Դիտել Տարերք/Գիրք 13 էջի աղբյուրը

{{Վերնագիր
|վերնագիր = [[Տարերք]], Գիրք 13
|հեղինակ = [[էվկլիդես]]
|թարգմանիչ = 
|աղբյուր = [https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick]
}}
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]

=== '''Pages 506-530''' ===

== Պնդում 1 ==

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն։

[[Պատկեր:Nkar_1.png|260px|thumb|left|Նկ․ 1]]

::::Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է ''(Նկ․ 1)''։ Շարունակենք AC հատվածը, և տեղադրենք <math>AD = \frac{AB}{2}</math>։ Ես պնդում եմ, որ <math>CD^2 = 5\cdot DA^2</math>:

::::Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC ''(Նկ․ 1)''։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակելով հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`
<math>AC^2 = AB\cdot BC</math> ''(Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)''։ Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին ''(Նկ․ 1)'': Եվ քանի որ <math>AB = 2\cdot AD</math> և <math>BA = KA</math>, <math>AD = AH</math>, հետևաբար <math>KA = 2\cdot AH</math>: Այսպիսով ստանում ենք հարաբերություն՝ <math>\frac{KA}{AH} = \frac{KA\cdot AC}{AH\cdot AC} </math> ''(Պնդ․ 6․1)'', հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը հավասար է երկու անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին: Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանը, ապա նրանց մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1․43)'': Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է LH և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEG-ի մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար ABEK-ի մակերեսը հավասար է գնոմոն MNO-ին (CH, FH, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին): Քանի որ գնոմոն <math>MNO = 4\cdot AP</math>, հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով <math>CD^2 = 5\cdot DA^2</math>: 

Այսպիսով, եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

== Պնդում 2 ==

Եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է։

[[Պատկեր:Nkar_2.png|280px|thumb|left|Նկ․ 2]]

::::Դիցուք՝ եթե <math>AB^2 = 5\cdot AC^2</math> և СВ շարունակենք, այնպես, որ <math>CD = 2\cdot AC</math>, ապա CD-ն բաժանվում է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, որտեղ մեծ հատվածը CB է ''(Նկ․ 2)''։

::::Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ALFB և СKGD ''(Նկ․ 2)'': Տանենք AF անկյունագիծը։ Շարունակենք FB հատվածը և հատենք KG-ի հետ E-ում: Քանի որ <math>AB^2 = 5\cdot AC^2</math>, հետևաբար AF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով գնոմոն <math>MNO = 4\cdot AH</math>: Քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>,  հետևաբար <math>DC^2 = 4\cdot AC^2</math>, կամ նույնն է ինչ ասենք, որ СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևաբար գնոմոն <math>MNO = CG</math> անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (HB, HF, HL անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են CDGK-ի մակերեսին): Եվ քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>, <math>DC = CK</math>, <math>AC = CH</math> ապա <math>KC = 2\cdot CH</math> և KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 2 անգամ BH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 6․1)'' և քանի որ LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ HB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1.43)'', ապա KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավսար է LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց էր տրված վերևում գնոմոն MNO-ն հավասար է СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևում է, որ HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է BDGE ուղղանկյան մակերեսին։ Իսկ վերջինս հավասար է СD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսին, <math>CD = DG</math>, HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math>։ Հետևաբար CD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math> <math>(CB^2 = DC\cdot BD)</math>: Այսպիսով, ստանում ենք <math>\frac{DC}{CB} = \frac{CB}{BD}</math> ''(Պնդ․ 6․17)'': Եվ քանի որ DC ավելի մեծ է քան СB (տես Լեմմա, ներքևում), ապա СB-ն նույնպես ավելի մեծ է քան BD-ն։ Այսպիսով, եթե CD հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա СB-ն նրա մեծ հատվածն է։

Այսպիսով, եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

== Լեմմա ==

Ապացուցենք, որ <math>2\cdot AC (DC) > BC</math>։

Ենթադրենք <math>2\cdot AC</math> ավելի մեծ չէ քան BC, և <math>BC = 2\cdot CA</math>։ Այսպիսով <math>BC^2 = 4\cdot CA^2</math>։ Հետևում է, որ <math>BC^2 + CA^2 = 5\cdot CA^2</math>։ Ենթադրվում էր, որ  <math> BA^2 = 5\cdot CA^2</math>։ Հետևաբար, <math>BA^2  = BC^2 + CA^2</math>, որը և հակասում է պայմանին ''(Պնդ․ 2․4)''։ Այսպիսով <math>CB \neq 2\cdot AC</math>, նույն կերպ, կարող ենք ասել, որ CB-ից ավելի փոքր հատվածը հավասար չէ <math>2\cdot AC</math>: 
Այսպիսով, <math>2\cdot AC > CB</math>, որն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

== Պնդում 3 ==

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր հատվածի և մեծ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է մեծ հատվածի կեսի քառակուսու հնգապատիկին։

[[Պատկեր:Nkar_3.png|280px|thumb|left|Նկ․ 3]]

::::Դիցուք՝ եթե AB հատվածը բաժանենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, այնպես որ AC մեր մեծ հատվածն է, և AC-ն կիսենք D-ում, ապա <math>BD^2 = 5\cdot DC^2</math> ''(Նկ․ 3)'':

::::Դիտարկենք AE անկյունագծով քառակուսին, ինչպես ցույց է տրված ''Նկ․ 3''-ում։ Քանի որ <math>DC = \frac{AC}{2}</math>, ապա <math>AC^2 = 4\cdot DC^2</math> (RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին)։ Եվ AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին ''(Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)'', որն էլ հավասար է CBES ուղղանկյան մակերեսին, հետևաբար վերջինս հավասար է RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով CBES ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Ինչպես գիտենք <math>AD = DC</math>,և <math>HK = KF</math>, հետևաբար HL և GF անկյունագծերով քառակուսիների մակերեսները հավասար են։ Այսպիսով <math>GK = KL </math>, այնպես ինչպես <math>MN = NE</math>։ Քանի որ MF անկյունագծով ուղղանկյայն մակերեսը հավասար է FE և CG անկյունագծերով ուղանկյունների մակերեսներին, հետևաբար վերջիններս նույնպես հավասար են: Եթե СN անկյունագծով ուղղանկյունն ավելացնենք երկուսին էլ, ապա կարող ենք ասել, որ գնոմոն OPQ հավասար է CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին։ Եվ ինչպես ցույց էր տրվել վերևում, CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար գնոմոն OPQ-ն նույնպես հավասար է FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսի քառապատիկին։ Հետևաբար գնոմոն OPQ հավասար է 5 անգամ FG-ի մակերեսին։ Բայց մենք գիտենք, որ գնոմոն OPQ-ի և FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսի գումարը հավասար է DN անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Իսկ վերջինիս մակերեսը հավասար է <math>DB^2</math>, իսկ GF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է <math>DC^2</math>: Այսպիսով <math>DB^2 = 5\cdot DC^2</math>, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

== Պնդում 4 ==

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր և մեծ հատվածների քառակուսիների գումարը հավասար է մեծ հատվածի քառակուսու եռապատիկին։

[[Պատկեր:Nkar_4.png|280px|thumb|left|Նկ․ 4]]

::::Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է ''(Նկ․ 4)''։ Ես պնդում եմ, որ <math>AB^2 + BC^2 = 3\cdot CA^2</math>:

Դիտարկենք քառակուսի ADEB ''(Նկ․ 4)'': Քանի որ AB մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է, ապա <math>AB \cdot BC = AC^2</math> AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը AC կողմով քառակուսու մակերեսին (Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)։ AK անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է AB և BC կողմերով ուղղանկյանը, և HG անկյունագծով քառակուսին հավասար է AC կողմով քառակուսուն, հետևաբար AK և HG անկյունագծով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են։ Քանի որ AF և FE անկյունագծերով ուղղանկյունները հավասար են (Պնդ․ 1․43), և CBKF քառակուսին ընդհանուր է, հետևաբար ABKH և CBEG ուղանկյունները հավասար են։ Այսպիսով, AK և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է AK անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկին։ Քանի որ AK և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է գնոմոն LMN-ի և CK անկյունագծով քառակուսու մակերեսների գումարին, ապա գնոմոն LMN և CK-ն հավասար է AK անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկին: Եվ ինչպես ցույց էր տրվել վերևում, վերջինս հավասար է նաև HG անկյունագծով քառակուսուն, հետևաբար գնոմոն LMN-ը