«Տարերք/Գիրք 11»–ի խմբագրումների տարբերություն

Գրապահարան-ից
Տող 13. Տող 13.
  
 
''Այսպիսով, եթե կա երկու զուգահեռ ուղիղ, և կամայական կետ նրանցից յուրաքանչյուրի վրա, ապա ուղիղը, որը կմիացնի այդ երկու կետերը, կլինի նույն հարթության մեջ, ինչ զուգահեռ ուղիղները։ Որը վերջինիս պահանջվում էր ցույց տալ։''
 
''Այսպիսով, եթե կա երկու զուգահեռ ուղիղ, և կամայական կետ նրանցից յուրաքանչյուրի վրա, ապա ուղիղը, որը կմիացնի այդ երկու կետերը, կլինի նույն հարթության մեջ, ինչ զուգահեռ ուղիղները։ Որը վերջինիս պահանջվում էր ցույց տալ։''
 +
 +
 +
 +
== '''Պնդում 8''' ==
 +
 +
 +
Եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են, և նրանցից մեկը ուղիղ անկյուն է կազմում ինչ որ հարթության հետ, ապա մյուս ուղիղը նույնպես ուղղահայաց կլինի այդ հարթությանը։
 +
 +
[[Պատկեր:Նկար-2.png]]
 +
 +
'''AB''' և '''CD''' երկու զուգահեռ ուղիղներ են, և նրանցից մեկը՝ '''AB''', ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը։ Մյուսը՝ '''CD''', նույնպես ուղղահայաց է նույն հարթությանը։ 
 +
'''AB'''-ն և '''CD'''-ն հատվում են դիտարկվող հարթության հետ '''B''' և '''D'''կետերում  համապատասխանաբար, '''BD''' ուղիղը միացնում է այդ կետերը։ Հետևաբար, '''AB''', '''CD''' և '''BD''' գտնվում են նույն հարթության մեջ [Պնդում 11․7]։ 
 +
'''DE''' ուղիղը ուղղահայաց է '''BD'''-ին դիտարկվող հարթություն մեջ և '''DE'''-ն հավասար է '''AB'''-ին։ Միացնենք '''BE''', '''AE''' և '''AD''' հատվածները։ 
 +
Քանի որ '''AB''' ուղիղը ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը, այն ուղղահայաց կլինի նաև բոլոր այն ուղիղներին, որոնք գտնվում են դիտարկվող հարթության մեջ [Սահմ 11․3]։ Հետևաբար, անկյուններ՝ '''ABD''' և '''ABE''', ուղիղ են։ 
 +
Եվ քանի որ '''BD''' ուղիղը հատում է '''AB''' և '''CD''' զուգահեռ ուղիղները, ապա '''ABD''' և '''CDB''' անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների։ [Պնդում 1․29] Անկյուն '''ABD'''-ն ուղիղ է, հետևում է անկյուն '''CDB'''-ն նույնպես ուղիղ է։ 
 +
 +
Եվ քանի որ '''AB'''-ն հավասար է '''DE'''-ին, իսկ '''BD'''-ն ընդհանուր է, ապա երկու ուղիղներ՝ '''AB''' և '''BE''', հավասար են '''ED''' և '''DA''' ուղիղներին, համապատասխանաբար։ Եվ '''ABD''' ուղիղ անկյունը հավասար է '''EDB''' անկյանը։ Հետևաբար '''AD''' հիմքը հավասար է '''BE''' հիմքին [Պնդում 1․4]։ 
 +
Եվ քանի որ '''AB''' հատվածը հավասար է '''DE'''-ին, և '''BE'''-ն հավասար է '''AD''' հատվածին, և '''AB''', '''BE''' հատվածները համապատասխանաբար հավասար են '''ED''', '''DA''' հատվածներին։ Եվ նրանց հիմքը՝ '''AE'''-ն, ընդհանուր է։ Հետևաբար, անկյունը՝ '''ABE''', հավասար է  '''EDA'''անկյանը ([Պնդում 1․8])։ 
 +
Քանի որ անկյուն '''ABE'''-ն ուղիղ է, ապա անկյուն '''EDA'''-ն նույնպես ուղիղ է։ Հետևաբար, '''ED''' ուղիղը ուղղահայաց է '''AD'''-ին։ Եվ այն նաև ուղղահայաց է '''DB'''-ին։ Այսպիսով, '''ED''' ուղիղը ուղիղ անկյուն է կազմում '''BD''' և '''DA''' ուղիղներով անցնող հարթության հետ ([Պնդում 11․4])։ Այդ պատճառով '''ED''' ուղիղ անկյուն կկազմի բոլոր այն ուղիղների հետ, որոնք հատվում են իր հետ և ընկած են '''BDA''' հարթության մեջ։ '''DC''' ուղիղը գտնվում է '''BDA''' հարթությունում, քանի որ '''AB''' և '''BD''' ուղիղները նույնպես գտնվում են '''BDA''' հարթությունում ([Պնդում 11․2])։ 
 +
Հետևաբար, '''ED''' ուղիղը ուղղահայաց է '''DC''' ուղիղին։ Այսպիսով, '''CD''' ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է '''DE'''-ին։ '''CD''' ուղիղը ուղղահայաց է նաև '''BD''' ուղիղին։ 
 +
Հետևաբար, '''CD''' ուղիղը կանգնած է ուղղանկյուն երկու ուղիղների՝ '''DE''' և '''DB'''-ի հետ, որոնք հատվում են '''D''' կետում։ Այսպիսով, '''CD''' ուղիղը նաև ուղղահայաց է '''DE''' և '''DB''' ուղիղներով անցնող հարթությանը ([Պնդում 11․4])։ 
 +
Եվ քանի որ '''DE''' և '''DB''' ուղիղներով անցնող հարթությունը դիտարկվող հարթությունն է, '''CD''' ուղիղը ուղղահայաց է նաև դիտարկվող հարթությանը։
 +
 +
''Հետևաբար, եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են, և դրանցից մեկը ուղղահայաց է որևէ հարթության, ապա մյուսը նույնպես կլինի ուղղահայաց նույն հարթությանը։ Որն էլ անհրաժեշտ էր ցույց տալ։''

21:41, 29 Նոյեմբերի 2024-ի տարբերակ

Pages 431 - 455


Պնդում 7

Եթե երկու զուգահեռ ուղիղների վրա վերցրած պատահական կետերից երկուսը միացնենք, ապա ստացված ուղիղը, որը անցնում է այդ կետերով, կլինի նույն հարթության մեջ, ինչ երկու զուգահեռ ուղիղները։ Նկար-1.png

AB և CD երկու զուգահեռ ուղիղներ են, իսկ E և F կամայական կետեր են համապատասխանաբար AB և CD ուղիղներից։ Ուղիղը, որը միացնում է E և F կետերը, գտնվում է նույն հարթության մեջ, ինչ զուգահեռ ուղիղները։ Եթե դա այդպես չէ, և հնարավոր է, որ ուղիղը անցնի ավելի բարձր հարթությամբ, թող դա լինի EGF հարթությունը։ Այսպիսով, այն կունենա ուղիղ հատված EF՝ հենակետային հարթության մեջ [Պնդ. 11.3]։ Հետևաբար, երկու ուղիղներ՝ EGF-ն և EF-ն (նույն E և F կետերով անցնող) կսահմանափակեն ինչ-որ տարածք, ինչը անհնար է։Հանգունորեն, E և F կետերով անցնող ուղիղը գտնվում է նույն հարթության մեջ, ինչ AB և CD զուգահեռ ուղիղները։

Այսպիսով, եթե կա երկու զուգահեռ ուղիղ, և կամայական կետ նրանցից յուրաքանչյուրի վրա, ապա ուղիղը, որը կմիացնի այդ երկու կետերը, կլինի նույն հարթության մեջ, ինչ զուգահեռ ուղիղները։ Որը վերջինիս պահանջվում էր ցույց տալ։


Պնդում 8

Եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են, և նրանցից մեկը ուղիղ անկյուն է կազմում ինչ որ հարթության հետ, ապա մյուս ուղիղը նույնպես ուղղահայաց կլինի այդ հարթությանը։

Նկար-2.png

AB և CD երկու զուգահեռ ուղիղներ են, և նրանցից մեկը՝ AB, ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը։ Մյուսը՝ CD, նույնպես ուղղահայաց է նույն հարթությանը։ AB-ն և CD-ն հատվում են դիտարկվող հարթության հետ B և Dկետերում համապատասխանաբար, BD ուղիղը միացնում է այդ կետերը։ Հետևաբար, AB, CD և BD գտնվում են նույն հարթության մեջ [Պնդում 11․7]։ DE ուղիղը ուղղահայաց է BD-ին դիտարկվող հարթություն մեջ և DE-ն հավասար է AB-ին։ Միացնենք BE, AE և AD հատվածները։ Քանի որ AB ուղիղը ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը, այն ուղղահայաց կլինի նաև բոլոր այն ուղիղներին, որոնք գտնվում են դիտարկվող հարթության մեջ [Սահմ 11․3]։ Հետևաբար, անկյուններ՝ ABD և ABE, ուղիղ են։ Եվ քանի որ BD ուղիղը հատում է AB և CD զուգահեռ ուղիղները, ապա ABD և CDB անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների։ [Պնդում 1․29] Անկյուն ABD-ն ուղիղ է, հետևում է անկյուն CDB-ն նույնպես ուղիղ է։

Եվ քանի որ AB-ն հավասար է DE-ին, իսկ BD-ն ընդհանուր է, ապա երկու ուղիղներ՝ AB և BE, հավասար են ED և DA ուղիղներին, համապատասխանաբար։ Եվ ABD ուղիղ անկյունը հավասար է EDB անկյանը։ Հետևաբար AD հիմքը հավասար է BE հիմքին [Պնդում 1․4]։ Եվ քանի որ AB հատվածը հավասար է DE-ին, և BE-ն հավասար է AD հատվածին, և AB, BE հատվածները համապատասխանաբար հավասար են ED, DA հատվածներին։ Եվ նրանց հիմքը՝ AE-ն, ընդհանուր է։ Հետևաբար, անկյունը՝ ABE, հավասար է EDAանկյանը ([Պնդում 1․8])։ Քանի որ անկյուն ABE-ն ուղիղ է, ապա անկյուն EDA-ն նույնպես ուղիղ է։ Հետևաբար, ED ուղիղը ուղղահայաց է AD-ին։ Եվ այն նաև ուղղահայաց է DB-ին։ Այսպիսով, ED ուղիղը ուղիղ անկյուն է կազմում BD և DA ուղիղներով անցնող հարթության հետ ([Պնդում 11․4])։ Այդ պատճառով ED ուղիղ անկյուն կկազմի բոլոր այն ուղիղների հետ, որոնք հատվում են իր հետ և ընկած են BDA հարթության մեջ։ DC ուղիղը գտնվում է BDA հարթությունում, քանի որ AB և BD ուղիղները նույնպես գտնվում են BDA հարթությունում ([Պնդում 11․2])։ Հետևաբար, ED ուղիղը ուղղահայաց է DC ուղիղին։ Այսպիսով, CD ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է DE-ին։ CD ուղիղը ուղղահայաց է նաև BD ուղիղին։ Հետևաբար, CD ուղիղը կանգնած է ուղղանկյուն երկու ուղիղների՝ DE և DB-ի հետ, որոնք հատվում են D կետում։ Այսպիսով, CD ուղիղը նաև ուղղահայաց է DE և DB ուղիղներով անցնող հարթությանը ([Պնդում 11․4])։ Եվ քանի որ DE և DB ուղիղներով անցնող հարթությունը դիտարկվող հարթությունն է, CD ուղիղը ուղղահայաց է նաև դիտարկվող հարթությանը։

Հետևաբար, եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են, և դրանցից մեկը ուղղահայաց է որևէ հարթության, ապա մյուսը նույնպես կլինի ուղղահայաց նույն հարթությանը։ Որն էլ անհրաժեշտ էր ցույց տալ։

Ստացված է «https://grapaharan.org/index.php?title=Տարերք/Գիրք_11&oldid=14926» էջից