«Տարերք/Գիրք 13»–ի խմբագրումների տարբերություն

20:59, 30 Նոյեմբերի 2024-ի տարբերակ

Տարերք, Գիրք 13

հեղինակ՝ էվկլիդես
աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick

Բովանդակություն

1 Pages 506-530
2 Պնդում 1
3 Պնդում 2
4 Լեմմա
5 Պնդում 3

Pages 506-530

Պնդում 1

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն։

Նկ․ 1

Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է (Նկ․ 1)։ Շարունակենք AC հատվածը, և տեղադրենք

\text{[math]}

։ Ես պնդում եմ, որ

\text{[math]}

:

Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC (Նկ․ 1)։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակելով հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`

$\text{[math]}$ (Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)։ Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (Նկ․ 1): Եվ քանի որ $\text{[math]}$ և $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , հետևաբար $\text{[math]}$ : Այսպիսով ստանում ենք հարաբերություն՝ $\text{[math]}$ (Պնդ․ 6․1), հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը հավասար է երկու անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին: Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանը, ապա նրանց մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 1․43): Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է LH և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEG-ի մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար ABEK-ի մակերեսը հավասար է գնոմոն MNO-ին (CH, FH, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին): Քանի որ գնոմոն $\text{[math]}$ , հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով $\text{[math]}$ :

Այսպիսով, եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 2

Եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է։

Նկ․ 2

Դիցուք՝ եթե

\text{[math]}

և СВ շարունակենք, այնպես, որ

\text{[math]}

, ապա CD-ն բաժանվում է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, որտեղ մեծ հատվածը CB է (Նկ․ 2)։

Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ALFB և СKGD (Նկ․ 2): Տանենք AF անկյունագիծը։ Շարունակենք FB հատվածը և հատենք KG-ի հետ E-ում: Քանի որ

\text{[math]}

, հետևաբար AF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով գնոմոն

\text{[math]}

: Քանի որ

\text{[math]}

, հետևաբար

\text{[math]}

, կամ նույնն է ինչ ասենք, որ СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևաբար գնոմոն

\text{[math]}

անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (HB, HF, HL անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են CDGK-ի մակերեսին): Եվ քանի որ

\text{[math]}

,

\text{[math]}

,

\text{[math]}

ապա

\text{[math]}

և KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 2 անգամ BH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 6․1) և քանի որ LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ HB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 1.43), ապա KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավսար է LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց էր տրված վերևում գնոմոն MNO-ն հավասար է СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևում է, որ HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է BDGE ուղղանկյան մակերեսին։ Իսկ վերջինս հավասար է СD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսին,

\text{[math]}

, HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է

\text{[math]}

։ Հետևաբար CD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսը հավասար է

\text{[math]}

\text{[math]}

: Այսպիսով, ստանում ենք

\text{[math]}

(Պնդ․ 6․17): Եվ քանի որ DC ավելի մեծ է քան СB (տես Լեմմա, ներքևում), ապա СB-ն նույնպես ավելի մեծ է քան BD-ն։ Այսպիսով, եթե CD հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա СB-ն նրա մեծ հատվածն է։

Այսպիսով, եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Լեմմա

Ապացուցենք, որ $\text{[math]}$ ։

Ենթադրենք $\text{[math]}$ ավելի մեծ չէ քան BC, և $\text{[math]}$ ։ Այսպիսով $\text{[math]}$ ։ Հետևում է, որ $\text{[math]}$ ։ Ենթադրվում էր, որ $\text{[math]}$ ։ Հետևաբար, $\text{[math]}$ , որը և հակասում է պայմանին (Պնդ․ 2․4)։ Այսպիսով $\text{[math]}$ , նույն կերպ, կարող ենք ասել, որ CB-ից ավելի փոքր հատվածը հավասար չէ $\text{[math]}$ : Այսպիսով, $\text{[math]}$ , որն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 3

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր հատվածի և մեծ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է մեծ հատվածի կեսի քառակուսու հնգապատիկին։

Նկ․ 3

Դիցուք՝ եթե AB հատվածը բաժանենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, այնպես որ AC մեր մեծ հատվածն է, և AC-ն կիսենք D-ում, ապա $\text{[math]}$ (Նկ․ 3):

Դիտարկենք AE անկյունագծով քառակուսին, ինչպես ցույց է տրված Նկ․ 3-ում։ Քանի որ $\text{[math]}$ , ապա $\text{[math]}$ (RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին)։ Եվ AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին (Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17), որն էլ հավասար է CBES ուղղանկյան մակերեսին, հետևաբար վերջինս հավասար է RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով CBES ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Ինչպես գիտենք $\text{[math]}$ ,և $\text{[math]}$ , հետևաբար HL և GF անկյունագծերով քառակուսիների մակերեսները հավասար են։ Այսպիսով $\text{[math]}$ , այնպես ինչպես $\text{[math]}$ ։ Քանի որ MF անկյունագծով ուղղանկյայն մակերեսը հավասար է FE և CG անկյունագծերով ուղանկյունների մակերեսներին, հետևաբար վերջիններս նույնպես հավասար են: Եթե СN անկյունագծով ուղղանկյունն ավելացնենք երկուսին էլ, ապա կարող ենք ասել, որ գնոմոն OPQ հավասար է CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին։ Եվ ինչպես ցույց էր տրվել վերևում, CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար գնոմոն OPQ-ն նույնպես հավասար է FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսի քառապատիկին։ Հետևաբար գնոմոն OPQ հավասար է 5 անգամ FG-ի մակերեսին։ Բայց մենք գիտենք, որ գնոմոն OPQ-ն և FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է DN անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Իսկ վերջինիս մակերեսը հավասար է $\text{[math]}$ , իսկ GF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է $\text{[math]}$ : Այսպիսով $\text{[math]}$ , ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

20:07, 30 Նոյեմբերի 2024-ի տարբերակ (դիտել վիքիկոդը) Սիլվա Վարդանյան (Քննարկում \| ներդրում) (→‎Պնդում 3) ← Նախորդ խմբագրում		20:59, 30 Նոյեմբերի 2024-ի տարբերակ (դիտել վիքիկոդը) Սիլվա Վարդանյան (Քննարկում \| ներդրում) (→‎Պնդում 3) Հաջորդ խմբագրում →
Տող 49.		Տող 49.
	Դիցուք՝ եթե AB հատվածը բաժանենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, այնպես որ AC մեր մեծ հատվածն է, և AC-ն կիսենք D-ում, ապա <math>BD^2 = 5\cdot DC^2</math> ''(Նկ․ 3)'':		Դիցուք՝ եթե AB հատվածը բաժանենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, այնպես որ AC մեր մեծ հատվածն է, և AC-ն կիսենք D-ում, ապա <math>BD^2 = 5\cdot DC^2</math> ''(Նկ․ 3)'':

−	Դիտարկենք AE անկյունագծով քառակուսին, ինչպես ցույց է տրված ''Նկ․ 3''-ում։ Քանի որ <math>DC = \frac{AC}{2}</math>, ապա <math>AC^2 = 4\cdot DC^2</math> (RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին)։ Եվ AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին ''(Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)'', որն էլ հավասար է CBES ուղղանկյան մակերեսին, հետևաբար վերջինս հավասար է RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով CBES ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Ինչպես գիտենք <math>AD = DC</math>,և <math>HK = KF</math>, հետևաբար HL և GF անկյունագծերով քառակուսիների մակերեսները հավասար են։ Այսպիսով <math>GK = KL </math>, այնպես ինչպես <math>MN = NE</math>։ Քանի որ MF անկյունագծով ուղղանկյայն մակերեսը հավասար է FE և CG անկյունագծերով ուղանկյունների մակերեսներին, հետևաբար վերջիններս նույնպես հավասար են: Եթե СN անկյունագծով ուղղանկյունն ավելացնենք երկուսին էլ, ապա կարող ենք ասել, որ գնոմոն OPQ հավասար է CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին։ Եվ ինչպես ցույց էր տրվել վերևում, CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար գնոմոն OPQ-ն նույնպես հավասար է FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսի քառապատիկին։ Հետևաբար գնոմոն OPQ հավասար է 5 անգամ FG-ի մակերեսին։ Բայց մենք գիտենք, որ գնոմոն OPQ-ի և FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է DN անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Իսկ վերջինիս մակերեսը հավասար է <math>DB^2</math>, իսկ GF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է <math>DC^2</math>: Այսպիսով <math>DB^2 = 5\cdot DC^2</math>, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։	+	Դիտարկենք AE անկյունագծով քառակուսին, ինչպես ցույց է տրված ''Նկ․ 3''-ում։ Քանի որ <math>DC = \frac{AC}{2}</math>, ապա <math>AC^2 = 4\cdot DC^2</math> (RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին)։ Եվ AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին ''(Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)'', որն էլ հավասար է CBES ուղղանկյան մակերեսին, հետևաբար վերջինս հավասար է RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով CBES ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Ինչպես գիտենք <math>AD = DC</math>,և <math>HK = KF</math>, հետևաբար HL և GF անկյունագծերով քառակուսիների մակերեսները հավասար են։ Այսպիսով <math>GK = KL </math>, այնպես ինչպես <math>MN = NE</math>։ Քանի որ MF անկյունագծով ուղղանկյայն մակերեսը հավասար է FE և CG անկյունագծերով ուղանկյունների մակերեսներին, հետևաբար վերջիններս նույնպես հավասար են: Եթե СN անկյունագծով ուղղանկյունն ավելացնենք երկուսին էլ, ապա կարող ենք ասել, որ գնոմոն OPQ հավասար է CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին։ Եվ ինչպես ցույց էր տրվել վերևում, CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար գնոմոն OPQ-ն նույնպես հավասար է FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսի քառապատիկին։ Հետևաբար գնոմոն OPQ հավասար է 5 անգամ FG-ի մակերեսին։ Բայց մենք գիտենք, որ գնոմոն OPQ-ն և FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է DN անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Իսկ վերջինիս մակերեսը հավասար է <math>DB^2</math>, իսկ GF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է <math>DC^2</math>: Այսպիսով <math>DB^2 = 5\cdot DC^2</math>, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

«Տարերք/Գիրք 13»–ի խմբագրումների տարբերություն

20:59, 30 Նոյեմբերի 2024-ի տարբերակ

Բովանդակություն

Pages 506-530

Պնդում 1

Պնդում 2

Լեմմա

Պնդում 3

Նավիգացիոն ցանկ

Անձնական գործիքներ

Անվանատարածքներ

Տարբերակներ

Դիտումները

Ավելին

Որոնում

Շրջել կայքում

Գործիքներ