«Տարերք/Գիրք 13»–ի խմբագրումների տարբերություն

Գրապահարան-ից
(→‎Պնդում 3)
(→‎Պնդում 2)
Տող 28. Տող 28.
 
[[Պատկեր:Nkar_2.png|280px|thumb|left|Նկ․ 2]]
 
[[Պատկեր:Nkar_2.png|280px|thumb|left|Նկ․ 2]]
  
−
::::Դիցուք՝ եթե <math>AB^2 = 5\cdot AC^2</math> ''(Նկ․ 2)'' և СВ շարունակենք, այնպես, որ <math>CD = 2\cdot AC</math>, ապա CD-ն բաժանվում է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, որտեղ մեծ հատվածը CB է։
+
::::Դիցուք՝ եթե <math>AB^2 = 5\cdot AC^2</math> և СВ շարունակենք, այնպես, որ <math>CD = 2\cdot AC</math>, ապա CD-ն բաժանվում է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, որտեղ մեծ հատվածը CB է ''(Նկ․ 2)''։
  
 
::::Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ALFB և СKGD ''(Նկ․ 2)'': Տանենք AF անկյունագիծը։ Շարունակենք FB հատվածը և հատենք KG-ի հետ E-ում: Քանի որ <math>AB^2 = 5\cdot AC^2</math>, հետևաբար AF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով գնոմոն <math>MNO = 4\cdot AH</math>: Քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>,  հետևաբար <math>DC^2 = 4\cdot AC^2</math>, կամ նույնն է ինչ ասենք, որ СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևաբար գնոմոն <math>MNO = CG</math> անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (HB, HF, HL անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են CDGK-ի մակերեսին): Եվ քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>, <math>DC = CK</math>, <math>AC = CH</math> ապա <math>KC = 2\cdot CH</math> և KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 2 անգամ BH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 6․1)'' և քանի որ LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ HB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1.43)'', ապա KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավսար է LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց էր տրված վերևում գնոմոն MNO-ն հավասար է СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևում է, որ HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է BDGE ուղղանկյան մակերեսին։ Իսկ վերջինս հավասար է СD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսին, <math>CD = DG</math>, HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math>։ Հետևաբար CD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math> <math>(CB^2 = DC\cdot BD)</math>: Այսպիսով, ստանում ենք <math>\frac{DC}{CB} = \frac{CB}{BD}</math> ''(Պնդ․ 6․17)'': Եվ քանի որ DC ավելի մեծ է քան СB (տես Լեմմա, ներքևում), ապա СB-ն նույնպես ավելի մեծ է քան BD-ն։ Այսպիսով, եթե CD հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա СB-ն նրա մեծ հատվածն է։
 
::::Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ALFB և СKGD ''(Նկ․ 2)'': Տանենք AF անկյունագիծը։ Շարունակենք FB հատվածը և հատենք KG-ի հետ E-ում: Քանի որ <math>AB^2 = 5\cdot AC^2</math>, հետևաբար AF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով գնոմոն <math>MNO = 4\cdot AH</math>: Քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>,  հետևաբար <math>DC^2 = 4\cdot AC^2</math>, կամ նույնն է ինչ ասենք, որ СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևաբար գնոմոն <math>MNO = CG</math> անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (HB, HF, HL անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են CDGK-ի մակերեսին): Եվ քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>, <math>DC = CK</math>, <math>AC = CH</math> ապա <math>KC = 2\cdot CH</math> և KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 2 անգամ BH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 6․1)'' և քանի որ LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ HB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1.43)'', ապա KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավսար է LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց էր տրված վերևում գնոմոն MNO-ն հավասար է СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևում է, որ HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է BDGE ուղղանկյան մակերեսին։ Իսկ վերջինս հավասար է СD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսին, <math>CD = DG</math>, HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math>։ Հետևաբար CD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math> <math>(CB^2 = DC\cdot BD)</math>: Այսպիսով, ստանում ենք <math>\frac{DC}{CB} = \frac{CB}{BD}</math> ''(Պնդ․ 6․17)'': Եվ քանի որ DC ավելի մեծ է քան СB (տես Լեմմա, ներքևում), ապա СB-ն նույնպես ավելի մեծ է քան BD-ն։ Այսպիսով, եթե CD հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա СB-ն նրա մեծ հատվածն է։

19:19, 30 Նոյեմբերի 2024-ի տարբերակ

Տարերք, Գիրք 13

հեղինակ՝ էվկլիդես
աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick

Pages 506-530

Պնդում 1

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն։

Նկ․ 1
Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է (Նկ․ 1)։ Շարունակենք AC հատվածը, և տեղադրենք ։ Ես պնդում եմ, որ :
Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC (Նկ․ 1)։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակելով հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`

(Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)։ Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (Նկ․ 1): Եվ քանի որ և , , հետևաբար : Այսպիսով ստանում ենք հարաբերություն՝ (Պնդ․ 6․1), հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը հավասար է երկու անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին: Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանը, ապա նրանց մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 1․43): Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է LH և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEG-ի մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար ABEK-ի մակերեսը հավասար է գնոմոն MNO-ին (CH, FH, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին): Քանի որ գնոմոն , հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով :

Այսպիսով, եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 2

Եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է։

Նկ․ 2
Դիցուք՝ եթե և СВ շարունակենք, այնպես, որ , ապա CD-ն բաժանվում է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, որտեղ մեծ հատվածը CB է (Նկ․ 2)։
Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ALFB և СKGD (Նկ․ 2): Տանենք AF անկյունագիծը։ Շարունակենք FB հատվածը և հատենք KG-ի հետ E-ում: Քանի որ , հետևաբար AF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով գնոմոն : Քանի որ , հետևաբար , կամ նույնն է ինչ ասենք, որ СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևաբար գնոմոն անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (HB, HF, HL անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են CDGK-ի մակերեսին): Եվ քանի որ , , ապա և KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 2 անգամ BH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 6․1) և քանի որ LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ HB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 1.43), ապա KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավսար է LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց էր տրված վերևում գնոմոն MNO-ն հավասար է СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևում է, որ HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է BDGE ուղղանկյան մակերեսին։ Իսկ վերջինս հավասար է СD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսին, , HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է ։ Հետևաբար CD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսը հավասար է : Այսպիսով, ստանում ենք (Պնդ․ 6․17): Եվ քանի որ DC ավելի մեծ է քան СB (տես Լեմմա, ներքևում), ապա СB-ն նույնպես ավելի մեծ է քան BD-ն։ Այսպիսով, եթե CD հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա СB-ն նրա մեծ հատվածն է։

Այսպիսով, եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Լեմմա

Ապացուցենք, որ ։

Ենթադրենք ավելի մեծ չէ քան BC, և ։ Այսպիսով ։ Հետևում է, որ ։ Ենթադրվում էր, որ ։ Հետևաբար, , որը և հակասում է պայմանին (Պնդ․ 2․4)։ Այսպիսով , նույն կերպ, կարող ենք ասել, որ CB-ից ավելի փոքր հատվածը հավասար չէ : Այսպիսով, , որն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 3

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր հատվածի քառակուսու և մեծ հատվածի կեսի գումարը հավասար է մեծ հատվածի կեսի քառակուսու հնգապատիկին։

Նկ․ 3

Դիցուք՝ եթե AB հատվածը բաժանենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, այնպես որ AC մեր մեծ հատվածն է, և AC-ն կիսենք D-ում, ապա :

Ստացված է «https://grapaharan.org/index.php?title=Տարերք/Գիրք_13&oldid=14936» էջից