Եվ քանի որ EF ուղիղը ուղղահայաց է GH-ին և GK-ին, ապա EF-ն ուղղահայաց է նաև GH և GK ուղիղներով անցնող հարթությանը [Պնդ․ 11.4]: Եվ EF ուղիղը AB-ին զուգահեռ է: Ուստի AB-ն նույնպես ուղղահայաց է HGK հարթությանը [Պնդ․ 11.8]: Հանգունորեն CD-ն նույնպես ուղղահայաց է HGK հարթությանը:
''Արդյունքում՝ AB և CD ուղիղները ուղղահայաց են HGK հարթությանը: Իսկ եթե երկու ուղիղներ նույն հարթությանն ուղղահայաց են, ապա այդ ուղիղները զուգահեռ են [Պնդ․ 11․6]: Ուստի AB-ն զուգահեռ է CD-ին։ Ինչ պետք էր ապացուցել։''
A կետը դիտարկվող կետն է: Այսպիսով, պահանջվում է ուղղահայաց ուղիղ գծել A կետից հարթությանը: Պատահական BC ուղիղ գծենք դիտարկվող հարթությունում, և AD ուղիղը գծենք BC-ին ուղղահայաց A կետից [Պնդ. 1.12]: Հետևաբար, եթե AD ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը, ապա տեղի կունենա այն, ինչ նախատեսված էր:Իսկ, եթե ոչ, D կետից՝ դիտարկվող հարթության մեջ BC ուղղին ուղահայաց DE ուղիղը գծենք [Պնդ. 1.11], և AF ուղիղը գծենք A կետից DE ուղղին ուղղահայաց վերջիններս կհատի DE ուղղին F կետում[Պնդ. 1.12], և F կետով անցնող GH ուղիղը գծենք, որը զուգահեռ է BC ուղղին [Պնդ. 1.31]:
Եվ քանի որ BC-ն ուղիղ անկյուն է կազմում DA և DE ուղիղներից յուրաքանչյուրիհետյուրաքանչյուրի հետ,հետևաբար BC-ն, ուղղահայաց է EDA հարթությանը [Պնդ. 11.4]: Իսկ GH ուղիղը զուգահեռ է BC-ին։ Եթե երկու ուղիղները զուգահեռ են, և դրանցից մեկը ուղղահայաց է ինչ-որ հարթությանը, ապա մյուսը նույնպես կլինի նույն հարթության հարթությանն ուղղահայաց[Պնդ. 11.8]:Այսպիսով, GH ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է ED և DA ուղիղներով անցնող հարթությունը։Այսպիսով, GH ուղիղը ուղիղ անկյուն է կազմում իրեն միացած բոլոր ուղիղների հետ, որոնք նույնպես ED և AD ուղիղներով անցնող հարթության մեջ են [Սահմ. 11.3]: Եվ AF-ն, որը գտնվում է ED և AD ուղիղներով անցնող հարթության մեջ, միացված է դրանայդ ուղղին: Այսպիսով, GH և AF ուղիղներըուղղահայաց են: Հետևաբար, AF-ն ուղղահայաց է HG ուղղին: AF-ն նույնպես ուղղահայաց է DE ուղղին: Այսպիսով, AF-ն ուղղահայաց է GH և DE ուղիղներից յուրաքանչյուրին: Եվ եթե ուղիղը կազմում են ուղիղ անկյուն դեպի երկու հատվող ուղիղների հետ, ապա այն ուղղահայաց կլինի այդ ուղիղներով անցնող հարթությանը [Պնդ. 11.4]: Այսպիսով, FA-ն ուղղահայաց է ED և GH ուղիղներով անցնող հարթությանը: Իսկ ED-ի և GH-ի ուղիղներով անցնող հարթությունը հենց դիտարկվող հարթությունն էր: Այսպիսով, AF ուղիղը ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը:
''Այսպիսով, A կետով անցնող AF ուղիղը ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը: Ինչը հենց պահանջվում էր կառուցել:''
Տրված հարթությունը դիտարկվող հարթությունն է, իսկ A-ն այդ հարթությանը պատկանող կետ: Այսպիսով, պահանջվում է A կետով անցնող և դիտարկվող հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ կառուցել:Կամայական B կետից տանենք ուղղահայաց դիտարկվող հարթությանը, որը կհատի հարթությունը C կետում [Պնդ. 11.11]: BC-ին զուգահեռ և A կետով անցնող ուղիղ գծենք AD-ն [Պնդ. 1.31]:Քանի որ AD-ն և CB-ն երկու զուգահեռ ուղիղներ են, և դրանցից մեկը՝ BC-ն, ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը հետևաբար, AD ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը [Պնդ. 11.8]:
''Հետևաբար AD ուղիղը A կետով անցնող և հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ է։ Ինչը պահանջվում էր կառուցել։
''
== Պնդում 13 ==
Երկու տարբեր ուղիղներ չեն կարող անցնել մի կետով և միևնույն ժամանակ ուղղահայաց լինել նույն հարթության նույն կողմին։
[[Պատկեր:Նկար-13.png]]
Ենթադրենք հնարավոր է, ուրեմն երկու ուղիղներ AB և AC տեղադրենք միևնույն A կետում՝ դիտարկվող հարթությանը ուղղահայաց: Գծենք BA և AC ուղիղներով անցնող հարթություն: Այսպիսով, այն կհատի դիտարկվող հարթությունը A կետով անցնող DAE ուղղով[Պնդ. 11.3]: Այսպիսով, AB, AC և DAE ուղիղները ընկած են մեկ հարթության մեջ, և քանի որ CA-ն ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը, այդպիսով այն նաև ուղղահայաց է դիտարկվող հարթության մեջ գտնվող բոլոր ուղիղներին[Պնդ. 11.3]: DAE-ն, որը գտնվում է դիտարկվող հարթության մեջ, միացված է դրան։Հետևաբար, CAE անկյունը ուղիղ է: Հանգունորեն BAE անկյունը նույնպես ուղիղ է։ Այսպիսով, CAE անկյունը հավասար է BAE անկյանը: Եվ նրանք մեկ հարթության մեջ են։ Ինչը անհնար է։
''Այսպիսով, միևնույն կետով անցնող երկու (տարբեր) ուղիղներ չեն կարող, նույն հարթության, նույն կողմին ուղղահայաց լինել: Ինչը հենց պահանջվում էր ցույց տալ:''
== Պնդում 14 ==
Հարթությունները որոնք միևնույն ուղղին ուղղահայաց են ապա միմյանց զուգահեռ են։
[[Պատկեր:Նկար-14.png]]
AB-ն կամայական ուղիղ է որը ուղղահայաց է CD և EF հարթություններին։ Ցույց տանք, որ այդ հարթությունները զուգահեռ են։
Հակառակ դեպքում հարթությունները կհատվեն։ Նրանք կհատվեն մի ընդհանուր ուղղով [Պնդ. 11.3]:Ենթադրենք GH-ն հարթությունների ընդհանուր ուղիղն է։ Կամայական K կետ վերցնենք GH ուղղի վրա: Միացնենք AK և BK հատվածները։
AB-ն ուղղահայաց է EF հարթությանը և BK ուղղին։Հետևաբար, ABK անկյունը ուղիղ է: Նույն պատճառներով BAK անկյունը նույնպես ուղիղ է։ Այսպիսով, ABK եռանկյան ABK և BAK երկու անկյունը ուղիղ են: Ինչը անհնար է [Պնդ. 1.17]:Հետևաբար, CD և EF հարթությունները, չեն հատվում՝ CD և EF հարթությունները զուգահեռ են [Սահմ. 11.8]:
''Այսպիսով, Հարթությունները որոնք միևնույն ուղղին ուղղահայաց են ապա այդ հարթությունները զուգահեռ են: Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:''
== Պնդում 15 ==
Եթե երկու հատվուղ ուղիղները զուգահեռ են ուրիշ հատվող ուղիղների, որոնք նույն հարթության մեջ չեն, ապա այդ հատվող ուղիղներով անցնող հարթությունները զուգահեռ են:
[[Պատկեր:Նկար-15․png]]
AB և BC հատվող ուղիղները, զուգահեռ են երկու հատվող ուղիղների՝ DE և EF որոնք չեն գտնվում նույն հարթության մեջ։ Ցույց տանք, որ AB, BC և DE, EF ուղիղներով անցնող հարթությունները չեն հատվում:BG-ն, B կետից DE և EF ուղիղներով անցնող հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ է [Պնդ. 11.11],վերջինիս հատում է հարթությունը G կետում : GH-ն G-ի կետով անցնող և ED ուղղին զուգահեռ ուղիղ է, GK ուղիղը զուգահեռ EF-ին [Պնդ. 1.31]:Եվ քանի որ BG-ն ուղղահայաց է DE և EF ուղիղներով անցնող հարթությանը, այդպիսով այն նաև ուղղահայաց կլինի բոլոր այն ուղիղներին որոնք պատկանում են այդ հարթությանը[Սահմ. 11.3]: Եվ GH և GK ուղիղներից յուրաքանչյուրը, որոնք գտնվում են DE և EF ուղիղներով անցնող հարթության մեջ, միացված են BG ուղղին: Այսպիսով, BGH և BGK անկյունները ուղիղ են: Եվ քանի որ BA-ն զուգահեռ է GH-ին [Պնդ. 11.9], GBA և BGH անկյունները ուղիղ են[Պնդ. 1.29]: Անկյուն BGH նույնպես ուղիղ է։Անկյուն GBA-ն ուղիղ է: GB-ն ուղղահայաց է BA-ին: Այսպիսով, նույն կերպ GB-ն ուղղահայաց է BC-ին։ Հետևաբար GB ուղիղը ուղղահայաց է՝ BA և BC ուղիղներին,այսպիսով GB-ն ուղղահայաց է BA և BC ուղիղներով անցնող հարթությանը [Պնդ. 11.4]:Իսկ հարթությունները, որոնց նույն ուղիղը ուղղահայաց է, զուգահեռ են [Պնդ 11.14]: Այսպիսով, AB և BC ուղիղներով անցնող հարթությունը զուգահեռ է DE և EF ուղիղներով անցնող հարթությանը:
''Հանգունորն, եթե միմյանց միացված երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց միացված երկու ուղիղների, որոնք նույն հարթության մեջ չեն, ապա այդ ուղիղներով անցնող հարթությունները զուգահեռ են: Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:''
== Պնդում 16 ==
Եթե երկու զուգահեռ հարթություններ հատվում են ինչ-որ հարթությամբ, ապա առաջացած ուղիղները զուգահեռ են։
[[Պատկեր:Նկար-16.png]]
Երկու զուգահեռ հարթություններ AB և CD հատվում են EFGH հարթությամբ։ Իսկ EF և GH ուղիղները հատումից հառաջացած ուղիղներն են։ Ցույց տանք որ EF և GH ուղիղները զուգահեռ են։ Հակառակ դեպքում, EF-ն և GH-ը կհատվեն կա՛մ F, H, կա՛մ E, G-ի ուղղությամբ: Ենթադրենք հատվում են K կետում՝ F, H-ի ուղղությամբ: Եվ քանի որ EFK ուղիղը ընկած է AB հարթության մեջ, հետևաբար EFK ուղղի բոլոր կետերը ընկած են այդ հարթության մեջ [Պնդ. 11.1]։ Իսկ K-ն EFK ուղղին պատկանող կետերից մեկն է։ Հետևաբար, K-ն AB հարթությանը պատկանող կետ է: Նույն պատճառներով K-ն նաև CD-ին պատկանող կետ է։ Այսպիսով, AB և CD հարթությունները հատվում են։ Բայց նրանք չեն հատվում, քանի որ ի սկզբանե ենթադրվում էր զուգահեռությունը: Այսպիսով, EF և GH ուղիղները, F, H ուղղությամբ, չեն հատվում:Հանգունորեն, մենք կարող ենք ցույց տալ, որ EF և GH ուղիղները, E, G ուղղությամբ, նույնպես չեն հատվում [Սահ. 1.23]:Ստացվում է, որ EF-ը զուգահեռ է GH-ին:
''Այսպիսով, եթե երկու զուգահեռ հարթություններ հատված են ինչ-որ հարթությամբ, ապա դրանց ընդհանուր հատվածները զուգահեռ են:Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ։''
== Պնդում 17 ==
Եթե երկու ուղիղներ կտրվեն զուգահեռ հարթություններով, ապա առաջացած հատվածները կհարաբերվեն հավասարապես:
[[Պատկեր:Նկար-17.png]]
Երկու ուղիղներ AB և CD հատվում են GH, KL և MN զուգահեռ հարթություններով A, E, B և C, F, D կետերում համապատասխանաբար: Ցույց տանք, որ ուղիղ AE հարաբերում է EB-ին, այնպես ինչպես CF-ն FD-ին:
AC, BD և AD ուղիղները միացնենք, AD ուղիղը հատում է KL հարթությանը O կետում, EO-ն և OF-ն միացնենք:Եվ քանի որ երկու զուգահեռ հարթություններ KL և MN հատված են EBDO հարթությամբ, նրանց ընդհանուր ուղիղները EO և BD զուգահեռ են [Պնդ. 11.16]: Այսպիսով, նույն կերպ, երկու զուգահեռ հարթություններ GH և KL հատված են AOFC հարթությամբ, նրանց ընդհանուր AC և OF հատվածները զուգահեռ են [Պնդ. 11.16]: Եվ քանի որ EO ուղիղը գծվել է ABD եռանկյան BD կողմին զուգահեռ, հետևաբար համաչափ են, AE հատվածի հարաբերությունը EB հատվածին, AO-ի հարաբերությունը OD-ն։
Քանի որ OF ուղիղը եռանկյունի ADC-ի AC կողմին զուգահեռ է, հետևաբար AO-ն հարաբերում է OD-ին, այնպես ինչպես CF-ը FD-ին [Պնդ. 6.2]: Հանգունորեն AO հարաբերում է OD այնպես, ինչպես AE-ն, EB-ին, ինչպես CF-ն, FD-ին:
''Այսպիսով, եթե երկու ուղիղներ հատվեն զուգահեռ հարթություններով, ապա առաջացած հատվածները կհարաբերեն նույն կերպ:Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:''