Տարերք/Գիրք 10

հեղինակ՝ էվկլիդես աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick

Տարերքի գրքեր

Պնդում 87

Գտնել երրորդ կտրվածքը (ապոտոմեն)։

Թող տրված լինի ուղիղ գիծ A-ն:Նաև տրված լինեն երեք թվեր՝ E, BC և CD, որոնք մեկը մյուսի նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Բայց, CB-ն BD-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Թող հայտնի լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ A-ն FG-ի նկատմամբ կառուցված լինի, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ FG-ն GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ լինի [«Տարրեր» 10.6]։ Եվ եթե A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս FG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, A-ն ունի երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Նորից, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, հետևաբար FG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ եթե FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն GH-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ BC-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ եթե երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, Ուրեմն FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե(կտրվածք) է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Ուրեմն կարող ենք ասել, որ դա նաև երրորդ կտրվածքն (ապոտոմե) է: Քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ապա հավասարության միջոցով, ինչպես E-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.22]: Եվ E-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ նույնպես չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, A-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Ուրեմն, ոչ FG-ն և ոչ էլ GH-ն համաչափ չեն երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Հետևաբար, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն, փոխադարձաբար, ինչպես BC-ն BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ եթե BC-ն BD-ի նկատմամբ ունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ,ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես K-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ ունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, FG-ն երկարությամբ համաչափ է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց, այն որոշակի ուղիղ գծի վրա գտնվող քառակուսու չափով, որը երկարությամբ համաչափ է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ էլ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Ուստի, FH-ն երրորդ ապոտոմն է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի սահմանումը]:

Այսպիսով, գտնվեց երրորդ ապոտոմե (կտրվածք) FH-ն: (Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):

Պնդում 88

Գտնել չորրորդ ապոտոմեն

Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն և տրված լինի BG-ն, որը երկարությամբ համաչափ է A-ի հետ: Այսպիսով, BG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն լրիվությամբ չունենա DF-ից և FE-ից յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես DE-ն է EF-ի նկատմամբ, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Ուստի BG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GC-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է: Ուրեմն GC-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն BG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես GC-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, BG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, BG-ն և GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, BC-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Հիմա, թող H-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով BG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GC-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես DE-ն EF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն փոխադարձաբար, ինչպես ED-ն DF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GB-ի վրա կառուցված քառակուսին H-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]:

Պնդում 89

Գտնել հինգերորդ ապոտոմեն։

Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն, և թող CG-ն լինի երկարությամբ համաչափ A-ի հետ: Այսպիսով, CG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն կրկին չունենա DF-ի և FE-ի յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես FE-ն ED-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CG-ի վրա կառուցված քառակուսին GB-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Ուստի, GB-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Հետևաբար, BG-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ ինչպես DE-ն EF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Եվ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, BG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, BG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, BG-ն և GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, BC-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Այսպիսով, գտնվեց հինգերորդ ապոտոմե BC-ն: (Սա էր այն, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):

Պնդում 90

Թող տրված լինեն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն և երեք թվեր՝ E, BC, և CD, որոնք միմյանց նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ավելին, թող CB-ն նույնպես չունենա BD-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է FG-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է: Ուրեմն, FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, A-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, A-ն նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ քանի որ BC-ն չունի CD-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, FG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73], ու դա նաև վեցերորդ ապոտոմեն է:

Եվ քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն հավասարության միջոցով, ինչպես E-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.22]: Եվ եթե E-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն, A-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, A-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]. Այսպիսով, ոչ FG-ն, ոչ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ:

Ուստի, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն մակերեսը, որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GH-ի վրա կառուցված քառակուսին [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, ուրեմն փոխադարձաբար, ինչպես CB-ն BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ քանի որ CB-ն չունի BD-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ապա, FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GH-ի վրա կառուցված քառակուսին՝ K-ի վրա կառուցված քառակուսիով: Այսպիսով, FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GH-ի վրա կառուցված քառակուսին՝ (ինչ-որ ուղղահայաց գծի) վրա կառուցված քառակուսիով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Ուստի, FH-ն վեցերորդ ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.16]:

Ուստի, վեցերորդ ապոտոմեն FH-ն գտնվեց: (Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):

Պնդում 91

Եթե որևէ մակերես ընդգրկված է ռացիոնալ ուղղագծի և առաջին ապոտոմեի միջոցով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը նույնպես ապոտոմե է: Թող AB մակերեսը ընդգրկված լինի ռացիոնալ AC ուղղագծի և առաջին ապոտոմե AD-ի միջոցով: Ասում եմ, որ AB մակերեսի քառակուսի արմատը ապոտոմե է: Քանի որ AD-ն առաջին ապոտոմեն է, թող DG-ն լինի դրա կցորդը: Հետևաբար, AG-ն և DG-ն ռացիոնալ ուղղագծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով[Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Եվ ամբողջ AG-ն համաչափ է (երկարությամբ) նախապես տրված ռացիոնալ ուղղագծի՝ AC-ի հետ, իսկ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GD-ի վրա կառուցված քառակուսին՝ (որոշ ուղղագծի վրա կառուցված) քառակուսու չափով, որը երկարությամբ համաչափ է AG-ի հետ[Տե՛ս «Տարրեր» 10.11]:

Թող DG-ն կիսված լինի կետ E-ով: Եվ թող AG-ի վրա կիրառված լինի EG-ի վրա կառուցված քառակուսու հավասար մակերես: Եվ թող այդ մակերեսը լինի AF-ում և FG-ում պարունակվող ուղղանկյունը: Հետևաբար AF-ն համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ: Եվ թող EH, FI և GK գծված լինեն E, F և G կետերով համապատասխանաբար, զուգահեռ AC-ին: Հետևաբար, եթե AG-ի վրա կիրառված լինի մակերես, որը հավասար է DG-ի վրա կառուցված քառակուսի չորրորդ մասին, պակասելով քառակուսի պատկերով, ապա այն բաժանում է AG-ն (մասերի, որոնք) համաչափ են (երկարությամբ) [Տե՛ս «Տարրեր» 10.17]: Թող DG-ն կիսված լինի կետ E-ում: Եվ թող AG-ի վրա կիրառված լինի մակերես, որը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, պակասելով քառակուսի պատկերով: Եվ թող այն լինի AF-ի և FG-ի պարունակած ուղղանկյունը, AF-ն, հետևաբար, համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ:

Թող EH, FI և GK գծված լինեն E, F և G կետերով համապատասխանաբար ու զուգահեռ AC-ին: Եվ քանի որ AF-ը համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ, ապա AG-ն նույնպես համաչափ է AF-ի և FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.15]: Բայց AG-ն նաև համաչափ է (երկարությամբ) AC-ի հետ: Այսպիսով, AF-ը և FG-ը նույնպես համաչափ են AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.12]: Եվ AC-ը ռացիոնալ (ուղղահայաց-գիծ) է, հետևաբար, AF և FG-ը նույնպես ռացիոնալ (ուղղահայաց-գծեր) են: Ուստի, AI և FK-ը նույնպես ռացիոնալ մակերեսներ են։[Տե՛ս «Տարրեր» 10.19]: Եվ քանի որ DE-ն համաչափ է EG-ի հետ, ապա DG-ն նույնպես համաչափ է DE-ի և EG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.15]: Սակայն, DG-ն ռացիոնալ է, բայց անհամաչափ է (երկարությամբ) AC-ի հետ: DE-ն և EG-ն, հետևաբար, յուրաքանչյուրը նույնպես ռացիոնալ են, և անհամաչափ AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13]: Ուստի, DH և EK-ը յուրաքանչյուրը ռացիոնալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր» 10.21].

Նշանակենք LM քառակուսին, որի մակերեսը հավասար է AI մակերեսին: Եվ թող NO քառակուսին, որը հավասար է FK մակերեսին, հանված լինի LM քառակուսուց, պահպանելով իրենց ընդհանուր անկյունը LPM-ն: Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները գտնվում են նույն անկյունագծի վրա [Տե՛ս «Տարրեր» 6.26]: Կառուցվենք պատկերի մնացած մասը, որտեղ PR-ն լինի դրանց ընդհանուր անկյունագիծը: Ուստի, քանի որ AF-ի և FG-ի կողմից պարփակված ուղղանկյունը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ապա ինչպես AF-ն է EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ EG-ը՝ FG-ի [Տե՛ս «Տարրեր» 6.17]: Բայց ինչպես AF-ը՝ EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ AI-ը՝ EK-ի, և ինչպես EG-ը՝ FG-ի, այնպես էլ EK-ը՝ KF-ի [Տե՛ս «Տարրեր» 6.1]: Ուստի, EK-ն AI-ի և KF-ի միջին համեմատականն է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.11]: Եվ MN-ն նույնպես LM-ի և NO-ի միջին համեմատականն է, ինչպես ցույց է տրվել ավելի վաղ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.53]: Եվ քանի որ AI-ը հավասար է LM քառակուսուն, իսկ KF-ը՝ NO քառակուսուն, ապա MN-ն նույնպես հավասար է EK-ին: Բայց EK-ն հավասար է DH-ին, իսկ MN-ն՝ LO-ին [Տե՛ս «Տարրեր» 1.43]: Ուստի, DK-ն հավասար է UVW պրոեկցիային և NO-ին: Եվ AK-ն նույնպես հավասար է LM և NO քառակուսիների գումարին: Ուստի, մնացորդը՝ AB-ն, հավասար է ST-ին: Իսկ ST-ն LN-ի վրա կառուցված քառակուսին է: Ուստի, LN-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է AB մակերեսին: Այսպիսով, LN-ն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է:

Ուստի, LN-ն ապոտոմ է:

Քանի որ AI և FK մակերեսները ռացիոնալ են, և հավասար են LM և NO մակերեսներին համապատասխանաբար, ապա LM և NO մակերեսները, այսինքն՝ LP և PN հատվածների վրա կառուցված քառակուսիները նույնպես ռացիոնալ են: Ուստի, LP և PN հատվածներն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են:

Կրկին, քանի որ DH մակերեսը մեդիալ է և հավասար է LO-ին, ապա LO-ն նույնպես մեդիալ մակերես է: Հետևաբար, քանի որ LO-ն մեդիալ է, իսկ NO-ն ռացիոնալ, հետևաբար LO-ն և NO-ն միմյանց երկարությամբ անհամաչափ են: Եվ ինչպես LO-ն NO-ի նկատմամբ է, այնպես էլ LP-ն PN-ի նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 6.1]: Ուստի, LP-ն և PN-ն միմյանց երկարությամբ անհամաչափ են [Տե՛ս «Տարրեր» 10.11]: Եվ նրանք երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են: Այսպիսով, LP և PN հատվածները ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, LN-ն ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Եվ LN-ն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է: Ուստի, AB մակերեսի քառակուսի արմատը ապոտոմ է: Ուստի, եթե մակերեսը բաղկացած է ռացիոնալ ուղիղ գծից և առաջին ապոտոմեից, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը նույնպես ապոտոմե է:

Պնդում 92

Եթե մակերեսը բաղկացած է ռացիոնալ ուղիղ գծից և երկրորդ ապոտոմից, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը հանդիսանում է միջին ռացիոնալի առաջին ապոտոմ: Թող AB մակերեսը, բաղկացած լինի AC ռացիոնալ ուղիղ գծից, և երկրորդ AD ապոտոմից: Այսպիսով, AB-ի մակերեսի քառակուսի արմատը հանդիսանում է միջին ուղիղ գծի առաջին ապոտոմ։ Թող DG-ն լինի AD-ի կցորդը: Այսպիսով, AG-ն և GD-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73], և կցորդ DG-ն համաչափելի է (երկարությամբ) նախապես սահմանված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) AC-ի հետ, և ամբողջ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան հավելված GD-ի վրա կառուցված քառակուսին, որոշ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով, որը համաչափելի է (երկարությամբ) AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.12]: Ուստի, քանի որ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GD-ի վրա կառուցված քառակուսին որոշ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով, եթե GD-ի վրա կառուցված քառակուսու մեկ չորրորդին հավասար մակերես կցվի AG-ին և մնա չլրացված քառակուսի պատկերով, ապա այն բաժանում է AG-ն մասերի, որոնք համաչափելի են երկարությամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Թող կետ E-ն բաժանի DG-ն երկու մասի: Եվ թող AG-ին կիրառվի EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն հավասար մակերես, մնալով չլրացված քառակուսի պատկերով: Թող դա լինի AF-ի և FG-ի պարունակած ուղղանկյունը: Այսպիսով, AF-ը համաչափելի է FG-ի հետ (երկարությամբ): Այսպիսով, AG-ն նույնպես համաչափելի է AF-ի և FG-ի հետ (երկարությամբ) [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]: AG-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է և անհամաչափելի է AC-ի հետ: AF-ն և FG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են) և անհամաչափելի են AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13]: Այսպիսով, AI-ն և FK-ն մեդիալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]: Կրկին, քանի որ DE-ն համաչափելի է EG-ի հետ (երկարությամբ), DG-ն նույնպես համաչափելի է DE-ի և EG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]: Բայց DG-ն համաչափելի է նաև AC-ի հետ, հետևաբար DE-ն և EG-ն նույնպես ռացիոնալ են և համաչափելի են AC-ի հետ: Այսպիսով, DH-ն և EK-ն նույնպես ռացիոնալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր», 10.19]: Ուստի, թող կառուցվի LM քառակուսին, որը հավասար է AI-ին: Եվ թող LM-ից հանվի NO-ն, որը հավասար է FK-ին և ունի նույն LPM անկյունը: Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները ունեն ընդհանուր անկյունագիծ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.26]: Թող PR-ը լինի նրանց (ընդհանուր) անկյունագիծը, և թող գծվի (մնացած) պատկերը: Հետևաբար, քանի որ AI-ն և FK-ն մեդիալ մակերեսներ են և հավասար են LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիներին համապատասխանաբար, հետևաբար LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիները նույնպես մեդիալ են: Ուստի, LP-ն և PN-ն նույնպես մեդիալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Եվ քանի որ AF-ի և FG-ի պարունակած ուղղանկյունը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, հետևաբար ինչպես AF-ն է EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ EG-ն է FG-ի նկատմամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Բայց ինչպես AF-ն է EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ AI-ն է EK-ի նկատմամբ: Եվ ինչպես EG-ն է FG-ի նկատմամբ, այնպես էլ EK-ն՝ FK-ի նկատմամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: Ուստի, EK-ն AI-ի և FK-ի միջին համեմատականն է:

Եվ MN-ն նույնպես միջին համեմատական է LM և NO քառակուսիներին [Տե՛ս «Տարրեր», 10.53]: Եվ AI-ն հավասար է LM-ին, և FK-ն՝ NO-ին: Այսպիսով, MN-ն նույնպես հավասար է EK-ին: Նաև DH-ն հավասար է EK-ին, իսկ LO-ն՝ MN-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 1.43]: Այսպիսով, ամբողջ DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO-ին: Հետևաբար, քանի որ ամբողջ AK-ն հավասար է LM-ին և NO-ին, որոնցից DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO-ին, մնացյալ AB-ն նույնպես հավասար է TS-ին, որն էլ LN-ի վրա կառուցված քառակուսուն: Այսպիսով, LN-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է AB մակերեսին: Այսպիսով LN-ն հավասար է AB քառակուսու մակերեսին, ու պնդում ենք, որ LN-ը մեդիալ ուղիղ գծի առաջին ապոտոմեն է:

Քանի որ EK-ն ռացիոնալ մակերես է և հավասար է LO-ին, ստացվում է, որ LO-ն՝ այսինքն LP և PN ուղիղ գծերի սահմանած ուղղանկյունը, նույնպես ռացիոնալ մակերես է: Միևնույն ժամանակ, արդեն ցույց էր տրված, որ NO-ն մեդիալ մակերես է: Այսպիսով, LO-ն անհամեմատելի է NO-ի հետ: Քանի որ LO-ի և NO-ի հարաբերությունը նույնն է, ինչ LP-ի և PN-ի հարաբերությունը, ապա LP-ն և PN-ն ևս անհամեմատելի են երկարությամբ: Սակայն դրանք երկուսն էլ մեդիալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով և սահմանում են ռացիոնալ մակերես: Հետևաբար, LN-ը մեդիալ ուղիղ գծի առաջին ապոտոմենն է և միևնույն ժամանակ AB մակերեսի քառակուսի արմատը:

Ուստի AB մակերեսի քառակուսի արմատը մեդիալ ուղիղ գծի առաջին ապոտոմենն է, ինչը և պետք էր ապացուցել:

Պնդում 93

Եթե մակերեսը ձևավորվում է բանական (ուղիղ գծի) և երրորդ ապոտոմի միջոցով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը կլինի միջին (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմ։ Թող AB մակերեսը կազմված լինի բանական ուղիղ գծից` AC-ից և երրորդ ապոտոմից` AD-ից։ Ասում եմ, որ AB-ի քառակուսի արմատը երկրորդ ապոտոմն է միջին ուղիղ գծի։

Թող DG-ն լինի AD-ի կցորդը։ Այսպիսով, AG-ն և GD-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն իրենց քառակուսիներով։ Սակայն ո՛չ AG-ն, ո՛չ GD-ն երկարությամբ չեն համաչափվում նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծին՝ AC-ին։ Այսպիսով, համընթացապես դրված ռացիոնալ ուղիղ AC-ում, AG ամբողջ քառակուսու արժեքը գերազանցում է DG-ի քառակուսին՝ որոշ ուղիղ գծի քառակուսի չափով, որը երկարությամբ համաչափելի է AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13]:Ապա եթե DG-ի քառակուսի չորրորդ մասն ուղղվի AG-ին՝ բայց պակասեցվի քառակուսի պատկերով, ապա այն բաժանում է AG-ն երկարություններով համաչափ մասերի [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Հետևաբար, թող DG-ն կիսվի E կետով: Եվ թող EG քառակուսիի չափով մակերեսը կիրառվի AG-ին՝ նման փոքր քառակուսիի տեսքով, ու դա կլինի AF և FG պարունակվող քառանկյունը։ Ուստի, թող LM-ը հավասար լինի AI-ին: Եվ թող NO-ն որը հավասար է FK-ին, ու որը նույն անկյան շուրջ է, հանված լինի (LM-ից): Այսպիսով, LM-ն և NO-ն նույն անկյան շուրջ են։ Թող PR-ը լինի նրանց ընդհանուր անկյունագիծը, և կռուցվի պատկերը։ Հետևաբար, քանի որ AF և FG ուղղանկյունները հավասար են EG-ի քառակուսուն, ապա ինչպես AF-ը EG-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ EG-ը FG-ի[Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]: Բայց նաև, ինչպես AF-ը EG-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ AI-ը EK-ի հետ[Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: Եվ ինչպես EG-ը FG-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ EK-ը FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Եվ, հետևաբար, ինչպես AI-ը EK-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ EK-ը FK-ի հետ է հարաբերակցում [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: Հետևաբար, EK-ը միջին համեմատական է AI-ի և FK-ի միջև։ Եվ MN-ն նույնպես միջին համեմատական է LM և NO քառակուսիների միջև [Տե՛ս «Տարրեր», 10.53 լեմմա]:AI-ը հավասար լինի LM-ին, իսկ FK-ն NO-ին: Հետևաբար, EK-ը նույնպես հավասար է MN-ին։ Բայց MN-ը հավասար է LO-ին, իսկ EK-ը՝ DH-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 1.43]։ Եվ այդպես DK-ի ամբողջ մասը հավասար է UVW գոմոնին և NO-ին։ Իսկ AK-ն նույնպես հավասար է LM-ին և NO-ին։ Հետևաբար, մնացորդ AB-ն հավասար է ST-ին, այսինքն՝ LN-ի քառակուսուն։ Հետևաբար, LN-ը AB մակերեսի քառակուսային արմատն է։ Այսպիսով, LN-ը մեդիալ (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմն է։ Քանի որ ապացուցվեց, որ AI-ն և FK-ն մեդիալ մակերեսներ են և հավասար են LP-ի և PN-ի քառակուսիներին (համապատասխանաբար), ապա LP-ի և PN-ի յուրաքանչյուր քառակուսին նույնպես մեդիալ է։ Հետևաբար, LP-ն և PN-ը մեդիալ ուղիղ գծեր են։ Եվ քանի որ AI-ն համաչափ է FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1, 10.11], ապա LP-ի քառակուսին նույնպես համաչափ է PN-ի քառակուսու հետ։ Կրկին, քանի որ ապացուցվեց, որ AI-ն անհամաչափ EK-ի հետ, ապա LM-ն նույնպես անհամաչափ է MN-ի հետ, այսինքն՝ LP-ի քառակուսին LP-ի և PN-ի ուղղանկյունի հետ։ Հետևաբար, LP-ն նույնպես երկարությամբ անհամաչափ է PN-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1, 10.11]։ Այսպիսով, LP-ն և PN-ը մեդիալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսով։ Ուստի կպնդենք, որ նրանք նույնպես մեդիալ են։ Քանի որ EK-ն ցույց տրվեց որպես մեդիալ (մակերես), որը հավասար է LP-ի և PN-ի ուղղանկյունին, ապա LP-ի և PN-ի ուղղանկյունները նույնպես մեդիալ են։ Հետևաբար, LP-ն և PN-ը մեդիալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսով և պարունակում են մեդիալ։ Հետևաբար, LN-ը մեդիալ (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմն է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.75]։ Եվ դա AB մակերեսի քառակուսային արմատն է։

Հետևաբար, AB մակերեսի քառակուսային արմատը մեդիալ (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմն է։ Եվ դա հենց այն է, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 94

Եթե մի մակերես սահմանվում է ռացիոնալ (ուղիղ գծով) և չորրորդ ապոտոմենով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը կլինի երկրորդական (ուղիղ գիծ): Թող AB մակերեսը սահմանված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գծով) AC-ով և չորրորդ ապոտոմենով AD-ով։ Ասում եմ, որ AB մակերեսի քառակուսի արմատը երկրորդական (ուղիղ գիծ) է։ Թող DG-ն լինի AD ուղիղ գծի կցորդը ։ Այսպիսով, AG և DG ուղիղ գծերը ռացիոնալ են և համաչափելի են միայն քառակուսով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73], իսկ AG-ն երկարությամբ համաչափելի է նախապես տրված ռացիոնալ AC ուղիղ գծին։ Ամբողջ AG ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է DG կցորդի վրա կառուցված քառակուսուց՝ այնպիսի ուղիղ գծի քառակուսով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.14]։

Ուստի, քանի որ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GD-ի վրա կառուցված քառակուսուց՝ այնպիսի ուղիղ գծի քառակուսով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է AG-ի հետ, հետևաբար, եթե AG-ի վրա կրառվի մակերես որը հավասար է DG-ի վրա կառուցված քառակուսու չորրորդ մասին, և պակասի քառակուսի չափով, ապա այն բաժանում է AG-ն երկարությամբ անհամաչափելի մասերի[Տե՛ս «Տարրեր», 10.18]։

Թող կետ E-ն կիսի DG-ն։ Եվ թող AG-ի վրա կիրառվի այնպիսի մակերես, որը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Թող այդ մակերեսը լինի AF և FG ուղիղ գծերով սահմանված ուղղանկյունը։ Այսպիսով, AF-ն երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ։

Թող E, F և G կետերից անցնող EH, FI և GK ուղիղ գծերը քաշված լինեն՝ զուգահեռ AC և BD ուղիղ գծերին։ Քանի որ AG-ն ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափելի է AC-ի հետ, ամբողջ AK մակերեսն այսպիսով նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.19]։ Կրկին, քանի որ DG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է AC-ի հետ և երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, DK մակերեսը մեդիալ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]։ Ու կրկին, քանի որ AF-ն երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ, ապա AI-ն նույնպես անհամաչափելի է FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1, 10.11]։ Թող կառուցվի LM քառակուսին, որը հավասար է AI-ին։ Թող նաև NO մակերեսը, որը հավասար է FK-ին և նույն անկյուն LPM-ի ներքո է, հանվի LM-ից։ Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները տեղադրված են ընդհանուր անկյունագծի վրա [Տե՛ս «Տարրեր», 6.26]։ Թող PR-ը լինի դրանց ընդհանուր անկյունագիծը, կկառուցվի ամբողջ պատկեր։

Քանի որ AF և FG ուղիղ գծերի սահմանած ուղղանկյունը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ապա, ինչպես AF-ը EG-ին է հարաբերում, այնպես էլ EG-ը՝ FG-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]։ Բայց, ինչպես AF-ը EG-ին է հարաբերում, այնպես էլ AI-ն՝ EK-ին է, և ինչպես EG-ը FG-ին, այնպես էլ EK՝ FK-ին է [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]։

Այսպիսով, EK-ն AI-ի և FK-ի միջին համեմատականն է [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]։ MN-ն նույնպես LM և NO քառակուսիների միջին համեմատականն է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13, լեմմա], իսկ AI-ն հավասար է LM-ին, և FK-ն՝ NO-ին։ Ուստի, EK-ն նույնպես հավասար է MN-ին։

Նաև DH-ն հավասար է EK-ին, իսկ LO-ն՝ MN-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 1.43]։ Ուստի,ամբողջ DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO-ին։ Քանի որ AK-ն հավասար է LM և NO քառակուսիների գումարին, DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO քառակուսուն, ուստի մնացորդ AB-ն հավասար է ST-ին, այսինքն՝ LN-ի վրա կառուցված քառակուսուն։

Ուստի, LN-ը AB մակերեսի քառակուսի արմատն է։ Այսպիսով, LN-ն իռացիոնալ ուղիղ գիծ է, որը կոչվում է երկրորդական։

Քանի որ AK-ն ռացիոնալ է և հավասար է LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, ապա LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը նույնպես ռացիոնալ է։ Կրկին, քանի որ DK-ն մեդիալ է և հավասար է LP-ի և PN-ի սահմանած ուղղանկյան կրկնապատիկին, ապա LP-ի և PN-ի սահմանած ուղղանկյան կրկնապատիկը մեդիալ է։

Եվ քանի որ արդեն ցույց է տրված, որ AI-ն անհամաչափելի է FK-ի հետ, ապա LP-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես անհամաչափելի է PN-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Այսպիսով, LP-ն և PN-ն այնպիսի ուղիղ գծեր են, որոնք անհամաչափելի են քառակուսիներով, ինչն ապահովում է, որ դրանց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը լինի ռացիոնալ, իսկ դրանց սահմանած ուղղանկյան կրկնապատիկը՝ մեդիալ։

LN-ն, հետևաբար, այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է երկրորդական [Տե՛ս «Տարրեր», 10.76]։ Եվ այն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է։ Ուստի AB մակերեսի քառակուսի արմատը երկրորդական ուղիղ գիծն է։ Սա այն էր, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 95

Եթե որևէ մակերես սահմանվում է ռացիոնալ (ուղիղ գծով) և հինգերորդ ապոտոմով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը այն (ուղիղ գիծն) է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է ամբողջ մեդիալ։ Թող AB մակերեսը սահմանված լինի ռացիոնալ AC-ով և հինգերորդ ապոտոմով՝ AD-ով: Ասում եմ, որ AB մակերեսի քառակուսի արմատը այն ուղիղ գիծն է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է ամբողջ մեդիալ:

Թող DG-ն լինի AD-ի կցորդ: Ուստի AG-ն և DG-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73], և DG կցորդը ուղիղ գծի երկարությամբ համաչափելի է նախապես տրված ռացիոնալ՝ AC-ին: Եվ ամբողջ AG-ի քառակուսին գերազանցում է DG հավելվածի քառակուսուն մի ուղիղ գծի քառակուսով, որը անհամաչափելի է AG-ի երկարության հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]:

Ուստի, եթե DG-ի քառակուսի չորրորդ մասին հավասար մակերես կիրառվի AG-ի վրա, ապա այն բաժանում է AG-ն մասերի, որոնք անհամաչափելի են [Տե՛ս «Տարրեր», 10.18]: Թող կետ E-ն բաժանի DG-ն երկու մասի , և թող EG-ի քառակուսուն հավասար մակերես կիրառված լինի AG-ի վրա: Թող դա լինի AF և FG ուղիղ գծերով սահմանված ուղղանկյունը: Ուստի, AF-ն անհամաչափելի է երկարությամբ FG-ի հետ։

Եվ քանի որ AG-ն անհամաչափելի է CA-ի հետ երկարությամբ, և երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), AK-ն, հետևաբար, մեդիալ մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]: Կրկին, քանի որ DG-ն ռացիոնալ է և համաչափելի է երկարությամբ AC-ի հետ, ապա DK-ն ռացիոնալ մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.19]:

Ուստի թող կառուցված լինի LM քառակուսին, որը հավասար է AI-ին: Եվ թող կառուցված լինի NO քառակուսին, որը հավասար է FK-ին, և որը հանվել է NO-ից LPM անկյան շուրջ: Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները հենվում են նույն անկյունագծի վրա [Տե՛ս «Տարրեր», 6.26]: Թող PR-ը լինի դրանց ընդհանուր անկյունագիծը, և մնացած պատկերը կամբողջացվի:

Ուստի, ինչպես նախորդ դրույթներում, կարելի է ցույց տալ, որ LN-ը AB մակերեսի քառակուսի արմատն է: Ասում եմ, որ LN-ը այն ուղիղ գիծն է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է մեդիալ:

Քանի որ ցույց տրվել էր, որ AK-ն մեդիալ մակերես է և հավասար է LP-ի և PN-ի վրա գտնվող քառակուսիների գումարին, ապա LP-ի և PN-ի վրա գտնվող քառակուսիների գումարը մեդիալ է: Եվ նորից, քանի որ DK-ն ռացիոնալ է և հավասար է LP-ի և PN-ի սահմանած ուղղանկյան կրկնապատիկին, վերջինս ևս ռացիոնալ է: Եվ քանի որ AI-ն անհամաչափելի է FK-ի հետ, ապա LP-ի վրա գտնվող քառակուսին ևս անհամաչափելի է PN-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ: Ուստի, LP-ն և PN-ը ուղիղ գծեր են, որոնք անհամաչափելի են քառակուսիներով, ինչի հետևանքով դրանց վրա գտնվող քառակուսիների գումարը մեդիալ է, և դրանց սահմանած ուղղանկյան կրկնակիի արժեքը ռացիոնալ է: Ուստի, LN մնացորդը այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է մեդիալ ամբողջ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.77]: Եվ այն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է:

Ուստի, AB մակերեսի քառակուսի արմատը այն ուղիղ գիծն է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է մեդիալ ամբողջ: Եվ սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել:

Պնդում 96

Եթե մակերեսը կազմված է ռացիոնալ (ուղիղ գծի) և վեցերորդ ապոտոմի միջոցով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը այն (ուղիղ գիծն) է, որը մեդիալ (մակերեսի) հետ միասին սահմանում է մեդիալ ամբողջ:

Թող AB մակերեսը կազմված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գծի) AC-ի և վեցերորդ ապոտոմի AD-ի միջոցով։ Ասում եմ, որ AB մակերեսի քառակուսի արմատը այն (ուղիղ գիծն) է՝ AH, որը մեդիալ (մակերեսի) հետ միասին սահմանում է մեդիալ ամբողջ:

Թող DG-ն լինի AD-ի կցորդը։ Ուստի AG-ն և GD-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73], և ոչ մեկը երկարությամբ համաչափելի չէ նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծի՝ AC-ի հետ, և ամբողջ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելին է, քան GD-ի վրա կառուցված քառակուսին, ինչ-որ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափ, որը երկարությամբ անհամաչափելի է AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.16]։

Ուստի, քանի որ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելին է, քան GD-ի վրա կառուցված քառակուսին ինչ-որ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափ, որը երկարությամբ անհամաչափ է AG-ի հետ, ապա եթե մակերեսը, որը հավասար է GD-ի վրա կառուցված քառակուսու չորրորդ մասին, կիրառվի AG-ի վրա, ապա այն բաժանում է (AG-ը) երկարությամբ անհամաչափ մասերի [Տե՛ս «Տարրեր», 10.18]։

Ուստի, թող կետ E-ն բաժանի DG-ն ։ Թող մակերեսը, որը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, կիրառված լինի AG-ի վրա, ու այն լինի AF և FG ուղղագծերի միջև պարունակված ուղղանկյուն։ Ուստի, AF-ը երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ։ Եվ ինչպես AF-ն է հարաբերվում FG-ի հետ, այնպես էլ AI-ն FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]։ Ուստի, AI-ն անհամաչափ է FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]։

Քանի որ AG-ն և AC-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք միայն համաչափելի են քառակուսով, AK-ը միջինական մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]։ Կրկին, քանի որ AC-ն և DG-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք երկարությամբ անհամաչափ են, DK-ն նույնպես միջինական մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]։ Ուստի, քանի որ AG-ն և GD-ն համաչափելի են միայն քառակուսով, AG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է GD-ի հետ։ Եվ ինչպես AG-ն է հարաբերում GD-ի հետ, այնպես էլ AK-ը KD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]։ Ուստի, AK-ը անհամաչափ է KD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]։

Թող կառուցված լինի LM քառակուսին, որը հավասար է AI-ին։ Թող NO-ն, որը հավասար է FK-ին, և նույն անկյան շուրջը, հանված լինի LM-ից։ Ուստի, LM և NO քառակուսիները կառուցված են նույն անկյան շուրջը [Տե՛ս «Տարրեր», 6.26]։ Թող PR-ը լինի նրանց ընդհանուր անկյունագիծը, և թող մնացած պատկերը ամբողջացվի։

Այսպիսով, վերոնշյալ նմանությամբ, մենք կարող ենք ցույց տալ, որ LN-ը AB-ի մակերեսի քառակուսի արմատն է։ Ասում եմ, որ LN-ը այն ուղիղ գիծն է, որը միջինական մակերեսի հետ միջինական ամբողջականություն է կազմում։

Քանի որ ցույց է տրված որ AK-ն միջինական մակերես է և հավասար է LP և PN քառակուսիների գումարին, ապա LP և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը նույնպես միջինական է։ Նորից, քանի որ DK-ն ցույց է տրված որպես միջինական մակերես և հավասար է LP և PN ուղղագծերի միջև պարունակված ուղղանկյան կրկնապատիկին, ապա այդ ուղղանկյան կրկնապատիկը նույնպես միջինական է։

Քանի որ AK-ն ցույց է տրված որպես անհամաչափ DK-ի հետ, ուրեմն LP և PN ուղղագծերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը նույնպես անհամաչափ է այդ ուղղանկյան կրկնապատիկի հետ։ Եվ քանի որ AI-ն անհամաչափ է FK-ի հետ, LP-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես անհամաչափ է PN-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Ուստի, LP-ն և PN-ը ուղիղ գծեր են, որոնք անհամաչափ են քառակուսով, ինչը նրանց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը դարձնում է մեդիալ, և նրանց պարունակած ուղղանկյան կրկնապատիկը նույնպես մեդիալ է։ Բացի այդ, նրանց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է նրանցով կոռուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի հետ։

Ուստի, LN-ը այն իռացիոնալ ուղիղ գիծ է, ինչը մեդիալ մակերեսի հետ միջինական ամբողջականություն է կազմում [Տե՛ս «Տարրեր», 10.78]։ Եվ դա մակերես AB-ի քառակուսի արմատն է։

Այսպիսով, մակերես AB-ի քառակուսի արմատը այն ուղիղ գիծն է, որը միջինական մակերեսի հետ միջինական ամբողջականություն է կազմում։ Սա հենց այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 97

Ապոտոմեի վրա կառուցված քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի վրա, տալիս է առաջին ապոտոմե՝ որպես լայնություն։ Թող AB-ն լինի ապոտոմ, իսկ CD-ն՝ ռացիոնալ ուղիղ գիծ: Եվ թող CE-ն, որը հավասար է AB-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառվի CD-ին՝ CF-ը ձևավորելով որպես լայնություն: Այսպիսով, CF-ը առաջին ապոտոմ է։

Թող BG-ն լինի AB-ի կցորդը։ Այդպես, AG և GB ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]: Եվ թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա դրված քառակուսուն, և KL-ը, որը հավասար է BG-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառվեն CD-ի վրա։ Այդպես, ամբողջ CL-ն հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, որոնցից CE-ն հավասար է AB-ի վրա դրված քառակուսուն: Մնացորդ FL-ն, հետևաբար, հավասար է երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին [Տե՛ս «Տարրեր», 2.71]:

Թող FM-ն լինի բաժանված կետ N-ում։ Եվ թող NO-ն գծվի N-ից, ու լինի զուգահեռ CD-ին։ Այդպես, FO և LN-ը հավասար են AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյուններին։ Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, և DM-ն հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, ապա DM-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ այն կիրառվել է ռացիոնալ ուղիղ-գիծ CD-ին, ստեղծելով CM որպես լայնություն։ Հետևաբար, CM-ն ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.20]: Կրկին, քանի որ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը մեդիալ է, և FL-ը հավասար է երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին, ապա FL-ը մեդիալ մակերես է։

Եվ այն կիրառվում է CD ռացիոնալ ուղիղ-գծին, ձևավորելով FM որպես լայնություն։ FM-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է և երկարությամբ անհամաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.22]: Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, իսկ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը մեդիալ է, ապա AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը անհամարժեք է երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին։ Եվ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, իսկ FL-ը՝ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին։ DM-ն, հետևաբար, անհամարժեք է FL-ին։ Եվ քանի որ DM-ը համապատասխանում է FL-ին, CM-ն էլ համապատասխանում է FM-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: CM-ն, հետևաբար, անհամաչափելի է երկարությամբ FM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են: Այդպես, CM-ը և MF-ը ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով։ CF-ը, հետևաբար, ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]: Եվ հետևաբար, այն նաև առաջին ապոտոմ է։

Քանի որ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը միջին հարաբերական է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիներին [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21 լեմմա], իսկ CH-ն հավասար է AG-ի վրա դրված քառակուսուն, և KL-ը հավասար է BG-ի վրա դրված քառակուսուն, և NL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին, NL-ը, հետևաբար, նաև միջին հարաբերական է CH-ի և KL-ի հետ։ Այդպես, ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ NL-ը՝ KL-ի հետ։ Բայց, ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ CK-ն է NM-ի հետ, և ինչպես NL-ը՝ KL-ի հետ, այնպես էլ NM-ը՝ KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Հետևաբար, CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է NM-ի վրա դրված քառակուսու քառորդին՝ որը նշանակում է FM-ի վրա դրված քառակուսու քառորդին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]: Եվ քանի որ AG-ի վրա դրված քառակուսին համաչափելի է GB-ի վրա դրված քառակուսու հետ, CH-ն նույնպես համահարթվում է KL-ի հետ։ Եվ ինչպես CH-ն է KL-ի հետ, այնպես էլ CK-ն է KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: CK-ն, հետևաբար, համաչափելի է երկարությամբ KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Հետևաբար, քանի որ CM-ը և MF-ը երկու անհավասար ուղղագծեր են, իսկ CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը, որը հավասար է FM-ի վրա դրված քառակուսու քառորդին, կիրառվել է CM-ի վրա, և քանի որ CK-ն համաչափելի է երկարությամբ KM-ի հետ, CM-ի վրա դրված քառակուսին մեծ է MF-ի վրա դրված քառակուսուց որոշ ուղիղ գծիի քառակուսով, որը համաչափելի է երկարությամբ CM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Եվ CM-ը համահարթվում է երկարությամբ նախապես դրված ռացիոնալ ուղիղ-գծի CD-ի հետ։ Հետևաբար, CF-ը առաջին ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]։

Այդպես, ապոտոմի վրա դրված քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ-գծին, առաջացնում է առաջին ապոտոմ որպես լայնություն։ Դա այն է, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 98

Այն քառակուսին որը առաջին ապոտոմի միջին ուղիղ գծի վրա է, և կիրառված է ռացիոնալ ուղիղ-գծին, առաջացնում է երկրորդ ապոտոմ որպես լայնություն։

Թող AB-ն լինի միջին ուղիղ-գծի առաջին ապոտոմը, և CD-ն՝ ռացիոնալ ուղիղ գիծ: Եվ թող CE-ն, որը հավասար է AB-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառված լինի CD-ին, առաջացնելով CF որպես լայնություն: Ես ասում եմ, որ CF-ը երկրորդ ապոտոմ է։

Թող BG-ն լինի AB-ին կցորդ: Այսպիսով, AG և GB-ը միջին ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսում, պարունակելով ռացիոնալ մակերես [Տե՛ս «Տարրեր», 10.74]: Եվ թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառված լինի CD-ին, առաջացնելով CK որպես լայնություն, իսկ KL-ը, որը հավասար է GB-ի վրա դրված քառակուսուն, առաջացնի KM որպես լայնություն: Այսպիսով, CL-ի ամբողջը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին: Այսպիսով, CL-ը նաև միջին մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15, 10.23]: Եվ այն կիրառվում է ռացիոնալ (ուղիղ-գծին) CD, առաջացնելով CM որպես լայնություն: CM-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.22]: Եվ քանի որ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, որի մեջ AB-ի վրա դրված քառակուսին հավասար է CE-ին, մնացորդը՝ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը, հավասար է FL-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 2.71]: Եվ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը ռացիոնալ է: Այսպիսով, FL-ը ռացիոնալ է: Եվ այն կիրառվում է ռացիոնալ ուղիղ-գծին FE, առաջացնելով FM որպես լայնություն: FM-ն, հետևաբար, նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.20]: Ուստի, քանի որ AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը՝ այսինքն CL-ն, միջին է, իսկ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը՝ այսինքն՝ FL-ը, ռացիոնալ է, CL-ը, հետևաբար, անհամաչափելի է FL-ի հետ: Եվ ինչպես CL-ն է FL-ի հետ, այնպես էլ CM-ն է FM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Այսպիսով, CM-ն անհամաչափելի է երկարությամբ FM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են: Այսպիսով, CM-ը և MF-ը ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են, որոնք համահարթվում են միայն քառակուսում: CF-ը, հետևաբար, ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]: Այսպես, կասենք, որ այն նաև երկրորդ ապոտոմ է։

Թող FM-ն բաժանված լինի N կետում: Եվ թող NO-ն անցնի կետ N-ի միջով, զուգահեռ CD-ին: Այսպիսով, FO-ն և NL-ը յուրաքանչյուրն հավասար են AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին: Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը միջին համեմատական է AG-i և GB-ի վրա դրված քառակուսիների հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21 լեմ.], իսկ AG-ի վրա դրված քառակուսին հավասար է CH-ին, և AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է NL-ին, իսկ BG-ի վրա դրված քառակուսին հավասար է KL-ին, NL-ը, հետևաբար, նաև միջին համեմատական է CH-ի և KL-ի հետ: Այսպիսով, ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ NL-ն է KL-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: Բայց ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ CK-ն է NM-ի հետ, և ինչպես NL-ն է KL-ի հետ, այնպես էլ NM-ն է MK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Այսպիսով, ինչպես CK-ն է NM-ի հետ, այնպես էլ NM-ն է KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: AG-ի և BG-ի վրա դրված (քառակուսիների) գումարից հավասար ուղղանկյուն CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է NM-ի վրա դրված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17], այսինքն՝ FM-ի վրա դրված քառակուսու չորրորդ մասը, և քանի որ AG-ի վրա դրված քառակուսին համաչափելի է BG-ի վրա դրված քառակուսուն, CH-ն նաև հհամաչափելի է KL-ի հետ, այսինքն՝ CK-ն՝ KM-ի հետ: Այսպիսով, քանի որ CM-ն և MF-ն երկու տարբեր ուղղագծեր են, և CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը, որը հավասար է MF-ի վրա դրված քառակուսու չորրորդ մասին, կիրառվել է ավելի մեծ CM-ին, որը քիչ է մնացել քառակուսային պատկերից, և բաժանել է այն համաչափելի (համակարգված) մասերի, CM-ի վրա դրված քառակուսին ավելի մեծ է MF-ի վրա դրված քառակուսուց, այն քառակուսու չափով, որը համաչափելի է CM-ի երկարության հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Կցորդ FM-ն էլ համաչափելի է դրված ռացիոնալ ուղիղ-գծի՝ CD-ի երկարությանը: CF-ը, հետևաբար, երկրորդ ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.16].

Այսպիսով, առաջին ապոտոմի քառակուսին միջին ուղիղ-գծի վրա, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ-գծի հետ, առաջացնում է երկրորդ ապոտոմ որպես լայնություն: Իսկ դա հենց այն է, ինչն անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 102

Այն (ուղիղ գիծը), որի վրա կառուցված քառակուսին միջինական մակերեսի հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն, ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա դրված` ստանում է վեցերորդ կտրվածք (ապոտոմե) որպես լայնություն։

Թող AB-ն լինի այն ուղիղ գիծը, որը միջինական մակերեսի հետ կազմում է միջինական ամբողջություն, և CD-ն լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ): Եվ թող CE-ն, որը հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա, պարփակված AG-ով և GB-ով, որոնք միջինական են, և AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 10.78]:

Ուստի, թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա, արտադրելով CK որպես լայնություն, և KL-ը, որը հավասար է GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Այսպիսով, CL-ի ամբողջությունը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին։ CL-ը, հետևաբար, միջինական է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ CD-ի վրա, արտադրելով CM որպես լայնություն։ Ուստի, CM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]:

Հետևաբար, քանի որ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, որոնցից CE-ն հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, մնացորդ FL-ը, հետևաբար, հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 2.7]: Եվ քանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունը միջինական է, FL-ը նույնպես միջինական է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ FE-ի վրա, արտադրելով FM որպես լայնություն։ Ուստի, FM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]:

Քանի որ AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյան հետ, CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, իսկ FL-ը հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյան, CL-ը, հետևաբար, անհամաչափ է FL-ի հետ։ Եվ ինչպես CL-ն է FL-ի նկատմամբ, այնպես էլ CM-ը MF-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]:

Ուստի, CM-ը երկարությամբ անհամաչափ է MF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ են։ Ուստի, CM-ն և MF-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ CF-ը, հետևաբար, ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73]: Ուրեմն, ես ասում եմ, որ այն նաև վեցերորդ (կտրվածքն) է։

Քանի որ FL-ը հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյանին, թող FM-ը բաժանված լինի կեսի վրա N-ում, և թող NO-ն քաշված լինի N-ի միջով, զուգահեռ CD-ին։ Այսպիսով, FO-ն և NL-ը յուրաքանչյուրն հավասար են AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյան։ Եվ քանի որ AG-ն և GB-ն անհամաչափ են քառակուսով, AG-ի վրա կառուցված քառակուսին, հետևաբար, անհամաչափ է GB-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Սակայն, CH-ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, իսկ KL-ը հավասար է GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն։

Ուստի, CH-ը անհամաչափ է KL-ի հետ։ Եվ ինչպես CH-ն է KL-ի նկատմամբ, այնպես էլ CK-ն KM-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]: Ուստի, CK-ն երկարությամբ անհամաչափ է KM-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]: Եվ քանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյունը միջին չափաբաժին է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների միջև [Տե՛ս "Տարրեր" 10.21-ի լեմմա], իսկ CH-ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, KL-ը՝ GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, NL-ը՝ AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյունին, NL-ը, հետևաբար, նույնպես միջին չափաբաժին է CH-ի և KL-ի միջև։

Ուստի, ինչպես CH-ն է NL-ի նկատմամբ, այնպես էլ NL-ը KL-ի։ Եվ նույն տրամաբանությամբ, CM-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է MF-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը լայնությամբ արտադրում է CF։ Ես ասում եմ, որ CF-ը վեցերորդ ապոտոմեն է։

Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 103

Ուղիղ գիծը, որը երկարությամբ համաչափ է ապոտոմեի հետ, ինքն էլ ապոտոմե է և նույն կարգի է։

Թող AB-ն լինի ապոտոմե, և թող CD-ն լինի երկարությամբ համաչափ AB-ի հետ։ Ասում եմ, որ CD-ն նույնպես ապոտոմե է և նույն կարգի է, ինչ AB-ն։

Քանի որ AB-ն ապոտոմե է, թող BE-ն լինի կցորդ դրան։ Այսպիսով, AE-ն և EB-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73]։ Եվ թող այնպես լինի, որ BE-ի և DF-ի հարաբերությունը նույնն է, ինչ AB-ի և CD-ի հարաբերությունը [Տե՛ս "Տարրեր" 6.12]։ Այսպիսով, ինչպես մեկ է մեկի նկատմամբ, այնպես էլ ամեն ինչ՝ ամեն ինչի [Տե՛ս "Տարրեր" 5.12]։ Եվ ինչպես ամբողջ AE-ն է ամբողջ CF-ի նկատմամբ, այնպես էլ AB-ն է CD-ի նկատմամբ։ Եվ AB-ն համաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ։ AE-ն, հետևաբար, նույնպես համաչափ է CF-ի հետ, և BE-ն՝ DF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]։

Եվ AE-ն և BE-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ Այսպիսով, CF-ն և FD-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.13]։ Ուստի, CD-ն ապոտոմե է։ Ասում եմ, որ այն նույնպես նույն կարգի է, ինչ AB-ն։

Ուստի, քանի որ ինչպես AE-ն է CF-ի նկատմամբ, այնպես էլ BE-ն է DF-ի նկատմամբ, ապա, այլընտրանքով, ինչպես AE-ն է EB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CF-ն է FD-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.16]։ Այսպիսով, AE-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է EB-ի վրա կառուցված քառակուսուց կամ որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափ է կամ անհամաչափ AE-ի հետ։

Ուստի, եթե AE-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է EB-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափ է AE-ի հետ, ապա CF-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես մեծ կլինի FD-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափ է CF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.14]։ Եվ եթե AE-ն երկարությամբ համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծի հետ, ապա նույնը նաև CF-ն է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Եվ եթե BE-ն համաչափ է, ապա նաև DF-ը։ Եվ եթե ոչ AE-ն և ոչ էլ EB-ն համաչափ չեն, ապա նույնը նաև CF-ն և FD-ն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.13]։

Եվ եթե AE-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է EB-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը անհամաչափ է AE-ի հետ, ապա CF-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես մեծ կլինի FD-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը անհամաչափ է CF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.14]։ Եվ եթե AE-ն երկարությամբ համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծի հետ, ապա նույնը նաև CF-ն է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Եվ եթե BE-ն համաչափ է, ապա նաև DF-ը։ Եվ եթե ոչ AE-ն և ոչ էլ EB-ն համաչափ չեն, ապա նույնը նաև CF-ն և FD-ն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.13]։

Ուստի, CD-ն ապոտոմե է և նույն կարգի է, ինչ AB-ն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11-10.16]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 104

Ուղիղ գիծը, որը երկարությամբ համաչափ է միջինական ապոտոմեի հետ, ինքն էլ միջինական ապոտոմե է և նույն կարգի է։

Թող AB-ն լինի միջինական ապոտոմե, և թող CD-ն լինի երկարությամբ համաչափ AB-ի հետ։ Ասում եմ, որ CD-ն նույնպես միջինական ապոտոմե է և նույն կարգի է, ինչ AB-ն։

Քանի որ AB-ն միջինական ապոտոմե է, թող EB-ն լինի կցորդ դրան։ Այսպիսով, AE-ն և EB-ն միջինական (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.74, 10.75]։ Եվ թող այնպես լինի, որ ինչպես AB-ն է CD-ի նկատմամբ, այնպես էլ BE-ն լինի DF-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 6.12]։ Այսպիսով, AE-ն նույնպես համաչափ է CF-ի հետ, և BE-ն՝ DF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.12, 10.11]։

Եվ AE-ն և EB-ն միջինական (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ CF-ն և FD-ն նույնպես միջինական (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.23, 10.13]։ Ուստի, CD-ն միջինական ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.74, 10.75]։ Ասում եմ, որ այն նույնպես նույն կարգի է, ինչ AB-ն։

Քանի որ ինչպես AE-ն է EB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CF-ն է FD-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.12, 5.16], և ինչպես AE-ն է EB-ի նկատմամբ, այնպես էլ AE-ի վրա կառուցված քառակուսին է AE-ի և EB-ի ուղղանկյան նկատմամբ, և ինչպես CF-ն է FD-ի նկատմամբ, այնպես էլ CF-ի վրա կառուցված քառակուսին է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան նկատմամբ, ապա ինչպես AE-ի վրա կառուցված քառակուսին է AE-ի և EB-ի ուղղանկյան նկատմամբ, այնպես էլ CF-ի վրա կառուցված քառակուսին է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.21-ի լեմմա]։

Եվ, այլընտրանքով, ինչպես AE-ի վրա կառուցված քառակուսին է CF-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, այնպես էլ AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան նկատմամբ։ Եվ AE-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է CF-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Ուստի, AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը նույնպես համաչափ է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.16, 10.11]։

Ուստի, կամ AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը ռացիոնալ է, և CF-ի և FD-ի ուղղանկյունը նույնպես ռացիոնալ կլինի [Տե՛ս "Տարրեր" 10.4-ի սահմանում], կամ AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը միջինական է, և CF-ի և FD-ի ուղղանկյունը նույնպես միջինական կլինի [Տե՛ս "Տարրեր" 10.23-ի եզրակացություն]։

Ուստի, CD-ն միջինական ապոտոմե է և նույն կարգի է, ինչ AB-ն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.74, 10.75]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 105

Ուղիղ գիծը, որը երկարությամբ համաչափ է փոքր (ուղիղ գծի) հետ, ինքն էլ փոքր (ուղիղ գիծ) է։

Թող AB-ն լինի փոքր (ուղիղ գիծ), և թող CD-ն լինի երկարությամբ համաչափ AB-ի հետ։ Ասում եմ, որ CD-ն նույնպես փոքր (ուղիղ գիծ) է։

Թող նույն պայմանները ստեղծված լինեն (ինչպես նախորդ պնդման մեջ)։ Եվ քանի որ AE-ն և EB-ն (ուղիղ գծեր են, որոնք) անհամաչափ են քառակուսով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.76], CF-ն և FD-ն նույնպես (ուղիղ գծեր են, որոնք) անհամաչափ են քառակուսով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.13]։ Ուստի, քանի որ ինչպես AE-ն է EB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CF-ն է FD-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.12, 5.16], ապա նաև ինչպես AE-ի վրա կառուցված քառակուսին է EB-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, այնպես էլ CF-ի վրա կառուցված քառակուսին է FD-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 6.22]։

Այսպիսով, համալրումով, ինչպես AE-ի և EB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարն է EB-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, այնպես էլ CF-ի և FD-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարն է FD-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.18], [նաև այլընտրանքով]։ Եվ BE-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է DF-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.104]։ AE-ի և EB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը, հետևաբար, նույնպես համաչափ է CF-ի և FD-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.16, 10.11]։

Եվ AE-ի և EB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.76]։ Ուստի, CF-ի և FD-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.4-ի սահմանում]։ Կրկին, քանի որ ինչպես AE-ի վրա կառուցված քառակուսին է AE-ի և EB-ի ուղղանկյան նկատմամբ, այնպես էլ CF-ի վրա կառուցված քառակուսին է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.21-ի լեմմա], և AE-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է CF-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ, AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը նույնպես համաչափ է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան հետ։

Եվ AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը միջինական է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.76]։ Ուստի, CF-ի և FD-ի ուղղանկյունը նույնպես միջինական է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.23-ի եզրակացություն]։ CF-ն և FD-ն, հետևաբար, (ուղիղ գծեր են, որոնք) անհամաչափ են քառակուսով, որոնց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, իսկ նրանց վրա կառուցված ուղղանկյունը միջինական։

Ուստի, CD-ն փոքր (ուղիղ գիծ) է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.76]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 106

Ուղիղ գիծը, որը երկարությամբ համաչափ է (ուղիղ գծի) հետ, որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն, ինքն էլ (ուղիղ գիծ) է, որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն։

Թող AB-ն լինի (ուղիղ գիծ), որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն, և թող CD-ն լինի երկարությամբ համաչափ AB-ի հետ։ Ասում եմ, որ CD-ն նույնպես (ուղիղ գիծ) է, որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն։

Թող BE-ն լինի կցորդ AB-ին։ Այսպիսով, AE-ն և EB-ն (ուղիղ գծեր են, որոնք) անհամաչափ են քառակուսով, որոնց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը միջինական է, իսկ նրանց ուղղանկյունը ռացիոնալ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.77]։ Եվ թող նույն կառուցումը կատարված լինի (ինչպես նախորդ պնդումներում)։ Նմանապես նախորդ (պնդումների) հետ, մենք կարող ենք ցույց տալ, որ CF-ն և FD-ն նույն հարաբերությունն ունեն, ինչ AE-ն և EB-ն, և AE-ի և EB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը համաչափ է CF-ի և FD-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարի հետ, և AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը համաչափ է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան հետ։

Ուստի, CF-ն և FD-ն նույնպես (ուղիղ գծեր են, որոնք) անհամաչափ են քառակուսով, որոնց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը միջինական է, իսկ նրանց ուղղանկյունը ռացիոնալ։

CD-ն, հետևաբար, (ուղիղ գիծ) է, որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.77]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 107

Ուղիղ գիծը, որը երկարությամբ համաչափ է (ուղիղ գծի) հետ, որը միջինական (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն, ինքն էլ (ուղիղ գիծ) է, որը միջինական (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն։

Թող AB-ն լինի (ուղիղ գիծ), որը միջինական (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն, և թող CD-ն լինի երկարությամբ համաչափ AB-ի հետ։ Ասում եմ, որ CD-ն նույնպես (ուղիղ գիծ) է, որը միջինական (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն։

Թող BE-ն լինի կցորդ AB-ին։ Եվ թող նույն կառուցումը կատարված լինի (ինչպես նախորդ պնդումներում)։ Այսպիսով, AE-ն և EB-ն (ուղիղ գծեր են, որոնք) անհամաչափ են քառակուսով, որոնց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը միջինական է, իսկ նրանց ուղղանկյունը միջինական է, և, ավելին, նրանց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է նրանց ուղղանկյան հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.78]։ Եվ ինչպես արդեն ցույց է տրվել, AE-ն և EB-ն երկարությամբ համաչափ են համապատասխանաբար CF-ի և FD-ի հետ, ինչպես նաև AE-ի և EB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը համաչափ է CF-ի և FD-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարի հետ, իսկ AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը համաչափ է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան հետ։

Ուստի, CF-ն և FD-ն նույնպես (ուղիղ գծեր են, որոնք) անհամաչափ են քառակուսով, որոնց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը միջինական է, իսկ նրանց ուղղանկյունը միջինական է, և, ավելին, նրանց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է նրանց ուղղանկյան հետ։

CD-ն, հետևաբար, (ուղիղ գիծ) է, որը միջինական (մակերեսի) հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.78]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 108

Եթե միջինական (մակերես) հանվում է ռացիոնալ (մակերեսից), ստացվում է երկու անհամաչափ (ուղիղ գծերից) մեկը որպես մնացորդի մակերեսի քառակուսի արմատ՝ կամ ապոտոմե, կամ փոքր (ուղիղ գիծ)։

Թող միջինական (մակերեսը) BD հանված լինի ռացիոնալ (մակերեսից) BC։ Ասում եմ, որ մնացորդ (մակերեսի) EC քառակուսի արմատով ստացվում է երկու անհամաչափ (ուղիղ գծերից) մեկը՝ կամ ապոտոմե, կամ փոքր (ուղիղ գիծ)։

Թող ռացիոնալ (ուղիղ գիծը) FG դրված լինի, և թող ուղիղանկյուն զուգահեռագիծը GH, որը հավասար է BC-ին, դրված լինի FG-ի վրա, և թող GK, որը հավասար է BD-ին, հանված լինի (GH-ից)։ Այսպիսով, մնացորդը EC հավասար է LH-ին։

Ուստի, քանի որ BC-ն ռացիոնալ (մակերես) է, և BD-ն միջինական (մակերես), և BC-ն հավասար է GH-ին, իսկ BD-ն՝ GK-ին, ապա GH-ը ռացիոնալ (մակերես) է, իսկ GK-ը՝ միջինական (մակերես)։ Եվ դրանք դրված են ռացիոնալ (ուղիղ գծի) FG-ի վրա։ Ուստի, FH-ն ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափ FG-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.20], և FK-ն նույնպես ռացիոնալ է, բայց երկարությամբ անհամաչափ FG-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]։ Ուստի, FH-ն երկարությամբ անհամաչափ է FK-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.13]։

FH-ն և FK-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ Ուստի, KH-ը ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73], իսկ KF-ը՝ դրա կցորդ։ Այսպիսով, HF-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է FK-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը կամ համաչափ է HF-ի հետ, կամ անհամաչափ։

Նախ, թող քառակուսին (մեծ լինի) HF-ի հետ համաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով։ Եվ ամբողջ HF-ն համաչափ է երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) FG-ի հետ։ Ուստի, KH-ը առաջին ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.1-ի սահմանում]։ Եվ ռացիոնալ (ուղիղ գծի) և առաջին ապոտոմեի վրա պարփակված (մակերեսի) քառակուսի արմատը ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.91]։ Ուստի, LH-ի քառակուսի արմատը՝ այսինքն՝ EC-ն, ապոտոմե է։

Եվ եթե HF-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է FK-ի վրա կառուցված քառակուսուց HF-ի հետ անհամաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, և (քանի որ) ամբողջ HF-ն համաչափ է երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) FG-ի հետ, ապա KH-ը չորրորդ ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.14]։ Եվ ռացիոնալ (ուղիղ գծի) և չորրորդ ապոտոմեի վրա պարփակված (մակերեսի) քառակուսի արմատը փոքր (ուղիղ գիծ) է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.94]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 109

Ռացիոնալ (մակերես) հանվելով միջինական (մակերեսից), ստացվում են երկու այլ անհամաչափ (ուղիղ գծեր) որպես մնացորդի մակերեսի քառակուսի արմատ՝ կամ միջինական (ուղիղ գծի) առաջին ապոտոմե, կամ (ուղիղ գիծ), որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ կազմում է միջինական ամբողջություն։

Թող ռացիոնալ (մակերեսը) BD հանված լինի միջինական (մակերեսից) BC։ Ասում եմ, որ մնացորդի (մակերեսի) EC քառակուսի արմատով ստացվում է երկու անհամաչափ (ուղիղ գծերից) մեկը՝ կամ միջինական (ուղիղ գծի) առաջին ապոտոմե, կամ (ուղիղ գիծ), որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ կազմում է միջինական ամբողջություն։

Թող ռացիոնալ (ուղիղ գիծը) FG դրված լինի, և թող նախորդ պնդման նման կառուցումներ կիրառված լինեն։ Ուստի, համաձայնաբար, FH-ը ռացիոնալ է և երկարությամբ անհամաչափ FG-ի հետ, իսկ KF-ը նույնպես ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափ FG-ի հետ։ Ուստի, FH-ը և FK-ը ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.13]։ KH-ը, հետևաբար, ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73], իսկ FK-ը դրա կցորդ։ Այսպիսով, HF-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է FK-ի վրա կառուցված քառակուսուց կամ HF-ի հետ համաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, կամ HF-ի հետ անհամաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով։

Ուստի, եթե HF-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է FK-ի վրա կառուցված քառակուսուց HF-ի հետ համաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, և (քանի որ) կցորդ FK-ը համաչափ է երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) FG-ի հետ, KH-ը երկրորդ ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12-ի սահմանում]։ Եվ FG-ն ռացիոնալ է։ Ուստի, LH-ի քառակուսի արմատը՝ այսինքն՝ EC-ն, միջինական (ուղիղ գծի) առաջին ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.92]։

Եվ եթե HF-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է FK-ի վրա կառուցված քառակուսուց HF-ի հետ անհամաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, և (քանի որ) կցորդ FK-ը համաչափ է երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) FG-ի հետ, KH-ը հինգերորդ ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.15-ի սահմանում]։ Ուստի, EC-ի քառակուսի արմատը (ուղիղ գիծ) է, որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ կազմում է միջինական ամբողջություն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.95]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 110

Միջինական (մակերես), որը անհամաչափ է ամբողջության հետ, հանվելով միջինական (մակերեսից), ստացվում են երկու մնացորդային անհամաչափ (ուղիղ գծեր) որպես մնացորդի մակերեսի քառակուսի արմատ՝ կամ միջինական (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմե, կամ (ուղիղ գիծ), որը միջինական (մակերեսի) հետ կազմում է միջինական ամբողջություն։

Ինչպես նախորդ նկարներում, թող միջինական (մակերեսը) BD, որը անհամաչափ է ամբողջության հետ, հանված լինի միջինական (մակերեսից) BC։ Ասում եմ, որ EC-ի քառակուսի արմատը երկու անհամաչափ (ուղիղ գծերից) մեկն է՝ կամ միջինական (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմե, կամ (ուղիղ գիծ), որը միջինական (մակերեսի) հետ կազմում է միջինական ամբողջություն։

Քանի որ BC-ն և BD-ն երկուսն էլ միջինական (մակերեսներ) են, և BC-ն անհամաչափ է BD-ի հետ, ապա, ըստ այդմ, FH-ն և FK-ն կլինեն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր), և երկարությամբ անհամաչափ FG-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]։ Եվ քանի որ BC-ն անհամաչափ է BD-ի հետ, այսինքն՝ GH-ը GK-ի հետ, ապա HF-ն նույնպես անհամաչափ է FK-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1, 10.11]։ Ուստի, FH-ն և FK-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ KH-ը, հետևաբար, ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73], իսկ FK-ը դրա կցորդ։

Այսպիսով, HF-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է FK-ի վրա կառուցված քառակուսուց կամ HF-ի հետ համաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, կամ HF-ի հետ անհամաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով։

Եթե HF-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է FK-ի վրա կառուցված քառակուսուց HF-ի հետ համաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, և (քանի որ) ոչ HF-ն, ոչ FK-ը համաչափ չեն նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) FG-ի հետ, ապա KH-ը երրորդ ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.3-ի սահմանում]։ Եվ KL-ը ռացիոնալ է։ Եվ ռացիոնալ (ուղիղ գծի) և երրորդ ապոտոմեի վրա պարփակված ուղղանկյունը անհամաչափ է, և դրա քառակուսի արմատը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է միջինական (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմե [Տե՛ս "Տարրեր" 10.93]։ Ուստի, LH-ի քառակուսի արմատը՝ այսինքն՝ EC-ն, միջինական (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմե է։

Եվ եթե HF-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է FK-ի վրա կառուցված քառակուսուց HF-ի հետ անհամաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսի չափով, և (քանի որ) ոչ HF-ն, ոչ FK-ը համաչափ չեն FG-ի հետ, ապա KH-ը վեցերորդ ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.16-ի սահմանում]։ Եվ ռացիոնալ (ուղիղ գծի) և վեցերորդ ապոտոմեի վրա պարփակված (մակերեսի) քառակուսի արմատը (ուղիղ գիծ) է, որը միջինական (մակերեսի) հետ կազմում է միջինական ամբողջություն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.96]։ Ուստի, LH-ի քառակուսի արմատը՝ այսինքն՝ EC-ն, (ուղիղ գիծ) է, որը միջինական (մակերեսի) հետ կազմում է միջինական ամբողջություն։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 111

Ապոտոմեն նույնը չէ, ինչ բինոմը։

Թող AB-ն լինի ապոտոմե։ Ասում եմ, որ AB-ն նույնը չէ, ինչ բինոմ։

Եթե հնարավոր է, թող այն նույնը լինի։ Եվ թող ռացիոնալ (ուղիղ գիծը) DC դրված լինի։ Եվ թող ուղղանկյունը CE, որը հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա՝ արտադրելով DE որպես լայնություն։ Ուստի, քանի որ AB-ն ապոտոմե է, DE-ն առաջին ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.97]։ Թող EF-ը լինի դրա կցորդ։ Այսպիսով, DF-ն և FE-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով, և DF-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է FE-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափ է DF-ի հետ, և DF-ն համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) DC-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.10-ի սահմանում]։

Կրկին, քանի որ AB-ն բինոմ է, DE-ն, հետևաբար, առաջին բինոմ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.60]։ Թող (DE-ն) բաժանված լինի իր (կազմող) տերմիններով G կետում, և թող DG-ն լինի մեծ տերմինը։ Այսպիսով, DG-ն և GE-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով, և DG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GE-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափ է DG-ի հետ, և մեծ (տերմին) DG-ն համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) DC-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.5-ի սահմանում]։

Ուստի, DF-ն նույնպես համաչափ է DG-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Մնացորդ GF-ն, հետևաբար, համաչափ է DF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.15]։ Ուստի, քանի որ DF-ն համաչափ է GF-ի հետ, և DF-ն ռացիոնալ է, GF-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Ուստի, քանի որ DF-ն համաչափ է GF-ի հետ, DF-ն երկարությամբ անհամաչափ է EF-ի հետ։ Ուստի, FG-ն նույնպես երկարությամբ անհամաչափ է EF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.13]։ GF-ն և FE-ն, հետևաբար, ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ Ուստի, EG-ն ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73]։ Բայց, (այն) նաև ռացիոնալ է։ Սա անհնար է։

Ուստի, ապոտոմեն նույնը չէ, ինչ բինոմ։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Հետևանք

Ապոտոմեն և դրան հաջորդող անհամաչափ (ուղիղ գծերը) ոչ նույնն են, ինչ միջինական (ուղիղ գիծը), և ոչ էլ նույնն են մեկը մյուսի հետ։

Քանի որ միջինական (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսին, դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, արտադրում է որպես լայնություն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ), որը երկարությամբ անհամաչափ է այն (ուղիղ գծի) հետ, որի վրա դրված է (մակերեսը) [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]։ Եվ ապոտոմեի վրա կառուցված քառակուսին, դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, արտադրում է որպես լայնություն առաջին ապոտոմե [Տե՛ս "Տարրեր" 10.97]։ Եվ միջինական (ուղիղ գծի) առաջին ապոտոմեի վրա կառուցված քառակուսին, դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, արտադրում է որպես լայնություն երկրորդ ապոտոմե [Տե՛ս "Տարրեր" 10.98]։ Եվ միջինական (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմեի վրա կառուցված քառակուսին, դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, արտադրում է որպես լայնություն երրորդ ապոտոմե [Տե՛ս "Տարրեր" 10.99]։ Եվ փոքր (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսին, դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, արտադրում է որպես լայնություն չորրորդ ապոտոմե [Տե՛ս "Տարրեր" 10.100]։ Եվ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսին, որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ արտադրում է միջինական ամբողջություն, դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, արտադրում է որպես լայնություն հինգերորդ ապոտոմե [Տե՛ս "Տարրեր" 10.101]։ Եվ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսին, որը միջինական (մակերեսի) հետ արտադրում է միջինական ամբողջություն, դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, արտադրում է որպես լայնություն վեցերորդ ապոտոմե [Տե՛ս "Տարրեր" 10.102]։

Ուստի, քանի որ վերը նշված լայնությունները տարբեր են առաջինից և մեկը մյուսից՝ առաջինից, քանի որ այն ռացիոնալ է, և մեկը մյուսից, քանի որ դրանք նույն կարգի չեն, պարզ է, որ անհամաչափ (ուղիղ գծերն) իրենք էլ տարբեր են մեկը մյուսից։ Եվ քանի որ ցույց է տրվել, որ ապոտոմեն նույնը չէ, ինչ բինոմը [Տե՛ս "Տարրեր" 10.111], և (որ) ապոտոմեին հաջորդող (անհամաչափ ուղիղ գծերը), դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, արտադրում են որպես լայնություն, յուրաքանչյուրը ըստ իր կարգի, ապոտոմեներ, և (որ) բինոմին հաջորդող (անհամաչափ ուղիղ գծերը) նույնպես (արտադրում են որպես լայնություն) ըստ իրենց կարգի բինոմներ, ապոտոմեին հաջորդող (անհամաչափ ուղիղ գծերը) հետևաբար տարբեր են, և բինոմին հաջորդող (անհամաչափ ուղիղ գծերը) նույնպես տարբեր են, այնպես որ ընդհանուր առմամբ կա կարգով 13 անհամաչափ (ուղիղ գիծ)։

1. Միջինական 2. Բինոմ 3. Առաջին երկմիջինական 4. Երկրորդ երկմիջինական 5. Մեծ 6. Ռացիոնալ գումարած միջինական (մակերեսի) քառակուսի արմատ, 7. Երկու միջինական (մակերեսների) գումարի քառակուսի արմատ, 8. Ապոտոմե, 9. Միջինական առաջին ապոտոմե, 10. Միջինական երկրորդ ապոտոմե, 11. Փոքր, 12. Այն, որը ռացիոնալ (մակերեսի) հետ արտադրում է միջինական ամբողջություն, 13. Այն, որը միջինական (մակերեսի) հետ արտադրում է միջինական ամբողջություն։

Պնդում 112

Ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսին, դրված բինոմ (ուղիղ գծի) վրա, արտադրում է որպես լայնություն ապոտոմե, որի տերմինները համաչափ են բինոմի տերմինների հետ երկարությամբ և, ավելին, նույն հարաբերությամբ։ Բացի այդ, ստեղծված ապոտոմեն կունենա նույն կարգը, ինչ բինոմը։

Թող A-ն լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ), և BC-ն՝ բինոմ (ուղիղ գիծ), որի DC-ն լինի մեծ տերմինը։ Եվ թող BC-ի և EF-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը հավասար լինի A-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Ասում եմ, որ EF-ն ապոտոմե է, որի տերմինները համաչափ են CD-ի և DB-ի հետ երկարությամբ և նույն հարաբերությամբ, և, ավելին, EF-ն կունենա նույն կարգը, ինչ BC-ն։

Թող կրկին BD-ի և G-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը հավասար լինի A-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Ուստի, քանի որ BC-ի և EF-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը հավասար է BD-ի և G-ի վրա պարփակված ուղղանկյունին, ապա ինչպես CB-ն է BD-ի նկատմամբ, այնպես էլ G-ն է EF-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 6.16]։ Եվ CB-ն մեծ է BD-ից։ Ուստի, G-ն նույնպես մեծ է EF-ից [Տե՛ս "Տարրեր" 5.16, 5.14]։ Թող EH-ը հավասար լինի G-ին։ Ուստի, ինչպես CB-ն է BD-ի նկատմամբ, այնպես էլ HE-ն է EF-ի նկատմամբ։ Ուստի, տարանջատմամբ, ինչպես CD-ն է BD-ի նկատմամբ, այնպես էլ HF-ը FE-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.17]։

Թող այն կազմակերպված լինի, որ ինչպես HF-ն է FE-ի նկատմամբ, այնպես էլ FK-ն KE-ի նկատմամբ։ Եվ, հետևաբար, ամբողջ HK-ն KF-ի նկատմամբ այնպես է, ինչպես FK-ն KE-ի նկատմամբ։ Քանի որ, ինչպես առաջատար (համամասնությունները) հաջորդողներից մեկի նկատմամբ են, այնպես էլ բոլորը՝ բոլորի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.12]։ Եվ ինչպես FK-ն KE-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CD-ն DB-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 5.11]։ Եվ, հետևաբար, ինչպես HK-ն է KF-ի նկատմամբ, այնպես էլ CD-ն DB-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 5.11]։

Եվ CD-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է DB-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.36]։ Ուստի, HK-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես համաչափ է KF-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 6.22, 10.11]։ Եվ ինչպես HK-ի վրա կառուցված քառակուսին է KF-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, այնպես էլ HK-ն է KE-ի նկատմամբ, քանի որ HK, KF, և KE ուղիղ գծերը համամասնություններ են [Տե՛ս "Տարրեր" 5.9-ի սահմանում]։ Ուստի, HK-ն երկարությամբ համաչափ է KE-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]։ Հետևաբար, HE-ն նույնպես երկարությամբ համաչափ է EK-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.15]։

Եվ քանի որ A-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է EH-ի և BD-ի վրա պարփակված ուղղանկյան, և A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, EH-ի և BD-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ (ուղիղ գծի) BD-ի վրա։ Ուստի, EH-ն ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափ BD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.20]։ Եվ, հետևաբար, դրան համաչափ (ուղիղ գիծը) EK-ն նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.3-ի սահմանում] և երկարությամբ համաչափ BD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Ուստի, քանի որ ինչպես CD-ն է DB-ի նկատմամբ, այնպես էլ FK-ն KE-ի նկատմամբ, և CD-ն և DB-ն (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով, FK-ն և KE-ն նույնպես համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]։ Եվ KE-ն ռացիոնալ է։ Ուստի, FK-ն նույնպես ռացիոնալ է։ FK-ն և KE-ն, հետևաբար, ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ Ուստի, EF-ն ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73]։

Եվ CD-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է DB-ի վրա կառուցված քառակուսուց կամ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափ է CD-ի հետ, կամ անհամաչափ։

Ուստի, եթե CD-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է DB-ի վրա կառուցված քառակուսուց CD-ի հետ համաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, ապա FK-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես մեծ կլինի KE-ի վրա կառուցված քառակուսուց FK-ի հետ համաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.14]։ Եվ եթե CD-ն համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) հետ, ապա FK-ն նույնպես [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11, 10.12]։ Եվ եթե BD-ն համաչափ է, ապա KE-ն նույնպես [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Եվ եթե ոչ CD-ն, ոչ DB-ն համաչափ չեն, ապա ոչ FK-ն, ոչ KE-ն չեն լինի։

Եվ եթե CD-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է DB-ի վրա կառուցված քառակուսուց CD-ի հետ անհամաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, ապա FK-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես մեծ կլինի KE-ի վրա կառուցված քառակուսուց FK-ի հետ անհամաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.14]։ Եվ եթե CD-ն համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) հետ, ապա FK-ն նույնպես [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11, 10.12]։ Եվ եթե BD-ն համաչափ է, ապա KE-ն նույնպես [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Եվ եթե ոչ CD-ն, ոչ DB-ն համաչափ չեն, ապա ոչ FK-ն, ոչ KE-ն չեն լինի։ Ուստի, FE-ն ապոտոմե է, որի տերմինները՝ FK-ն և KE-ն, համաչափ են բինոմի տերմինների՝ CD-ի և DB-ի հետ երկարությամբ և նույն հարաբերությամբ։ Եվ (FE-ն) ունի նույն կարգը, ինչ BC-ն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.5-10.10-ի սահմանումները]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 113

Ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսին, դրված ապոտոմեի վրա, արտադրում է որպես լայնություն բինոմ, որի տերմինները համաչափ են ապոտոմեի տերմինների հետ երկարությամբ և նույն հարաբերությամբ։ Բացի այդ, ստեղծված բինոմը կունենա նույն կարգը, ինչ ապոտոմեն։

Թող A-ն լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ), և BD-ն՝ ապոտոմե։ Եվ թող BD-ի և KH-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը հավասար լինի A-ի վրա կառուցված քառակուսուն՝ այնպես, որ ռացիոնալ (ուղիղ գծի) A-ի վրա կառուցված քառակուսին, դրված ապոտոմե BD-ի վրա, արտադրի KH-ը որպես լայնություն։ Ասում եմ, որ KH-ը բինոմ է, որի տերմինները համաչափ են BD-ի տերմինների հետ և նույն հարաբերությամբ, և, ավելին, KH-ն ունի նույն կարգը, ինչ BD-ն։

Թող DC-ն լինի BD-ի կցորդ։ Ուստի, BC-ն և CD-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73]։ Եվ թող BC-ի և G-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը նույնպես հավասար լինի A-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Եվ A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է։ Ուստի, BC-ի և G-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ (ուղիղ գծի) BC-ի վրա։ Ուստի, G-ն ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափ BC-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.20]։

Ուստի, քանի որ BC-ի և G-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը հավասար է BD-ի և KH-ի վրա պարփակված ուղղանկյան, ապա համամասնորեն, ինչպես CB-ն է BD-ի նկատմամբ, այնպես էլ KH-ն է G-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 6.16]։ Եվ BC-ն մեծ է BD-ից։ Ուստի, KH-ն նույնպես մեծ է G-ից [Տե՛ս "Տարրեր" 5.16, 5.14]։ Թող KE-ն լինի հավասար G-ին։ Ուստի, KE-ն երկարությամբ համաչափ է BC-ի հետ։ Եվ քանի որ ինչպես CB-ն է BD-ի նկատմամբ, այնպես էլ HK-ն է KE-ի նկատմամբ, ապա տարանջատմամբ, ինչպես BC-ն է CD-ի նկատմամբ, այնպես էլ KH-ն է HE-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.19]։

Թող այն կազմակերպված լինի, որ ինչպես KH-ն է HE-ի նկատմամբ, այնպես էլ HF-ն է FE-ի նկատմամբ։ Եվ, հետևաբար, մնացորդ KF-ը FH-ի նկատմամբ այնպես է, ինչպես KH-ն է HE-ի նկատմամբ, այսինքն՝ ինչպես BC-ն է CD-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.19]։ Եվ BC-ն և CD-ն համաչափ են միայն քառակուսիներով։ Ուստի, KF-ն և FH-ն նույնպես համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]։

Քանի որ ինչպես KH-ն է HE-ի նկատմամբ, այնպես էլ KF-ն է FH-ի նկատմամբ, բայց ինչպես KH-ն է HE-ի նկատմամբ, այնպես էլ HF-ն է FE-ի նկատմամբ, ուստի, նույնպես ինչպես KF-ն է FH-ի նկատմամբ, այնպես էլ HF-ն է FE-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.11]։ Եվ հետևաբար, ինչպես առաջինն է երրորդի նկատմամբ, այնպես էլ առաջինի վրա կառուցված քառակուսին է երկրորդի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.9-ի սահմանում]։

Ուստի, ինչպես KF-ն է FE-ի նկատմամբ, այնպես էլ KF-ի վրա կառուցված քառակուսին է FH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ։ Եվ KF-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է FH-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Քանի որ KF-ն և FH-ն համաչափ են քառակուսիներով։ Ուստի, KF-ն նույնպես համաչափ է FE-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]։ Ուստի, KF-ն նույնպես համաչափ է KE-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.15]։

Եվ KE-ն ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափ BC-ի հետ։ Ուստի, KF-ն նույնպես ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափ BC-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Եվ քանի որ ինչպես BC-ն է CD-ի նկատմամբ, այնպես էլ KF-ն է FH-ի նկատմամբ, ապա հակադարձաբար, ինչպես BC-ն է KF-ի նկատմամբ, այնպես էլ DC-ն է FH-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.16]։ Եվ BC-ն համաչափ է KF-ի հետ։ Ուստի, FH-ն նույնպես համաչափ է CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]։

Եվ BC-ն և CD-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ Ուստի, KF-ն և FH-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.3-ի սահմանումը, 10.13]։ Ուստի, KH-ն բինոմ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.36]։

Ուստի, եթե BC-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է CD-ի վրա կառուցված քառակուսուց BC-ի հետ համաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, ապա KF-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես մեծ կլինի FH-ի վրա կառուցված քառակուսուց KF-ի հետ համաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով [Տե՛ս "Տարրեր" 10.14]։ Եվ եթե BC-ն համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) հետ, ապա KF-ն նույնպես [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Եվ եթե CD-ն համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) հետ, ապա FH-ն նույնպես [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Եվ եթե ոչ BC-ն, ոչ CD-ն համաչափ չեն, ապա ոչ KF-ն, ոչ FH-ն չեն լինի [Տե՛ս "Տարրեր" 10.13]։

KH-ն, հետևաբար, բինոմ է, որի տերմինները՝ KF-ն և FH-ն, համաչափ են ապոտոմեի տերմինների՝ BC-ի և CD-ի հետ երկարությամբ և նույն հարաբերությամբ։ Եվ KH-ն ունի նույն կարգը, ինչ BC-ն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.5-10.10-ի սահմանումները]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 114

Եթե մակերեսը պարփակված է ապոտոմեի և բինոմի կողմից, որոնց տերմինները համաչափ են ապոտոմեի տերմիններին և նույն հարաբերությամբ, ապա մակերեսի քառակուսի արմատը ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է։

Թող մակերեսը՝ ուղղանկյունը, որը պարփակված է AB և CD կողմից, պարփակված լինի ապոտոմե AB-ի և բինոմ CD-ի կողմից, որոնց մեծ տերմինը CE-ն է։ Եվ թող բինոմի տերմինները՝ CE-ն և ED-ն, համաչափ լինեն ապոտոմեի տերմիններին՝ AF և FB (համապատասխանաբար), և նույն հարաբերությամբ։ Եվ թող մակերեսի՝ AB և CD-ի կողմից պարփակված ուղղանկյան քառակուսի արմատը լինի G։ Ասում եմ, որ G-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է։

Թող ռացիոնալ (ուղիղ գիծը) H դրված լինի։ Եվ թող ուղղանկյունը, որը հավասար է H-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա՝ արտադրելով KL որպես լայնություն։ Ուստի, KL-ը ապոտոմե է, որի տերմինները՝ KM-ն և ML-ը, համաչափ են բինոմի տերմինների՝ CE-ի և ED-ի հետ (համապատասխանաբար), և նույն հարաբերությամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.112]։ Բայց CE-ն և ED-ն նույնպես համաչափ են AF-ի և FB-ի հետ (համապատասխանաբար), և նույն հարաբերությամբ։ Ուստի, ինչպես AF-ն է FB-ի նկատմամբ, այնպես էլ KM-ն է ML-ի նկատմամբ։ Հետևաբար, ինչպես AF-ն է KM-ի նկատմամբ, այնպես էլ BF-ն է LM-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.16]։ Ուստի, մնացորդ AB-ն նույնպես KL-ի նկատմամբ այնպես է, ինչպես AF-ն է KM-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.19]։ Եվ AF-ն համաչափ է KM-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Ուստի, AB-ն նույնպես համաչափ է KL-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]։

Եվ ինչպես AB-ն է KL-ի նկատմամբ, այնպես էլ CD-ի և AB-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը CD-ի և KL-ի վրա պարփակված ուղղանկյան նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]։ Ուստի, CD-ի և AB-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը նույնպես համաչափ է CD-ի և KL-ի վրա պարփակված ուղղանկյան հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]։ Եվ CD-ի և KL-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը հավասար է H-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Ուստի, CD-ի և AB-ի վրա պարփակված ուղղանկյունը համաչափ է H-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Եվ G-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է CD-ի և AB-ի վրա պարփակված ուղղանկյան։ Ուստի, G-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է H-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Եվ H-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է։ Ուստի, G-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է։ G-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է։ Եվ դա CD-ի և AB-ի կողմից պարփակված ուղղանկյան քառակուսի արմատն է։

Ուստի, եթե մակերեսը պարփակված է ապոտոմեի և բինոմի կողմից, որոնց տերմինները համաչափ են ապոտոմեի տերմիններին և նույն հարաբերությամբ, ապա մակերեսի քառակուսի արմատը ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է։

Հետևանք

Եվ սա մեզ ցույց է տալիս, որ հնարավոր է ռացիոնալ մակերեսը պարփակված լինի անհամաչափ ուղիղ գծերով։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 115

Հնարավոր է ստեղծել անհաշվելի (շարք) անհամաչափ (ուղիղ գծեր) միջինական (ուղիղ գծից), և դրանցից ոչ մեկը չի կրկնվում նախորդ (ուղիղ գծերից)։

Թող A-ն լինի միջինական (ուղիղ գիծ)։ Ասում եմ, որ հնարավոր է ստեղծել անհաշվելի (շարք) անհամաչափ (ուղիղ գծեր) A-ից, և դրանցից ոչ մեկը չի կրկնվում նախորդ (ուղիղ գծերից)։

Թող ռացիոնալ (ուղիղ գիծը) B դրված լինի։ Եվ թող C-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար լինի B-ի և A-ի վրա պարփակված ուղղանկյանը։ Ուստի, C-ն անհամաչափ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.4-ի սահմանումը]։ Քանի որ անհամաչափ և ռացիոնալ (ուղիղ գծերի) վրա պարփակված մակերեսը անհամաչափ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.20]։ Եվ (C-ն) չի կրկնվում նախորդ (ուղիղ գծերից) որևէ մեկին։ Քանի որ նախորդ (ուղիղ գծերից) որևէ մեկի վրա կառուցված քառակուսին, դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, չի արտադրում միջինական (ուղիղ գիծ) որպես լայնություն։

Ուստի, կրկին, թող D-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար լինի B-ի և C-ի վրա պարփակված ուղղանկյանը։ Ուստի, D-ի վրա կառուցված քառակուսին անհամաչափ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.20]։ D-ն, հետևաբար, անհամաչափ է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.4-ի սահմանումը]։ Եվ (D-ն) չի կրկնվում նախորդ (ուղիղ գծերից) որևէ մեկին։ Քանի որ նախորդ (ուղիղ գծերից) որևէ մեկի վրա կառուցված քառակուսին, դրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա, չի արտադրում C որպես լայնություն։

Ուստի, այսպիսի կառուցվածքի շարունակական զարգացմամբ դեպի անսահմանություն, պարզ է, որ հնարավոր է ստեղծել անհաշվելի (շարք) անհամաչափ (ուղիղ գծեր) միջինական (ուղիղ գծից), և դրանցից ոչ մեկը չի կրկնվում նախորդ (ուղիղ գծերից)։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

հեղինակ՝ էվկլիդես աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick

Տարերքի գրքեր

Սահմանումներ

1. Մարմինը (ֆիգուր) է, որն ունի երկարություն, լայնություն և խորություն։

2. Մարմնի եզրը (ֆիգուր) մակերևույթն է։

3. Ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, երբ այն կազմում է ուղիղ անկյուններ իր հետ միացված բոլոր ուղիղ գծերի հետ, որոնք նույնպես գտնվում են հարթության մեջ։

4. Հարթությունը ուղղահայաց է մեկ այլ հարթության, երբ մեկ հարթության մեջ ուղղված բոլոր ուղիղ գծերը, որոնք ուղղահայաց են հարթությունների ընդհանուր հատվածին, ուղղահայաց են մնում մյուս հարթության նկատմամբ։

5. Ուղիղ գծի և հարթության միջև անկումը այն անկյունն է, որը պարփակվում է գծված և կանգնած (ուղիղ գծերով), երբ կանգնած ուղիղ գծի ծայրից ուղղահայաց է տարվում դեպի հարթություն, և գծվում է մի ուղիղ գիծ կանգնած ուղիղ գծի ծայրից դեպի ստացված կետ։

6. Հարթության և մեկ այլ հարթության միջև անկումը սուր անկյունն է, որը պարփակվում է (ուղիղ գծերով), որոնք գծվում են յուրաքանչյուր հարթությունում և ուղղահայաց են ընդհանուր հատվածին։

7. Ասում են, որ հարթությունը հարթությանը նման անկումով է, երբ նշված անկումները հավասար են։

8. Զուգահեռ հարթություններն են նրանք, որոնք չեն հատվում։

9. Նման մարմնական ֆիգուրներն են նրանք, որոնք պարփակված են հավասար թվով նման հարթություններով (որոնք նման ձևով են դասավորված)։

10. Հավասար և նման մարմնական ֆիգուրներն են նրանք, որոնք պարփակված են նման հարթություններով, հավասար թվով և մեծությամբ (նման ձևով դասավորված)։

11. Մարմնային անկյունը կազմված է երկուից ավելի գծերի միացումից, որոնք չեն գտնվում նույն մակերեսի վրա։ Կամ՝ մարմնային անկյունը այն է, որը պարփակվում է երկուից ավելի հարթ անկյուններով, որոնք կառուցված են միևնույն կետում, բայց չեն գտնվում նույն հարթությունում։

12. Պիրամիդը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է հարթություններով և կառուցված է մեկ հարթությունից դեպի մեկ կետ։

13. Պրիզման մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է հարթություններով, որոնց երկու հակառակ (հարթությունները) հավասար են, նման և զուգահեռ, իսկ մնացածները ուղղանկյուններ են։

14. Գունդը այն ֆիգուրն է, որը ստացվում է, երբ կիսաշրջանագծի տրամագիծը մնում է ֆիքսված, և կիսաշրջանը պտտվում է։

15. Գնդի առանցքը այն ֆիքսված ուղիղ գիծն է, որի շուրջ պտտվում է կիսաշրջանը։

16. Գնդի կենտրոնը նույնն է, ինչ կիսաշրջանի կենտրոնը։

17. Գնդի տրամագիծը ցանկացած ուղիղ գիծ է, որը անցնում է կենտրոնով և ավարտվում գնդի մակերևույթում։

18. Կոնն այն ֆիգուրն է, որը ստացվում է, երբ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերից մեկը մնում է ֆիքսված, և եռանկյունը պտտվում է։ Եթե ֆիքսված ուղիղ գիծը հավասար է եռանկյունի մյուս կողմին, կոնը կլինի ուղղանկյուն։

19. Կոնի առանցքը այն ֆիքսված ուղիղ գիծն է, որի շուրջ պտտվում է եռանկյունը։

20. Կոնի հիմքը այն շրջանն է, որը գծվում է պտտվող կողմի միջոցով։

21. Գլանիկն այն ֆիգուրն է, որը ստացվում է, երբ ուղղանկյուն զուգահեռագծի կողմերից մեկը մնում է ֆիքսված, և զուգահեռագիծը պտտվում է։

22. Գլանիկի առանցքը այն ֆիքսված ուղիղ գիծն է, որի շուրջ պտտվում է զուգահեռագիծը։

23. Գլանիկի հիմքերը այն շրջաններն են, որոնք գծվում են երկու հակառակ կողմերով։

24. Նման կոններն ու գլանիկներն են նրանք, որոնց առանցքները և հիմքերի տրամագծերը համեմատական են։

25. Խորանարդը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է վեց հավասար քառակուսիներով։

26. Ութանիստը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է ութ հավասար և հավասարակողմ եռանկյուններով։

27. Իկոսանիստը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է քսան հավասար և հավասարակողմ եռանկյուններով։

28. Դոդեկանիստը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է տասներկու հավասար, հավասարակողմ և հավասարանկյուն հնգանկյուններով։

Պնդում 1

Ուղիղ գծի մի մասը չի կարող գտնվել հարթության մեջ, իսկ մի մասը՝ ավելի բարձր հարթությունում։

Եթե հնարավոր է, թող ուղիղ գծի AB մասը գտնվի հարթության մեջ, իսկ BC մասը՝ ավելի բարձր հարթությունում։

Հարթության մեջ կլինի մի ուղիղ գիծ, որը շարունակական է AB-ի հետ։ Թող դա լինի BD։ Ուստի, AB-ն ընդհանուր հատված կլինի երկու (տարբեր) ուղիղ գծերի՝ ABC-ի և ABD-ի։ Սա անհնար է, քանի որ եթե գծենք շրջան B կենտրոնով և AB շառավղով, ապա շրջանագծի անիվները, որոնք կտրվեն ABC և ABD տրամագծերով, կլինեն անհավասար։

Ուստի, ուղիղ գծի մի մասը չի կարող գտնվել հարթության մեջ, իսկ մի մասը՝ ավելի բարձր հարթությունում։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 2

Եթե երկու ուղիղ գծեր հատում են իրար, ապա դրանք գտնվում են մեկ հարթության մեջ, և այդ գծերով կազմված ցանկացած եռանկյուն գտնվում է մեկ հարթության մեջ։

Թող երկու ուղիղ գծերը AB-ն և CD-ն հատեն իրար E կետում։ Ասում եմ, որ AB-ն և CD-ն գտնվում են մեկ հարթության մեջ, և այդ գծերով կազմված ցանկացած եռանկյուն գտնվում է մեկ հարթության մեջ։

Թող պատահական F և G կետերը վերցված լինեն EC և EB գծերի վրա (համապատասխանաբար)։ Թող CB-ն և FG-ն միացված լինեն, և թող FH-ն և GK-ն գծվեն։ Ասում եմ, նախ և առաջ, որ եռանկյուն ECB-ն գտնվում է մեկ (հիմնական) հարթության մեջ։ Քանի որ եթե եռանկյուն ECB-ի մի մասը, օրինակ՝ FHC կամ GBK, գտնվում է հիմնական հարթության մեջ, իսկ մնացած մասը՝ այլ հարթությունում, ապա EC կամ EB ուղիղ գծերից մեկի մի մասը նույնպես կլինի հիմնական հարթության մեջ, իսկ մի մասը՝ այլ հարթությունում։ Եվ եթե եռանկյուն ECB-ի FCBG մասը գտնվում է հիմնական հարթության մեջ, իսկ մնացած մասը՝ այլ հարթությունում, ապա EC և EB ուղիղ գծերից երկուսն էլ կունենան մասեր, որոնք կլինեն հիմնական հարթության մեջ, իսկ մասեր՝ այլ հարթությունում։ Սա արդեն ցույց է տրվել որպես անհնարին [Տե՛ս "Տարրեր" 11.1]։ Ուստի, եռանկյուն ECB-ն գտնվում է մեկ հարթության մեջ։ Եվ այն հարթությունում, որտեղ գտնվում է եռանկյուն ECB-ն, այնտեղ կլինեն EC և EB գծերը։ Եվ այն հարթությունում, որտեղ գտնվում են EC և EB գծերը, այնտեղ կլինեն AB և CD ուղիղ գծերը նույնպես [Տե՛ս "Տարրեր" 11.1]։ Ուստի, AB և CD ուղիղ գծերը գտնվում են մեկ հարթության մեջ, և այդ գծերով կազմված ցանկացած եռանկյուն գտնվում է մեկ հարթության մեջ։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 3

Եթե երկու հարթություններ հատում են իրար, ապա դրանց ընդհանուր հատվածը ուղիղ գիծ է։

Թող երկու հարթությունները՝ AB-ն և BC-ն, հատեն իրար, և թող դրանց ընդհանուր հատվածը լինի DB գիծը։ Ասում եմ, որ DB գիծը ուղիղ է։

Եթե ոչ, թող DEB ուղիղ գիծը միացվի D կետից B կետին AB հարթության մեջ, և DF B ուղիղ գիծը՝ BC հարթության մեջ։ Ուստի, DEB և DFB ուղիղ գծերը կունենան նույն ծայրերը և ակնհայտորեն կփակեն տարածք։ Սա անհնար է։ Ուստի, DEB և DFB գծերը չեն կարող լինել ուղիղ գծեր։ Նույն կերպ կարելի է ցույց տալ, որ D կետից B կետին հնարավոր չէ միացնել որևէ այլ ուղիղ գիծ, բացի DB-ից, որը AB և BC հարթությունների ընդհանուր հատվածն է։

Ուստի, եթե երկու հարթություններ հատում են իրար, ապա դրանց ընդհանուր հատվածը ուղիղ գիծ է։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 4

Եթե ուղիղ գիծը տեղադրված է ուղղահայաց երկու ուղիղ գծերին, որոնք հատում են իրար ընդհանուր հատման կետում, ապա այն կլինի նաև ուղղահայաց այդ գծերով անցնող հարթությանը։

Թող ուղիղ գիծը՝ EF-ը, տեղադրված լինի ուղղահայաց AB և CD գծերին, որոնք հատում են իրար E կետում։ Ասում եմ, որ EF-ը կլինի նաև ուղղահայաց AB և CD գծերով անցնող հարթությանը։

Թող AE, EB, CE և ED հատվածները կտրված լինեն (այդ երկու գծերից այնպես, որ լինեն) հավասար։ Թող GEH գիծը գծվի պատահականորեն E կետով (AB և CD գծերով անցնող հարթության մեջ)։ Եվ թող AD-ն և CB-ն միացվեն։ Ավելին, թող FA, FG, FD, FC, FH և FB գծերը միացվեն EF գծի պատահական F կետից։

Քանի որ AE և ED հատվածները հավասար են CE և EB հատվածներին, և դրանք պարփակում են հավասար անկյուններ [Տե՛ս "Տարրեր" 1.15], AD հիմքը հավասար է CB հիմքին, և AED եռանկյունը հավասար է CEB եռանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.4]։ Ուստի, DAE անկյունը հավասար է EBC անկյունին։ Եվ AEG անկյունը նույնպես հավասար է BEH անկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.15]։ Այսպիսով, AGE և BEH եռանկյունները ունեն երկու անկյուններ, որոնք հավասար են երկու անկյուններին (համապատասխանաբար), և մեկ կողմ, որը հավասար է մեկ կողմին՝ այդ անկյուններով, (այսինքն՝) AE և EB։ Ուստի, դրանք կունենան նաև մնացած կողմերը հավասար [Տե՛ս "Տարրեր" 1.26]։ Ուստի, GE-ն հավասար է EH-ին, իսկ AG-ն՝ BH-ին։ Եվ քանի որ AE-ն հավասար է EB-ին, իսկ FE-ն ընդհանուր է և ուղղահայաց, FA հիմքը նույնպես հավասար է FB հիմքին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.4]։ Նույն պատճառներով, FC-ն նույնպես հավասար է FD-ին։ Եվ քանի որ AD-ն հավասար է CB-ին, իսկ FA-ն նույնպես հավասար է FB-ին, FA և AD երկու գծերը հավասար են FB և BC երկու գծերին համապատասխանաբար։ Իսկ FD հիմքը ցույց է տրվել, որ հավասար է FC հիմքին։ Ուստի, FAD անկյունը նույնպես հավասար է FBC անկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.8]։ Եվ կրկին, քանի որ AG-ն ցույց է տրվել, որ հավասար է BH-ին, իսկ FA-ն նույնպես հավասար է FB-ին, FA և AG երկու գծերը հավասար են FB և BH երկու գծերին (համապատասխանաբար)։ Եվ FAG անկյունը ցույց է տրվել, որ հավասար է FBH անկյունին։ Ուստի, FG հիմքը հավասար է FH հիմքին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.4]։ Եվ կրկին, քանի որ GE-ն ցույց է տրվել, որ հավասար է EH-ին, իսկ EF-ը ընդհանուր է, GE և EF երկու գծերը հավասար են HE և EF երկու գծերին (համապատասխանաբար)։ Եվ FG հիմքը հավասար է FH հիմքին։ Ուստի, GEF անկյունը հավասար է HEF անկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.8]։ GEF և HEF անկյուններից յուրաքանչյուրը, հետևաբար, ուղղանկյուններ են [Տե՛ս "Տարրեր" 1.10]։ Ուստի, FE-ն ուղղահայաց է GH գծին, որը պատահականորեն գծվել է E կետով (AB և AC գծերով անցնող հարթության մեջ)։ Նույն կերպ կարելի է ցույց տալ, որ FE-ն ուղղանկյուններ կկազմի բոլոր գծերի հետ, որոնք միացված են դրան և գտնվում են հարթության մեջ։ Եվ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, երբ այն ուղղանկյուններ է կազմում բոլոր գծերի հետ, որոնք միացված են դրան և գտնվում են հարթությունում [Տե՛ս "Տարրեր" 11.3 սահմանում]։ Ուստի, FE-ն ուղղահայաց է հիմնական հարթությանը։ Իսկ հիմնական հարթությունը այն հարթությունն է, որը անցնում է AB և CD ուղիղ գծերով։ Ուստի, FE-ն ուղղահայաց է AB և CD գծերով անցնող հարթությանը։

Ուստի, եթե ուղիղ գիծը տեղադրված է ուղղահայաց երկու ուղիղ գծերին, որոնք հատում են իրար ընդհանուր հատման կետում, ապա այն կլինի նաև ուղղահայաց այդ գծերով անցնող հարթությանը։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 5

Եթե ուղիղ գիծը կանգնեցված է ուղղանկյուն երեք ուղիղ գծերին, որոնք հատում են մեկը մյուսին ընդհանուր հատման կետում, ապա երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ։

Թող AB ուղիղ գիծը կանգնեցված լինի ուղղանկյուն BC, BD և BE երեք ուղիղ գծերին ընդհանուր հատման կետում՝ B։ Ասում եմ, որ BC, BD և BE ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ։

Եթե ոչ, և հնարավոր է, թող BD-ն և BE-ն գտնվեն հենքային հարթության մեջ, իսկ BC-ն՝ ավելի բարձր (հարթության մեջ)։ Եվ թող AB և BC ուղիղ գծերով անցնող հարթությունը շարունակված լինի։ Այսպիսով, այն հենքային հարթության հետ կունենա ուղիղ գիծ որպես ընդհանուր հատում [Տե՛ս "Տարրեր" 11.3-ի սահմանումը]։ Թող այն լինի BF։ Ուստի, AB, BC և BF երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ՝ (այսինքն) AB և BC ուղիղ գծերով անցնող հարթության մեջ։ Եվ քանի որ AB-ն ուղղանկյուն է ինչպես BD-ին, այնպես էլ BE-ին, AB-ն հետևաբար ուղղանկյուն է նաև BD և BE ուղիղ գծերով անցնող հարթությանը [Տե՛ս "Տարրեր" 11.4]։ Եվ BD և BE ուղիղ գծերով անցնող հարթությունը հենքային հարթությունն է։ Ուստի, AB-ն ուղղանկյուն է հենքային հարթությանը։ Հետևաբար, AB-ն ուղղանկյուն կլինի նաև բոլոր այն ուղիղ գծերին, որոնք միացված են դրան և գտնվում են հենքային հարթությունում [Տե՛ս "Տարրեր" 11.3-ի սահմանումը]։ Եվ BF, որը գտնվում է հենքային հարթությունում, միացված է դրան։ Ուստի, ABF անկյունը ուղղանկյուն է։ Իսկ ABC-ն նույնպես ուղղանկյուն է ենթադրվել։ Ուստի, ABF անկյունը հավասար է ABC անկյանը։ Իսկ դրանք գտնվում են նույն հարթության մեջ։ Սա անհնար է։ Ուստի, BC-ն ավելի բարձր հարթությունում չէ։ Ուստի, BC, BD և BE երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ։

Այսպիսով, եթե ուղիղ գիծը կանգնեցված է ուղղանկյուն երեք ուղիղ գծերին, որոնք հատում են մեկը մյուսին ընդհանուր հատման կետում, ապա երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Պնդում 6

Եթե երկու ուղիղ գիծ ուղղանկյուն են նույն հարթությանը, ապա ուղիղ գծերը կլինեն զուգահեռ։

Թող AB և CD ուղիղ գծերը ուղղանկյուն լինեն հենքային հարթությանը։ Ասում եմ, որ AB-ն զուգահեռ է CD-ին։

Թող նրանք հատեն հենքային հարթությունը համապատասխանաբար B և D կետերում։ Եվ թող BD ուղիղ գիծը միացված լինի։ Եվ թող DE-ն կառուցված լինի ուղղանկյուն BD-ին հենքային հարթությունում։ Եվ թող DE-ն հավասար լինի AB-ին։ Եվ թող BE, AE և AD ուղիղ գծերը միացված լինեն։

Եվ քանի որ AB-ն ուղղանկյուն է հենքային հարթությանը, այն [հետևաբար] ուղղանկյուն կլինի նաև բոլոր այն ուղիղ գծերին, որոնք միացված են դրան և գտնվում են հենքային հարթությունում [Տե՛ս "Տարրեր" 11.3-ի սահմանումը]։

Եվ BD և BE, որոնք գտնվում են հենքային հարթությունում, յուրաքանչյուրը միացված են AB-ին։ Ուստի, ABD և ABE անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղղանկյուն է։ Ուստի, նույն պատճառներով, CDB և CDE անկյուններից յուրաքանչյուրը նույնպես ուղղանկյուն է։ Եվ քանի որ AB-ն հավասար է DE-ին, իսկ BD-ն ընդհանուր է, AB և BD երկու ուղիղ գծերը հավասար են ED և DB երկու ուղիղ գծերին (համապատասխանաբար)։ Եվ դրանք ընդգրկում են ուղղանկյուններ։ Ուստի, AD հիմքը հավասար է BE հիմքին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.4]։ Եվ քանի որ AB-ն հավասար է DE-ին, իսկ AD-ն նույնպես հավասար է BE-ին, AB և BE երկու ուղիղ գծերը, հետևաբար, հավասար են ED և DA երկու ուղիղ գծերին (համապատասխանաբար)։ Եվ նրանց հիմքը AE-ն ընդհանուր է։ Ուստի, ABE անկյունը հավասար է EDA անկյանը [Տե՛ս "Տարրեր" 1.8]։ Եվ ABE-ն ուղղանկյուն է։ Ուստի, EDA-ն նույնպես ուղղանկյուն է։ ED-ն, հետևաբար, ուղղանկյուն է DA-ին։ Եվ այն նաև ուղղանկյուն է ինչպես BD-ին, այնպես էլ DC-ին։ Ուստի, ED-ն ուղղանկյուն է BD, DA և DC երեք ուղիղ գծերին ընդհանուր հատման կետում։ Ուստի, BD, DA և DC երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ [Տե՛ս "Տարրեր" 11.5]։ Եվ որի (հարթության) մեջ BD և DA (գտնվում են), նույն հարթության մեջ AB-ն նույնպես (կգտնվի)։ Քանի որ ցանկացած եռանկյուն գտնվում է մեկ հարթության մեջ [Տե՛ս "Տարրեր" 11.2]։ Եվ ABD և BDC անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղղանկյուն է։ Ուստի, AB-ն զուգահեռ է CD-ին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.28]։

Այսպիսով, եթե երկու ուղիղ գիծ ուղղանկյուն են նույն հարթությանը, ապա ուղիղ գծերը կլինեն զուգահեռ։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։