Changes
Ուստի, քանի որ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելին է, քան GD-ի վրա կառուցված քառակուսին ինչ-որ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափ, որը երկարությամբ անհամաչափ է AG-ի հետ, ապա եթե մակերեսը, որը հավասար է GD-ի վրա կառուցված քառակուսու չորրորդ մասին, կիրառվի AG-ի վրա, ապա այն բաժանում է (AG-ը) երկարությամբ անհամաչափ մասերի [Տե՛ս «Տարրեր», 10.18]։
Ուստի, թող կետ E-ն բաժանի DG-ն ։ Թող մակերեսը, որը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, կիրառված լինի AG-ի վրա, ու այն լինի AF և FG ուղղագծերի միջև պարունակված ուղղանկյուն։ Ուստի, AF-ը երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ։ Եվ ինչպես AF-ն է հարաբերվում FG-ի հետ, այնպես էլ AI-ն FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]։ Ուստի, AI-ն անհամաչափ է FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]։
Այսպիսով, մակերես AB-ի քառակուսի արմատը այն ուղիղ գիծն է, որը միջինական մակերեսի հետ միջինական ամբողջականություն է կազմում։ Սա հենց այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։
==Պնդում 97==
Ապոտոմեի վրա կառուցված քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի վրա, տալիս է առաջին ապոտոմե՝ որպես լայնություն։
Թող AB-ն լինի ապոտոմ, իսկ CD-ն՝ ռացիոնալ ուղիղ գիծ: Եվ թող CE-ն, որը հավասար է AB-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառվի CD-ին՝ CF-ը ձևավորելով որպես լայնություն: Այսպիսով, CF-ը առաջին ապոտոմ է։
Թող BG-ն լինի AB-ի կցորդը։ Այդպես, AG և GB ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]: Եվ թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա դրված քառակուսուն, և KL-ը, որը հավասար է BG-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառվեն CD-ի վրա։ Այդպես, ամբողջ CL-ն հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, որոնցից CE-ն հավասար է AB-ի վրա դրված քառակուսուն: Մնացորդ FL-ն, հետևաբար, հավասար է երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին [Տե՛ս «Տարրեր», 2.71]:
Թող FM-ն լինի բաժանված կետ N-ում։ Եվ թող NO-ն գծվի N-ից, ու լինի զուգահեռ CD-ին։ Այդպես, FO և LN-ը հավասար են AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյուններին։ Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, և DM-ն հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, ապա DM-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ այն կիրառվել է ռացիոնալ ուղիղ-գիծ CD-ին, ստեղծելով CM որպես լայնություն։ Հետևաբար, CM-ն ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.20]: Կրկին, քանի որ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը մեդիալ է, և FL-ը հավասար է երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին, ապա FL-ը մեդիալ մակերես է։
:
Եվ այն կիրառվում է CD ռացիոնալ ուղիղ-գծին, ձևավորելով FM որպես լայնություն։ FM-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է և երկարությամբ անհամաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.22]: Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, իսկ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը մեդիալ է, ապա AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը անհամարժեք է երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին։ Եվ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, իսկ FL-ը՝ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին։ DM-ն, հետևաբար, անհամարժեք է FL-ին։ Եվ քանի որ DM-ը համապատասխանում է FL-ին, CM-ն էլ համապատասխանում է FM-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: CM-ն, հետևաբար, անհամաչափելի է երկարությամբ FM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են: Այդպես, CM-ը և MF-ը ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով։ CF-ը, հետևաբար, ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]: Եվ հետևաբար, այն նաև առաջին ապոտոմ է։
Քանի որ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը միջին հարաբերական է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիներին [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21 լեմմա], իսկ CH-ն հավասար է AG-ի վրա դրված քառակուսուն, և KL-ը հավասար է BG-ի վրա դրված քառակուսուն, և NL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին, NL-ը, հետևաբար, նաև միջին հարաբերական է CH-ի և KL-ի հետ։ Այդպես, ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ NL-ը՝ KL-ի հետ։ Բայց, ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ CK-ն է NM-ի հետ, և ինչպես NL-ը՝ KL-ի հետ, այնպես էլ NM-ը՝ KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Հետևաբար, CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է NM-ի վրա դրված քառակուսու քառորդին՝ որը նշանակում է FM-ի վրա դրված քառակուսու քառորդին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]: Եվ քանի որ AG-ի վրա դրված քառակուսին համաչափելի է GB-ի վրա դրված քառակուսու հետ, CH-ն նույնպես համահարթվում է KL-ի հետ։ Եվ ինչպես CH-ն է KL-ի հետ, այնպես էլ CK-ն է KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: CK-ն, հետևաբար, համաչափելի է երկարությամբ KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Հետևաբար, քանի որ CM-ը և MF-ը երկու անհավասար ուղղագծեր են, իսկ CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը, որը հավասար է FM-ի վրա դրված քառակուսու քառորդին, կիրառվել է CM-ի վրա, և քանի որ CK-ն համաչափելի է երկարությամբ KM-ի հետ, CM-ի վրա դրված քառակուսին մեծ է MF-ի վրա դրված քառակուսուց որոշ ուղիղ գծիի քառակուսով, որը համաչափելի է երկարությամբ CM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Եվ CM-ը համահարթվում է երկարությամբ նախապես դրված ռացիոնալ ուղիղ-գծի CD-ի հետ։ Հետևաբար, CF-ը առաջին ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]։
Այդպես, ապոտոմի վրա դրված քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ-գծին, առաջացնում է առաջին ապոտոմ որպես լայնություն։ Դա այն է, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։
