«Տարերք/Գիրք 13»–ի խմբագրումների տարբերություն

Գրապահարան-ից
Տող 20. Տող 20.
  
 
::::Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC ''(Նկ․ 1)''։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակելով հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`
 
::::Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC ''(Նկ․ 1)''։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակելով հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`
−
AC^2 = AB * BC ''(Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)''։ Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին ''(Նկ․ 1)'': Եվ քանի որ AB = 2 * AD և BA = KA, AD = AH, հետևաբար KA = 2 * AH: Այսպիսով ստանում ենք հարաբերություն՝ KA / AH = ACGK-ի մակերես / HC անկյունագծով ուղղանկյան մակերես ''(Պնդ․ 6․1)'', հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը հավասար է երկու անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին: Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանը, ապա նրանց մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1․43)'': Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է LH և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Քանի որ, ինչպես ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEG-ի մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, ապա ABEK-ի մակերեսը հավասար է գնոմոն MNO-ին (CH, FH, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին): Քանի որ գնոմոն MNO = 4 * AP, հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով СВ^2 = 5*(DA^2):  
+
AC^2 = AB * BC ''(Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)''։ Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին ''(Նկ․ 1)'': Եվ քանի որ AB = 2 * AD և BA = KA, AD = AH, հետևաբար KA = 2 * AH: Այսպիսով ստանում ենք հարաբերություն՝ KA / AH = ACGK-ի մակերես / HC անկյունագծով ուղղանկյան մակերես ''(Պնդ․ 6․1)'', հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը հավասար է երկու անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին: Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանը, ապա նրանց մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1․43)'': Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է LH և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEG-ի մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար ABEK-ի մակերեսը հավասար է գնոմոն MNO-ին (CH, FH, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին): Քանի որ գնոմոն MNO = 4 * AP, հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով СВ^2 = 5*(DA^2):  
  
 
Այսպիսով, եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին համեմատությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։
 
Այսպիսով, եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին համեմատությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

14:52, 29 Նոյեմբերի 2024-ի տարբերակ

Տարերք, Գիրք 13

հեղինակ՝ էվկլիդես
աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick
Անավարտ.jpg
Անավարտ
Այս ստեղծագործությունը դեռ ամբողջովին տեղադրված չէ Գրապահարանում



Pages 506-530

Պնդում 1

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն։

Նկ․ 1
Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է։ Շարունակենք AC հատվածը, և տեղադրենք AD = AB / 2։ Ես պնդում եմ, որ СD^2 = 5*(DA^2):
Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC (Նկ․ 1)։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակելով հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`

AC^2 = AB * BC (Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)։ Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (Նկ․ 1): Եվ քանի որ AB = 2 * AD և BA = KA, AD = AH, հետևաբար KA = 2 * AH: Այսպիսով ստանում ենք հարաբերություն՝ KA / AH = ACGK-ի մակերես / HC անկյունագծով ուղղանկյան մակերես (Պնդ․ 6․1), հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը հավասար է երկու անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին: Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանը, ապա նրանց մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 1․43): Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է LH և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEG-ի մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար ABEK-ի մակերեսը հավասար է գնոմոն MNO-ին (CH, FH, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին): Քանի որ գնոմոն MNO = 4 * AP, հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով СВ^2 = 5*(DA^2):

Այսպիսով, եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին համեմատությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Ստացված է «https://grapaharan.org/index.php?title=Տարերք/Գիրք_13&oldid=14896» էջից