Changes
== Պնդում 1 ==
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։քառակուսուն։
[[Պատկեր:Նկար1.png|center|200px]]
Թող AB ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC կտորի վրա քառակուսու։ Եվ թող CD-ն լինի կրկնապատիկ AC-ից։ Ասում եմ, որ եթե CD-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։
Թող AB և CD վրա քառակուսիները՝ AF և CG, նկարագրվեն։ Եվ թող AF պատկերում գծվի։ Եվ թող BE գիծը գծվի։ Եվ քանի որ BA-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC-ի վրա քառակուսու, ապա AF-ն հնգապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, ապա DC-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, CG-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ չորսապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն հավասար է CG-ին։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, և DC-ն հավասար է CK-ին, և AC-ն՝ CH-ին, [CK-ն կրկնապատիկն է CH-ից], իսկ KB-ն նույնպես կրկնապատիկն է BH-ից [[#Պնդում 6|Պնդում 6.1]]։ Այսպիսով, KB-ն հավասար է LH-ի գումարած HB-ին։ Եվ ամբողջ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է ամբողջ CG-ին։ Այսպիսով, մնացորդ HF-ն նույնպես հավասար է մնացորդ BG-ին։ Եվ BG-ն այն բազմապատկիչն է, որը պարունակում է CDB։ Քանի որ CD-ն հավասար է DG-ին։ Եվ HF-ն CB-ի վրա քառակուսին է։ Այսպիսով, CDB բազմապատկիչը հավասար է CB-ի վրա քառակուսուն։
Այսպիսով, ինչպես DC-ն է CB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CB-ն է BD-ի նկատմամբ [[#Պնդում 6|Պնդում 6.17]]։ Եվ քանի որ DC-ն ավելի մեծ է, քան CB (տես լեմա), ապա CB-ն նույնպես ավելի մեծ է, քան BD [[#Պնդում 5|Պնդում 5.14]]։ Այսպիսով, եթե CD ուղիղ գծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։
Թող ինչ-որ ուղիղ գիծ AB կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում։ Եվ թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AC-ն կտրված լինի կեսում՝ D կետում։ Ասում եմ, որ BD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու։
Թող AE քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա։ Եվ թող պատկերն լիներ կրկնակի։ Քանի որ AC-ն կրկնապատիկ է DC-ից, ապա AC-ի վրա քառակուսին՝ դա չորսապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն՝ RS-ն չորսապատիկն է FG-ից։ Եվ քանի որ ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17], և CE-ն ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունն է, ապա CE-ն հավասար է RS-ին։ Եվ RS-ն չորսապատիկն է FG-ից։ Այսպիսով, CE-ն նույնպես չորսապատիկն է FG-ից։ Վերջապես, քանի որ AD-ն հավասար է DC-ին, ապա HK-ն նույնպես հավասար է KF-ին։ Ուստի, GF քառակուսին նույնպես հավասար է HL քառակուսուն։ Այսպիսով, GK-ն հավասար է KL-ին՝ այսինքն՝ MN-ն հավասար է NE-ին։ Ուստի, MF-ն նույնպես հավասար է FE-ին։ Բայց, MF-ն հավասար է CG-ին։ Այսպիսով, CG-ն նույնպես հավասար է FE-ին։ Թող CN-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ հավասար է CE-ին։ Բայց, CE-ն ցույց տրված է, որ հավասար է չորսապատիկ GF-ին։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ նույնպես չորսապատիկն է GF քառակուսուց։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ գումարած GF քառակուսին հնգապատիկն է GF քառակուսուց։ Բայց, գնոմոնը OPQ գումարած GF քառակուսին դա DN քառակուսին է։ Եվ DN-ը DB-ի վրա քառակուսին է, իսկ GF-ն՝ DC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, DB-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Պնդում 4 ==
Թող AB լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է CA-ի վրա քառակուսուց։
Թող ADEB քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա, և թող մնացած պատկերն ընդունի իր ձևը։ Քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և AC-ն մեծ կտոր է, ապա ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [[#Պնդում 6|Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]]։ Եվ AK-ն է ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը, և HG-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AK-ն հավասար է HG-ին։ Եվ քանի որ AF-ն հավասար է FE-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.43]], թող CK-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, ամբողջ AK-ն հավասար է ամբողջ CE-ին։ Այսպիսով, AK-ն և CE-ն միասին հավասար են երկու անգամ AK-ին։ Բայց, AK-ն և CE-ն միասին դա է գնոմոնը LMN, որը գումարած CK քառակուսին։ Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է երկու անգամ AK-ին։ Բայց, իսկապես, AK-ն նաև ցույց տրված է, որ հավասար է HG-ին։ Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է HG-ին։ Եվ այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները երեքապատիկն են HG քառակուսուց։ Եվ գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները ամբողջ AE-ն են գումարած CK-ը՝ որոնք են AB և BC քառակուսիները (համապատասխանաբար), և GH-ը՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է AC-ի վրա քառակուսուց։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Պնդում 5 ==
Թող AB լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AD-ն [դառնա] հավասար AC-ին։ Ասում եմ, որ DB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ A կետում, և որ սկզբնական AB ուղիղ գիծը մեծ կտորն է։
Թող AE քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա, և թող մնացած պատկերն ընդունի իր ձևը։ Քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, ապա ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [[#Պնդում 6|Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]]։ Եվ CE-ն է ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը, և CH-ը՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Բայց, HE-ն հավասար է CE-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.43]], և DH-ն հավասար է HC-ին։ Այսպիսով, DH-ն նաև հավասար է HE-ին։ [Թող HB-ն ավելացվի երկուսի վրա]։ Այսպիսով, ամբողջ DK-ն հավասար է ամբողջ AE-ին։ Եվ DK-ն է BD և DA-ում պարունակվող ուղղանկյունը։ Քանի որ AD-ն հավասար է DL-ին, և AE-ն է AB-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, BD-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AB-ի վրա քառակուսուն։ Այսպիսով, ինչպես DB-ն է BA-ի նկատմամբ, այնպես էլ BA-ն է AD-ի նկատմամբ [[#Պնդում 6|Պնդում 6.17]]։ Եվ DB-ն ավելի մեծ է BA-ից։ Այսպիսով, BA-ն նույնպես ավելի մեծ է AD-ից [[#Պնդում 5|Պնդում 5.14]]։
Այսպիսով, DB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ A կետում, և մեծ կտորը AB-ն է։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Թող AB լինի ռացիոնալ ուղիղ գիծ, որը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AC և CB-ը, յուրաքանչյուրը, կլինեն այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։
Թող BA-ն ընդարձակվի, և թող AD-ն արվի (հավասար) BA-ի կեսին։ Այսպիսով, քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և AD-ն, որը BA-ի կեսն է, ավելացվել է մեծ կտոր AC-ին, ապա CD-ի վրա քառակուսին կլինի հինգ անգամ DA-ի վրա քառակուսիին [[#Պնդում 13|Պնդում 13.1]]։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին և DA-ի վրա քառակուսին կունենան հարաբերություն, որը նման է մի թվի հարաբերությանը մյուս թվին։ CD-ի վրա քառակուսին, հետևաբար, համահունչ կլինի DA-ի վրա քառակուսուն [[#Պնդում 10|Պնդում 10.6]]։ Իսկ DA-ի վրա քառակուսին կլինի ռացիոնալ, քանի որ DA-ն ռացիոնալ է, երբ որ AB-ն ռացիոնալ է։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին նույնպես կլինի ռացիոնալ [[#Պնդում 10|Սահմանում 10.4]]։ Այսպիսով, CD-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ քանի որ CD-ի վրա քառակուսին չի ունենում հարաբերություն DA-ի վրա քառակուսիին, որը նման է քառակուսի թվերի հարաբերությանը, ապա CD-ն չհամապատասխանում է DA-ի երկարության հետ [[#Պնդում 10|Պնդում 10.9]]։ Այսպիսով, CD և DA-ը այն ռացիոնալ ուղիղ գծերն են, որոնք համահունչ են միայն քառակուսու տեսքով։ Այսպիսով, AC-ն կլինի ապոտոմ [[#Պնդում 10|Պնդում 10.73]]։
Կրկին, քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և AC-ն մեծ կտորն է, ապա AB և BC-ի պարունակած ուղղանկյունը կլինի հավասար AC-ի վրա քառակուսուն [[#Պնդում 6|Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]]։ Այսպիսով, AC-ի վրա ապոտոմի քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի AB-ի վրա, կկազմի BC՝ որպես լայնություն։ Եվ ապոտոմի վրա քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի վրա, կկազմի առաջին ապոտոմը՝ որպես լայնություն [[#Պնդում 10|Պնդում 10.97]]։ Այսպիսով, CB-ն կլինի առաջին ապոտոմ։ Եվ CA-ն նույնպես ցույց տրված է որպես ապոտոմ։
Իսկ հիմա, եթե երկու ուղղաձիգ գծեր՝ AC և BE, հատում են իրար H կետում և դրանք ծածկում են հավասար անկյուններ՝ A և B համապատասխանաբար հավասարանկյուն հնգանկյունում ABCDE, ապա պետք է ապացուցենք, որ յուրաքանչյուր գիծ կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում և դրանց մեծ հատվածները հավասար են հնգանկյունի կողմերին։
Եկեք ընդունենք, որ ABCDE հնգանկյունի շուրջ է նկարագրված շրջան [Պնդում 4.14]: Եվ քանի որ երկու ուղղաձիգ գծերը՝ EA և AB հավասար են երկու ուղղաձիգ գծերին՝ AB և BC համապատասխանաբար, և նրանք պարունակում են հավասար անկյուններ, BE հիմքը հավասար կլինի AC հիմքին, և ABC և ABE եռանկյունները հավասար կլինեն, ուստի մնացած անկյունները նույնպես հավասար կլինեն [[#Պնդում 1|Պնդում 1.4]]: Հետևաբար, անկյուն BAC հավասար կլինի անկյուն ABE-ին: Այսպիսով, անկյուն AHE-ն երկու անգամ մեծ է, քան անկյուն BAH [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]: Եվ EAC նույնպես երկու անգամ մեծ է BAC-ից, քանի որ շրջանագիծը EDC երկու անգամ մեծ է CB շրջանագծից [Առաջարկներ 3.28, 6.33]: Ուստի, անկյուն HAE-ն հավասար կլինի անկյուն AHE-ին: Հետևաբար, ուղղաձիգ HE-ը հավասար կլինի ուղղաձիգ EA-ին՝ այն է՝ AB [[#Պնդում 1|Պնդում 1.6]]: Եվ քանի որ ուղղաձիգ BA-ն հավասար է AE-ին, ապա անկյուն ABE-ն նույնպես հավասար կլինի AEB-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.5]]: Բայց, ABE-ն արդեն ցույց տրված էր, որ հավասար է BAH-ին: Հետևաբար, BEA-ն նույնպես հավասար կլինի BAH-ին: Իսկ քանի որ անկյուն ABE-ն ընդհանուր է երկու եռանկյունների՝ ABE և ABH-ի համար, մնացած անկյունը՝ BAE, հավասար կլինի մնացած անկյունի՝ AHB [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]: Հետևաբար, եռանկյունը ABE հավասար է եռանկյունին ABH: Այսպիսով, համամասնորեն, ինչպես BE-ն հավասար է BA-ին, այնպես էլ AB-ն հավասար է BH-ին [[#Պնդում 6|Պնդում 6.4]]: Եվ BA-ն հավասար է EH-ին: Այսպիսով, ինչպես BE-ն հավասար է EH-ին, այնպես էլ EH-ն հավասար է HB-ին: Եվ BE-ն ավելի մեծ է EH-ից: EH-ն ավելի մեծ է HB-ից [[#Պնդում 5|Պնդում 5.14]]: Հետևաբար, BE-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում, և մեծ հատվածը՝ EH, հավասար է հնգանկյունի կողմին: Ուստի նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ AC-ն նույնպես կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում, և դրա մեծ հատվածը՝ CH, հավասար է հնգանկյունի կողմին: Սա է այն, ինչ պետք էր ապացուցել:
== Պնդում 9 ==
Թող ABC լինի շրջան: Եվ ABC շրջանում նկարագրված պատկերներից, BC լինի տասանկյան կողմը, և CD (կողմը) վեցանկյան կողմը: Եվ թող դրանք դրված լինեն ուղղահայաց: Պետք է ապացուցվի, որ ամբողջ BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (C կետում), և որ CD-ն նրա մեծ հատվածն է:
Թող շրջանի կենտրոնը, E կետը, գտնվի [[#Պնդում 1|Պնդում 3.1]], և թող EB, EC և ED կետերը միավորված լինեն, և թող BE-ը գծվի A կետին: Քանի որ BC-ն հավասարանկյուն տասանկյան կողմ է, ապա շրջանագիծ ACB-ն 5 անգամ մեծ է BC-ի երկարությունից: Այսպիսով, շրջանագիծ AC-ն 4 անգամ մեծ է CB-ից: Եվ քանի որ AC շրջանագիծը հավասար է CB-ին, այնպես էլ անկյուն AEC-ն հավասար է CEB-ին [[#Պնդում 6|Պնդում 6.33]]: Այդպես, անկյուն AEC-ն 4 անգամ մեծ է CEB-ից: Եվ քանի որ անկյուն EBC-ն հավասար է ECB-ին [Պնդում 1.5], ապա անկյուն AEC-ն 2 անգամ մեծ է ECB-ից [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]: Եվ քանի որ ուղղաձիգ EC-ն հավասար է CD-ին, ապա անկյուն CED-ն հավասար է անկյուն CDE-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.5]]: Այդպես, անկյուն ECB-ն 2 անգամ մեծ է EDC-ից [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]: Սակայն AEC-ն արդեն ապացուցվել է, որ 4 անգամ մեծ է EDC-ից: Եվ AEC-ն նույնպես 4 անգամ մեծ է BEC-ից: Այսպիսով, EDC-ն հավասար է BEC-ին: Եվ անկյուն EBD-ն համատեղ է երկու եռանկյունում՝ BEC և BED: Այդպիսով, մնացած անկյուն BED-ն հավասար է անկյուն ECB-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]: Այսպիսով, եռանկյունը EBD հավասար է եռանկյունին EBC: Այլ կերպ ասած, համեմատաբար, ինչպես BD-ն է BE-ին, այնպես էլ AB-ն է BH-ին [Պնդում 6.4]: Եվ BE-ն հավասար է CD-ին: Ուստի, ինչպես BD-ն է DC-ին, այնպես էլ DC-ն է CB-ին: Եվ BD-ն մեծ է DC-ից: Այսպիսով, DC-ն նույնպես մեծ է CB-ից [[#Պնդում 5|Պնդում 5.14]]. Այսպիսով, BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (C կետում), և DC-ն նրա մեծ հատվածն է: (Այս է այն, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):
== Պնդում 10 ==
Թող կենտրոնի կետը լինի F, որը գտնվել է [[#Պնդում 3|Պնդում. 3.1]]։ Եվ թող AF ուղղի միացված լինի, և թող այն անցնի G կետով։ Եվ թող F B միացված լինի։ Եվ թող FH ուղղը լինի F-ից ուղղահայաց AB-ին։ Եվ թող այն անցնի K կետով։ Եվ թող AK և K B միացված լինեն։ Եվ կրկին, թող F L ուղղը լինի F-ից ուղղահայաց AK-ին։ Եվ թող այն անցնի M կետով։ Եվ թող K N միացված լինի։
Քանի որ ABCG շրջանը հավասար է AEDG շրջանում, որի ABC-ն հավասար է AED-ին, մնացած շրջանը CG-ը այդպես էլ հավասար է մնացած GD շրջանին։ Եվ CD-ը (հնգանկյան կողմն է)։ CG-ը այդպես էլ (տասանկյանի կողմն է)։ Եվ քանի որ F A հավասար է F B-ին, և F H ուղղահայաց է (AB-ին), ապա անկյուն AFK-ը նույնպես հավասար է KFB-ին [[#Պնդում 1|Պնդում. 1.5, 1.26]]։ Հետևաբար, AK շրջանը հավասար է KB-ի [[#Պնդում 3|Պնդում. 3.26]]։ Այսպիսով, AB շրջանը կրկնակի է BK շրջանից։ Այսպիսով, ուղիղ գիծը AK տասանկյան կողմն է։ Այսպես, նույն պատճառներով, AK շրջանը կրկնակի է KM-ից։ Եվ քանի որ AB շրջանը կրկնակի է BK շրջանից, և CD շրջանը հավասար է AB շրջանին, ապա CD շրջանը նույնպես կրկնակի է BK շրջանից։ Եվ CD շրջանը նույնպես կրկնակի է CG-ից։ Այսպիսով, CG շրջանը հավասար է BK շրջանին։ Բայց, BK-ը կրկնակի է KM-ից, քանի որ KA-ը նույնպես (կրկնակի է KM-ից)։ Այսպես, CG շրջանը նույնպես կրկնակի է KM-ից։ Բայց, իսկապես, CB շրջանը նույնպես կրկնակի է BK-ից։ Քանի որ CB շրջանը հավասար է BA-ին։ Այսպիսով, ամբողջ GB շրջանը նույնպես կրկնակի է BM-ից։ Հետևաբար, անկյուն GFB [է] նույնպես կրկնակի անկյուն BF M [[#Պնդում 6|Պնդում. 6.33]]։
==Պնդում 11==
Թող կենտրոնը, V կետը, լինի նշված [[#Պնդում 3|Պնդում 3.1]]։ Եվ թող VZ-ն տեղադրվի, V կետում, ուղղանկյունորեն շրջանի մակարդակին։ Եվ թող այն լինի արտաշարժված մյուս կողմում (շրջանի), ինչպես VX։ Եվ թող VW-ն կտրվի XZ-ից այնպես, որ հավասար լինի վեցանկյան կողմին, իսկ յուրաքանչյուր VX և WZ (հավասար լինի) տասանկյանի կողմին։ Եվ թող QZ, QW, UZ, EV, LV, LX և XM միախառնվեն։
Եվ քանի որ VW-ն և QE-ն ուղղանկյուն են շրջանի մակարդակին, VW-ն զուգահեռ է QE-ին [[#Պնդում 11|Պնդում 11.6]]։ Եվ նրանք հավասար են։ EV-ն և QW-ն հավասար և զուգահեռ են [[#Պնդում 1|Պնդում 1.33]]։ Եվ EV-ն (կողմն է) վեցանկյան։ Այսպիսով, QW-ն (կողմն է) նույնպես վեցանկյան։ Եվ քանի որ QW-ն (կողմն է) վեցանկյան, և WZ-ն (կողմն է) տասանկյանի, և QWZ անկյունը ուղղանկյուն է [[#Պնդում 11|Սահմանում 11.3, Պնդում 1.29]], ապա QZ-ն (կողմն է) հնգանկյան [[#Պնդում 13|Պնդում 13.10]։ Այդպես, նույն (պատճառներով), UZ-ն նույնպես (կողմն է) հնգանկյան, քանի որ եթե մենք միացնենք VK և WU, ապա դրանք կլինեն հավասար և հակադարձ։ Եվ VK-ն, որը հավասար է գնդի շառավիղին, (կողմն է) վեցանկյան [[#Պնդում 4|Պնդում 4.15]]։ Այսպիսով, WU-ն նույնպես (կողմն է) վեցանկյան։ Եվ WZ-ն (կողմն է) տասանկյան, և UWZ անկյունը ուղղանկյուն է։ Այսպիսով, UZ-ն (կողմն է) հնգանկյան [Պրո. 13.10]։ Եվ QU-ն (կողմն է) հնգանկյան։ Եռանկյուն QUZ-ն հավասար է։ Այսպիսով, նույն (պատճառներով), մնացած բոլոր եռանկյունները, որոնց հիմքերը են QR, RS, ST, և TU գծերը, և բարձունքները Z կետում, նույնպես հավասար են։ Եվ քանի որ VL-ն (կողմն է) վեցանկյան, և VX-ն (կողմն է) տասանկյան, և LVX անկյունը ուղղանկյուն է, ապա LX-ն (կողմն է) հնգանկյան [Պնդում 13.10]։ Այդպես, նույն (պատճառներով), եթե մենք միացնենք MV, որը (կողմն է) վեցանկյան, ապա MX-ն նույնպես կլինի (կողմն է) հնգանկյան։ Եվ LM-ն (կողմն է) հնգանկյան։ Այսպիսով, triangle LMX-ը հավասար է։ Այսպես, նմանապես, կարող է ցուցադրվել, որ մնացած բոլոր եռանկյունները, որոնց հիմքերը են MN, NO, OP, և PL գծերը, և բարձունքները X կետում, նույնպես հավասար են։ Այսպիսով, իկոսիադրոնը, որը բաղկացած է քսան հավասարազանգված եռանկյուններից, կառուցվել է։ Այսպիսով, պետք է նաև տեղադրել այն տրամադրված գնդի մեջ և ցույց տանք, որ իկոսիադրոնի կողմը այն անկյունագիծն է, որը կոչվում է միկրո։ Ուրեմն, քանի որ VW-ն (կողմն է) վեցանկյան, և WZ-ն (կողմն է) տասանկյան, VZ-ն այստեղ կտրված է էքստրեմալ և միջին հարաբերությամբ W-ում, և VW-ն նրա մեծ մասը է [[#Պնդում 13|Պնդում 13.9]]։ Այդպես, երբ ZV-ն VW-ին համեմատվում է, VW-ն համեմատվում է WZ-ի։ Եվ VW-ն հավասար է VE-ին, WZ-ն՝ VX-ին։ Այդպես, ZV-ն համեմատվում է VE-ի հետ, իսկ EV-ն՝ VX-ի հետ։ Եվ անկյունները ZVE և EVX են ուղղանկյուն։ Ուրեմն, նույն (պատճառներով), քանի որ ZV-ն նման է VW-ին, այնպես որ VW-ն նման է WZ-ին, և ZV-ն հավասար է XW-ին, իսկ VW-ը նման է WQ-ին, ապա ինչպես XW-ն նման է WQ-ին, այնպես էլ QW-ն նման է WZ-ին: Եվ կրկին, այս պատճառով, եթե մենք միացնենք QX-ը, ապա Q-ում գտնվող անկյունը կլինի ուղղանկյուն [[#Պնդում 6|Պնդում 6.8]]: Ուրեմն, XZ-ի վրա նկարագրված կես շրջանը նույնպես կանցնի Q-ի միջով [[#Պնդում 3|Պնդում 3.31]]: Եվ եթե XZ-ը մնա անշարժ, և կես շրջանը տեղաշարժվի, ապա այն նորից կտեղադրվի նույն (հայեցողական) դիրքում, որտեղից այն սկսել է շարժվել, ապա այն նույնպես կանցնի (Q) կետի միջով, և (կանցնի) իկոսահեդրոնի մնացած անկյունային կետերի միջով: Եվ իկոսահեդրոնը կշրջապատվի գնդի կողմից: Ուրեմն, ես ասում եմ, որ այն նույնպես շրջապատված է տրված (գնդով): Թող ՎW-ն կիսվել է a-ի վրա: Եվ քանի որ ուղիղ գիծը VZ կիսվել է ծայրահեղ և միջին հարաբերությամբ W-ին, և ZW-ն դրա փոքր մասը է, ապա ZW-ի վրա նկարված քառորդը և ավելի մեծ մասի կեսը՝ W a-ն, հավասար է հինգ անգամ (այդ) մասի քառորդին [[#Պնդում 13|Պնդում 13.3]]:
Ուրեմն, ես ասում եմ, որ իկոսահեդրոնի կողմը այն անհամաչափ (ուղղահայաց) ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր: Քանզի գնդի տրամագիծը համաչափ է, և դրա քառորդը հինգ անգամ մեծ է EFGHK շրջանակի ռադիուսի վրա նկարված քառորդից, ապա EFGHK շրջանակի ռադիուսը նույնպես համաչափ է: Ուրեմն, դրա տրամագիծը նույնպես համաչափ է: Եվ եթե հավասարակողմ պենտագոն ներկառուցվի շրջանի մեջ, որը ունի համաչափ տրամագիծ, ապա պենտագոնի կողմը այն անհամաչափ (ուղղահայաց) ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր [[#Պնդում 13|Պնդում 13.11][: Եվ EFGHK պենտագոնի կողմը այն կողմն է, որը համընկնում է իկոսահեդրոնի կողմի հետ: Ուրեմն, իկոսահեդրոնի կողմը այն անհամաչափ (ուղղահայաց) ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր:
