Changes

Թող BG-ն լինի AB-ի կցորդը։ Այդպես, AG և GB ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]: Եվ թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա դրված քառակուսուն, և KL-ը, որը հավասար է BG-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառվեն CD-ի վրա։ Այդպես, ամբողջ CL-ն հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, որոնցից CE-ն հավասար է AB-ի վրա դրված քառակուսուն: Մնացորդ FL-ն, հետևաբար, հավասար է երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին [Տե՛ս «Տարրեր», 2.71]:

Եվ այն կիրառվում է CD ռացիոնալ ուղիղ-գծին, ձևավորելով FM որպես լայնություն։ FM-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է և երկարությամբ անհամաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.22]: Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, իսկ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը մեդիալ է, ապա AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը անհամարժեք է երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին։ Եվ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, իսկ FL-ը՝ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին։ DM-ն, հետևաբար, անհամարժեք է FL-ին։ Եվ քանի որ DM-ը համապատասխանում է FL-ին, CM-ն էլ համապատասխանում է FM-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: CM-ն, հետևաբար, անհամաչափելի է երկարությամբ FM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են: Այդպես, CM-ը և MF-ը ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով։ CF-ը, հետևաբար, ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]: Եվ հետևաբար, այն նաև առաջին ապոտոմ է։