Դիտել Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ էջի աղբյուրը

{{Վերնագիր
|վերնագիր = Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ
|հեղինակ = [[Յա. Ի. Պերելման]]
|թարգմանիչ = Ս. Ա. Գրիգորյան (ռուսերենից)
|աղբյուր = [[«Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ»]]
}}

{{Անավարտ}}

[[Կատեգորիա:Գրքեր]]
[[Կատեգորիա:Արձակ]]
[[Կատեգորիա:Ուսումնական]]
[[Կատեգորիա:Հայպետուսմանկհրատ]]
[[Կատեգորիա:Ոչ գեղարվեստական]]

==ԳԼՈՒԽ ԱՌԱՋԻՆ։ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ==

===ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ===

Հաճախ հանրահաշիվն անվանում են «Յոթ գործողությունների թվաբանություն», ցանկանալով ընդգծել, որ մաթեմատիկական հանրահայտ չորս գործողություններին այն միացնում է երեք նորը՝ աստիճան բարձրացնելը և դրան հակադարձ երկու գործողությունները։

Հանրահաշվական մեր զրույցները կսկսվեն «Հինգերորդ գործողություն»- ից՝ աստիճան բարձրացնելուց։

Այդ նոր գործողության կարիքն զգացվո՞ւմ է արդյոք պրակտիկ կյանքում։ Անպայման։ Մենք իրական կյանքում հաճախ ենք հանդիպում դրան։ Հիշենք մակերեսների և ծավալների հաշվման բազմաթիվ դեպքեր, որտեղ սովորաբար հարկ է լինում թվերը բարձրացնել երկրորդ և երրորդ աստիճան։ Այնուհետև՝ տիեզերական (ձգողականության ուժը, էլեկտրաստատիկ և մագնիսական փոխազդեցությունները, լույսը, ձայնը թուլանում են հեռավորության քառակուսուն համեմատականորեն։ Մոլորակների պտույտի տևողությունը Արեգակի շուրջը (և արբանյակներինը՝ մոլորակների շուրջը) պտտման կենտրոնից նրանց ունեցած հեռավորությունների հետ նույնպես կապված է աստիճանային կախվածությամբ՝ պտտման ժամանակամիջոցների քառակուսիները միմյանց հարաբերում են այնպես, ինչպես հեռավորությունների խորանարդները։

Չպետք է մտածել, որ պրակտիկայում։ մենք հանդիպում ենք միայն երկրորդ և եըրոբդ աստիճանների, իսկ ավելի բարձր ցուցիչներ գոյության ունեն միայն հանրահաշվի խնդրագրքերի վարժություններում։ Ինժեները, կատարելով դիմացկունության վերաբերյալ հաշվարկներ, անընդհատ և միշտ գործ ունի չորրորդ աստիճանի հետ. իսկ այլ հաշվումների դեպքում, օրինակ շոգեմուղի խողովակների տրամագծի, անգամ վեցերորդ աստիճանի հետ։ Ուսումնասիրելով այն ուժը, որի դեպքում հոսուն ջուրը քշում է քարը, հիդրոտեխնիկը նույնպես առնչվում է վեցերորդ աստիճանի կախման հետ. եթե մի գետում հոսանքի արագությունը չորս անգամ մեծ է, քան մյուսում, ապա արագընթաց գետը ընդունակ է իր հունով գլորել <math>4^6</math> այսինքն՝ <math>4096</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ 4036։— ''Մ.''։</ref> անգամ ավելի ծանր քարեր, քան դանդաղ գետը<ref>Այդ մասին մանրամասն տե՛ս իմ գրքում՝ „Занимательная механика”, գլուխ 9։</ref>։

Ավելի բարձր աստիճանների հետ մենք հանդիպում ենք՝ ուսումնասիրելով շիկացած մարմնի պայծառության կախումը ջերմաստիճանից, օրինակ՝ շիկացած լարինը էլեկտրական լամպում։ Ընդհանուր պայծառությունն աճում է բացարձակ ջերմաստիճանի տասներկուերորդ աստիճանով՝ սպիտակ շիկացման դեպքում և շերմաստիճանի երեսուներորդ աստիճանով՝ կարմրելիս։ Այս նշանակում է, մարմինը, որը տաքացած է, օրինակ, <math>2000</math>-ից մինչև <math>4000°</math> (բացարձակ), այսինքն՝ երկու անգամ ուժեղ, <math>2^{12}</math>-վ պայծառ է դառնում, այլ կերպ ասած՝ ավելի քան <math>4000</math> անգամ։ Այն մասին, թե ինչպիսի նշանակություն ունի այդ յուրատեսակ կախումը էլեկտրական լամպերի պատրաստման տեխնիկայում, մենք դեռ կխոսենք այլ տեղ։

===ԱՍՏՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԹՎԵՐ===

Թերևս ոչ ոք այնպես լայնորեն չի օգտվում մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությանից, ինչպես աստղսգետները։ Տիեզերքն ուսումնասիրելիս, յուրաքանչյուր քայլափոխում հարկ է լինում հանդիպել հսկայական թվերի, որոնք կազմված են մեկից-երկու իմաստալից թվանշաններից և զրոների երկար շարքից։ Սովորական ձևով նման վիթխարի թվերի պատկերումը, իրավացիորեն անվանելով «աստղագիտական թվեր», անխուսափելիորեն կհանգեցներ մեծ անհարմարությունների, հատկապես հաշվումների ժամանակ։ Հեռավորությունը, օրինակ, մինչև Անդրոմեդի միգամածությունը, արտահայտված կիլոմետրերով սովորական կարգով, պատկերվում է այսպիսի թվով՝

<math>9\;500\;000\;000\;000\;000\;000</math>

Աստղագիտական հաշվումներ կատարելիս հաճախ անհրաժեշտ է լինում երկնային հեռավորություններն արտահայտել ոչ միայն կիլոմետրերով կամ ավելի խոշոր միավորներով, այլև սանտիմետրերով։ Այդ դեպքում դիտարկված հեռավորությունը պատկերվում է մի թվով, որը հինգ զրոներ ավելի ունի՝

<math>950\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000</math>

Աստղերի զանգվածներն արտահայտվում են ավելի քան մեծ թվերով, հատկապես, եթե դրանք արտահայտել ենք գրամներով, ինչպես պահանջվում է շատ հաշվարկների համար։ Մեր արեգակի զանգվածը գրամներով հավասար է՝

<math>1\;983\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000\;000</math>

Դժվար չէ պատկերացնել, թե ինչպիսի դժվարություններ կլինեին այդպիսի վիթխարի թվերով հաշվումներ կատարելիս և ինչպես հեշտությամբ այդ դեպքում կարելի էր սխալվել։ Իսկ չէ՞ որ այստեղ բերված են ամենևին էլ դեռ ոչ ամենամեծ աստղագիտական թվերը։

Մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությանը հաշվողներին տալիս է այդ դժվարություններից դուրս գալու հասարակ ելք։ Մեկով և զրոներnվ պատկերվող թիվն իրենից ներկայացնում է տասի որոշակի աստիճան՝

<math>100=10^2, 100=10^3, 10000=10^4</math> և այլն։

Ուստի սկզբում բերված թվային հսկաները կարող են ներկայացվել այսպիսի տեսքով՝

<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD>առաջինը</TD>
        <TD> . . . . . . </TD>
        <TD align=right><math>950\cdot10^{21}</math>,</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD>երկրորդը</TD>
        <TD> . . . . . . </TD>
        <TD align=right><math>1983\cdot10^{30}</math>։</TD>
    </TR>
</TABLE>

Այդ կատարվում է ոչ միայն տեղի խնայողության, այլև հաշվումների հեշտացման համար։ Իսկ եթե պահանջվեր, օրինակ, այդ երկու թվերն էլ բազմապատկել, ապա բավական կլիներ գտնել <math>950\cdot1983\;=\;1\;883\;850</math> արտադրյալը և գրել այն <math>10^{21+30}\;=\;10^{51}</math> արտադրիչից առաջ.

<math>950\cdot10^{21}\cdot1983\cdot10^{36}\;=\;188\;385\;10^{52}։</math>

Այդ իհարկե, անհամեմատ հարմար է, քան թե նախ <math>21</math> զրոյով, այնուհետև <math>30</math> և, վերջապես, <math>52</math> զրոյով թվեր գրելը. դա ոչ միայն հարմար է, այլև հուսալի, քանի որ տասնյակ զրոներ գրելիս հնարավոր է վրիպել մեկ-երկու զրո և ստանալ ոչ ճիշտ արդյունք։

===ՈՐՔԱ՞Ն Է ԿՇՌՈՒՄ ՕԴԸ===

Համոզվելու համար, թե որքան են հեշտանում գործնական հաշվումները մեծ թվերից աստիճանային պատկերմամբ օգտվելու դեպքում, կատարենք այսպիսի հաշվարկ՝ որոշենք, թե քանի անգամ երկրագնդի մասսան մեծ է նրան շրջապատող ամբողջ օդի մասսայից։

Մենք գիտենք, որ երկրի մակերևույթի յուրաքանչյուր քառ. սանտիմետրի վրա օդը ճնշում է մոտ մեկ կիլոգրամ ուժով։ Այդ նշանակում է, որ մթնոլորտի այն սյունի կշիռը, որը հենված է <math>1\;քառ.\;սմ</math>-ի վրա, հավասար է <math>1\;կգ</math>։ Երկրի մթնոլորտային շերտը, կարծես թե, ամբողջությամբ կազմված է այդպիսի օդային սյուներից. դրանք այնքան են, որքան քառ. սանտիմետր պարունակում է մեր մոլորակի մակերևույթը. այդքան կիլոգրամ էլ կշռում է ամբողջ մթնոլորտը։ Նայելով տեղեկատուն, իմանում ենք, որ երկրագնդի մակերևույթի մեծությունը հավասար է <math>510</math> միլիոն <math>քառ.\;կմ</math>, այսինքն՝ <math>51\cdot10^7\;քառ.\;կմ</math>։

Հաշվենք, թե մեկ քառակուսի կիլոմետրը քանի՛ քառակուսի սանտիմետր է։ Գծային կիլոմետրը պարունակում է <math>1000\;մ</math>, յուրաքանչյուրում՝ <math>100</math>-ական <math>սմ</math>, այսինքն հավասար է <math>10^5\;սմ</math>, իսկ <math>քառ.\;կիլոմետրը</math> պարունակում է <math>(10^5)^2\;=\;10^{10}\;քառ.\;սանտիմետր</math>։ Ուստի՝ երկրագնդի ամբողջ մակերևույթը պարունակում է

<math>51\cdot10^7\cdot10^{10}\;=\;51\cdot10^{17}</math>

<math>քառ.\;սանտիմետր</math>։ Երկրի մթնոլորտը այդքան կիլոգրամ էլ կշռում է։ Վելածելով տոննաների, կստանանք՝

<math>51\cdot10^{17}:1000\;=\;51\cdot10^{17}:10^3=51\cdot10^{17-3}\;=\;51\cdot10^{14}</math>։

Երկրագնդի մասսան արտահայտվում է հետևյալ թվով՝

<math>6\cdot10^{21}</math> տոննա։

Որպեսզի որոշենք, թե մեր մոլորակը որքան անգամ ծանր է իր օդային շերտից, կատարենք բաժանում՝

<math>6\cdot10^{21}:51\cdot10^{14}\approx10^6</math>,

այսինքն՝ մթնոլորտի մասսան մոտավորապես կազմում է երկրագնդի մասսայի մեկ միլիոներորդական մասը։

===ԱՅՐՈՒՄ՝ ԱՌԱՆՑ ԿՐԱԿԻ ԵՎ ՋԵՐՄՈՒԹՅԱՆ===

Եթե դուք հարցնեք քիմիկոսին, թե ինչո՞ւ փայտը կամ ածուխն այրվում են միայն բարձր ջերմաստիճանում, նա ձեզ կպատասխանի, որ ածխածնի և թթվածնի միացումը կատարվում է, խիստ ասած, ամեն մի ջերմաստիճանի դեպքում, բայց ցածր ջերմաստիճանների դեպքում այդ պրոցեսն ընթանում է արտակարգ դանդաղ (այսինքն՝ ռեակցիայի մեջ են մտնում խիստ աննշան թվով մոլեկուլներ), այդ պատճառով էլ վրիպում է մեր տեսողությունից։ Քիմիական ռեակցիաների արագությունը որոշող օրենքն ասում է, որ ջերմաստիճանը <math>10°</math>-ով իջեցնելիս ռեակցիայի արագությունը (նրա մեջ մասնակցող մոլեկուլների թիվը) ''փոքրանում է երկու անգամ''։

Ասվածը կիրառենք թթվածնի հետ բնափայտի միացման ռեակցիայի դեպքում, այսինքն՝ փայտի այրման պրոցեսի դեպքում։ Դիցուք, <math>600</math> ջերմությամբ կրակի մեջ յուրաքանչյուր վայրկյանում այրվում է 1 գրամ բնափայտ։ Որքա՞ն ժամանակում կայրվի <math>1</math> գրամ փայտը <math>20°</math>-ում։ Մենք արդեն գիտենք, որ երբ ջերմաստիճանը <math>580\;=\;58\cdot10</math>-ով իջնում է, ռեակցիայի արագությունը փոքրանում է <math>2^{58}</math> անգամ, այսինքն՝ <math>1</math> գրամ փայտն այրվում է <math>2^{58}</math> վայրկյանում։

Քանի՞ տարվա է հավասար այդ ժամանակամիջոցը։ Մենք կարող ենք դա մոտավորապես հաշվել չկատարելով <math>57</math> կրկնվող բազմապատկումները երկուսով և շրջանցելով լոգարիթմական աղյուսակները։ Օգտվենք այն բանից, որ
<math>2^{10}\;=\;1024\approx10^3</math>։
Հետևաբար՝

<math>2^{58}\;=\;2^{60-2}\;=\;2^{60}:2^2\;=\;\frac{1}{4}\cdot2^{60}\;=\;\frac{1}{4}\cdot\left(2^{10}\right)^6\approx\frac{1}{4}\cdot10^{18}</math>,

այսինքն՝ մոտ քառորդ տրիլիոն վայրկյան։ Տարին ունի մոտ <math>30</math> միլիոն, այսինքն՝ <math>3\cdot10^7</math> վայրկյան, ուստի՝

<math>\left(\frac{1}{4}\cdot10^{18}\right)18:\left(3\cdot10^7\right)\;=\;\frac{1}{12}\cdot10^{11}\approx10^{10}</math>։ 

Տա՛սը միլիարդ տարի։ Ահա թե որքան ժամանակում կայրվեր մեկ գրամ փայտն առանց բոցի և ջերմության։

Այսպիսով, փայտը, ածուխը այրվում են և սովորական ջերմաստիճանում, ամենևին չվառվելով։ Կրակ ստանալու գործիքների գյուտը անխուսափելիորեն արագացրեց այդ չափազանց դանդաղ պրոցեսը միլիարդավոր անգամ։

===ԵՂԱՆԱԿԻ ԲԱԶՄԱԶԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ===

'''''Խնդիր'''''

Եղանակը մենք կբնութագրենք միայն մեկ հատկանիշով, այն է՝ երկինքը ամպամած է արդյոք, թե ոչ, այսինքն՝ կտարբերենք միայն պարզ և ամպամած օրերը։ Ի՞նչ եք կարծում, այդ դեպքում կլինե՞ն արդյոք շատ շաբաթներ՝ տարբեր եղանակի օրերի հաջորդումներով։

Թվում է թե քիչ. կանցնի մի երկու ամիս, և շաբաթվա պարզ ու ամպամած օրերի բոլոր կոմբինացիաները կսպառվեն, այդ ժամանակ անխուսափելիորեն կկրկնվի այն կոմբինացիաներից մեկը, որն արդեն դիտվել էր առաջ։

Փորձենք, սակայն, ճիշտ հաշվել, թե որքան տարբեր կոմբինացիաներ են հնարավոր այդ պայմաններում։ Դա այն խնդիրներից մեկն է, որն անսպասելիորեն հանգեցվում է մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությանը։

Այսպիսով, մի շաբաթում պարզ և ամպամած օրերը քանի՞ տարբեր եղանակներով կարող են իրար հաջորդել։

'''''Լուծում'''''

Շաբաթվա աոաջին օրը կարող է լինել կամ պարզ, կամ ամպամած. նշանակում է, առայժմ ունենք երկու «կոմբինացիա»։

Երկու օրվա ընթացքում հնարավոր են պարզ և ամպամած օրերի հետևյալ հաջորդականությունը՝

պարզ և պարզ,<br>
պարզ և ամպամած,<br>
ամպամած և պարզ,<br>
ամպամած և ամպամած։

Ընդամենը երկու օրվա ընթացքում կա <math>2^2</math> տարբեր տեսակի հաջորդականություն։ Երեք օրվա ընթացքում առաջին երկու օրերի չորս կոմբինացիաներից յուրաքանչյուրը զուգակցվում է երրորդ օրվա, երկու կոմբինացիաների հետ. բոլոր տեսակի հաջորդականությունները կլինեն՝

<math>2^2\cdot2\;=\;2^3</math>։

Չորս օրերի ընթացքում հաջորդականությունների թիվը հասնում է՝

<math>2^3\cdot2\;=\;2^4</math>։

Հինգ օրերի համար հնարավոր է <math>2^5</math>, վեց օրերի համար՝ <math>2^6</math> և, վերջապես, շաբաթվա համար՝ <math>2^7\;=\;128</math> տարբեր տեսակի հաջորդականություն։

Այստեղից հետևում է, որ շաբաթն ունի <math>128</math> պարզ և ամպամած օրերի տարբեր հաջորդականություն։ <math>128\cdot7\;=\;896</math> օր հետո անհրաժեշտորեն պետք է կրկնվի նախկին միացություններից մեկը. կրկնությունը, իհարկե, կարող է տեղի ունենալ և շուտ, բայց <math>896</math> օրը մի այնպիսի ժամանակ է, որն անցնելով՝ նման կրկնությունն անխուսափելի է։ Եվ հակառակը, կարող է անցնել ամբողջ երկու տարի, անգամ՝ ավելի (<math>2</math> տարի և <math>166</math> օր), որոնց ընթացքում ոչ մի շաբաթ ըստ եղանակի նման չի լինի մյուսին։

===ԳԱՂՏՆԻ ՓԱԿՈՎ ԿՈՂՊԵՔ===

'''''Խնդիր'''''

Սովետական մի հիմնարկում հայտաբերվել էր մինչռևոլյուցիոն տարիներից մնացած չհրկիզվող պահարան։ Գտնվեց նաև նրա համար մի բանալի, սակայն նրանից օգտվելու համար պետք է իմանային կողպեքի գաղտնիքը. պահարանի դուռը կրացվեր միայն այն ժամանակ, երբ գռան շրջանակների օղերի վրա այբբենական կարգով դասավորված <math>36</math> տառերից կազմեին որոշակի բառ։ Քանի որ ոչ ոք այդ բառը չգիտեր, ապա պահարանը չկոտրելու համար որոշվել էր փորձել շրջանակների մեջ եղած տառերի բոլոր կոմբինացիաները։ Մի կոմբինացիա կազմելու համար պահանջվում էր <math>3</math> վայրկյան ժամանակ։

Կարելի՞ է արդյոք հուսալ, որ պահարանը կբացվի մոտակա <math>10</math> աշխատանքային օրվա ընթացքում։

Լուծում

Հաշվենք, թե ընդամենը քանի՞ կոմբինացիա էր հարկավոր փորձել։

Առաջին շրջանակի <math>36</math> տառերից յուրաքանչյուրը կարող է համադրվել երկրորդ շրջանակի <math>36</math> տառերից յուրաքանչյուրի հետ։ Նշանակում է. հնարավոր է երկտառալին

<math>36\cdot36 = 36^2</math> կոմբինացիա։

Այս կոմբինացիաներից յուրաքանչյուրին կարելի է միացնել երրորդ շրջանակի <math>36</math> տառերից ցանկացածը։ Ուստի հնարավոր է եռատառային

<math>36^2\cdot36\;=\;36^3</math> կոմբինացիա։

Այս ձևով որոշում ենք, որ հնարավոր է չորստառային կոմբինացիաներ՝ <math>364</math>, հինգառային՝ <math>365</math> կամ <math>60\;466\;176</math>։ Ավելի քան <math>60</math> միլիոն այս կոմբինացիաները կազմելու համար, եթե յուրաքանչյուրին հաշվենք <math>3</math> վայրկյան, կպահանջվի

<math>3\cdot60\;466\;176\;=\;181\;398\;528</math> վայրկյան։

Այդ կազմում է մոտ <math>50\;000</math> ժամ կամ <math>6300</math> ութժամյա աշխատանքային օր՝ ավելի քան <math>20</math> տարի։

Նշանակում. է պահարանը մոտակա <math>10</math> աշխատանքային օրում բացելու շանսը ունի <math>10</math>-ը : <math>6300</math>-ի կամ <math>1</math>-ը : <math>630</math>-ի հավանականություն։ Դա շատ փոքր հավանականություն է։

===ՍՆԱՀԱՎԱՏ ՀԵԾԱՆՎՈՐԴԸ===

'''''Խնդիր'''''

Մեկը մի հեծանիվ գնեց, ցանկանալով քշել սովորել։ Պարզվեց, որ հեծանվի տերը բացառիկ սնահավատ մարդ է։ Իմանալով հեծանվի անվի «ութաձև» պտտվելու վնասվածքի գոյության մասին (восьмepка), նա գտավ, որ երբեք հաջողություն չի ունենա, եթե նրան ընկնի հեծանվի այնպիսի համար, որի մեջ թվանշաններից թեկուզ մեկը <math>8</math> լինի։ Սակայն, համար ստանալու գնալիս նա իրեն մխիթարեց հետևյալ դատողությամբ։ Յուրաքանչյուր գրված թվի մեջ կարող է լինել <math>10</math> թվանշան՝ <math>0,\;1,.....,\;9</math>։ Դրանցից «անբախտը» հանդիսանում է միայն <math>8</math> թվանշանը։ Ուստի տասից միայն մեկ համարը կարող է լինել «անբախտ»։

Ճիշտ է արդյո՞ք այդ դատողությունը։

'''''Լուծում'''''

Հեծանվային համարները վեցանիշ են լինում։ Ընդամենը կա <math>999\;999</math> համար՝ <math>000\;001,\;000\;002</math> և այլն, մինչև <math>999\;999</math>։ Հաշվենք, թե քանի «բախտավոր» համարներ գոյություն ունեն։ Առաջին տեղում կարող է լինել ինը «բախտավոր» թվանշաններից ցանկացածը <math>0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;9</math>։ Երկրորդ տեղում՝ նույնպես այդ ինը թվանշաններից ցանկացածը։ Ուստի գոյություն կունենան <math>9\cdot9\;=\;92</math> «բախտավոր» երկանիշ կոմբինացիաներ։ Այդ կոմբինացիաներից յուրաքանչյուրին կարելի է կցագրել (երրորդ տեղում) ինը թվանշաններից ցանկացածը, այնպես որ հնարավոր է «բախտավոր» եռանիշ կոմբինացիաներ՝

<math>9^2\cdot9\;=\;9^3</math>։

Այսպիսով որոշում ենք, որ վեցանիշ «բախտավոր» կոմբինացիաների թիվը հավասար է <math>96</math>։ Սակայն անհրաժեշտ է հաշվի առնել, որ այդ թվի մեջ մտնում է <math>000\;000</math> կոմբինացիան, որը պիտանի չէ որպես հեծանվային համար։ Այսպիսով, հեծանվային համարների «բախտավոր» թիվը հավասար է <math>9^6-1\;=\;531\;440</math>, որը կազմում է բոլոր համարների <math>53%</math>-ից փոքր-ինչ ավելի, բայց ոչ <math>90%</math>-ը, ինչպես ենթադրում էր հեծանվորդը։

Թողնում ենք ընթերցողին ինքնուրույնաբար համոզվելու, որ ութանիշ համարների մեջ «անբախտ» համարներն ավելի շատ են, քան՝ «բախտավորները»։

===ԿՐԿՆՎՈՂ ԿՐԿՆԱՊԱՏԿՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆՔԸ===

Կրկնվող կրկնապատկման դեպքում ամենափոքր մեծության չափազանց արագ աճման մասին զարմանալի օրինակ է տալիս շախմատ խաղի գյուտարարի պարգևատրման վերաբերյալ հանրածանոթ առասպելը<ref>Տե՛ս իմ գիրքը „Живая математика”, գլ. 7։</ref>։ Կանգ չառնելով այդ կլասիկ օրինակի վրա՝ բերենք ուրիշ, ոչ այնքան հայտնի օրինակներ։

'''''Խնդիր'''''

Հողաթափիկ ինֆուզորիան (միաբջիջ միկրոսկոպիկ օրգանիզմ) յուրաքանչյուր <math>27</math> ժամում, (միջին հաշվով) բաժանվում է երկու հավասար մասի։ Եթե այդպիսով ծնված բոլոր ինֆուզորիաները մնային կենդանի, ապա որքա՞ն ժամանակ հարկավոր կլիներ, որպեսզի մի հողաթափիկի սերնդի զբաղեցրած ծավալը հավասար լիներ Արեգակի ծավալին։

Հաշվելու տվյալներն են՝ հողաթափիկի <math>40</math>-րդ սերունդը, որը բաժանվելուց հետո չի ոչնչացել, զբաղեցնում է <math>1\;խոր.\;մ</math> ծավալ, Արեգակի ծավալն ընդունենք հավասար <math>10^{27}\;խոր.\;մ</math>։

'''''Լուծում'''''

Խնդիրը հանգում է այն բանին, թե քանի անգամ պետք կրկնապատկել <math>1\;խոր.\;մ</math>-ը, որպեսզի ստացվի <math>10^{27}\;խոր.\;մ</math> ծավալ։ Կատարենք հետևյալ ձևափոխությունները՝

<math>10^{27}\;=\;(10^3)^9 = (2^{10})^9=2^{90}</math>։

Քանի որ <math>2^{10}\approx1000</math>, ապա նշանակում է՝ Արեգակի ծավալին հասնելու համար քառասուներորդ սերունդը պետք է ենթարկվի դարձյալ <math>90</math> բաժանման։ Սերունդների ընդհանուր թիվը, հաշվելով առաջինից, հավասար է <math>40+90\;=\;130</math>։ Հեշտ է հաշվել, որ այդ տեղի կունենա <math>147</math>-րդ օրում։

Նկատենք, որ մի միկրոբիոլոգ (Մետալնիկովը) փաստորեն դիտել է հողաթափիկի <math>8061</math> բաժանումը։ Թողնում ենք ընթերցողին անձամբ հաշվելու, թե ինչպիսի հսկայական ծավալ կզբաղեցներ վերջին սերունդը, եթե ոչ մի ինֆուզորիա այդ քանակությունից չոչնչանար։

Այս խնդրում դիտարկված հարցը կարելի է շարադրել, այսպես ասած, հակադարձ տեսքով՝

Պատկերացնենք, որ մեր Արեգակը բաժանվել է երկու հավասար մասի, կեսը նույնպես բաժանվել է երկու հավասար մասի և այլն։ Քանի՞ այդպիսի բաժանումներ հարկավոր կլինի, որպեսզի ստացվեն ինֆուզորիայի մեծությամբ մասնիկներ։ Թեև պատասխանն արդեն հայտնի է ընթերցողներին (<math>130</math>), այնուամենայնիվ, այն զարմացնում է իր անչափ համեստ լինելով։

Ինձ առաջարկել են նույն խնդիրը այսպիսի տեսքով։

Թղթի թերթը բաժանում են երկու հավասար մասի, ստացված մի կեսը նորից բաժանում են երկու հավասար մասի և այլն։ Որքա՞ն բաժանում հարկավոր կլինի, որպեսզի ստացվեն ատոմին հավասար մասնիկներ։

Ենթադրենք թղթի թերթը կշռում է <math>1 գ</math> և ընդունենք, որ ատոմի կշռի մեծությունը մոտ <math>\frac{1}{10^{24}}\;գ</math> է։ Քանի որ վերջին արտահայտության մեջ կարելի է <math>10^{24}</math>-ը փոխարինել մոտավորապես նրան հավասար <math>2^{80}</math> արտահայտությամբ, ապա պարզ է, որ թղթի երկու հավասար մասի բաժանելը կպահանջվեր կրկնել ընդամենը <math>80</math> և ոչ թե միլիոն անգամ, ինչպես երբեմն լսվում է որպես այդ խնդրի հարցի պատասխան։

===<math>100\;000</math> ԱՆԳԱՄ ԱՎԵԼԻ ԱՐԱԳ===

Էլեկտրական գործիքը, որը կոչվում է տրիգեր, պարունակում է երկու, էլեկտրոնային լամպեր (այսինքն՝ մոտավորապես այնպիսի լամպեր, ինչպիսիք կիրառվում են ռադիոընդունիչների մեջ)։ հոսանքը տրիգերում կարող է գնալ միայն մեկ լամպի միջով՝ կա՛մ «ձախի», կա՛մ «աջի»։ Տրիգերն ունի երկու կոնտակտ, որոնց կարելի է դրսից կարճատև էլեկտրական ազդանշան (իմպուլս) հաղորդել և երկու կոնտակտ, որոնցով տրիգերից ստացվում է պատասխան իմպուլսը։

Դրսից էլեկտրական իմ պուլսի մուտքի պահին տրիգերը հոսանքափոխվում է. այն լամպը, որի միջով հոսանքն անցել է, անջատվում է, և հոսանքն սկսում է գնալ արդեն մյուս լամպի միջով։ Պատասխան իմպուլսը տրիգերը տալիս է այն պահին, երբ անջատվում է աջ լամպը և միացվում ձախը։

Հետևենք, թե ինչպես կաշխատի տրիգերը, եթե մեկը մյուսի ետևից, նրան մոտեցնենք մի քանի էլեկտրական իմպուլսներ։

Տրիգերի վիճակը կբնութագրենք ըստ նրա աջ լամպի, եթե հոսանքն աջ լամպի միջով չի գնում, ապա կասենք, որ տրիգերը գտնվում է «<math>0</math> դիրքում», իսկ եթե հոսանքն աջ լամպի միջով է գնում, ապա՝ «<math>l</math> դիրքում»։

Դիցուք, տրիգերը սկզբում գտնվում է <math>0</math> դիրքում, այսինքն՝ հոսանքն անցնում է ձախ լամպի միջով (նկ. 1)։ Առաջին իմպուլսից հետո հոսանքը կանցնի աջ լամպով, այսինքն՝ տրիգերը կփոխարկվի <math>1</math> դիրքի։ Այդ դեպքում տրիգերից պատասխան իմպուլս չի ստացվի, քանի որ պատասխան ազդանշանը տրվում է աջ (այլ ոչ ձախ) լամպի անջատման պահին։

Երկրորդ իմպուլսից հետո հոսանքը կանցնի արդեն ձախ լամպով, այսինքն՝ տրիգերը նորից ընդունում է <math>0</math> դիրքը։ Սակայն այդ դիրքում տրիգերը կտա պատասխան ազդանշան (իմպուլս)։

Վերջ ի վերջո (երկու իմպուլսներից հետո) տրիգերը կրկին կընդունի իր սկզբնական դրությունը։ Ուստի երրորդ իմպուլսից (ինչպես և առաջինից հետո) տրիգերը կընդունի <math>1</math>, իսկ չորրորդից հետո (ինչպես և երկրորդից հետո) <math>0</math> դիրքը՝ պատասխան ազդանշանի միաժամանակյա մատուցմամբ և այլն։ Յուրաքանչյուր երկու իմպուլսներից հետո տրիգերի դրությունը կրկնվում է։

Այժմ պատկերացնենք, որ կան մի քանի տրիգերներ և որ արտաքին իմպուլսները հաղորդվում են առաջին տրիգերին, առաջին տրիգերի պատասխան իմպուլսները հաղորդվում են երկրորդին) երկրորդի պատասխան իմպուլսները՝ երրորդին և այլն (նկ. 2-րդում տրիգերները դասավորված են մեկը մյուսից հետո՝ ձախից աջ)։ Հետևենք, թե ինչպես կաշխատի տրիգերների այդպիսի շղթան։

Դիցուք, սկզբից բոլոր տրիգերները գտնվում էին <math>0</math> դիրքում։ Օրինակ, հինգ տրիգերներից կազմված շղթայի համար մենք ունեինք <math>00000</math> կոմբինացիան։ Առաջին իմպուլսից հետո առաջին տրիգերը (ամենաաջը) կընդունի <math>1</math> դիրքը, իսկ քանի որ այդ դեպքում պատասխան իմպուլս չի լինի, ապա մնացած բոլոր տրիգերները կմնան <math>0</math> դիրքերում, այսինքն՝ շղթան կբնութագրվի <math>00001</math> կոմբինացիայով։ Երկրորդ իմպուլսից հետո առաջին տրիգերը կանջատվի (կընդունի <math>0</math> դիրքը), բայց այդ դեպքում ստացվում է պատասխան իմպուլս, որի շնորհիվ էլ միացվում է երկրորդ տրիգերը։ Մնացած տրիգերները կմնան <math>0</math> դիրքերում, այսինքն՝ կստացվի <math>00010</math> կոմբինացիան։ Երրորդ իմպուլսից հետո միացվում է առաջին տրիգերը, իսկ մնացածները չեն փոխում իրենց դիրքերը։ Մենք կունենանք <math>00011</math> կոմբինացիան։ Չորրորդ իմպուլսից հետո անջատվում է առաջին տրիգերը՝ տալով պատասխան ազդանշան. այդ պատասխան իմպուլսից կանջատվի երկրորդ տրիգերը և նույնպես կտա պատասխան իմպուլս. վերջապես, այդ վերջին իմպուլսից միացվում է երրորդ տրիգերը։ Արդյունքում մենք կստանանք <math>00100</math> կոմբինացիան։

Համանման դատողությամբ կարելի է շարունակել և հետագայում։ Տեսնենք, թե այդ դեպքում ի՛նչ կստացվի.

<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD><math>1</math>-ին</TD>
        <TD align=center>իմպուլս</TD>
        <TD><math>00001</math></TD>
        <TD align=center>կոմբինացիա</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>2</math>-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>00010</math></TD>
        <TD align=center>»</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>3</math>-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>00011</math></TD>
        <TD align=center>»</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>4</math>-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>00100</math></TD>
        <TD align=center>»</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>5</math>-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>00101</math></TD>
        <TD align=center>»</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>6</math>-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>00110</math></TD>
        <TD align=center>»</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>7</math>-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>00111</math></TD>
        <TD align=center>»</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>8</math>-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>01000</math></TD>
        <TD align=center>»</TD>
    </TR>
</TABLE>

Մենք նկատում ենք, որ տրիգերների շղթան «հաշվում է» դրսից տրված ազդանշանները և յուրատեսակ եղանակով՝ «գրում է» այդ ազդանշանների թիվը։ Դժվար չէ նկատել, որ արված իմպուլսների թվի «գրելը» կատարվում է ոչ թե մեզ համար սովորական տասնորդական սիստեմով, այլ թվարկության ''երկուական սիստեմով''։

Թվարկության երկուական սիստեմով ամեն մի թիվը գրվում է զրոներով և մեկերով։ Հաջորդ կարգի մեկը ոչ թե տասն անգամ (ինչպես սովորական տասնորդական գրառումը), այլ միայն երկու անգամ է մեծ նախորդ կարգի մեկից։ Երկուական գրառման մեջ վերջին տեղում (ամենաաջ) դրված մեկը, սովորական մեկ է։ Հաջորդ կարգի մեկը (աջից երկրորդ տեղում) նշանակում է երկու, հաջորդ մեկը նշանակում է չորս, այնուհետև ութ և այլն։

Օրինակ, <math>19\;=\;16+2+1</math> թիվը երկուական սիստեմում գրվում է <math>10011</math> տեսքով։

Այսպիսով, տրիգերների շղթան «համրում է» տրված ազդանշանների թիվը և այն «գրում է» թվարկության երկուական սիստեմով։ Նշենք, որ տրիգերի հոսանքափոխումը, այսինքն՝ հաղորդվող մեկ իմպուլսի գրանցումը շարունակվում է ընդամենը... ''վայրկյանի մեկ տասմիլոներորդի ընթացքում''։ Ժամանակակից տրիգերային հաշվիչները կարող են մեկ վայրկյանում «համրել» մինչև <math>1\;000\;000</math> իմպուլս և ավելին։ Դա մոտավորապես <math>100\;000</math> անգամ ավելի արագ է, քան այն հաշիվը, որը կարող է կատարել մարդը՝ առանց որևէ գործիքի. մարդու աչքը կարող է որոշակի տարբերել միմյանց հաջորդող ազդանշանները ոչ ավելի հաճախ, քան <math>0,1 վրկ</math> հետո։

Եթե շղթան կազմենք քսան տրիգերներից, այսինքն՝ տրված ազդանշանների թիվը գրենք երկուական վերլուծման ոչ ավելի քան քսան թվանշաններով, ապա կարելի է «հաշվել» մինչև <math>2^{20}-1</math>. այս թիվը մեծ է միլիոնից։ Իսկ եթե շղթան կազմենք <math>64</math> տրիգերներից, ապա դրանց միջոցով կարելի է գրել հայտնի «շախմատային թիվը»։

Վայրկյանում հարյուրավոր ազդանշանները համրելու հնարավորությունը շատ կարևոր է միջուկային ֆիզիկային վերաբերող էքսպերիմենտալ աշխատանքների համար։ Օրինակ, կարելի է համրել այս կամ այն տեսքի մասնիկների թիվը, որոնք թռչում են ատոմի տրոհման ժամանակ։

===ՎԱՅՐԿՅԱՆՈՒՄ <math>10000</math> ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ===

Զարմանալի է, որ տրիգերային սխեմաները թույլ են տալիս նույնպես ''գործողություններ'' կատարել թվերի հետ։ Տեսնենք, օրինակ, թե ինչպես կարելի է իրագործել երկու թվերի գումարումը։

Դիցուք, տրիգերների երեք շղթաները միացած են այնպես, ինչպես ցույց է տրված 3-րդ նկարում։ Տրիգերների վերին շղթան ծառայում է առաջին գումարելին գրելու համար, երկրորդ շղթան՝ երկրորդ գումարելին գրելու համար, իսկ ներքևի շղթան՝ գումարը ստանալու համար։ Գործիքի միացման մոմենտին ներքևի շղթայի տրիգերին անցնում են իմպուլսներ վերին և միջին շղթաների այն տրիգերներից, որոնք գտնվում են <math>1</math> դիրքում։

Դիսուք, օրինակ, ինչպես այդ ցույց է տրված 3-րդ նկարում,առաջին երկու շղթաներում գրված են <math>101</math> և <math>111</math> գումարելիները (թվարկության երկուական սիստեմով)։ Այդ ժամանակ ներքևի շղթայի առաջին (ամենաաջ) տրիգերի վրա գործիքի միացման պահին առաջանում են երկու իմպուլսներ՝ առաջին տրիգերների յուրաքանչյուր գումարելիներից։ Մենք արդեն գիտենք, որ երկու իմպուլսների ստացման հետևանքով առաջին տրիգերը կմնա <math>0</math> դիրքում, բայց կտա պատասխան իմպուլս երկրորդ տրիգերին։ Բացի այդ, երկրորդ տրիգերին ազդանշան է գալիս երկրորդ գումարելիից։ Այսպիսով, երկրորդ տրիգերի վրա առաջանում են երկու իմպուլս, որի հետևանքով էլ երկրորդ տրիգերը կգտնվի <math>0</math> դիրքում և կուղարկի պատասխան իմպուլս երրորդ տրիգերին։ Բացի այդ, երրորդ տրիգերին են գալիս դարձյալ երկու իմպուլսներ (գումարելիներից յուրաքանչյուրից)։ Ստացված երեք ազդանշանների հետևանքով երրորդ տրիգերը կանցնի <math>1</math> դիրքին և կտա պատասխան իմպուլս։ Այդ պատասխան իմպուլսը չորրորդ տրիգերը կփոխադրի <math>1</math> դիրքը (այլ ազդանշաններ չորրորդ տրիգերի վրա չեն ստացվում)։ Այսպիսով, 3-րդ նկարում պատկերված գործիքը կատարեց (թվարկության երկուական սիստեմով) երկու թվերի գումարում «սյունակով»։
<math>
\dfrac
{
    \begin{array}[b]{r}
      101 \\
     ^+111
    \end{array}
  }{
    1000
  }
</math>

կամ տասնորդական սիստեմով՝ <math>5+7\;=\;12</math>։ Տրիգերների ներքևի շղթայում պատասխան իմպուլսները համապատասխանում են նրան, որ գործիքը, կարծես թե, «հիշում է մտքում» մեկ միավոր և այն տեղափոխում հետևյալ կարգը, այսինքն՝ կատարում է նույնը, ինչ մենք կատարում ենք «սյունակով» գումարելիս։

Իսկ եթե յուրաքանչյուր շղթայում լիներ ոչ թե <math>4</math>, այլ սսենք, <math>20</math> տրիգեր, ապա կարելի էր կատարել թվերի գումարում միլիոնի սահմաններում, իսկ մեծ թվով տրիգերների դեպքում կարելի է գումարել է՛լ ավելի մեծ թվեր։

Նկատենք, որ իրականում գործիքը գումարումներ կատարելու համար պետք է ունենա զգալիորեն ավելի բարդ սխեմա, քան 3-րդ նկարում պատկերվածը։ Մասնավորապես գործիքին պետք է միացված լինի հատուկ հարմարանք, որը իրագործի ազդանշանների «ուշացումը»։ Ընդ որում ցույց տրված սխեմայում գործիքի ազդանշանները երկու գումարելիներից ներքևի շղթայի առաջին տրիգերն են անցնում ''միաժամանակ'' (գործիքի միացման պահին)։ Արդյունքում երկու ազդանշաններն էլ միաձուլվում են, և տրիգերը դրանց ընկալում է որպես մեկ ազդանշան, այլ ոչ թե՝ երկու։ Դրանից խուսափելու նպատակով պետք է, որ ազդանշանները գումարելիներից հաղորդվեին ոչ միաժամանակ, այլ մեկը մյուսից հետո, որոշ «ուշացումով»։ Այդպիսի «ուշացումների» առկայությունը հանգում է նրան, որ երկու թվերի գումարելի ավելի շատ ժամանակ է պահանջում, քան մեկ ազդանշանի գրանցումը տրիգերային հաշվիչում։

Փոխելով սխեման՝ կարելի է ստիպել, որ գործիքը կատարի ոչ թե գումարում, այլ հանում։ Կարելի է նույնպես իրագործել բազմապատկում (այն հանգում է գումարման հաջորդական կատարմանը, և դրա համար պահանջում է մի քանի անգամ ավելի շատ ժամանակ, քան գումարումը), բաժանումը և այլ օպերացիաներ։

Այն սարքավորումները, որոնց մասին խոսվեց վերևում, կիրառվում են ժամանակակից հաշվիչ մեքենաներում։ Այդ մեքենաները մեկ վայրկյանում թվերով կարող են կատարել մինչև <math>10\;000</math> և ավելի գործողություններ։ Թվամ է, թե գործողություններ կատարելու այդպիսի գլխապտույտ արագությունը պետք չէ։ Օրինակ, ինչ տարբերություն այն բանում, թե որքան ժամանակում մեքենան 15-անիշ թիվը կբարձրացնի քառակուսի՝ վայրկյանի մեկ տասհազարերորդական մասո՞ւմ թե՞, ասենք, քառորդ վայրկյանում։ Ե՛վ այս, և՛ այն մեզ թվում է խնդրի «ակնթարթային լուծում»։

Սակայն մի շտապեք եզրակացություններ անելու։ Վերցնենք այսպիսի օրինակ։ Լավ շախմատիստը, նախքան խաղաքայլն անելը, վերլուծում է տասնյակ և անգամ հարյուրավոր հնարավոր տարբերակներ։ Եթե, ասենք, մի տարբերակի հետազոտումը պահանջում է մի քանի վայրկյան, ապա հարյուրավոր տարբերակների վերլուծման համար հարկավոր են րոպեներ և տասնյակ րոպեներ։

Շատ անգամ պատահում է, որ խաղացողները բարդ պարտիաներում ընկնում են «ցեյտնոտի» մեջ, այսինքն՝ հարկադրվում են խաղաքայլերն արագացնել, քանի որ նախորդ խաղաքայլերի մտածելու վրա նրանք ծախսել են գրեթե նրանց համար սահմանված ամբողջ ժամանակը։ Բայց ինչո՞ւ շախմատային պարտիաների տարբերակների հետազոտումը չհանձնարարել մեքենային։ Չէ՞ որ վայրկանում կատարելով հազար հաշվումներ՝ մեքենան հետազոտում է բոլոր տարբերակները «ակնթարթորեն» և երբեք չի ընկնում ցեյտնոտի մեջ...

Դուք, իհարկե, կառարկեք, որ այլ գործ է հաշվումները (թեկուզ և շատ բարդ)) և այլ շախմատ խաղալը։ Մեքենան չի կարող այդ անել։ Շախմատիստը տարբերակների հետազոտման ժամանակ չի հաշվում, այլ ''մտածում է''։

Չվիճենք, մենք ստորև այդ հարցին դեռ կանդրադառնանք։

===ՇԱԽՄԱՏԱՅԻՆ ՀՆԱՐԱՎՈՐ ՊԱՐՏԻԱՆԵՐԻ ԹԻՎԸ===

Անդրադառնանք շախմատային տարբեր պարտիաների թվի մոտավոր հաշվարկմանը, այն է՝ ընդհանրապես քանի պարտիա կարող է խաղացվել շախմատային տախտակի վրա։ Տվյալ դեպքում ճիշտ հաշվարկը ''անհնարին է'', բայց մենք ընթերցողին կծանոթացնենք շախմատային հնարավոր պարտիաների թվի մեծությունը մոտավորապես գնահատելու փորձի հետ։ Բելգիական մաթեմատիկոս Մ. Կրայչիկի „Математика игр и математические развлечения” գրքում գտնում ենք այսպիսի հաշվարկ.

«Առաջին քայլի ժամանակ սպիտակները կարող են ընտրել <math>20</math> խաղաքայլերից մեկը (<math>16</math> խաղաքայլ ութ զինվորի համար, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է տեղաշարժվել մեկ կամ երկու դաշտի վրա, և 2-ական խաղաքայլ յուրաքանչյուր ձիու համար)։ Սպիտակների յուրաքանչյուր խաղաքայլին սևերը կարող են պատասխանել միևնույն <math>20</math> խաղաքայլից մեկով։ Զուգադրելով սպիտակների յուրաքանչյուր խաղաքայլը սևերի յուրաքանչյուր խաղաքայլի հետ՝ կունենանք <math>20\cdot20\;=\;400</math> տարբեր պարտիաներ յուրաքանչյուր կողմի առաջին քայլից հետո։

Աոաջին քայլից հետո հնարավոր խաղաքայլերի թիվը մեծանում է։ Եթե, օրինակ, սպիտակներն արել են առաջին e2—e4 խաղաքայլը, նրանք երկրորդ քայլի համար կարող են ընտրել <math>20</math> խաղաքայլից որևէ մեկը։ Հետագայում հնարավոր խաղաքայլերի թիվն ավելի մեծ է։ Միայն թագուհին, կանգնելով, օրինակ, d5 դաշտում՝ կարող է ընտրել <math>27</math> խաղաքայլից մեկը (ենթադրելով, որ բոլոր դաշտերը, որտեղ նա կարող է կանգնել, ազատ են)։ Սակայն հաշվարկը պարզ դարձնելու համար նկատի կունենանք հետևյալ թվերի միջինը՝

առաջին հինգ խաղաքայլերում երկու կողմերի համար 20-ական հնարավոր խաղաքայլ։

հետագա խաղաքայլերի դեպքում երկու կողմերի համար էլ 30-ական հնարավոր խաղաքայլ։

Բացի դրանից։ ընդունենք, որ նորմալ պարտիայի խաղաքայլերի միջին թիվը հավասար է <math>40</math>-ի։ Այն ժամանակ հնարավոր պարտիաների թվի համար կունենանք հետևյալ արտահայտությունը՝

<math>(20\cdot20)^5\cdot(30\cdot30)^{35}</math>։

Այս արտահայտության մոտավոր մեծությունը որոշելու համար օգտվենք հետևյալ ձևափոխություններից և պարզեցումներից՝

<math>(20\cdot20)^5\cdot(30\cdot30)^{35}\;=\;20^{10}\cdot30^{70}\;=\;2^{10}\cdot3^{70}\cdot10^{80}</math>։

<math>2^{10}</math>-ը փոխարինենք նրան մոտ թվով՝ <math>1000</math>-ով, այսինքն <math>10^3</math>-ով։

<math>370</math> արտահայտությունը ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

<math>3^{70}\;=\;3^{68}\cdot3^2\approx10(3^4)^{17}\approx10\cdot80^{17}\;=\;10\cdot8^{17}\cdot10^{17}=2^{51}\cdot10^{18}\;=\;2(2^{10})^5\cdot10^{18}\approx2\cdot10^{15}\cdot10^{18}\approx2\cdot10^{33}</math>։

Հետևաբար՝

<math>(20\cdot20)^5\cdot(30\cdot30)^{35}\approx10^3\cdot2\cdot10^{33}\cdot10^{80}\;=\;2\cdot10^{116}</math>։

Այս թվից շախմատի խաղի գյուտի համար պահանջված պարգևը՝ ցորենի հատիկների առասպելական բազմությունը <math>(2^{64}-1\approx18\cdot10^{18})</math> չափազանց ետ է մնում։ Եթե երկրագնդի ամբողջ բնակչությունը օր ու գիշեր շախմատ խաղար, անելով ամեն վայրկյանում մեկական քայլ, ապա շախմատային բոլոր հնարավոր պարտիաները սպառելու համար այդպիսի ընդհանուր և անընդհատ խաղը պետք է շարունակվեր ոչ պակաս <math>10100</math> դար։

===ՇԱԽՄԱՏԱՅԻՆ ԱՎՏՈՄԱՏԻ ԳԱՂՏՆԻՔԸ===

Դուք, հավանաբար, շատ կզարմանաք՝ իմանալով, որ մի ժամանակ գոյություն են ունեցել շախմատային ավտոմատներ։ Իրոք, ինչպե՞ս այդ համատեղել այն բանի հետ, որ շախմատային տախտակի վրա ֆիգուրների կոմբինացիաները գործնականորեն անսահման են։

Դա պարզաբանվում է հեշտությամբ։ Գոյություն է ունեցել ոչ թե շախմատային ավտոմատ, այլ միայն հավատ նրա նկատմամբ։ Հատուկ ժողովրդականություն է ունեցել հունգարական մեխանիկ Վոլֆգանգ ֆոն Կեմպելենի (1734-1804) ավտոմատը, որն իր մեքենան ցույց տվեց ավստրիական և ռուսական պալատներում, իսկ այնուհետև հրապարակորեն ցուցադրեց Փարիզում և Լոնդոնում։

Նապոլեոն առաջինը խաղացել է այդ ավտոմատի հետ, վստահ լինելով, որ իր ուժը չափում է մեքենայի ուժի հետ։ Անցյալ դարի կեսերին հանրահայտ ավտոմատն ընկավ Ամերիկա, և այնտեղ էլ Ֆիլադելֆիայի հրդեհի ժամանակ վերջ տրվեց նրա գոյությանը։

Շախմատային խաղի մյուս ավտոմատները արդեն չեն ունեցել այդպիսի հռչակ։ Այնուամենայնիվ, հավատը նման ավտոմատորեն գործող մեքենաների գոյության նկատմամբ չսպառվեց նաև հետագայում։

Իրականում ոչ մի շախմատային մեքենա ավտոմատիկորեն չի գործել։ Ներսում թագնվում էր հմուտ, կենդանի շախմատիստ, որը և շարժում էր ֆիգուրները։ Այն կեղծ ավտոմատը, որի մասին մենք հիմա հիշատակեցինք, իրենից ներկայացրել է մեծածավալ արկղ բարդ մեխանիզմով։ Արկղի վրա կար շախմատային տախտակ՝ ֆիգուրներով, որոնք տեղաշարժվում էին մեծ տիկնիկի ձեռքով։ Նախքան խաղն սկսվելը հասարակությանը հնարավորություն էին տալիս համոզվելու, որ արկղի ներսում ոչինչ չկա, բացի մեխանիզմի դետալներից։ Սակայն նրա մեջ մնում էր բավականաչափ տեղ, որպեսզի թաքնվեր ոչ մեծ հասակի մարդ (այդ դերը խաղում էին հանրաճանաչ խաղացողներ Իոհան Ալգայերը և Վիլյամ Լյուիսը)։ հավանական է, որ մինչև հասարակությանը հաջորդաբար ցույց էին տալիս արկղի տարբեր մասերը, թաքնված մարդը անաղմուկ տեղափոխվում էր հարևան բաժանմունքը։ Իսկ մեխանիզմը ապարատի աշխատանքին ոչ մի մասնակցություն չէր ունենում և միայն քողարկում էր կենդանի խաղացողի ներկայությունը։

Ամբողջ ասածից կարելի է անել հետևյալ եզրակացությունը՝ շախմատային պարտիաների թիվը գործնականորեն անսահման է, իսկ մեքենա, որը թույլատրում է ավտոմատիկորեն ընտրել ամենաճիշտ խաղաքայլը, գոյություն ունի միայն դյուրահավատ մարդկանց երևակայության մեջ։ Ուստի, շախմատային ճգնաժամի երկյուղ կրելու հարկ չկա։

Սակայն վերջին տարիներում տեղի են ունեցել դեպքեր, որոնք թույլ են տալիս կասկածելու այդ եզրակացության ճշտությունը։ Ներկայումս արդեն ''գոյություն ունեն'' շախմատ «խաղացող» մեքենաներ։ Դրանք բարդ հաշվիչ մեքենաներն են, որոնք հնարավորություն են տալիս վայրկյանում կատարել հազարավոր հաշվումներ։ Այդպիսի մեքենաների մասին մենք արդեն խոսել ենք։ Ինչպե՞ս կարող է մեքենան շախմատ «խաղալ»։

Իհարկե, հաշվիչ ոչ մի մեքենա ոչինչ անել չի կարող բացի թվերով գործողություններից։ Բայց մեքենայով հաշվումը կատարվում է գործողությունների որոշակի սխեմայով, նախապես կազմված որոշակի ''ծրագրով''։

Շախմատային «ծրագիրը» կազմվում է մաթեմատիկոսների կողմից խաղի որոշակի տակտիկայի հիման վրա. ընդսմին, տակտիկա ասելով հասկացվում է կանոնների սիստեմը, որը թույլատրում է յուրաքանչյուր դիրքի համար ընտրել միակ («ամենալավագույն»-ը այդ տակտիկայի իմաստով) խաղաքայլը։ Ահա այդպիսի տակտիկայի օրինակներից մեկը։ Յուրաքանչյուր ֆիգուրին վերագրվում է միավորների որոշակի թիվ (արժեք)։

<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Թագավոր</TD>
        <TD align=right style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>+200 միավոր</TD>
        <TD style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Զինվոր</TD>
        <TD align=right style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>+1 միավոր</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Թագուհի</TD>
        <TD align=right style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'>+9 միավոր</TD>
        <TD style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Ետ մնացած զինվոր</TD>
        <TD align=right style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'>-0,5 միավոր</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Նավակ</TD>
        <TD align=right style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'>+5 միավոր</TD>
        <TD style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Մեկուսացված զինվոր</TD>
        <TD align=right style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'>-0,5 միավոր</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Փիղ</TD>
        <TD align=right style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'>+3 միավոր</TD>
        <TD style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Կրկնակի զինվոր</TD>
        <TD align=right style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'>-0,5 միավոր</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Ձի</TD>
        <TD align=right style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>+3 միավոր</TD>
        <TD style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD align=right style='border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
    </TR>
</TABLE>

Բացի այդ, որոշակի ձևով գնահատվում են դիրքային առավելությունները (ֆիգուրների շարժունակությանը, ֆիգուրների դասավորությունը կենտրոնին ավելի մոտ, քան ծայրերում և այլն), որոնք արտահայտվում են միավորի տասներորդ մասերով։ Սպիտակ ֆիգուրների համար միավորների ընդհանուր գումարից հանում ենք սև ֆիգուրների համար միավորների ընդհանուր գամարը։ Ստացված տարբերությունը որոշ չափով բնութագրվում է սպիտակների նյութական և դիրքային առավելությունը սևերի նկատմամբ։ Եթե այդ տարբերությունը դրական է, ապա սպիտակների մոտ ավելի հարմար դրություն է, քան սևերի մոտ, իսկ եթե այն բացասական է՝ ավելի քիչ հարմար դրություն։

Հաշվիչ մեքենան հաշվում է, թե ինչպես կարող է փոխվել մատնանշված տարբերությունը մոտակա երեք խաղաքայլերի ընթացքում, ընտրում է ամենալավագույն տարբերակը երեք խաղաքայլերի երեք հնարավոր կոմբինացիաներից և այն տպում է հատուկ քարտի վրա՝ «խաղաքայլն» արված է<ref>Գոյություն ունեն շախմատային «տակտիկայի» և այլ տեսակներ։ Այսպես, օրինակ, հաշվումներում կարելի է դիտարկել հակառակորդի ոչ բոլոր հնարավոր պատասխան խաղաքայլերր, այլ միայն «ուժեղ» խաղաքայլերր (շախը, վերցնելը, հարձակումը, պաշտպանությունը և այլն)։ Այնուհետև, հակառակորդի հատուկ ուժեղ խաղաքայլերի դեպքում կարելի է անել հաշվումներ ոչ թե երեք, այլ վաղօրոք ավելի թվով խաղաքայլեր։ Կարելի է նույնպես օգտագործել ֆիգուրների արժեքի այլ սանդղակ։ Նայած այս կամ այն տակտիկայի ընտրության, փոխվում է մեքենայի «խաղի ոճը»։</ref>։

Մեքենան մեկ խաղաքայլի վրա վատնում է շատ քիչ ժամանակ (նայած ծրագրի տեսակին և մեքենայի գործելու արագությանը), այնպես որ նա «ցեյտնոտից» չի վախենում։

Իհարկե, միայն երեք խաղաքայլ առաջ «մտածելը» մեքենային բնութագրում է որպես բավական թույլ «խաղացողի»<ref>Շախմատային խաղի լավագույն վարպետների պարտիաներում հանդիպում են կոմբինացիաներ, որոնք հաշվարկված են 10 և ավելի խաղաքայլ առաջ։</ref>, բայց կարելի է չկասկածել նրանում, որ ներկայումս հաշվիչ տեխնիկայի ավելի արագ կատարելագործմամբ մեքենաները շուտով «կսովորեն» անհամեմատ ավելի լավ «խաղալ» շախմատ։

Հաշվիչ մեքենաների համար շախմատային ծրագրեր կազմելու մասին ավելի մանրամասն պատմելը այս գրքում դժվար կլիներ։ Ծրագրերի մի քանի պարզագույն տեսակները մենք սխեմատիկ կերպով կդիտարկենք հաջորդ գլխում։

===ԵՐԵՔ ԵՐԿՈՒՍՆԵՐՈՎ===

Բոլորին հավանաբար հայտնի է, թե ինչպես պետք է գրել երեք թվանշան, որպեսզի նրանցով պատկերենք հնարավորին չափ մեծ թիվ։ Պետք է վերցնել երեք ինը և դրանց դասավորել այսպես՝

<math>9^{9^9}</math>,

այսինքն՝ գրել երրորդ «գերաստիճան» <math>9</math>-ից։

Այդ թիվն այնքան ահռելի մեծ է, որ ոչ մի բաղդատում չի օգնում պարզելու նրա վիթխարիությունը։ Տեսանելի տիեզերքի էլեկտրոնների թիվը չնչին է նրա հետ համեմատած։ Իմ «Հետաքրքրաշարժ թվաբանություն» գրքում (գլ. 10) արդեն ասվել է այդ մասին։ Անդրադառնում եմ այս խնդրին միայն նրա համար, որովհետև ուզում եմ այստեղ նրա ձևով առաջարկել մեկ ուրիշը։

Երեք երկուսներով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով գործողությունների նշանները։

'''''Լուծում'''''

Ինների եռահարկ դասավորության թարմ տպավորության տակ դուք, հավանաբար, պատրաստ եք երկուսներին տալու այսպիսի դասավորություն՝

<math>2^{2^2}</math>
Սակայն այս անգամ սպասվելիք արդյունքը չի ստացվում։ Գրված թիվը մեծ չէ, անգամ փոքր է, քան <math>222</math>-ը։ Իրոք, չէ՞ որ մենք ընդամենը գրել էինք միայն <math>2^4</math>, այսինքն՝ <math>16</math>։

Իսկապես, երեք երկուսներից կազմված ամենամեծ թիվը ո՛չ <math>222</math> է, և ո՛չ էլ <math>22^2</math> (այսինքն՝ <math>484</math>), այլ՝

<math>2^{22}\;=\;4\;194\;304</math>։

Օրինակը շատ ուսանելի է։ Այն ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկայի մեջ վտանգավոր է վարվել համանմանությամբ. դա հեշտությամբ կարող է սխալ եզրակացությունների հասցնել։
===ԵՐԵՔ ԵՐԵՔՆԵՐՈՎ===

'''''Խնդիր'''''

Այժմ, հավանաբար, դուք զգուշորեն կմոտենաք հետևյալ խնդրի լուծմանը՝

Երեք երեքներով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով գործողությունների նշանները։

'''''Լուծում'''''

Եռահարկ դասավորությունը ևս այստեղ չի բերում սպասելիք արդյունքին, քանի որ

<math>3^{3^3}</math>-ը, այսինքն՝ <math>3^{27}</math>-ը փոքր է, քան <math>3^{33}</math>-ը։

Վերջին դասավորությունը տալիս է խնդրի հարցի պատասխանը։

===ԵՐԵՔ ՉՈՐՍԵՐՈՎ===

'''''Խնդիր'''''

Երեք չորսերով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով գործողութսունների նշանները։

'''''Լուծում'''''

Եթե տվյալ դեպքում դուք վարվեք նախորդ երկու խնդիրների ձևով, այսինքն՝ տաք ալդպիսի պատասխան

<math>4^{44}</math>,

ապա կսխալվեք, քանի որ այս անգամ եռահարկ դասավորությունը՝

<math>4^{4^4}</math>

հենց տալիս է ավելի մեծ թիվ։ Իրոք, <math>4^4\;=\;256</math>, իսկ <math>4^{256}</math>-ը մեծ է, քան <math>4^{44}</math>-ը։

===ԵՐԵՔ ՄԻԱՏԵՍԱԿ ԹՎԱՆՇԱՆՆԵՐՈՎ===

Փորձենք խորանալ այդ կասկած առաջացնող երևույթի մեջ և պարզենք, թե ինչու որոշ թվանշաններ եռահարկ դասավորության դեպքում առաջացնում են թվային հսկաներ, իսկ մյուսները՝ ոչ։ Դիտարկենք ընդհանուր դեպքը։

Երեք ''հավասար թվանշաններով'' պատկերել հնարավորին մեծ թիվ չկիրառելով գործողությունների նշանները։

Թվանշանը նշանակենք <math>3</math> տառով։

<math>2^{22},\;3^{33},\;4^{44}</math>

դասավորություններին համապատասխանում է հետևյալ արտահայտությունը՝

<math>a^{10a+a}</math>, այսինքն՝ <math>a^{11a}</math>։

Իսկ եռահարկ դասավորությունն ընդհանուր տեսքով կպատկերվի այսպես`

<math>a^{a^a}</math>

Որոշենք` <math>a</math>-ի ի՞նչ արժեքների դեպքում վերջին դասավորությունը կպատկերի ավելի մեծ թիվ, քան առաջին դասավորությունը։ Քանի որ երկու արտահայտություններն էլ հանդիսանում են հավասար ամբողջական հիմք ունեցող թվի աստիճաններ, ապա մեծ մեծությանը համապատասխանում է մեծ ցուցիչին։ Իսկ ե՞րբ կլինի՝

<math>a^a\;>\;11a</math>։<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>a^2\;>\;11a</math>։— ''Մ.''։</ref>

Անհավասարության երկու մասն էլ բաժանենք <math>a</math>-ի վրա, կստանանք՝

<math>a^{a-1}\;>\;11</math>։

Հեշտ է նկատել, որ <math>a^{a—1}</math>-ն մեծ է <math>11</math>-ից միայն այն պայմանի դեպքում, երբ <math>a</math>-ն մեծ է <math>3</math>-ից, քանի որ

<math>4^{4-1}\;>\;11</math>,

մինչդեռ,

<math>3^2</math>-ն և <math>2^1</math>-ը

փոքր են <math>11</math>-ից։

Այժմ հասկանալիի են ալն անակնկալութլունները, որոնց մենք հանդիպեցինք նախորդ խնդիրները լուծելիս. երկուսների և երեքների համար հարկավոր էր վերցնել այլ դասավորություն, չորս և մեծ թվերի համար՝ այլ։

===ՉՈՐՍ ՄԵԿԵՐՈՎ===

'''''Խնդիր'''''

Չորս միավորներով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով մաթեմատիկական գործողությունների և ոչ մի նշան։

'''''Լուծում'''''

Բնականորեն մտքով անցած <math>1111</math> թիվը չի պատասխանում խնդրի պահանջին, քանի որ՝

<math>11^{11}</math>

շատ անգամ մեծ է այդ թվից։ Հազիվ թե որևէ մեկը համբերություն ունենա այդ թիվը հաշվելու համար <math>10</math> անգամ բազմապատկում կատարել <math>11</math>-ով։ Բայց նրա մեծությունը անհամեմատ արագ կարելի է գնահատել լոգարիթմական աղյուսակների միջոցով։

Այդ թիվը գերազանցում է <math>285</math> միլիարդը և, հետևաբար, <math>1111</math> թվից մեծ է ավելի քան <math>25</math> միլիոն անգամ։

===ՉՈՐՍ ԵՐԿՈՒՍՆԵՐՈՎ===

'''''Խնդիր'''''

Դիտարկվող բնույթի խնդիրների զարգացման մեջ անենք հաջորդ քայլը և մեր հարցը դնենք չորս երկուսների համար։

Իչպիսի՞ դասավորության դեպքում են չորս երկուսները պատկերում. ամենամեծ թիվ։

'''''Լուծում'''''

Հնարավոր են 8 կոմբինացիաներ՝

<math>2222,\;222^2,\;22^{22},\;2^{222}</math>

<math>22^{2^2},\;2^{22^2},\;2^{2^{22}},\;2^{2^{2^{2}}}</math>

Այդ թվերից ո՞րն է ամենամեծը։

Նախ զբաղվենք վերին շարքով, այսինքն երկհարկ դասավորված թվերով։

Առաջինը՝ <math>2222</math>-ը, ակնհայտ է, փոքր է մնացած երեքից։ Հաջորդ երկուսը՝

<math>222^2</math> և <math>22^{22}</math>

բաղդատելու համար ձևափոխ ենք նրանցից երկրորդը՝

<math>22^{22}\;=\;22^{2\cdot11}\;=\;(22^2)^11=484^{11}</math>։

Վերջին թիվը մեծ է <math>222^2</math>-ից, քանի որ <math>484^{11}</math> աստիճանի թե՛ հիմքը, թե՛ ցուցիչը ավելի մեծ է։ քան <math>222^2</math>-ը։

Այժմ <math>22^{22}</math>-ը բաղդատենք առաջին տողի չորրորդ թվի՝ <math>2^{222}</math>-ի հետ։ <math>22^{22}</math>-ը փոխարինեք <math>32^{22}</math> մեծ թվով և ցույց տանք, որ անգամ այդ մեծ թիվն իր մեծությամբ զիջում է <math>2^{222}</math> թվին։

Իրոք՝

<math>32^{22}\;=\;(2^5)^{22}\;=\;2^{110}</math>,

իսկ այս թիվը փոքր է քան թե <math>2^{222}</math>-ը։

Այսպիսով, վերին տողի ամենամեծ թիվը <math>2^{222}</math>-ն է։

Այժմ մեզ մնում է միմյանց հետ բաղդատել հինդ թվեր՝ հենց նոր ստացվածը և հետևյալ չորսը՝

<math>22^{2^2},\;2^{22^2},\;2^{2^{22}},\;2^{2^{2^{2}}}</math>։

Վերջին թիվն ընդամենը <math>2^{16}</math> է և միանգամից դուրս է գալիս մրցությունից։

Այնուհետև, այդ շարքի առաջին թիվը հավասար է <math>22^4</math> և փոքր է, քան <math>32^4</math>-ը կամ <math>2^{20}</math>-ը. փոքր է հաջորդ երկու թվերից յուրաքանչյուրից։ Բաղդատման ենթակա են, հետևաբար, երեք թվեր, որոնցից յուրաքանչյուրը <math>2</math>-ի տարբեր աստիճաններն են։ Ակնհայտ է, որ մեծ է <math>2</math>-ի այն աստիճանը, որի ցուցիչը մեծ է։ Բայց երեք ցուցիչներից՝

<math>222,\:484\text{ և } 2^{20+2}\;(=\;2^{10\cdot2}\cdot2^2\approx10\cdot4)</math>

վերջինը, բացահայտորեն ամենամեծն է։

Ուստի, ամենամեծ թիվը, որ կարելի է պատկերել չորս երկուսներով, այսպիսին է

<math>2^{2^{22}}</math>։

Չդիմելով լոգարիթմական աղյուսակների, մենք կարող ենք մոտավոր պատկերացում կազմել այդ թվի մեծության մասին, օգտվելով հետևյալ մոտավոր հավասարությունից՝

<math>2^{10}\approx1000</math>

Իրոք՝

<math>2^{22}\;=\;2^{20}\cdot2^2\approx4\cdot10^6,</math>

<math>2^{2^{22}}\approx2^{4000000}\;>\;10^{1200000}</math>։<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>2^{2^{22}}\approx2^{4000000}\;>\;20^{1200000}</math>։— ''Մ.''։</ref>

Այսպիսով, այդ թվի թվանշանների քանակը միլիոնից ավելի է։


<br>
<TABLE border = 0 width="128px">
    <TR>
        <TD style='border-top:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
    </TR>
</TABLE>

<references>