ի բազմապատկումով։ Այսպիսով, C-ն և B-ն նույնպես փոխադարձաբար պարզ են։ Սա է այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։

Եթե երկու թվերն էլ փոխադարձաբար պարզ են երկու թվերի հետ, ապա դրանցից բազմապատկված, ստացված թվերը նույնպես փոխադարձաբար պարզ կլինեն իրար հետ։

Եթե երկու թվեր փոխադարձաբար պարզ են իրարից, և յուրաքանչյուրը նրանցից որոշ թիվ է ստեղծում՝ ինքն իրեն բազմապատկելով, ապա դրանցից ստացված թվերը նույնպես կլինեն փոխադարձաբար պարզ։ Եվ եթե սկզբնական թվերը ստեղծեն որոշ թվեր՝ ստեղծված թվերը բազմապատկելով, ապա դրանք ևս կլինեն փոխադարձաբար պարզ։ Սա միշտ տեղի է ունենում ծայրամասերի վերաբերյալ։

Այնպես որ, D և F փոխադարձապես պարզ են։ Սա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել։

Եթե երկու թիվեր պարզ են, ապա նրանց գումարը նույնպես կլինի պարզ յուրաքանչյուրին։ Եվ եթե այդ գումարը պարզ է ինչ-որ մեկի հետ, ապա սկզբնական թվերը նույնպես պարզ կլինեն

Յուրաքանչյուր պարզ թիվ առաջին է բոլոր այն թվերի հետ, որոնք ինքը չի չափում

Որպեսզի եթե B-ն և A-ն միմյանց նկատմամբ պարզ չեն, ապա մի թիվ կլինի, որը նրանց չափում է։ Թող C-ն չափի նրանց։ Քանի որ C-ն չափում է B-ն, իսկ A-ն չի չափում B-ն, ապա C-ն պետք է տարբեր լինի A-ից։ Եվ քանի որ C-ն չափում է B-ն և A-ն, ապա C-ն պետք է չափի նաև A-ն՝ չնայած նրան, որ չի համընկնում նրա հետ։ Բայց սա անհնար է։ Այնպես որ, չի կարող լինել որևէ թիվ, որը կչափի B-ն և A-ն։ Այդպիսով, A-ն և B-ն միմյանց նկատմամբ պետք է լինեն պարզ։

Եթե երկու թիվը իրար բազմապատկելով ստանում են ինչ-որ թիվ, և այդ թվից մեկը չափվում է մի պարզ թվով, ապա սկզբնական թվերից մեկը նույնպես պետք է չափվի

Դրանով, ինչպես D-ն A-ին հավասար է, այնպես էլ B-ն E-ին հավասար է: Եվ D-ն ու A թվերը պարզ են միմյանց հետ, ինչպես նաև B-ն ու E-ն:

Ուստի, ամեն բաղադրյալ թիվը չափվում է ինչ-որ պարզ թվով։ Դա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

Ամեն թիվ կամ պարզ է, կամ չափվում է ինչ-որ պարզ թվով

Ուստի, ամեն թիվը կամ պարզ է, կամ չափվում է ինչ-որ պարզ թվով: Դա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

Թող A, B, և C լինեն ցանկացած տրված թվեր: Պետք է գտնենք նրանցից ամենափոքրին, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B, և C:

Իրականում, եթե A, B և C իրար հետ պարզ են, ապա նրանք կլինեն ամենափոքրն այն թվերից, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես տրված թվերն են:

Դիցուք, A և B լինի միմյանցից անկախ թվեր են:թող A C ստանա՝ բազմապատկելով B: Այսպիսով, B նույնպես C ստացրեց՝ բազմապատկելով A Այսպիսով, A և B երկուսն էլ չափում են C:

Եվ քանի որ A-ը ստացավ C և D՝ բազմապատկելով E և G համապատասխանաբար, ապա ինչպես E-ն է G-ին, այնպես էլ C-ն է D-ին [Prop. 7.17]: Եվ E-ն հարաբերում է G: Այսպիսով, C-ն նույնպես հարաբերում է D՝ մեծը հարաբերում է փոքրին: Դա անհնար է: Այսպիսով, A և B չեն հարաբերում մի թիվ, որը ավելի փոքր է, քան C: Հետևաբար, C-ն այն ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում են A-ն և B-ն: Սա հենց այն է, ինչ պետք էր ցույց տալ:

«Եթէ երկու թվերին հարաբերեն ինչ-որ թիվ, ապա դրանցից ամենափոքրը, որն իրենով հարաբերում է այդ թիվը, նույնպես կհարաբերի նույն թվին:

Այսպես, A, B և C երեք տրված թվեր են։ Պետք է գտնել այն ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է նրանց բոլորին:

Եթե E-ն ավելի փոքր է, քան D, ապա ստացվում է, որ E-ն չպետք է լինի ավելի փոքր։ Բայց այս փաստը հնարավոր չէ։ Այնպես որ, մենք պետք է հաստատենք, որ E-ն իսկապես ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում է A, B և C թվերին։

Այսպիսով, մենք ցույց տալիք խնդիրը, որ E-ն ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում է A, B և C թվերին։

Եթե մի թիվ չափվում է մեկ այլ թվով, ապա այդ թիվը կունենա մաս, որն անվանվում է նույն անունով, ինչ մյուս թիվը:

Դիցուք A թիվը չափվում է B թվով։ Ես ասում եմ, որ A-ն ունի մաս, որը կոչվում է նույն անունով, ինչ B-ն։ Քանի անգամ B-ն հարաբերում է A-ին, այդքան շատ միավորներ լինեն C-ում։ Քանի որ B-ն չափում է A-ն ըստ C-ի միավորների, և D միավորը նույնպես չափում է C թիվը ըստ նրա մեջ եղած միավորների, ապա D միավորը այնքան անգամ կչափի C թիվը, որքան B-ն՝ A-ն։ Հետևաբար, D միավորը չափում է B թիվը, ինչպես C-ն՝ A-ն։ Եվ այսպես, ամեն մի մասնաբառ, որը D միավորը B թվի մաս է, նույն անունով մասն է նաև C-ի A թվի համար։ Հետևաբար, A-ն ունի C մասը, որը կոչվում է նույն անունով, ինչ B-ն։ Դա հենց այն է, ինչ պետք էր ապացուցել։

Եթե թիվը բաժանվում է որոշակի մասերի (մասնիկների), ապա այդ մասերից յուրաքանչյուրն ունի համապատասխան թվային նշանակություն, որը կոչվում է այդ մասի անվանումը

Քանի որ B-ն A-ի մի մասն է, որն ունի նույն անունը, ինչ C, ապա նաև D միավորը C-ի մաս է, որն ունի նույն անունը՝ այն է՝ D-ն C-ի C-րդ մասն է։ Եվ հետևաբար, ինչպես D-ն C-ն է չափում, այնպես էլ B-ն չափում է A-ն։ Այսպես, ի վերջո, D-ն B-ն է չափում նույնքան անգամ, ինչքան C-ն չափում է A-ն։

Ուստի, C-ն չափում է A-ն։ Եվ սա այն է, ինչ պետք է ապացուցվի

Ենթադրենք, որ տրված մասերն են A, B և C։ Պետք է գտնվի նվազագույն թիվը, որը կունենա A, B և C մասերը։

Եվ G-ն իր հերթին կունենա մասեր, որոնք համանուն են D, E և F թվերին։ Ուստի, G-ն կունենա նաև A, B և C մասերը։ Ապա ես ասում եմ, որ G-ն, լինելով նվազագույնը, եթե ոչ, ապա լինի մի թիվ՝ H, որը կլինի G-ից փոքր, բայց կունենա A, B և C մասերը։ Այս դեպքում, եթե H-ն ունի A, B և C մասերը, ապա այն կչափվի D, E և F թվերով։ Բայց քանի որ H-ն փոքր է G-ից, դա անհնար է։

Այսպիսով, չի կարող լինել մի թիվ, որը փոքր լինի G-ից և ունենա A, B և C մասերը։ Սա հենց այն է, ինչը պետք էր ապացուցել։