Changes
/* Պատմական տեղեկություններ հանրահաշվի մասին */
=== Համրանքի սահմանները ===
Հասարակության զարգացման վաղ շրջաններում մարդիկ գրեթե չէին կարողանում հաշվել։ Նրանք մեկը մյուսից տարբերում էին երկու և երեք առարկաների հարադրությունը. մեծ թվով առարկաներ պարունակող ամեն մի հարադրություն միավորվում էր «շատ» հասկացողության մեջ։ Այդ դեռ համրանք չէր, այլ միայն նրա սաղմը։
Հետագայում ոչ մեծ հարադրությունները մեկը մյուսից տարբերելու ընդունակությունը զարգացավ։ «Չորս», «հինգ», «վեց», «յոթ» հասկացությունները նշելու համար առաջ եկան բառեր։ «Յոթ» բառը երկար ժամանակ նշանակում էր անորոշ մեծ քանակ։ Մեր առածները այդ դարաշրջանի մասին պահպանել են հիշողություն («յոթ անգամ չափիր, մեկ անգամ կտրի՛ր», «յոթ դայակի խնամած երեխան կույր կլինի», «յոթը փորձանքին մեկ պատասխան» և այլն)։
Տնտեսական գործունեության բարդացման հետ մարդկանց հարկ եղավ հաշիվ վարել ացելի լայն սահմաններում։ Դրա համար մարդը որպես հաշվման գործիքներ օգտվում էր իրեն շրջապատող առարկաներց՝ փայտյա ձողերի և ծառերի վրա նշումներ էր անում, թոկերի վրա հանգույցներ անում, քարերից կույտեր անում և այլն<ref>Քարի օգնությամբ հաշվումից սկիզբ են առնում զանազան կատարելագործված գործիքներ, ինչպիսիք են օրինակ՝ ռուսական համրիչները, չինական «սվապան» համրիչները, հին եգիպտական «աբակը» (շերտերի բաժանված տախտակ, որտեղ դրվում էին ժետոններ)։ Համրման գործիքներ գոյություն ունեին շատ ժողովուրդների մոտ։ Լատինական լեզվում «համրանք» հասկացությունը արտահայտվում է calculatio բառով (այստեղից մեր «կալկուլյացիա» բառը). նա առաջացել է calculus բառից, որը նշանակում է «փոքրիկ քար»։</ref>։
Հատուկ կարևոր դեր է խաղացել մարդու բնական գործիքը՝ նրա մատները, բայց այդ գործիքը չէր կարող հաշվի արդյունքը երկար պահել։ Դրա փոխարեն այդ գործիքը միշտ եղել է առկա և աչքի է ընկել իր շարժողունակությամբ։ Նախնադարյան մարդու լեզուն աղքատ էր. ժեստերը լրացնում էին բառերի պակասը, և այն թվերը, որոնց համար դեռ անվանում չկար, «ցույց էին տալիս» մատների վրա (մենք նույնպես թվերը ցույց ենք տալիս մատների վրա, երբ բացատրվում ենք մեր լեզուն չիմացող մարդու հետ)։
Բնական է, որ «մեծ» թվերի ներ առաջացած անվանումները կազմում էին 10 թվի հիման վրա՝ ըստ երկու ձեռքերի մատների թվի. մի շարք ժողովուրդների մեջ թվերի անվանումները առաջանում էին 5 թվի հիման վրա՝ ըստ մեկ ձեռքի մատների թվի, կամ 20 թվի հիման վրա՝ ըստ ոտների և ձեռքերի մատների թվի (տե՛ս §4)։
Սկզբնական շրջանում թվերի պաշարի ընդլայնումը՝ տեղի էր ունենում դանդաղ կերպով։ Սկզբում մարդիկ հաշվին տիրապետում էին առաջին մի քանի տասնյակների սահմաններում և և ավելի ուշ հասան մինչև հարյուրյակներին։ Շատ ժողովուրդների մոտ 40 թիվը երկար ժամանակ հաշվի վերջին սահմանն էր և անորոշ մեծ քանակի անվանումը։ Ռուսերենում «քառասուն ոտնիկ» («сороконожка») ունի բազմաոտիկ իմաստը։ Հին ժամանակ «քառասուն-քառասուններ» արտահայտությունը նշանակում էր աներևակայելի մեծ թիվ։ Նույն իմաստն ունի «քառասուն» բառը ռուսական մի շարք առածների ու ասացվածքների մեջ («մեկ սուր աչքն ավելի լավ է, քան քառասունը», «քառասուն տարի նստեց քառասուն շաղգամ հանեց» և այլն)։
Հետագա աստիճանում հաշիվը հասնում է նոր սահմանի՝ տասը տասնյակի և ստեղծվում է 100 թվի համար անվանում։ Դրա հետ միասին «հարյուր» բառը ձեռք է բերում անորոշ մեծ թվի իմաստ<ref>Մի շարք լեզուներում միևնույն բառը նշանակում է և 40, և 100։</ref>։ Այդպիսի իմաստ ունի, օրինակ, «կարճ տերտերը կանգնած, հարյուր շուրջառ հագած» (կաղամբ) հանելուկի մեջ։ Հետագայում հաջորդաբար հենց այդպիսի իմաստ են ձեռք բերում հազար, տասը հազար (հին ժամանակներում այդ թիվը կոչվում էր «մթություն» («тьма»)), միլիոն թվերը։
=== Թվարկման տասնորդական սիստեմ ===
'''Կոմպլեքս թվեր։''' Կոմպլեքս թվերի (III, 28 և III, 34) ներմուծումը նույնպես կապված էր խորանարդ հավասարումների լուծման հայտնագործման հետ։
Եվ մինչ այդ հայտնագործումը \(x^2+q=px\) քառակուսի հավասարումը լուծելիս հաճախ հարկ էր լինում հանդիպել այն դեպքին, երբ պահանջվում էր քառակուսի արմատ հանել \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-1q\) արտահայտությունից, որտեղ \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)֊ն փոքր է քան \(q\)֊ն։ Բայց այդպիսի դեպքում եզրակացնում էին, որ հավասարումը լուծումներ չունի։
Նոր (կոմպլեքս) թվերի ներմուծման մասին այն ժամանակ (երբ նույնիսկ բացասական թվերը «սուտ» էին համարվում) խոսք անգամ չէր կարող լինել։ Բայց Տարտալի կանոնով խորանարդ հավասարումները լուծելիս պարզվում է, որ առանց կեղծ թվերի նկատմամբ գործողություններ կատարելու հնարավոր չէ ստանալ ''իրական արմատ''։
<math>
(1)\qquad\qquad x^3=px+q
</math>
<math>
(2)\qquad\qquad x=\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}
</math>
<math>
(3)\qquad\qquad u + v=q,\qquad uv=\left(\frac{p}{3}\right)^3
</math>
Օրինակ՝ \(x^3=9x+28\), \((p=9,\,q=28\) հավասարման համար ունենք՝ \(u+v=28\), \(uv=27\), որտեղից գտնում ենք` կամ \(u=27\), \(v=1\), կամ \(u=1\), \(v=27\)։
Երկու դեպքում էլ
<math>
x=\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{1}=4
</math>
Տվյալ հավասարումն այլ իրական արմատներ չունի։
Բայց, ինչպես արդեն Կարդանոն նկատել էր (3֊րդ) սիստեմը կարող է չունենալ իրական լուծումներ, մինչդեռ (1) հավասարումն ունի իրական, այն էլ դրական արմատ։ Այսպես, \(x^3=15x+4\) հավասարումն ունի \(x=4\) արմատը, բայց
<math>
u+v=4,\qquad uv=125
</math>
սիստեմն ունի \(u=2+11i\), \(v=2-11i\) (կամ \(u=2-11i\), \(v=2+11i\)) կոմպլեքս արմատները։
Այդ հանելուկային երևույթի վրա առաջին անգամ լույս սփռեց Բոմբելին 1572 թվին։ Նա ցույց տվեց, որ \(2+11i \) թիվը \(2+i\) թվի խորանարդն է, իսկ \(2-11i\) թիվը \(2-i\) թվի խորանարդն է. նշանակում է կարելի է գրել \(\sqrt[3]{2+11i}=2+i\), \(\sqrt[3]{2-11i}=2-i\) և այդ դեպքում (2) բանաձևը կտա \(x=(2+i)+(2-i)=4\)։
Այդ պահից չէր կարելի անտեսել կոմպլեքս թվերը։ Բայց կոմպլեքս թվերի տեսությունը զարգանում էր դանդաղորեն՝ դեռևս 18-րդ դարում աշխարհի խոշորագույն մաթեմատիկոսները վիճում էին այն մասին, թե ինչպես գտնել կոմպլեքս թվերի լոգարիթմները։ Թեև կոմպլեքս թվերի օգնությամբ հաջողվեց ստանալ իրական թվերի վերաբերյալ շատ կարևոր փաստեր, բայց կոմպլեքս թվերի գոյությունը շատերին կասկածելի էր թվում։ Կոմպլեքս թվերի նկատմամբ գործողությունների սպառիչ կանոնները տվեց բոլոր ժամանակների և ժողովուրդների մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ ռուսական ակադեմիկոս Էյլերը 18-րդ դարի կեսին։
18-րդ և 19-րդ դարերի սահմանագլխին Վեսելի (Դանիա) և Արգանի (Ֆրանսիա<ref>Առաջին քայլերն այդ ուղղությամբ արվեցին Վալիսի (Անգլիա) կողմից 1687 թվին։</ref>) կողմից ցույց տրվեց կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերումը (III, 40)։ Բայց Վեսելի և Արգանի աշխատությունները ուշադրության չարժանացան և միայն 1831 թվին, երբ նույն եղանակը զարգացվեց մեծ մաթեմատիկոս Գաուսի (Գերմանիա) Կողմից, այն դարձավ ընդհանուրի սեփականությունը։
Այնուհետև, երբ լուծվում էին 3-րդ և 4-րդ աստիճանի հավասարումները, մաթեմատիկոսները մեծ ջանքեր էին գործադրում և որոնում էին 5-րդ աստիճանի վերջին հավասարման լուծման բանաձև։ 18-րդ դարի վերջերին և 19-րդ դարի սահմանագծում Ռուֆինը (Իտալիա) ապացուցեց, որ \(x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\) հինգերորդ աստիճանի տառային հավասարումը ''հնարավոր չէ'' հանրահաշվորեն լուծել, ավելի ճիշտ՝ նրա արմատները անհնարին է արտահայտել \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) տառային մեծությունների միջոցով հանրահաշվական վեց գործողությունների (գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, աստիճան բարձրացնել, արմատ հանել)<ref>Ռուֆինի ապացուցման մեջ կային մի շարք թերություններ։ 1824 թվին Աբելը (Նորվեգիա) տվեց անբասիր ապացույց։</ref> օգնությամբ։
1830 թվին Գալուան (Ֆրանսիա) ապացուցեց, որ ոչ մի ընդհանուր հավասարում, որի աստիճանացույցը մեծ է 4-ից, հանրահաշվորեն չի լուծվում։
Այնուամենայնիվ ամեն մի \(n\) աստիճանի հավասարում ունի (եթե դիտարկել նաև կոմպլեքս թվերը) \(n\) արմատներ, որոնց մեջ կարող են լինել և հավասարները։ Գրանում մաթեմատիկոսները համոզված էին դեռևս 17֊րդ դարում (բազմաթիվ մասնավոր դեպքերի քննարկման հիման վրա). հիշատակված թեորեման միայն 18-րդ և 19—րդ դարերի սահմանագծում ապացուցվեց Գաուսի կողմից։
Այն հարցերը, որոնցով զբաղվում էին 19-րդ և 20—րդ դարերի հանրահաշվագետները, մեծ մասամբ դուրս են տարրական մաթեմատիկայի սահմաններից։ Ուստի նշենք միայն, որ 19-րդ դարում մշակված են եղել հավասարումների մոտավոր լուծման շատ մեթոդներ։ Այդ ուղղությամբ կարևոր արդյունքներ են ստացվել ռուս մեծ մաթեմատիկոս Ն. Ի. Լոբաչևսկու կողմից։
== Երկրաչափություն ==
