''Այսպիսով, եթե երկու ուղիղներ հատվեն զուգահեռ հարթություններով, ապա առաջացած հատվածները կհարաբերեն նույն կերպ:Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:''
== Պնդում 18 ==
Եթե ուղիղն ուղղահայաց է ինչ-որ հարթությանը, ապա այդ ուղղով անցնող բոլոր հարթությունները նույնպես ուղղահայաց կլինեն դիտարկվող հարթությանը:
[[Պատկեր:Նկար-18.png]]
Ենթադրենք AB ուղիղը ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը:Ցույց տանք, որ բոլոր հարթությունները որոնք անցնում են AB-ով նույնպես ուղղահայաց են դիտարկվող հարթությանը:
DE հարթությունը անցնում է AB ուղղով: DE հարթությունը հատում է դիտարկվող հարթությանը: F կետը CE ուղղի կամայական կետ է: F-ից CE ուղղին տանենք ուղղահայաց որը վերջիններս կհատի G կետում, և կպատկանի DE հարթությանը [Պնդ. 1.11]:
Եվ քանի որ AB-ն ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը, որը նաև ուղղահայաց է նրան միացված բոլոր ուղիղներին, որոնք նույնպես գտնվում են դիտարկվող հարթության մեջ [Սահմ. 11.3]: Հետևաբար, այն նաև ուղղահայաց է CE ուղղին: ABF անկյունը ուղիղ է: Ինչպես նաև անկյուն GFB-ն նույնպես ուղիղ է: Այսպիսով, AB-ն զուգահեռ է FG-ին [Պնդ. 1.28]: Իսկ AB-ն ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը: FG նույնպես ուղիղ անկյուն է կազմում դիտարկվող հարթության հետ [Պնդ. 11.8]:Վերջինիս հարթությունը ուղղահայաց է մյուս հարթությանը: Իսկ FG ուղիղը, ուղղահայաց է CE ընդհանուր ուղղին: DE հարթությունը ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը: Հանգունորեն, կարելի է ցույց տալ, որ բոլոր հարթությունները որոնք անցնում են AB ուղղով ուղղահայաց են դիտարկվող հարթությանը:
''Այսպիսով, եթե ուղիղը ուղղահայաց է ինչ-որ հարթությանը, ապա նրանով անցնող բոլոր հարթությունները նույնպես ուղղահայաց են դիտարկվող հարթության։Ինչը հենց անհրաժեշտ էր ցույց տալ։
''
== Պնդում 19 ==
Եթե երկու հարթությունները հատում են երրորդ հարթությունը և ուղղահայաց են նրան ապա այդ հարթությունների հատումից առաջացած ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է երրորդ հարթությանը։
[[Պատկեր:Նկար-19.png]]
Ենթադրենք AB և BC հարթությունները ուղղահայաց են դիտարկվող հարթությանը, և հատվում են BD ուղղով։ Ցույց տանք որ BD ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը։
DE ուղիղը D կետով անցնող ուղիղ է որը ընկած է AB հարթության մեջ, և ուղղահայաց է AD ուղղին, նույն կերպ DF ուղիղը ընկած է BC հարթության մեջ և ուղղահայաց է CD ուղղին։
Գիտենք որ AB հարթությունը ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը, և ստացանք որ DE ուղղահայաց է AD հատման ուղղին, հետևաբար DE ուղիղը ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը։ Նման կերպ կարող ենք ցույց տալ որ DF ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը։ Հետևաբար միևնույն D կետով անցնող երկու տարբեր ուղիղներ ուղղահայաց են նույն դիտարկվող հարթությանը, նույն կողմից։ Ինչը անհնար է [Սահմ. 11.13]։ Այսպիսով բացի AB և BC հարթությունների հատման ուղղից՝ DB-ից անհնար է D կետով անցնող և դիտարկվող հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գծել։
''Հետևաբար, եթե երկու հարթություններ հատում են երրորդը ուղիղ անկյան տակ ապա նրանց հատման ուղիղը նույնպես ուղղահայաց կլինի դիտարկվող հարթությանը։Ինչը պահանջվում էր ցույց տալ։
''
== Պնդում 20 ==
Եթե անկյունը կազմված է երեք հարթ անկյուններով ապա նրանցից ցանկացած երկուսի գումարը մեծ է երրորդից։
[[Պատկեր:Նկար-20.png]]
Ենթադրենք, A մարմնային անկյունը որոշվում է երեք հարթ անկյուններով՝ BAC, CAD և DAB: Ցույց տանք, որ BAC, CAD և DAB անկյուններից ցանկացած երկուսի գումարը ավելի մեծ է, քան երրորդ անկյունը:
Քանի որ եթե BAC, CAD և DAB անկյունները հավասար են միմյանց, ապա պարզ է, որ ցանկացած երկուսի գումարը մեծ է երրորդից:Հակառակ ենթադրությամբ, BAC-ն ավելի մեծ անկյուն է քան CAD կամ DAB: Եվ անկյուն BAE, որը հավասար է DAB անկյանը, կառուցված է BAC-ով անցնող հարթությամբ, AB ուղղի վրա՝ A կետում: AE-ն հավասար է AD հատվածին: E կետով անցնող BEC ուղիղը, հատում է AB և AC ուղիղները B և C կետերում համապատասխանաբար: Միացնենք DB ու DC ուղիղները։
Եվ քանի որ DA-ն հավասար է AE-ին, իսկ AB կողմը ընդհանուր է, հետևաբար AD և AB հատվածները հավասար են EA և AB հատվածներին համապատասխանաբար: DAB անկյունը հավասար է BAE անկյան: Այսպիսով, DB հիմքը հավասար է BE հիմքին [Պնդ. 1.4]. Քանի որ BD-ի և DC-ի հատվածների գումարը մեծ է BC-ից, որոնցից DB-ն հավասար է BE հատվածին, և DC-ն ավելի մեծ է քան EC հատվածը: Եվ քանի որ DA-ն հավասար է AE-ին, իսկ AC ընդհանուր է, և DC հիմքը մեծ է EC հիմքից, հետևաբար DAC անկյունն ավելի մեծ է, քան EAC անկյունը [Պնդ. 1.25]: Իսկ DAB-ը հավասար է BAE-ին: Այսպիսով, DAB-ի և DAC-ի գումարը մեծ է BAC-ից: Հանգունորեն կարող ենք ցույց տալ որ մնացած անկյունները, զույգերով վերցված, ավելի մեծ են երրորդը:
''Այսպիսով, եթե մարմնային անկյունը կազմված է երեք հարթ անկյուններով, ապա ցանկացած երկու անկյունների գումարը ավելի մեծ է, քան մյուսը, անկախ նրանց վերցնելու հաջորդականություից: Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:''
== Պնդում 21 ==
Եթե երեք հարթ անկյուններից ցանկացած երկուսի գումարը մեծ է երրորդից և հատվածները հավասար են միմյանց ապա ամենայն հավանականությամբ այդ հատվածներով կարելի է կառուցել եռանկյուն։
[[Պատկեր:Նկար-21.png]]
Ենթադրենք ABC, DEF, և GHK հարթ անկյուններ են որոնց ցանկացած երկուսի գումարը ավելի մեծ է քան երրորդը։ AB, BC, DE, EF, GH, և HK հավասար հատվածներ են։Միացնենք AC,DF և GK հատվածները։ Այժմ ցույց տանք որ հնարավոր է կառուցել եռանկյուն որի կողմերը հավասար են AC, DF և GK հատվածներին, ասել է թե ցանկացած երկուսի գումարը մեծ է երրորդից։ ABC, DEF և GHK անկյունները հավասար են՝ ստացվում է, որ AC, DF, GK հատվածները հավասարվում են և հնարավոր է լինում կառուցել եռանկյուն այդ հատվածներով։ Հակառակ դեպքում եթե նրանք հավասար չեն և KHL անկյունը հավասար է ABC անկյանը։ Ենթադրենք որ HL հատվածը հավասար է AB, BC, DE, EF, GH, HK հատվածներից մեկին։ Միացնենք KL-ն GL-ին։ Քանի որ AB և BC հատվածները հավասար են համապատասխանաբար KH և HL հատվածներին և անկյուն B հավասար է KHL-ին և AC-ն հավասար է KL հիմքին։ ABC և GHK անկյունների գումարը մեծ է DEF-ից, և ABC հավասար է KHL, GHL անկյուններին որոնք իրենց հերթին մեծ են DEF անկյունից։ Եվ քանի որ GH և HL կողմերը հավասար են համապատասխանաբար DE և EF հատվածներին,GHL անկյունը մեծ է DEF-ից ստացվում է որ GL հիմքը մեծ է DF հիմքից[Պնդ. 1.24]։ GK և KL հատվածների գումարը մեծ է GL-ից [Պնդ. 1.20]։Հետևաբար GK և KL հատվածների գումարը մեծ է DF-ից, KL հավասար է AC-ին։ Այդ իսկ պատճառով AC և GK հատվածների գումարը մեծ է DF-ից։
''Հանգունորեն՝ կարող ենք ասել որ AC և DF գումարը մեծ է GK-ից, ավելին DF-ի և GK-ի գումարը մեծ է AC-ից։ Այսպիսով կարելի է կառուցել եռանկյուն AC, DF, GK հատվածներով։Ինչը պահանջվում էր ցույց տալ։
''