Դիտել Տարերք/Գիրք 4 էջի վիքիկոդը

{{Վերնագիր
|վերնագիր = [[Տարերք]], Գիրք 4
|հեղինակ = [[էվկլիդես]]
|թարգմանիչ = 
|աղբյուր = [https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick]
}}
{{Տարերքի գրքեր}}
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]

== pages 109-128 ==

և ԴՑ (գիծ) գումարած (քառակուսի) ՖԲ-ի վրա հավասար է ՖԲ-ի և ԲԴ-ի վրա (քառակուսիների
գումարին): Թող ՖԲ-ի վրա (քառակուսին) հանված լինի երկուսից: Արդյունքում մնացած (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ-ով և ԴՑ-ով, հավասար է դիպչող գծի (ԴԲ-ի) վրա (քառակուսուն): Եվ թող ԴՑԱ-ն չլինի շրջանագծի ԱԲԳ կենտրոնի միջով, և գտնվի կենտրոնը՝ Ե-ն, և Ե կետից դեպի ԱՑ ուղղահայաց գիծ տարված լինի ԵԶ [Պնդ. 1.12]: Եվ միացվեն ԵԲ, ԵՑ և
ԵԴ: (Անկյունը) ԵԲԴ (հավասար է) ուղիղ անկյան [Պնդ. 3.18]: Եվ քանի որ ԵԿ կենտրոնի միջով անցնող ուղիղ գիծը հատում է մեկ այլ ԱՑ ուղիղ գիծ, որը կենտրոնի միջով չէ, ուղիղ անկյան տակ, ապա այն նաև բաժանում է կեսերի [Պնդ. 3.3]: Այսպիսով, ԱՖ հավասար է ՖՑ: Եվ քանի որ ԱՑ ուղիղ գիծը բաժանվում է կետ Ֆ-ում, թող ավելացվի ՑԴ-ն: Արդյունքում (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ- ով և ԴՑ-ով, գումարած (քառակուսին) ՖՑ-ի վրա, հավասար է ՖԴ-ի վրա (քառակուսուն) [Պնդ. 2.6]: Թող ՖԵ-ի վրա (քառակուսին) ավելացվի երկուսին: Արդյունքում (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ- ով և ԴՑ-ով, գումարած (քառակուսիների գումարը) ՑՖ- ի և ՖԵ-ի վրա, հավասար է ՖԴ-ի և ՖԵ-ի վրա (քառակուսիների գումարին): Բայց ԵՑ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է ՑՖ-ի և ՖԵ-ի վրա (քառակուսիների գումարին): Քանի որ [անկյունը] ԵՖՑ [հավասար է] ուղիղ անկյան [Պնդ. 1.47]: Եվ ԵԴ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է ԴՖ-ի և ՖԵ-ի վրա (քառակուսիների գումարին) [Պնդ. 1.47]: Այսպիսով, (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ-ով և ԴՑ-ով, գումարած ԵՑ-ի վրա (քառակուսին), հավասար է ԵԴ-ի վրա (քառակուսուն): Եվ ԵՑ-ը (հավասար է) ԵԲ-ին: Այսպիսով, (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ-
ով և ԴՑ-ով, գումարած ԵԲ-ի վրա (քառակուսին), հավասար է ԵԴ-ի վրա (քառակուսուն): Եվ ԵԲ-ի և ԲԴ-ի վրա (քառակուսիների գումարը) հավասար է ԵԴ-ի վրա (քառակուսուն): Քանի որ ԵԲԴ անկյունը ուղիղ անկյուն է [Պնդ.1.47]: Այսպիսով, (ուղղանկյունը), որը ստացվում է ԱԴ-ով և ԴՑ-ով, գումարած ԵԲ-ի վրա (քառակուսին), հավասար է ԵԲ-ի և ԲԴ-ի վրա (քառակուսիների
գումարին): Թող ԵԲ-ի վրա (քառակուսին) հանվի երկուսից: Արդյունքում մնացած (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է ԱԴ-ով և ԴՑ-ով, հավասար է ԲԴ-ի
վրա (քառակուսուն):Այսպիսով, եթե որոշ կետ վերցվի շրջանի սահմաններից դուրս, և երկու ուղիղ գիծ ուղղվի այնտեղից դեպի շրջան, որոնցից մեկը կտրում է շրջանը, իսկ մյուսը դիպչում է դրան, ապա (ուղղանկյունը), որը պարունակվում է շրջանը կտրող ամբողջ ուղիղ գծի և դրա արտաքին հատվածի միջև, հավասար կլինի դիպչող գծի վրա քառակուսուն: Սա հենց այն է, ինչ պետք էր ցույց տալ:

Պնդում 37
Եթե կետ վերցվի շրջանից դուրս, և այդ կետից դեպի շրջան տարվեն երկու ուղիղ, որոնցից մեկը հատում է շրջանը, իսկ մյուսը՝ շոշափում, ապա (ուղղանկյունը), որը ամբողջ հատողի և դրա արտաքին հատվածի միջև է, հավասար կլինի հանդիպող գծի քառակուսուն։

[[Պատկեր:Pndum37.jpg]]

Թող կետ Դ վերցված լինի ԱԲՑ շրջանից դուրս, և թող Դ կետից երկու ուղիղ գծեր՝ ԴՑԱ և ԴԲ, ուղղվեն դեպի
ԱԲՑ շրջան։ Թող ԴՑԱ գիծը կտրի շրջանը, իսկ ԴԲ գիծը հանդիպի (շրջանին)։ Եվ թող ԱԴ և ԴՑ գծերով պարունակվող (ուղղանկյունը) հավասար լինի ԴԲ-ի
վրա (քառակուսուն)։ Ասում եմ, որ ԴԲ-ն դիպչում է ԱԲՑ շրջանին։ Թող ԴԵ գիծը նկարած լինի՝ դիպչելով ԱԲՑ շրջանագծին [Պնդ․ 3.17], և թող գտնված լինի ԱԲՑ շրջանի կենտրոնը, որը գտնվում է Ֆ կետում։ Թող միացված լինեն ՖԵ, ՖԲ և ՖԴ գծերը։ (Անկյունը) ՖԵԴ, հետևաբար, ուղիղ անկյուն է [Պնդ․ 3.18]։ Եվ քանի որ ԴԵ գիծը դիպչում է ԱԲՑ շրջանագծին, իսկ ԴՑԱ գիծը կտրում է այն, ապա ԱԴ և ԴՑ գծերով պարունակվող (ուղղանկյունը) հավասար է ԴԵ-ի վրա (քառակուսուն) [Պնդ․ 3.36]։ Նույնպես, ԱԴ և ԴՑ գծերով պարունակվող (ուղղանկյունը) հավասար էր ԴԲ-ի վրա (քառակուսուն)։ Հետևաբար, ԴԵ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է ԴԲ-ի վրա (քառակուսուն)։ Այսպիսով, ԴԵ-ն հավասար է ԴԲ-ին։ Եվ ՖԵ-ն նույնպես հավասար է ՖԲ- ին։ Այսպիսով, երկու ուղիղ գծեր՝ ԴԵ և ԵՖ, հավասար
են երկու ուղիղ գծերին՝ ԴԲ և ԲՖ (համապատասխանաբար)։ Նրանց հիմքը՝ ՖԴ-ն, ընդհանուր է։ Այսպիսով, ԴԵՖ անկյունը հավասար է ԴԲՖ անկյունին [Պնդ․ 1.8]։ Եվ ԴԵՖ անկյունը ուղիղ անկյուն է։ Այսպիսով, ԴԲՖ անկյունը նույնպես ուղիղ անկյուն է։ Եվ ՖԲ գիծը, որը շարունակված է, տրամագիծ է, իսկ (ուղիղ գիծը), որը անցկացված է տրամագծի ծայրակետին ուղիղ անկյան տակ, դիպչում է շրջանին [Պնդ․ 3.16, լրացում]։ Այսպիսով, ԴԲ-ն դիպչում է ԱԲՑ շրջանին։ Նույնը կարելի է ցույց տալ, նույնիսկ եթե կենտրոնը պատահաբար գտնվի ԱՑ ուղիղ գծի վրա։ Այսպիսով, եթե որոշ կետ վերցվի շրջանից դուրս, և այդ կետից դեպի շրջան ուղղվեն
երկու ուղիղ գիծ, որոնցից մեկը կտրում է շրջանը, իսկ մյուսը հանդիպում է դրան, և եթե կտրող (ուղիղ գծի) ամբողջ երկարությամբ և դրա արտաքին հատվածով
 
պարունակվող (ուղղանկյունը), որը գտնվում է շրջանի կոր մակերեսի միջև, հավասար է հանդիպող գծի վրա (քառակուսուն), ապա հանդիպող (ուղիղ գիծը) կդիպչի շրջանին։ Սա հենց այն է, ինչ պետք էր ցույց տալ։


Սահմանումներ
1.	Ուղղագծային պատկերը համարվում է ներառված մեկ այլ ուղղագծային պատկերում, երբ ներառված պատկերի համապատասխան անկյունները դիպչում են այն պատկերի համապատասխան կողմերին, որի մեջ այն ներառված է։
2.	Նմանապես, ուղղագծային պատկերը համարվում է շրջապատված մեկ այլ ուղղագծային պատկերով, երբ
շրջապատող պատկերի համապատասխան կողմերը դիպչում են այն պատկերի համապատասխան անկյուններին, որը շրջապատված է։
3.	Ուղղագծային պատկերը համարվում է ներառված շրջանագծի մեջ, երբ ներառված պատկերի յուրաքանչյուր անկյուն դիպչում է շրջանագծի պարագծին։
4.	Ուղղագծային պատկերը համարվում է շրջապատող շրջանագիծ, երբ շրջապատող պատկերի յուրաքանչյուր կողմ դիպչում է շրջանագծի պարագծին։
5.	Նմանապես, շրջանագիծը համարվում է ներգծած բազմանկյանը, երբ այդ բազմանկյան յուրաքանչյուր կողմը շոշափում է շրջանագիծը։
6.	Շրջանագիծը համարվում է արտագծած բազմանկյանը, եթե այդ բազմանկյան յուրաքանչյուր անկյանը գտնվում է շրջանագծի վրա։
7.	Ուղիղը համարվում է ներմուծված շրջանագծի մեջ, երբ դրա ծայրակետերը գտնվում են շրջանագծի վրա։

Առաջարկ 1
Ներմուծել ուղիղ, որը հավասար է տրված ուղիղ գծին, շրջանագծի մեջ՝ (այդ ուղիղ գիծը) չգերազանցելով շրջանագծի տրամագիծը։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark1.jpg]]

Տրված է ԱԲՑ շրջանը և Դ հատվածը (որը) չի գերազանցում շրջանի տրամագիծը։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է ԱԲՑ շրջանի մեջ ներմուծել հատված, որը հավասար է Դ հատվածին։
Տանենք ԱԲՑ շրջանի տրամագիծը՝ ԲՑ։
 

Այսպիսով, եթե ԲՑ հավասար է Դ հատվածին, ապա ունենք այն, ինչ հարկավոր էր, քանի որ ԲՑ ուղիղ գիծը, որը հավասար է Դ հատվածին, ներմուծված է ԱԲՑ շրջանի մեջ։ Իսկ եթե ԲՑ մեծ է Դ-ից, ապա թող ՑԵ-ն հավասար լինի Դ-ին [Պնդ․ 1.3], և թող Ց կենտրոնով և ՑԵ շառավղով գծվի ԵԱՖ շրջանը։ Թող ՑԱ-ն միացված լինի։Այսպիսով, քանի որ Ց կետը ԵԱՖ շրջանի կենտրոնն է, ՑԱ հավասար է ՑԵ-ին։ Բայց ՑԵ- ն հավասար է Դ-ին։ Հետևաբար, Դ-ն նույնպես հավասար է ՑԱ-ին։Այսպիսով, ՑԱ-ն, որը հավասար է տրված Դ հատվածին, ներմուծված է տրված ԱԲՑ շրջանի մեջ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 2
Ներգծել եռանկյուն, որը նման է տրված եռանկյանը։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark2.jpg]]

Տրված է ԱԲՑ շրջանը, և ԴԵՖ եռանկյունը։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է տրված ԱԲՑ շրջանի մեջ ներգծել եռանկյուն, որը նման է ԴԵՖ եռանկյանը։Տանենք ԳՀ գիծը՝ շոշափելով ԱԲՑ
շրջանագծին Ա կետում։ Եվ թող ԱՀ ուղիղ գծի վրա, Ա կետում, կառուցված լինի ՀԱՑ անկյունը, որը հավասար է ԴԵՖ անկյունին, և ԱԳ ուղիղ գծի վրա, Ա կետում, կառուցված լինի ԳԱԲ անկյունը, որը հավասար է ԴՖԵ անկյունին [Պնդ․ 1.23]։ Թող ԲՑ միացված լինի։ Այսպիսով, քանի որ ԱՀ ուղիղ գիծը դիպչում է ԱԲՑ շրջանին, իսկ ԱՑ ուղիղ գիծը գծված է (շրջանի) միջով Ա դիպման կետից, ապա ՀԱՑ անկյունը հավասար է ԱԲՑ անկյունին շրջանի այլ հատվածում [Պնդ․ 3.32]։ Բայց ՀԱՑ անկյունը հավասար է ԴԵՖ անկյունին։ Հետևաբար, ԱԲՑ անկյունը նույնպես հավասար է ԴԵՖ անկյունին։ Նույն պատճառներով ԱՑԲ անկյունը նույնպես հավասար է ԴՖԵ անկյունին։Այսպիսով, մնացած ԲԱՑ անկյունը հավասար է մնացած ԵԴՖ անկյունին [Պնդ․ 1.32]։ Այսպիսով, ԱԲՑ եռանկյունը հավասարանկյուն ԴԵՖ եռանկյան հետ և ներգծված է ԱԲՑ շրջանի մեջ]։ † Տե՛ս ծանոթագրությունը Պնդ․ 3.34։
 

Այսպիսով, եռանկյունը, որը հավասարանկյուն է տրված եռանկյան հետ, ներգծվել է տրված շրջանագծի մեջ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 3
Տրված շրջանագծին արտագծել եռանկյուն, որը նման է տրված եռանկյանը։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark3.jpg]]

Թող ԱԲՑ լինի տրված շրջանագիծը, իսկ ԴԵՖ՝ տրված եռանկյունը։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է տրված ԱԲՑ շրջանի շուրջ կառուցել եռանկյուն, որը հավասարանկյուն է ԴԵՖ եռանկյան հետ։ Թող ԵՖ գիծը շարունակվի երկու ուղղություններով դեպի Գ և Հ կետեր։ Եվ թող գտնված լինի ԱԲՑ շրջանի կենտրոնը՝ Կ [Պնդ․ 3.1]։ Թող ԿԲ գիծը գծված լինի կամայական ուղղությամբ (ԱԲՑ շրջանագծի միջով)։ Թող (անկյունը) ԲԿԱ, որը հավասար է ԴԵԳ անկյունին, կառուցված լինի ԿԲ ուղիղ գծի վրա՝ Կ կետում, իսկ (անկյունը) ԲԿՑ, որը հավասար է ԴՖՀ անկյունին [Պնդ․ 1.23]։ Թող ուղիղ գծերը՝ ԼԱՄ, ՄԲՆ և ՆՑԼ, անցկացվեն Ա, Բ և Ց կետերի միջով
(համապատասխանաբար), դիպչելով ԱԲՑ շրջանին։Քանի որ ԼՄ, ՄՆ և ՆԼ գծերը դիպչում են ԱԲՑ շրջանին Ա, Բ և Ց կետերում (համապատասխանաբար), իսկ ԿԱ, ԿԲ և ԿՑ գծերը միացված են կենտրոն Կ կետից դեպի Ա, Բ և Ց կետերը (համապատասխանաբար), ապա Ա, Բ և Ց կետերում անկյունները ուղիղ են [Պնդ․ 3.18]։ Եվ քանի որ քառանկյուն ԱՄԲԿ-ի չորս անկյունների (գումարը) հավասար է չորս ուղիղ անկյունների, այն պատճառով, որ ԱՄԲԿ-ն կարող է բաժանվել երկու եռանկյունների [Պնդ․ 1.32], և ԿԱՄ ու ԿԲՄ անկյունները երկուսն էլ ուղիղ են, ապա մնացած անկյունները՝ ԱԿԲ և ԱՄԲ, նույնպես հավասար են երկու ուղիղ անկյունների։ Եվ ԴԵԳ ու ԴԵՖ անկյունների գումարը նույնպես հավասար է երկու ուղիղ անկյունների [Պնդ․ 1.13]։
Հետևաբար, ԱԿԲ և ԱՄԲ անկյունների գումարը հավասար է ԴԵԳ և ԴԵՖ անկյունների գումարին, որոնցից ԱԿԲ-ն հավասար է ԴԵԳ-ին։ Հետևաբար, ԱՄԲ մնացած անկյունը հավասար է ԴԵՖ մնացած անկյանը։ Նույն կերպ ցույց է տրվում, որ ԼՆԲ անկյունը նույնպես հավասար է
ԴՖԵ անկյանը։ Տե՛ս ծանոթագրությունը [Պնդ․ 3.34]։
 
Այսպիսով, մնացած ՄԼՆ անկյունը նույնպես հավասար է մնացած ԵԴՖ անկյանը [Պնդ․ 1.32]։ Այսպիսով, ԼՄՆ եռանկյունը հավասարանկյուն է ԴԵՖ եռանկյան հետ։ Եվ այն կառուցված է ԱԲՑ շրջանի շուրջ։ Այսպիսով, եռանկյունը, որը հավասարանկյուն է տրված եռանկյան հետ, կառուցվել է տրված շրջանի շուրջ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։


Առաջարկ 4
Տրված եռանկյանը ներգծել շրջանագիծ։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark4.jpg]]

Թող ԱԲՑ լինի տրված եռանկյունը։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է ներգծել շրջանագիծ ԱԲՑ եռանկյան մեջ։ Թող ԱԲՑ եռանկյան անկյունները՝ ԱԲՃ և ԱՑԲ, բաժանված լինեն կեսերով՝ համապատասխանաբար ուղիղ գծերով ԲԴ և ՑԴ [Պնդ․ 1.9], և թող դրանք հատվեն Դ կետում։ Թող Դ կետից դեպի ԱԲ, ԲՑ և ՑԱ ուղիղ գծեր տարված լինեն ուղղահայաց գծեր՝ ԴԵ, ԴՖ և ԴԳ (համապատասխանաբար) [Պնդ․ 1.12]։ Քանի որ ԱԲԴ անկյունը հավասար է ՑԲԴ անկյանը, իսկ ուղիղ անկյունները՝ ԲԵԴ և ԲՖԴ, նույնպես հավասար են, ապա ԵԲԴ և ՖԲԴ եռանկյունները ունեն երկու անկյուններ,
որոնք հավասար են երկու անկյունների, և մեկ կողմ՝
(որը) համընկնում է նրանցից մեկի հավասար անկյունին՝ ԲԴ։ Հետևաբար, նրանց մնացած կողմերը նույնպես կլինեն համապատասխան կողմերի հավասար [Պնդ․ 1.26]։ Հետևաբար, ԴԵ-ն հավասար է ԴՖ-ին։ Նույն պատճառներով, ԴԳ-ն նույնպես հավասար է ԴՖ-ին։ Այսպիսով, ԴԵ, ԴՖ և ԴԳ երեք ուղիղ գծերը հավասար են իրար։ Հետևաբար, Դ կենտրոնով և ԴԵ, ԴՖ կամ ԴԳ շառավղով գծված շրջանագիծը նույնպես անցնում է մնացած կետերով և դիպչում է ԱԲ, ԲՑ և ՑԱ ուղիղ գծերին, քանի որ Ե, Ֆ և Գ կետերում անկյունները ուղիղ են։ Եթե այն հատի այդ ուղիղ գծերից մեկը, ապա այն կլինի գիծ, որը տարված է տրամագծի ծայրակետից դեպի շրջանագիծ՝ ներքին հատվածում ընկնելով։ Բայց
դա հենց այն է, ինչը ցույց տրվեց որպես անհեթեթություն [Պնդ․ 3.16]։ Հետևաբար, Դ կենտրոնով և ԴԵ, ԴՖ կամ ԴԳ շառավղով գծված շրջանագիծը
 

չի հատում ԱԲ, ԲՑ և ՑԱ ուղիղ գծերը։ Հետևաբար, այն դիպչում է այդ գծերին և կլինի ԱԲՑ եռանկյան ներգծված շրջանագիծը։ Թող այն ներգծված լինի, ինչպես ՖԳԵ-ն (նկարում)։ Այսպիսով, ՖԳԵ շրջանագիծը ներգծվել է տրված ԱԲՑ եռանկյան մեջ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 5
Արտագծել շրջանագիծ տրված եռանկյանը։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark5.jpg]]

Թող ԱԲՑ լինի տրված եռանկյունը։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է ԱԲՑ եռանկյան շուրջ շրջանագիծ կառուցել։ Թող ԱԲ և ԱՑ ուղիղ գծերը բաժանված լինեն կեսերով Դ և Ե կետերում
(համապատասխանաբար) [Պնդ․ 1.10]։ Թող ԴՖ և ԵՖ ուղիղ գծերը տարված լինեն Դ և Ե կետերից՝ համապատասխանաբար ուղղահայաց ԱԲ և ԱՑ գծերին [Պնդ․ 1.11]։ Հետևաբար, (ԴՖ և ԵՖ) անպայման կհատվեն կամ ԱԲՑ եռանկյան ներսում, ԲՑ ուղիղ գծի վրա, կամ ԲՑ-ից դուրս։ Թող նրանք, նախ և առաջ, հատվեն եռանկյան ներսում՝ Ֆ կետում, և թող միացված լինեն ՖԲ, ՖՑ և ՖԱ գծերը։ Քանի որ ԱԴ-ն հավասար է ԴԲ-ին, իսկ ԴՖ գիծը ընդհանուր է և ուղղահայաց, ապա ՖԱ հիմքը հավասար է ՖԲ հիմքին [Պնդ․ 1.4]։ Նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ ՖՑ-ն նույնպես հավասար է ՖԱ-ին։ Այսպիսով, ՖԲ-ն նույնպես հավասար է ՖՑ-ին։ Այսպիսով, ՖԱ, ՖԲ և ՖՑ երեք գծերը հավասար են իրար։ Հետևաբար, Ֆ կենտրոնով և Ա, Բ կամ Ց կետերից մեկի շառավղով գծված շրջանագիծը նույնպես կանցնի մնացած կետերով։ Եվ շրջանագիծը կլինի ԱԲՑ եռանկյան շուրջ կառուցված շրջանագիծը։ Թող այն (այդպես) կառուցված լինի, ինչպես ԱԲՑ-ն (ձախից առաջին նկարում)։ Եվ թող ԴՖ և ԵՖ գծերը հատվեն ԲՑ ուղիղ գծի վրա՝ Ֆ կետում, ինչպես (ձախից) երկրորդ նկարում։ Թող միացված լինի ՖԱ գիծը։ Նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ Ֆ կետը ԱԲՑ եռանկյան շուրջ կառուցված շրջանագծի կենտրոնն է։ Եվ թող
ԴՖ և ԵՖ գծերը հատվեն ԱԲՑ եռանկյունից դուրս՝
կրկին Ֆ կետում, ինչպես (ձախից) երրորդ նկարում։ Թող միացված լինեն ՖԱ, ՖԲ և ՖՑ գծերը։ Եվ կրկին, քանի որ ԱԴ-ն հավասար է ԴԲ-ին, իսկ ԴՖ գիծը ընդհանուր է և ուղղահայաց, ապա ՖԱ հիմքը հավասար է ՖԲ հիմքին [Պնդ․ 1.4]։ Նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ ՖՑ-ն նույնպես հավասար է ՖԱ-ին։
 

Այսպիսով, ՖԲ-ն նույնպես հավասար է ՖՑ-ին։ Այսպիսով, [կրկին] Ֆ կենտրոնով և ՖԱ, ՖԲ կամ ՖՑ գծերից մեկի շառավղով գծված շրջանագիծը նույնպես կանցնի մնացած կետերով։ Եվ այն կլինի ԱԲՑ եռանկյան շուրջ կառուցված շրջանագիծ։ Այսպիսով, տրված եռանկյան շուրջ կառուցվել է շրջանագիծ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անե։

Առաջարկ 6
Քառակուսւոն արտագծել շրջանագիծ։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark6.jpg]]

Թող ԱԲՑԴ լինի տրված շրջանը։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է ներգծել քառակուսի ԱԲՑԴ շրջանի մեջ։ Թող ԱԲՑԴ շրջանի երկու տրամագծերը՝ ԱՑ և ԲԴ, գծված լինեն ուղիղ անկյան տակ միմյանց նկատմամբ։ Թող միացված լինեն ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ և ԴԱ գծերը։ Քանի որ ԲԵ-ն հավասար է ԵԴ-ին (քանի որ Ե-ն շրջանի կենտրոնն է), և ԵԱ գիծը ընդհանուր է և ուղղահայաց, ապա ԱԲ հիմքը հավասար է ԱԴ հիմքին [Պնդ․ 1.4]։ Նույն պատճառներով, ԲՑ և ՑԴ կողմերը նույնպես հավասար են ԱԲ և ԱԴ կողմերին։ Այսպիսով, քառանկյուն ԱԲՑԴ-ն հավասարակողմ է։ Ասում եմ, որ այն նաև ուղղանկյուն է։ Քանի որ ԲԴ գիծը ԱԲՑԴ շրջանի տրամագիծն է, ԲԱԴ անկյունը կազմում է կիսաշրջան։ Հետևաբար, ԲԱԴ անկյունը ուղիղ անկյուն է [Պնդ․ 3.31]։ Նույն պատճառներով, ԱԲՑ, ԲՑԴ և ՑԴԱ
անկյուններն էլ ուղիղ են։ Այսպիսով, քառանկյուն ԱԲՑԴ- ն ուղղանկյուն է։ Եվ արդեն ցույց տրվեց, որ այն հավասարակողմ է։ Հետևաբար, այն քառակուսի է [Սահման․ 1.22]։ Եվ այն ներգծված է ԱԲՑԴ շրջանի մեջ։ Այսպիսով, ԱԲՑԴ քառակուսին ներգծվել է տրված շրջանի մեջ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 7
Արտագծել քառակուսի շրջանագծին։
 

Տրված է շրջանագիծ Ե կենտրոնով։ Պահանջվում է արտագծել քառակուսի տրված շրջանագծին։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark7.jpg]]

Թող ԱՑ և ԲԴ լինեն ԱԲՑԴ շրջանի երկու տրամագծերը, որոնք գծված են ուղիղ անկյան տակ միմյանց նկատմամբ։ Թող ՖԳ, ԳՀ, ՀՔ և ՔՖ գծերը անցկացված լինեն Ա, Բ, Ց և Դ կետերով (համապատասխանաբար), դիպչելով ԱԲՑԴ շրջանին։ Քանի որ ՖԳ գիծը դիպչում է ԱԲՑԴ շրջանին, և ԵԱ գիծը միացված է կենտրոն Ե կետից դեպի Ա դիպման կետ, ապա Ա կետում անկյունները ուղիղ են [Պնդ․ 3.18]։ Նույն պատճառներով, Բ, Ց և Դ կետերում անկյուններն էլ ուղիղ են։ Եվ քանի որ ԱԵԲ անկյունը ուղիղ է, իսկ ԵԲԳ անկյունը նույնպես ուղիղ է, ԳՀ գիծը զուգահեռ է ԱՑ գծին [Պնդ․ 1.29]։ Նույն պատճառներով, ԱՑ գիծը նույնպես զուգահեռ է ՔՖ գծին։ Հետևաբար, ԳՀ գիծը նույնպես զուգահեռ է ՔՖ գծին [Պնդ․ 1.30]։ Նմանապես,
կարող ենք ցույց տալ, որ ՖԳ և ՀՔ գծերը յուրաքանչյուրն էլ զուգահեռ են ԲԵԴ գծին։ Այսպիսով, ԳՔ, ԳՑ, ԱՔ, ՖԲ և ԲՔ գծերը (բոլորն) զուգահեռագծեր են։ Հետևաբար, ՖԳ գիծը հավասար է ՀՔ գծին, իսկ ԳՀ գիծը՝ ՔՖ գծին [Պնդ․ 1.34]։ Եվ քանի որ ԱՑ գիծը հավասար է ԲԴ գծին, բայց
ԱՑ-ն նույնպես հավասար է ԳՀ և ՔՖ գծերից յուրաքանչյուրին, իսկ ԲԴ գիծը հավասար է ՖԳ և ՀՔ գծերից յուրաքանչյուրին [Պնդ․ 1.34], քառանկյուն ՖԳՀՔ- ն, հետևաբար, հավասարակողմ է։ Ասում եմ, որ այն նաև ուղղանկյուն է։ Քանի որ ԳԲԵԱ զուգահեռագիծ է, իսկ
ԱԵԲ անկյունը ուղիղ է, ապա ԱԳԲ անկյունն էլ ուղիղ է [Պնդ․ 1.34]։ Նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ Հ, Ք և Ֆ կետերում անկյուններն էլ ուղիղ են։ Այսպիսով, ՖԳՀՔ քառանկյունը ուղղանկյուն է։ Եվ արդեն ցույց տրվեց, որ այն հավասարակողմ է։ Հետևաբար, այն քառակուսի է [Սահման․ 1.22]։ Եվ այն կառուցված է ԱԲՑԴ շրջանի շուրջ։ Այսպիսով, տրված շրջանի շուրջ կառուցվել է քառակուսի։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։
 

Առաջարկ 8
Քառակուսուն ներգծել շրջանագիծ։

Տրված է ԱԲՑԴ քառակուսի։ Պահանջվում է տրված քառակուսուն ներգծել շրջանագիծ։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark8.jpg]]

Տանենք ԱԲ-ին զուգահեռ միջին գիծ՝ ԵՀ։ Դրան ուղղահայց տանենք ՖՔ միջին գիծը [Պնդ․ 1.31]։ Այսպիսով, ԱՔ, ՔԲ, ԱՀ, ՀԴ, ԱԳ, ԳՑ, ԲԳ և ԳԴ գծերը բոլորը զուգահեռագծեր են, և նրանց հակառակ կողմերը ակնհայտորեն հավասար են [Պնդ․ 1.34]։ Եվ քանի որ ԱԴ գիծը հավասար է ԱԲ գծին, իսկ ԱԵ-ն ԱԴ գծի կեսն է, իսկ ԱՖ-ն՝ ԱԲ գծի կեսը, ապա ԱԵ-ն նույնպես հավասար է ԱՖ- ին։ Հետևաբար, հակառակ կողմերը նույնպես հավասար են։ Այսպիսով, ՖԳ-ն նույնպես հավասար է ԳԵ-ին։ Նույն ձևով կարող ենք ցույց տալ, որ ԳՀ և ԳՔ գծերից յուրաքանչյուրն էլ հավասար են ՖԳ և ԳԵ գծերին։ Այսպիսով, ԳԵ, ԳՖ, ԳՀ և ԳՔ չորս գծերը հավասար են իրար։ Հետևաբար, Գ կենտրոնով և Ե, Ֆ, Հ կամ Ք կետերից մեկի շառավղով գծված շրջանագիծը նույնպես կանցնի մնացած կետերով։ Եվ այն դիպչելու է ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ և ԴԱ գծերին, քանի որ Ե, Ֆ, Հ և Ք կետերում անկյունները ուղիղ են։ Եթե շրջանագիծը հատի ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ կամ ԴԱ գծերը, ապա տրամագծի ծայրակետից ուղղահայաց անկյան տակ գծված գիծը կընկնի շրջանի ներսում։ Բայց սա ցույց է տրվել որպես անհեթեթություն [Պնդ․ 3.16]։ Այսպիսով, Գ կենտրոնով և Ե, Ֆ, Հ կամ Ք կետերից մեկի շառավղով գծված շրջանագիծը չի հատում ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ կամ ԴԱ գծերը։ Հետևաբար, այն դիպչում է նրանց և ներգծված է ԱԲՑԴ քառակուսու մեջ։ Այսպիսով, տրված քառակուսու մեջ ներգծվել է շրջանագիծ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 9
Արտագծել շրջանագիծ տրված քառակուսուն։

Տրված է ԱԲՑԴ քառակուսին։ Պահանջվում է արտագծել շրջանագիծ տրված քառակուսուն։
 

Տանենք ԱՑ և ԲԴ անկյունագծերը, որոնք հատվում են Ե կետում։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark9.jpg]]

Այսպիսով, ԱԴԲ անկյունը բաժանված է ԱՑ կիսորդով։ Նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ ԱԲՑ, ԲՑԴ և ՑԴԱ անկյունները նույնպես բաժանված են կեսով՝ ԱՑ և ԲԴ անկյունագծերով։ Եվ քանի որ ԱԴԲ անկյունը հավասար է ԱԲՑ անկյանը, իսկ ԵԱԲ անկյունը ԱԴԲ անկյան կեսն է, իսկ ԵԲԱ անկյունը՝ ԱԲՑ անկյան կեսը, ապա ԵԱԲ անկյունը նույնպես հավասար է ԵԲԱ անկյանը։ Հետևաբար, ԵԱ կողմը նույնպես հավասար է ԵԲ կողմին [Պնդ․ 1.6]։ Նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ ԵԱ և ԵԲ գծերից յուրաքանչյուրն էլ հավասար են ԵՑ և ԵԴ գծերին։ Այսպիսով, ԵԱ, ԵԲ, ԵՑ և ԵԴ չորս գծերը հավասար են իրար։ Հետևաբար, Ե կենտրոնով և Ա, Բ, Ց կամ Դ կետերից մեկի շառավղով գծված շրջանագիծը նույնպես կանցնի մնացած կետերով և կլինի ԱԲՑԴ քառակուսու շուրջ կառուցված շրջանագիծ։ Թող այն (այդպես) կառուցված լինի, ինչպես ԱԲՑԴ-ն (նկարում)։ Այսպիսով, տրված քառակուսու շուրջ կառուցվել է շրջանագիծ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 10
Կառուցել հավասարասրուն եռանկյուն, որի հիմքի յուրաքանչյուր անկյուն կրկնակի է մնացած անկյանը։

Թող ԱԲ ուղիղ գիծը վերցված լինի, և թող այն բաժանված լինի Ց կետում այնպես, որ ԱԲ և ԲՑ գծերով պարունակվող ուղղանկյունը հավասար լինի ԱՑ գծի
վրա (քառակուսուն) [Պնդ․ 2.11]։ Թող Ա կենտրոնով և ԱԲ շառավղով գծված լինի ԲԴԵ շրջանը։ Թող ԲԴ ուղիղ գիծը, որը հավասար է ԱՑ գծին և չի գերազանցում ԲԴԵ շրջանի տրամագիծը, ներմուծված լինի ԲԴԵ շրջանի մեջ [Պնդ․ 4.1]։ Թող միացված լինեն ԱԴ և ԴՑ գծերը։ Եվ թող ԱԴՑ եռանկյան շուրջ գծված լինի շրջանագիծ՝ ԱՑԴ [Պնդ․ 4.5]։
 
[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark10.jpg]]
 
ԱԲ և ԲՑ գծերով պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է ԱՑ գծի քառակուսուն, իսկ ԱՑ-ն հավասար է ԲԴ-ին։ Հետևաբար, ԱԲ-ի և ԲՑ-ի ուղղանկյունը հավասար է ԲԴ գծի քառակուսուն։ Քանի որ ԲԴ-ն շոշափում է ԱՑԴ շրջանը, իսկ ԴՑ-ն՝ հատում, ԲԴՑ անկյունը հավասար է ԴԱՑ անկյանը [Պնդ․ 3.32]։ Հետևաբար, ամբողջ ԲԴԱ անկյունը հավասար է ՑԴԱ և ԴԱՑ անկյունների գումարին։ Արտաքին ԲՑԴ անկյունը նույնպես հավասար է ՑԴԱ և ԴԱՑ անկյուններին [Պնդ․ 1.32]։ Այսպիսով, ԲԴԱ անկյունը հավասար է ԲՑԴ անկյանին։ Քանի որ ԱԴ
կողմը հավասար է ԱԲ կողմին, ԴԲԱ անկյունը նույնպես հավասար է ԲՑԴ անկյանին [Պնդ․ 1.5]։ Այսպիսով, ԲԴԱ, ԴԲԱ և ԲՑԴ անկյուններն իրար հավասար են, իսկ ԲՑԴ անկյունը կրկնակի է ՑԱԴ անկյանի։ Հետևաբար, ԲԴԱ և ԴԲԱ անկյուններից յուրաքանչյուրը կրկնակի է ԴԱԲ անկյան։ Այսպիսով, կառուցվել է հավասարասրուն եռանկյուն ԲԴԱ, որի հիմքի ԲԴ անկյուններից յուրաքանչյուրը կրկնակի է
մնացած անկյանը։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։


Առաջարկ 11
Ներգծել կանոնավոր հնգակյուն տրված շրջանագծին։
 
[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark11.jpg]]

Տրված է ԱԲՑԴԵ շրջանագիծ։ Պահանջվում է ներգծել կանոնավոր հնգակյուն տրված շրջանագծին։
Կառուցենք հավասարասրուն եռանկյուն ՖԳՀ, որի Գ և Հ անկյուններից յուրաքանչյուրը կրկնակի է Ֆ անկյանը [Պնդ․ 4.10]։ Թող ԱՑԴ եռանկյունը, որը նման է ՖԳՀ եռանկյանը, ներգծված լինի ԱԲՑԴԵ շրջանի մեջ այնպես, որ ՑԱԴ անկյունը հավասար լինի Ֆ անկյանը, իսկ Գ և Հ անկյունները՝ համապատասխանաբար
ԱՑԴ և ՑԴԱ անկյուններին [Պնդ․ 4.2]։ Այսպիսով, ԱՑԴ և ՑԴԱ անկյուններից յուրաքանչյուրը կրկնակի է ՑԱԴ անկյան։ Թող ԱՑԴ և ՑԴԱ անկյունները բաժանված լինեն կեսերով՝ համապատասխանաբար ՑԵ և ԲԴ ուղիղ գծերով [Պնդ․ 1.9]։ Թող միացված լինեն ԱԲ, ԲՑ, ԴԵ և ԵԱ գծերը։ Քանի որ ԱՑԴ և ՑԴԱ անկյուններն առանձնացվել են կեսերով՝ ՑԵ և ԲԴ գծերով, ապա
հինգ անկյուններն՝ ԴԱՑ, ԱՑԵ, ԵՑԴ, ՑԴԲ և ԲԴԱ, հավասար են իրար։ Եվ հավասար անկյունները հիմնվում են հավասար շրջանագծերի վրա [Պնդ․ 3.26]։ Հետևաբար, ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ, ԴԵ և ԵԱ շրջանագծերը հավասար են իրար [Պնդ․ 3.29]։ Այսպիսով,
հնգանկյուն ԱԲՑԴԵ-ն հավասարակողմ է։ Ասում եմ, որ այն նաև հավասարանկյուն է։ Քանի որ ԱԲ և ԴԵ շրջանագծերը հավասար են, թող ավելացվեն ԲՑԴ շրջանը երկուսին։ Այսպիսով, ամբողջ ԱԲՑԴ շրջանը հավասար է ամբողջ ԵԴՑԲ շրջանին։ Եվ ԱԵԴ անկյունը հիմնվում է ԱԲՑԴ շրջանի վրա, իսկ ԲԱԵ անկյունը՝ ԵԴՑԲ շրջանի վրա։ Հետևաբար, ԲԱԵ անկյունը հավասար է ԱԵԴ անկյանը [Պնդ․ 3.27]։ Նույն պատճառներով, ԱԲՑ, ԲՑԴ և ՑԴԵ անկյուններն էլ հավասար են ԲԱԵ և ԱԵԴ անկյուններին։ Այսպիսով, հնգանկյուն ԱԲՑԴԵ-ն հավասարանկյուն է։ Եվ արդեն ցույց տրվեց, որ այն հավասարակողմ է։ Այսպիսով, տրված շրջանի մեջ ներգծվել է հավասարակողմ և հավասարանկյուն հնգանկյուն։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 12
Տրված շրջանագծին արտագծել կանոնավոր
հնգանկյուն։
 
[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark12.jpg]]

Տրված է ԱԲՑԴԵ շրջանագիծ։ Պահանջվում է ԱԲՑԴԵ շրջանագծին արտագծել կանոնավոր հնգանկյուն։
Թող Ա, Բ, Ց, Դ և Ե կետերը դիտարկված լինեն որպես հնգանկյան անկյունային կետեր, որը ներգծված է ԱԲՑԴԵ շրջանի մեջ [Պնդ․ 3.11], այնպես, որ ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ, ԴԵ և ԵԱ շրջանագծերը հավասար են։ Թող ԳՀ, ՀՔ, ՔԼ, ԼՄ և ՄԳ գծերը գծված լինեն Ա, Բ, Ց, Դ և Ե կետերով (համապատասխանաբար), դիպչելով շրջանին։ Թող գտնված լինի ԱԲՑԴԵ շրջանի կենտրոնը՝ Ֆ [Պնդ․ 3.1]։ Թող միացված լինեն ՖԲ, ՖՔ, ՖՑ, ՖԼ և ՖԴ գծերը։ Քանի որ ՔԼ ուղիղ գիծը դիպչում է ԱԲՑԴԵ շրջանին Ց կետում, և ՖՑ գիծը միացված է Ֆ կենտրոնից դեպի Ց դիպման կետ, ապա ՖՑ գիծը ուղղահայաց է ՔԼ գծին [Պնդ․ 3.18]։ Այսպիսով, Ց
կետում անկյուններն ուղիղ են։ Նույն պատճառներով, Բ և Դ կետերում անկյուններն էլ ուղիղ են։ Քանի որ ՖՑՔ անկյունը ուղիղ է, ՖՔ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է ՖՑ-ի և ՑՔ-ի վրա (քառակուսիների գումարին) [Պնդ․ 1.47]։ Նույն պատճառներով, ՖՔ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է ՖԲ-ի և ԲՔ-ի վրա (քառակուսիների գումարին)։ Հետևաբար, ՖՑ-ի և ՑՔ-ի վրա (քառակուսիների գումարը) հավասար է ՖԲ-ի և ԲՔ-ի
վրա (քառակուսիների գումարին), որոնցից ՖՑ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է ՖԲ-ի վրա (քառակուսուն)։ Այսպիսով, մնացած ԲՔ-ի վրա (քառակուսին) հավասար է մնացած ՑՔ-ի վրա (քառակուսուն)։ Հետևաբար, ԲՔ գիծը հավասար է ՑՔ գծին։ Եվ քանի որ ՖԲ-ն հավասար է ՖՑ-ին, իսկ ՖՔ-ն ընդհանուր է, ապա երկու գծերը՝ ՖԲ և ՖՔ, հավասար են ՖՑ և ՖՔ գծերին։ Իսկ հիմքերը՝ ԲՔ և ՑՔ, հավասար են։ Հետևաբար, ԲՖՔ անկյունը հավասար է ՔՖՑ անկյանը [Պնդ․ 1.8]։ Եվ ԲՔՖ անկյունը հավասար է ՖՔՑ անկյանը [Պնդ․ 1.8]։ Այսպիսով, ԲՖՑ անկյունը կրկնակի է ՔՖՑ անկյան, իսկ ԲՔՑ անկյունը կրկնակի է ՖՔՑ անկյան։ Նույն պատճառներով, ՑՖԴ անկյունը կրկնակի է ՑՖԼ անկյանի, իսկ ԴԼՑ անկյունը կրկնակի է ՖԼՑ անկյանի։ Քանի որ ԲՑ շրջանագիծը հավասար է ՑԴ շրջանագծին, ԲՖՑ անկյունը հավասար է ՑՖԴ անկյանին [Պնդ․ 3.27]։ Եվ ԲՖՑ անկյունը կրկնակի է ՔՖՑ անկյան, իսկ ԴՖՑ անկյունը կրկնակի է
 
ԼՖՑ անկյան։ Հետևաբար, ՔՖՑ անկյունը հավասար է ԼՖՑ անկյանին։ Իսկ ՖՑՔ անկյունը հավասար է ՖՑԼ անկյանին։ Հետևաբար, ՖՔՑ և ՖԼՑ եռանկյուններն ունեն երկու անկյուն, որոնք հավասար են երկու անկյունների, և մի կողմ, որը հավասար է մեկ ընդհանուր կողմի՝ ՖՑ [Պնդ․ 1.26]։ Հետևաբար, նրանց մնացած կողմերը նույնպես հավասար են, և մնացած անկյունը՝ մնացած անկյանը։ Այսպիսով, ՑՔ գիծը հավասար է ՑԼ գծին, իսկ ՔՖՑ անկյունը հավասար է ՖԼՑ անկյանը։ Քանի որ ՑՔ-ն հավասար է ՑԼ-ին, ՔԼ-ն կրկնակի է ՑՔ-ի։ Նույն պատճառներով կարելի է ցույց տալ, որ ՀՔ-ն նույնպես կրկնակի է ԲՔ-ի։ Եվ քանի որ ԲՔ-ն հավասար է ՑՔ-ին, ՀՔ- ն նույնպես հավասար է ՔԼ-ին։ Նույն կերպ, ՀԳ, ԳՄ և ՄԼ գծերը նույնպես հավասար են ՀՔ և ՔԼ գծերին։ Այսպիսով, հնգանկյուն ԳՀՔԼՄ-ը հավասարակողմ է։ Ասում եմ, որ այն նաև հավասարանկյուն է։ Քանի որ ՔՖՑ անկյունը հավասար է ՖԼՑ անկյանին, և ՀՔԼ անկյունը կրկնակի է ՔՖՑ անկյան, իսկ ՔԼՄ անկյունը կրկնակի է ՖԼՑ անկյան, ապա ՀՔԼ անկյունը նույնպես հավասար է ՔԼՄ անկյանին։ Նույն կերպ կարելի է ցույց տալ, որ ՔՀԳ, ՀԳՄ և ԳՄԼ անկյունները նույնպես հավասար են ՀՔԼ և ՔԼՄ անկյուններին։ Այսպիսով, հնգանկյան ԳՀՔԼՄ անկյունները հավասար են իրար։ Եվ արդեն ցույց տրվեց, որ այն հավասարակողմ է։ Այսպիսով, հնգանկյուն ԳՀՔԼՄ- ը կառուցված է ԱԲՑԴԵ շրջանի շուրջ՝ հավասարակողմ և հավասարանկյուն։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 13
Տրված կանոնավոր հնգանկյանը ներգծել
շրջանագիծ։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark13.jpg]]

Տրված է ԱԲՑԴԵ	կանոնավոր	հնգանկյունը։ Պահանջվում է հնգանկյանը ներգծել շրջանագիծ։
Թող ԲՑԴ և ՑԴԵ անկյունները բաժանված լինեն կեսերով՝ համապատասխանաբար ՑՖ և ԴՖ ուղիղ գծերով [Պնդ․ 1.9]։ Եվ թող Ֆ կետից, որտեղ ՑՖ և ԴՖ
գծերը հատվում են, միացված լինեն ՖԲ, ՖԱ և ՖԵ ուղիղ գծերը։
 

Քանի որ ԲՑ-ն հավասար է ՑԴ-ին, իսկ ՑՖ-ն ընդհանուր է, ապա երկու գծերը՝ ԲՑ և ՑՖ, հավասար են ԴՑ և ՑՖ գծերին։ Եվ ԲՑՖ անկյունը հավասար է
ԴՑՖ անկյանին։ Հետևաբար, ԲՖ հիմքը հավասար է ԴՖ հիմքին, և ԲՑՖ եռանկյունը հավասար է ԴՑՖ եռանկյունին։ Մնացած անկյունները նույնպես հավասար են այն անկյուններին, որոնց հակադիր են հավասար կողմերը [Պնդ․ 1.4]։ Այսպիսով, ՑԲՖ անկյունը հավասար է ՑԴՖ անկյանին։ Եվ քանի որ
ՑԴԵ անկյունը կրկնակի է ՑԴՖ անկյանի, իսկ ՑԴԵ-ն հավասար է ԱԲՑ-ին, իսկ ՑԴՖ-ն՝ ՑԲՖ-ին, ապա ԱԲՑ-ն նույնպես կրկնակի է ՑԲՖ անկյանի։ Հետևաբար, ԱԲՖ անկյունը հավասար է ՖԲՑ անկյանը։ Այսպիսով, ԱԲՑ անկյունը բաժանված է կեսով՝ ԲՖ ուղիղ գծով։ Նույն կերպ կարելի է ցույց տալ, որ ԲԱԵ և ԱԵԴ անկյունները բաժանված են կեսով՝ համապատասխանաբար ՖԱ և ՖԵ ուղիղ գծերով։ Թող Ֆ կետից ուղղահայաց գծեր՝ ՖԳ, ՖՀ, ՖՔ, ՖԼ և ՖՄ, անցկացված լինեն ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ, ԴԵ և ԵԱ ուղիղ գծերին (համապատասխանաբար) [Պնդ․ 1.12]։ Քանի որ ՀՑՖ անկյունը հավասար է ՔՑՖ անկյանին, իսկ ուղիղ անկյուն ՖՀՑ-ն նույնպես հավասար է ՖՔՑ ուղիղ անկյանը, ապա ՖՀՑ և ՖՔՑ եռանկյուններն ունեն երկու անկյուն, որոնք հավասար են երկու անկյունների, և մի կողմ, որը ընդհանուր է՝ ՑՖ [Պնդ․ 1.26]։ Հետևաբար, ՖՀ-ն հավասար է ՖՔ-ին։ Նույն կերպ կարելի է ցույց տալ,
որ ՖԼ, ՖՄ և ՖԳ գծերը նույնպես հավասար են ՖՀ և ՖՔ գծերին։ Այսպիսով, ՖԳ, ՖՀ, ՖՔ, ՖԼ և ՖՄ հինգ ուղիղ գծերը հավասար են իրար։ Հետևաբար, Ֆ կենտրոնով և ՖԳ, ՖՀ, ՖՔ, ՖԼ կամ ՖՄ շառավղով գծված շրջանագիծը նույնպես կանցնի մնացած կետերով և կդիպչի ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ, ԴԵ և ԵԱ ուղիղ գծերին, քանի որ Գ, Հ, Ք, Լ և Մ կետերում անկյունները ուղիղ են։ Եթե այն չի դիպչում այդ գծերին, այլ հատում է, ապա տրամագծի ծայրակետից ուղղահայաց գծված գիծը ընկնում է շրջանի ներսում։ Սակայն դա ցույց է տրվել որպես անհեթեթություն [Պնդ․ 3.16]։ Հետևաբար, Ֆ կենտրոնով և ՖԳ, ՖՀ, ՖՔ, ՖԼ կամ ՖՄ շառավղով գծված շրջանագիծը չի հատում ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ, ԴԵ կամ ԵԱ գծերը։ Այսպիսով, այն դիպչում է նրանց։ Թող այն գծված լինի, ինչպես ԳՀՔԼՄ (նկարում)։ Այսպիսով, տրված հավասարակողմ և հավասարանկյուն հնգանկյան
մեջ ներգծվել է շրջանագիծ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 14
Կանոնավոր հնգանկյանն արտագծել շրջանագիծ։

Տրված է ԱԲՑԴԵ կանոնավոր հնգանկյուն։
 

Պահանջվում է տրված հնգանկյանն արտագծել շրջանագիծ։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark14.jpg]]
 
Թող ԲՑԴ և ՑԴԵ անկյունները բաժանված լինեն կեսերով՝ համապատասխանաբար ՑՖ և ԴՖ ուղիղ
գծերով [Պնդ․ 1.9]։ Եվ թող Ֆ կետից, որտեղ ուղիղ գծերը հատվում են, ՖԲ, ՖԱ և ՖԵ գծերը միացված լինեն դեպի Բ, Ա և Ե կետեր (համապատասխանաբար)։ Նույն ձևով, ինչպես նախորդ պնդման մեջ, կարելի է ցույց տալ, որ ԱԲՑ, ԲԱԵ և ԱԵԴ անկյունները նույնպես բաժանված են կեսով՝ ՖԲ, ՖԱ և ՖԵ ուղիղ գծերով
(համապատասխանաբար)։ Քանի որ ԲՑԴ անկյունը հավասար է ՑԴԵ անկյանը, իսկ ՖՑԴ անկյունը՝ ԲՑԴ-ի կեսն է, իսկ ՑԴՖ անկյունը՝ ՑԴԵ-ի կեսը, ապա ՖՑԴ անկյունը նույնպես հավասար է ՖԴՑ անկյանին։
Հետևաբար, ՖՑ կողմը հավասար է ՖԴ կողմին [Պնդ․ 1.6]։ Նույն ձևով կարելի է ցույց տալ, որ ՖԲ, ՖԱ և ՖԵ գծերն էլ հավասար են ՖՑ և ՖԴ գծերին։ Այսպիսով, ՖԱ, ՖԲ, ՖՑ,
ՖԴ և ՖԵ հինգ գծերը հավասար են իրար։ Հետևաբար, Ֆ կենտրոնով և ՖԱ, ՖԲ, ՖՑ, ՖԴ կամ ՖԵ շառավղով գծված շրջանագիծը նույնպես կանցնի մնացած կետերով և կլինի հնգանկյան շուրջ գծված շրջանագիծ։ Թող այն այդպես գծված լինի, և կոչվի ԱԲՑԴԵ։ Այսպիսով, տրված հավասարակողմ և հավասարանկյուն հնգանկյան շուրջ գծվել է շրջանագիծ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։
Առաջարկ 15
Տրված շրջանագծին ներգծել կանոնավոր
վեցանկյուն։

Տրված է ԱԲՑԴԵՖ շրջանագիծ։ Պահանջվում է շրջանագծին ներգծել կանոնավոր վեցանկյուն։
Թող ԱԴ տրամագիծը գծված լինի ԱԲՑԴԵՖ շրջանի մեջ, և թող գտնված լինի շրջանի կենտրոնը՝ Գ [Պնդ․ 3.1]։ Թող Դ կենտրոնով և ԴԳ շառավղով գծված լինի ԵԳՑՀ շրջանը։ Թող ԵԳ և ՑԳ գծերը միացված լինեն և անցկացված լինեն դեպի Բ և Ֆ կետեր (համապատասխանաբար)։ Թող ԱԲ,
 

ԲՑ, ՑԴ, ԴԵ, ԵՖ և ՖԱ գծերը միացված լինեն։ Ասում եմ, որ վեցանկյուն ԱԲՑԴԵՖ-ը հավասարակողմ և հավասարանկյուն է։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark15.jpg]]

Քանի որ Գ կետը ԱԲՑԴԵՖ շրջանի կենտրոնն է, ապա ԳԵ գիծը հավասար է ԳԴ գծին։ Նույնպես, քանի որ Դ կետը ԳՑՀ շրջանի կենտրոնն է, ԴԵ գիծը հավասար է ԳԴ գծին։ Բայց ԳԵ-ն արդեն ցույց տրվել է, որ հավասար է ԳԴ- ին։ Հետևաբար, ԳԵ-ն նույնպես հավասար է ԴԵ գծին։ Այսպիսով, ԵԳԴ եռանկյունը հավասարասրուն է։
Հետևաբար, նրա երեք անկյունները՝ ԵԳԴ, ԳԴԵ և ԴԵԳ, նույնպես հավասար են իրար, քանի որ հավասարասրուն եռանկյունի հիմքի անկյունները հավասար են [Պնդ․ 1.5]։ Եվ եռանկյունի երեք անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների [Պնդ․ 1.32]։ Հետևաբար, ԵԳԴ անկյունը երկու ուղիղ անկյունների մեկ երրորդն է։ Նույն կերպ կարելի է ցույց տալ, որ ԴԳՑ անկյունը նույնպես
երկու ուղիղ անկյունների մեկ երրորդն է։ Եվ քանի որ ՑԳ ուղիղ գիծը, կանգնած ԵԲ գծի վրա, կազմում է ԵԳՑ և ՑԳԲ հարակից անկյունները, որոնք հավասար են երկու ուղիղ անկյունների [Պնդ․ 1.13], մնացած ՑԳԲ անկյունը նույնպես երկու ուղիղ անկյունների մեկ երրորդն է։ Այսպիսով, ԵԳԴ, ԴԳՑ և ՑԳԲ անկյունները հավասար են իրար։ Հետևաբար, նրանց դիմացի անկյունները՝ ԲԳԱ,
ԱԳՖ և ՖԳԵ, նույնպես հավասար են
(համապատասխանաբար ԵԳԴ, ԴԳՑ և ՑԳԲ անկյուններին) [Պնդ․ 1.15]։ Այսպիսով, վեց անկյունները՝ ԵԳԴ, ԴԳՑ, ՑԳԲ, ԲԳԱ, ԱԳՖ և ՖԳԵ, հավասար են իրար։ Եվ հավասար անկյունները հիմնվում են հավասար շրջանագծերի վրա [Պնդ․ 3.26]։ Հետևաբար, վեց շրջանագծերը՝ ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ, ԴԵ, ԵՖ և ՖԱ, հավասար են իրար։ Հավասար շրջանագծերը կառուցվում են հավասար ուղիղ գծերով [Պնդ․ 3.29]։ Հետևաբար, վեց ուղիղ գծերը՝ ԱԲ, ԲՑ, ՑԴ, ԴԵ, ԵՖ և ՖԱ, հավասար են իրար։ Այսպիսով, վեցանկյուն ԱԲՑԴԵՖ-ը հավասարակողմ է։ Ասում եմ, որ այն նաև հավասարանկյուն է։ Քանի որ ՖԱ շրջանագիծը հավասար է ԴԵ շրջանագծին, թող ԱԲՑԴ շրջանը ավելացվի երկուսին։ Այսպիսով, ամբողջ ՖԱԲՑԴ շրջանը
 

հավասար է ամբողջ ԵԴՑԲԱ շրջանին։ ԵՖԴ անկյունը հիմնված է ՖԱԲՑԴ շրջանի վրա, իսկ ԱՖԵ անկյունը՝ ԵԴՑԲԱ շրջանի վրա։ Հետևաբար, ԱՖԵ անկյունը հավասար է ԴԵՖ անկյանը [Պնդ․ 3.27]։ Նույն կերպ կարելի է ցույց տալ, որ վեցանկյան ԱԲՑԴԵՖ մնացած անկյուններն էլ առանձին-առանձին հավասար են ԱՖԵ և ԴԵՖ անկյուններին։ Այսպիսով, վեցանկյուն
ԱԲՑԴԵՖ-ը հավասարանկյուն է։ Եվ արդեն ցույց տրվեց, որ այն հավասարակողմ է։ Եվ այն ներգծված է ԱԲՑԴԵՖ շրջանի մեջ։ Այսպիսով, տրված շրջանի մեջ ներգծվել է հավասարակողմ և հավասարանկյուն վեցանկյուն։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։
Հետևանք
Այսպիսով, այստեղից պարզ է, որ վեցանկյան կողմը հավասար է շրջանի շառավղին։ Եվ նույն ձևով, ինչպես հնգանկյան դեպքում, եթե շրջանագծի (շրջանակի) վեց մասերի բաժանումներով անցկացնենք շոշափող գծեր, ապա հնարավոր կլինի շրջանի շուրջ կառուցել հավասարակողմ և հավասարանկյուն վեցանկյուն՝ նման կերպ, ինչպես նշված հնգանկյան դեպքում։ Ավելին, նույն եղանակով, ինչպես նշված հնգանկյան դեպքում, կարելի է տրված վեցանկյան մեջ ներգծել և նրա շուրջ կառուցել շրջանագիծ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Առաջարկ 16
Տրված շրջանագծին ներգծել կանոնավոր տասնհինգանկյուն։

[[Պատկեր:Euclid_Elements_Arajark16.jpg]]
 
Տրված է ԱԲՑԴ շրջանագիծը։ Պահանջվում է շրջանագծին ներգծել կանոնավոր տասնհինգանկյուն։
Թող ԱՑ կողմը՝ ներգծված հավասարակողմ եռանկյան [Պնդ․ 4.2], և ԱԲ կողմը՝ ներգծված հավասարակողմ հնգանկյան [Պնդ․ 4.11], ներգծված լինեն ԱԲՑԴ շրջանի մեջ։ Քանի որ ԱԲՑԴ շրջանը բաժանվում է տասնհինգ հավասար մասերի, ապա շրջանի մեկ երրորդը՝ ԱԲՑ-ն, կկազմի այդպիսի հինգ մաս, իսկ ԱԲ շրջագիծը՝ շրջանի մեկ հինգերորդը,
 
կկազմի երեք մաս։ Հետևաբար, մնացած ԲՑ-ն կկազմի երկու հավասար մաս։ Թող ԲՑ շրջանագիծը բաժանված լինի կեսով՝ Ե կետում [Պնդ․ 3.30]։
Հետևաբար, ԲԵ և ԵՑ շրջանագծերից յուրաքանչյուրը կլինի ԱԲՑԴ շրջանի մեկ տասնհինգերորդը։ Այսպիսով, եթե ԲԵ և ԵՑ միացնենք և շարունակաբար ներմուծենք ուղիղ գծեր, որոնք հավասար են նրանց,
ԱԲՑԴ շրջանի մեջ [Պնդ․ 4.1], ապա շրջանի մեջ ներգծված կլինի հավասարակողմ և հավասարանկյուն տասնհինգամիակյուն։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։ Նույն ձևով, ինչպես հնգանկյան դեպքում, եթե շրջանագծի (շրջանակի) տասնհինգ բաժանումներով անցկացնենք շոշափող գծեր, ապա հնարավոր կլինի շրջանի շուրջ կառուցել հավասարակողմ և հավասարանկյուն տասնհինգամիակյուն։ Ավելին, նույն ձևով, ինչպես հնգանկյան դեպքում, հնարավոր է ներգծել և շրջանի շուրջ կառուցել շրջանագիծ տրված տասնհինգամիակյան մեջ։ Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր անել։

Սահմանումներ
1.	Մեծությունը համարվում է մեկ այլ մեծության մաս՝ փոքրը մեծի, երբ այն չափում է մեծը։
2.	Եվ մեծը համարվում է փոքրի բազմապատիկ, երբ այն չափվում է փոքրով։
3.	Հարաբերությունը որոշակի պայման է, որը վերաբերում է երկու նույն տեսակի
մեծությունների մեծության։
4.	(Այն) մեծություններն ունեն հարաբերություն միմյանց նկատմամբ, որոնք, բազմապատկվելով, կարող են գերազանցել մեկը մյուսին։
5.	Մեծությունները համարվում են նույն հարաբերության մեջ՝ առաջինը երկրորդի հետ, և երրորդը՝ չորրորդի, երբ առաջինի և երրորդի հավասար բազմապատիկները կամ երկուսն էլ գերազանցում են, կամ հավասար են, կամ փոքր են երկրորդի և չորրորդի հավասար բազմապատիկներից՝ վերցված համապատասխան կարգով և ցանկացած բազմապատկման եղանակով։
6.	Եվ թող այն մեծությունները, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը, կոչվեն համաչափ։
7.	Եվ երբ հավասար բազմապատիկների դեպքում (ինչպես Սահման․ 5-ում), առաջինի բազմապատիկը գերազանցում է երկրորդի բազմապատիկին, իսկ երրորդի բազմապատիկը չի գերազանցում չորրորդի բազմապատիկին, ապա առաջինն ունի մեծ հարաբերություն երկրորդի նկատմամբ, քան երրորդը՝ չորրորդի։
8.	Եվ երեք անդամներում հարաբերությունը նվազագույնն է։
9.	Եվ երբ երեք մեծությունները համաչափ են, առաջինը հարաբերում է երրորդին այն հարաբերության քառակուսով, որն (այն ունի) երկրորդի նկատմամբ։
10.	Եվ երբ չորս մեծություններ (հաջորդաբար) համաչափ են, առաջինը հարաբերում է չորրորդին այն հարաբերության խորանարդով, որն (այն ունի) երկրորդի նկատմամբ և այսպես շարունակ։
11.	Այս մեծությունները համարվում են համապատասխան՝ առաջնայինը՝ առաջնայինին, իսկ հետևողը՝ հետևողին։
12.	Փոխադարձ հարաբերությունը (առաջնայինի հարաբերության) ընդունումն է դեպի առաջնային (երկու հավասար
հարաբերություններից) և (այն հավասարեցնելը) հետևողի (հարաբերությանը) դեպի հետևող։
13.	Հակադարձ հարաբերությունը (հետևողի հարաբերության) ընդունումն է որպես առաջնային, իսկ առաջնայինի՝ որպես հետևող։
14.	Հարաբերության համադրումը (առաջնայինի և հետևողի հարաբերության) ընդունումն է՝ առաջնայինին գումարած հետևողը՝ որպես մեկը, դեպի միայն հետևողը։