Changes

Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչպիսին ունի երրորդը չորրորդին և երրորդ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն չորրորդին քան հինգերորրդը վեցերորդին, ապա առաջին մեծությունը կունենա ավելի մեծ հարաբերություն երկրորդին քան հինգերորդը վեցերորդին։

Թող առաջին մեծությունը A-ն ունենեա նույն հարաբերությունը երկրորդ B-ին ինչպիսին ունի երրորդ C-ն չորրորդ D-ին և թող երրորդ մեծություն C-ն ունենա ավելի մեծ հարաբերություն չորրորդ D-ին քան հինգերորրդ E-ն ունի վեցերորդ

Քանի որ կան C-ի և E-ի հավասար բազմապատիկներ, և ուրիշ պատահական D-ի և F-ի հավասար բազմապատիկներ, որոնց համար C-ի բազմապատիկը չի գերազանցում D-ի բազմապատիկը և E-ի բազմապատիկը չի գերազանցում F-ինը [Պնդում 5.7], թող նրանք վերցված լինեն։ Եվ թող G, H-ը լինեն համապատասխանաբար

C, E-ի հավասար բազմապատիկներ և K, L-ը համապատասխանաբար D և F-ի ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ են, այնպես որ G-ն գերազանցում K-ին, բայց H-ը չի գերազանցում Լ-ին։ Եվ այնքան անգամ ինչքան G-ն բաժանվում է C-ին այնքան անգամ էլ M-ը բաժանվում է A-ին։ Եվ այնքան անգամ ինչքան K-ն բաժանվում է D-ին այնքան անգամ էլ թող N-ը բաժանվի է B-ին։

M-ը հավասար է N-ին, ապա G-ն նույնպես հավասար է K-ին, և եթե M-ը փոքր է

N-ից, ապա G-ն նույնպես փոքր է K-ից [Սահմանում 5.5]: Եվ G-ն գերազանցում է