Changes

Որքա՞ն պետք է ստանա յուրաքսւնչյուրը։յուրաքանչյուրը։

Չնայած պրոգրեսիաների վերաբերյալ այդ խնդրի հինգհազարամյա հնությանը, մեր դպրոցական կյանքում պրոգրեսիաները հայտնվել են համեմատաբար ավելի ուշ։ Մագնիցկու դասագրքում, որը հրատարակվել է երկու հարյուր տարի առաջ և որը ամբողջ կես դար հանդիսացել է դպրոցական ուսուցման համար հիմնական ձեռնարկ, թեև պրոգրեսիաներ կան, բայց դրանց մեջ մտնող մեծությունները կապակցող ընդհանուր բանաձևեր գոյություն չունեն։ Դրա համար էլ ինքը՝ դասագրքի կազմողը առանց դժվարությունների չէ, որ հաղթահարել է այդպիսի խնդիրները։ Մինչդեռ թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը հեշտորեն արտածվում է վանդակավոր թղթի օգնությամբ՝ պարզ և դիտորդական եղանակով։ Այդպիսի թղթի վրա ցանկացած թվաբանական պրոգրեսիան պատկերվում է աստիճանաձև։ Օրոնակ՝ Օրինակ՝ 33-րդ նկարում <math>ABDC</math>-ն պատկերում է հետևյալ պրոգրեսիան՝

Նրա անդամների գումարը որոշելու համար գծագիրը լրացնենք մինչև <math>ABGE</math> ուղղանկյունը։ Կստանանք երկու հավասար պատկերներ <math>ABDC \text{ </math> և } <math>DGEC</math>։ Նրանցից յուրաքանչյուրի մակերեսը պատկերում է մեր պրոգրեսիայի անդամների գումարը։ Նշանակում է՝ պրոգրեսիայի կրկնակի գումարը հավասար է <math>ABGE</math> ուղղանկյան մակերեսին, ալսինքն՝

Բանջարանոցն֊ Բանջարանոցն ունի <math>30</math> մարգ, յուրաքանչյուրը <math>16 \; մ</math> երկարությամբ և <math>2,5 \; մ</math> լայնությամբ։ Մարգերը ջրելիս բանջարանոցատերը ջրով լիքը դույլը բերում է ջրհորից, որը գտնվում է բանջարանոցից <math>14 \; մ</math> հեռավորության վրա (նկ․ 34), ընդ որում, անցնելով միջնակներով, մեկ անգամ բերված ջուրը բավականացնում է միայն մեկ մարգ ջրելու համար։

Առաջին մարգը ջրելու համար բանջարանոցատերը պետք է անցնի հետևյալ Ճանապարհը՝ճանապարհը՝

Առաջին շաբաթում կծախսվեր <math>31 \; դլ</math>, երկրորդում՝ <math>30</math>, երրորդում՝ <math>2029</math> և այլն, մինչև կրկնակի ժամանակի վերջին շաբաթը, երբ կծախսվեր

<math>31 \;=\; 63-2y \text{ </math> և } <math>y=l616</math>,

<math>6x = 24 \text{ </math> և } <math>x = 4</math>։

Այգեպանը առաջին գնորդին վաճառեց իր ունեցած խնձորների կեսը և էլի կես խնձոր, երկրորդ գնորդին՝ մնացածի կեսը և դարձյալ կես խնձոր, երրորդին՝ մնացածի կեսը և էլի կես խնձոր և այլն։ Յոթերորդ գնորդին նա վաճառեց մնացած խնձորների կեսը և դարձյալ կես խնձոր. դրանից հետո նրա մոտ խնձոր չմնաց։ Քանի՞ խնձոր Ուներ ուներ այգեպանը։

<math>\frac{x}{x+1} \;=\; 1-\frac{1}{2^7} \text{ </math> և } <math>x = 2^7-1 = 127</math>։

Մաթեմատիկայի ռուսական մի այլ հինավուրց դասագրքից, որ կրում է '''«Զուտ մաթեմատիկայի լրիվ դասնթաց, որը կազմվել է հրետանու. Շտիկ-Յունկեր և մաթեմատիկայի մսանավոր ուսուցիչ Եֆիմ Վոյտյախովսկու կողմից՝ ի օգուտ և գործածության պատանիների ու մաթեմատիկայի մեջ վարժվողների»''' (1795) ընդարձակ վերնագիրը, այստեղ բերենք հետևյալ խնդիրը.

<math>65536 = 2x \text{ 2^x</math> և } <math>x = 16</math>

«Ես ձեռնարկեցի այո այս երկար ճանապարհորդությունը մի նպատակով՝ տեսնել ձեզ և իմանալ, թե ինչ արվեստի և սրամիտ զենքի օգնությամբ դուք եկաք այդ մտքին՝ աստղագիտության համար զարմանալի ձեռնարկին՝ լոգարիթմներին։ Սակայն այժմ ես ավելի եմ զարմանում, թե ինչո՞ւ ոչ մեկը առաջուց չի գտել, քանի որ դրանց հետ ծանոթանալուց հետո դրանք թվում են չափազանց պարզ»։

Եթե տեխնիկական առօրյայի և գործնական կյանքի հաշվողական պահանջները լրիվ ապահովվում են եռանիշ և քառանիշ աղյուսակներով, ապա, մյուս կողմից, տեսական հետազոտողի տրամադրության տակ կան և այնպիսի աղյուսակներ, որ ունեն ավելի շատ նիշեր, քան նույնիսկ Բրիգի <math>14</math>-անիշ լոգարիթմները։ Ընդհանրապես ասած, լոգարիթմը մեծ մասամբ իռացիոնալ թիվ է և թվանշանների ոչ մի քանակով չի կարելի ճշտորեն արտահայտել։ Մեծ մասամբ թվերի լոգարիթմները, որքան էլ նիշեր վերցնելու լինենք, արտահայտվում են միայն մոտավոր կերպով և որքան դրանց մանտիսներում թվանշանները շատ են, այնքան դրանք ճիշտ են։

Գիտական աշխատանքների համար <math>14</math>-անիշ լոգարիթմները<ref>Բրիգի <math>14</math>-անիշ լոգարիթմները կազմված են, ի միջի այլոց, միայն <math>1</math>-ից մինչև <math>20000 \text{ </math> և } <math>90000</math>-ից մինչև <math>101000</math> թվերի համար։</ref> երբեմն ճիշտ չեն, բայց տարբեր տեսակի 300 լոգարիթմական աղյուսակներից, որոնք լույս են տեսել դրանց հայտնագործումից հետո, հետազոտողը միշտ կարող է գտնել այնպիսիները, որոնք կարող են նրան բավարարել։ Նշենք, օրինակ, <math>2</math>-ից մինչև <math>1200</math> թվերի <math>20</math>-անիշ լոգարիթմները, որ հրատարակվել է Ֆրանսիայի Կալլե (1795) քաղաքում։ Ավելի սահմանափակ թվերի խմբերի համար կան նաև վիթխարի թվով տասնորդական նիշերով լոգարիթմների աղյուսակներ՝ լոգարիթմական իսկական տարօրինակություններ, որոնց գոյության մասին, ինչպես ես համոզվել եմ, չեն կասկածում նաև բազմաթիվ մաթեմատիկոսներ։

Վերջին դեպքում մենք ունենք, ի միջի այլոց, ոչ թե աղյուսակ, այլ միայն այսպես կոչված հինգ թվերի բնական լոգարիթմներ՝ <math>2, \; 3, \; 5, \; 7 \text{ </math> և } <math>10</math>, և փոխանցող (<math>260</math>-անիշ) արտադրիչ դրանք տասնորդականի վերածելու համար։ Սակայն, դժվար չէ հասկանալ, որ ունենալով այդ հինգ թվերի լոգարիթմները՝ պարզ գումարով կամ բազմապատկումով կարելի է ստանալ բարդ թվերի բազմության լոգարիթմները. օրինակ <math>12</math>-ի լոգարիթմը հավասար է <math>2, \; 2 \text{ </math> և } <math>3</math> թվերի լոգարիթմների գումարին և այլն։

<math>\frac{34}{31} \text{ </math> և } <math>\frac{34,99}{31} \text{ </math> միջև կամ } <math>1,09 \text{ </math> և } <math>1,13</math> միջև։

Իրոք, <math>lg \sqrt[64]{(20 \; թվանշան)} \;=\; \frac{19,\dots}{64}</math>, հետևաբար այն պետք է գտնվի <math>\frac{19}{64} \text{ </math> և } <math>\frac{19,99}{64}</math> միջև, այսինքն՝ <math>0,29 \text{ </math> և } <math>0,32</math> միջև։ Այդպիսի լոգարիթմը ամբողջ թվի համար միայն մեկն է՝ <math>0,30\dots</math> այսինքն՝ <math>2</math> թվի լոգարիթմը։

<math>\frac{S}{S_1} \;=\; \frac{l^2}{l_1^2}, \; \frac{420}{630} \;=\; \frac{l^3}{l_1^3} \text{ </math> և, նշանակում է՝ } <math>\frac{l}{l_1} \;=\; \frac{\sqrt[3]{420}}{\sqrt[3]{630}}</math>,

Ենթադրենք, որ ամենացածր օկտավայի do նոտան (նրան կանվանենք զրո օկտավա) սահմանված է վայրկյանում <math>n</math> տատանումներով։ Այդ ժամանակ առաջին օկտավայի do-ն վայրկյանում կանի <math>2ո2n</math> տատանումներ, իսկ <math>m</math>-րդ օկտավան՝ <math>n \cdot 2^m</math> տատանումներ և այլն։ Դաշնամուրի խրոմատիկ գամմայի բոլոր նոտաները նշանակենք <math>p</math> համարներով, յուրաքանչյուր օկտավայի do տոնը ընդունելով որպես զրո. այդ ժամանակ, օրինակ, sol տոնը կլինի <math>7</math>-րդ, la-ն կլինի <math>9</math>-րդ և այլն. <math>12</math>-րդ տոնը նորից կլինի do միայն թե մի օկտավայով բարձր։ Քանի որ տեմպերացված քրոմատիկ գամմայի յուրաքանչյուր հետագա տոնը ունի <math>\sqrt[12]{2}</math> անգամ ավելի մեծ տատանումներ<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\sqrt[12]{2}</math>-ից ավելի մեծ տատանումներտատանումներ— ''Մ.''։</ref>, քան նախորդը, ապա ցանկացած տոնի տատանումների թիվը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝

<math>lgN_{pm} \;=\; lg ո lgn + mlg2+p\frac{lg2}{12}</math>

իսկ do-ի ամենացածր տատանումների թիվն ընդունելով մեկ (<math>ոn=1</math>) և բոլոր լոգարիթմները փոխադրելով <math>2</math> հիմքի (կամ պարզապես ընդունելով <math>lg2=1</math>), կունենանք՝

Օրինակ՝ պարզաբանում ենք, որ երրորդ օկտավի sol տոնում, այսինքն՝ <math>3+\frac{7}{12} (\approx 3,583)</math> թվի մեջ, <math>3</math> թիվը այդ տոնի տատանումների թվի լոգարիթմի խարակտերիստիկան է, իսկ <math>\frac{7}{12} (\approx 0,583)</math>-ը նույն լոգարիթմի մանտիսան <math>2</math> հիմքի դեպքում. տատանումների թիվը, հետևաբար» հետևաբար, <math>23,583</math>, այսինքն՝ <math>11,98</math> անգամ մեծ է առաջին օկտավայի do տոնի տատանումների թվից։

Այն աղմուկը, որի բարձրությունը մեծ է <math>8</math> բելից, մարդկային օրգանիզմի համար ճանաչվում է վնասակար։ Շատ գործարաններում օրենքով սահմանված նորման գերազանցվում է։ Այստեղ պատահում են <math>10</math> և ավելի բել աղմուկներ. մուրճի հարվածները, որ հասցվում են պողպատյա սալին, առաջացնում են <math>11</math> բել աղմուկ։ Այդ աղմուկները <math>100 \text{ </math> և } </math>1000</math> անգամ ուժեղ են թույլատրելի նորմայից և <math>10—100</math> անգամ ավելի բարձր Նիագարայի ջրվեժի ամենաաղմկոտ տեղից (<math>9</math> բել)։

Այն բանի պատճառը, որ գազով լցված (հաճախ սխալմամբ անվանելով «կիսավատտային», լամպերն ավելի պայծառ լույս են տալիս, քան միևնույն նյութից պատրաստված մետաղյա լարով դատարկ լամպերը, թագնված է շիկացման լարի տարբեր ջերմաստիճանի մեջ։ Ֆիզիկայում սահմանված օրենքի համաձայն լույսի ընդհանուր քանակը, որ տարածվում է սպիտակ շիկացման դեպքում, աճում է բացարձակ ջերմաստիճանի <math>12</math>-րդ աստիճանին համեմատ։ Իմանալով այդ, կատարենք այսպիսի հաշվարկ. որոշենք, թե «կիսավատտային» լամպը, որի շիկացման լարի ջերմաստիճանը բացարձակ սանդղակում (այսինքն՝ հաշվելով <math>-273°C</math>-ից) <math>2500° </math> է, քանի՞ անգամ ավելի շատ լույս է արտածում, քան դատարկ լամպը, որի լարի շիկացումը մինչև <math>2200° </math> է։

<math>lg \left(1+\frac{x}{100}\right) \;=\; \frac{lg2}{12} \text{ </math> և } <math>x=6\%</math>։

Ո՞վ չի լսել ցորենի հատիկների այն առասպելական թվի մասին, որը, իբր թե, շախմատի խաղի գյուտարարը «պահանջել պահանջել է որպես պարգև։ Այդ թիվը կազմվել է մեկը հաջորդաբար կրկնապատկելու ճանապարհով, շախմատային տախտակի առաջին դաշտի համար գյուտարարը պահանջել է <math>1</math> հատիկ, երկրորդի համար՝ <math>2</math> հատիկ և այլն, կրկնապատկելով բոլորը՝ մինչև, վերջին <math>64</math>-րդը։

<math>100 \text{ </math> ռուբ. } <math>\cdot 1,5 = 150</math> ռուբ.

<math>150 \text{ </math> ռուբ. } <math>\cdot 1,5 = 225</math> ռուբ.։

Եթե միացումը կատարենք յուրաքանչյուր <math>\frac{1}{3}</math> տարին մեկ, ապա տարին անցնելուց հետո <math>100</math> ոուբռուբ. կվերածվի

<math>100 \text{ </math> ռուբ. } <math>\cdot \left(1\frac{1}{3}\right)^3 \approx 237 \text{ </math> ռուբ. } <math>03</math> կոպ.-ի։

Ավելի հաճախակի դարձնենք տոկոսային փողերի միացման ժամկետները՝ մինչև <math>0,1, \; 0,01, \; 0,001</math> տարի և այլն։ Այդ ժամանակ մեկ տարի հետո <math>100 </math> ռուբլուց կստացվի՝

<TD><math>100 \text{ </math> ռուբ. } <math>\cdot 1,1^{10}</math></TD> <TD><math>\approx 259 \text{ </math> ռուբ.} <math>37</math> կոպ.</TD>

<TD><math>100 \text{ </math> ռուբ. } <math>\cdot 1,01^{100}</math></TD> <TD><math>\approx 270 \text{ </math> ռուբ.} <math>48</math> կոպ.</TD>

<TD><math>100 \text{ </math> ռուբ. } <math>\cdot 1,001^{1000}</math></TD> <TD><math>\approx 271 \text{ </math> ռուբ.} <math>69</math> կոպ.</TD>

<math>271 \text{ </math> ռուբ. } <math>83</math> կոպ.։

Ստացված <math>2,7183 \dots</math> թիվը, որը բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ վիթխարի դեր է խաղում, ոչ ավելի պակաս, քան հռչակավոր <math>\pi</math> թիվը, ունի հատուկ նշանակում՝ <math>e</math>։ Սա իռացիոնալ թիվ է. այն չի կարող թվանշաններիվերջավոր թվով ճշտորեն արտահայտվել<ref>Բացի այդ, այդ թիվը, ինչպես և <math>\pi</math> թիվը տրանսցենդենտ են, այսինքն՝ չեն կարող լինել ամբողջ գործակիցներով հանրահաշվական որևէ հավասարման լուծման արդյունք։</ref> վերջավոր թվով ճշտորեն արտահայտվել, բայց հաշվվում է միայն մոտավորությամբ, ճշտության ցանկացած աստիճանով, հետևյալ շարքի միջոցով՝

Շատ պատճառներով, որոնք մենք այստեղ շարադրել չենք կարող, <math>e</math> թիվը նպատակահարմար է ընդունել որպես լոգարիթմների սիստեմի հիմք։ Այդպիսի աղյուսակները («բնական լոգարիթմների») գոյություն ունեն և լայն կիրառություն են գտնում գիտության և տեխնիկայի մեջ։ <math>48, \; 61, \; 102 </math> և <math>260</math> թվանշաններով այն լոգարիթմ-հսկաները, որոնց մասին մենք խոսել ենք ավելի վաղ, հատկապես ունեն <math>e</math> հիմքը։

Ի՞նչ մասերի պետք է բաժանել տրված <math>a </math> թիվը, որպեսզի բոլոր մասերի արտադրյալը լինի ամենամեծը։

Մենք արդեն դիտենք, որ հաստատուն գումարի դեպքում թվերն ամենամեծ արտադրյալը տալիս են այն դեպքում, երբ դրանք միմյանց հավասար են։ Պարզ է, որ <math>a</math> թիվը պետք է բաժանել հավասար մասերի։ Բայց քանի քանի՞ հավասար մասի։ Երկուսի՞, երեքի՞, տասի՞։ Բարձրագույն մաթեմատիկայի եղանակներով կարելի է որոշել, որ ամենամեծ արտադրյալն ստացվում է, երբ մասերը ըստ հնարավորին մոտ են <math>e</math> թվին։

Քանի որ թիվը <math>3,678 \dots</math> հավասար մասերի վրա բաժանել չի կարելի,<ref>Գրքում վրիպակ է՝ Քանի որ <math>3,678 \dots</math> թիվը հավասար մասերի վրա բաժանել չի կարելի,— ''Մ.''։</ref> , ապա հարկ է լինում բաժանարարը վերցնել նրան ամենամոտ ամբողջ թիվը՝ <math>4</math>-ը։ Հետևաբար, <math>10</math>-ի մասերի ամենամեծ արտադրյալը, մենք կստանանք, եթե այդ մասերը հավասար են <math>\frac{10}{4}</math>, այսինքն՝ <math>2,5</math>։

ամենամեծ թիվն է, որը կարող է ստացվել <math>10</math>-ի միատեսակ մասերի բազմապատկումից։ Իրոք, <math>10</math>-ը բաժանելով <math>3 </math> կամ <math>5</math> հավասար մասերի՝ մենք կստանանք փոքր արտադրյալ

<math>\left(\frac{10}{3}\right)^3 \;=\; 37, \; \left(\frac{10}{5}\right)^5 \;=\; 32</math>։

<math>20</math> թվի մասերի ամենամեծ արտադրյալն ստանալու համար այն պետք է բաժանել <math>7</math> հավասար մասերի, քանի որ,

<math>50 \;:\; 2,718 \dots \;= \; 18,4</math>,

<math>100 \;:\; 2,718 \dots \;= \; 36,8</math>։

Սխալը նրանումն է, որ <math>lg_{10}\left(\frac{1}{2}\right)</math>-ով կրճատելու դեպքում անհավասարության նշանը չփոխվեց (<math>></math>-ը <math><</math>-ով) այն ժամանակ անհրաժեշտ էր այդ անել, քանի որ <math>lg_{10}\left(\frac{1}{2} \right)</math> թիվը բացասական է։ [Իսկ եթե մենք լոգարիթմենք ոչ թե <math>10</math> հիմքով, այլ <math>\frac{1}{2}</math>-ից փոքր հիմքով, ապա <math>lg\left(\frac{1}{2}\right)</math>-ը կլիներ դրական թիվ, բայց մենք այն ժամանակ իրավացի չէինք լինի պնդելու, որ մեծ թվին համապատասխանում է մեծ լոգարիթմ։լոգարիթմ]։