== Սահմանումներ==
1․ # Մեծությունը ուրիշ մեծության մաս է (փոքրը մեծի), երբ նա չափում է մեծը։ 2. # Եվ մեծ մեծությունը բազմապատիկ է փոքրին, երբ նա չափվում է փոքրով։ 3. # Հարաբերությունը պայմանի որոշակի տեսակ է երկու նույն մեծությունների չափերի նկատմամբ: 4. # Այդ մեծություններն ունեն հարաբերություն միմյանց նկատմամբ, որոնք, բազմապատկելով կարող են գերազանցել մեկը մյուսին: 5.# Մեծությունների հարաբերությունները հավասար են, համապատասխանաբար առաջինը երկրորդին, երրորդը՝ չորրորդին, երբ հավասար առաջինի և երրորդի բազմապատիկներից երկուսն էլ գերազանցում են, երկուսն էլ հավասար են, կամ երկուսն էլ փոքր են, համապատասխանաբար երկրորդի և չորրորդի հավասար բազմապատիկներից՝ վերցված համապատասխան հերթականությամբ՝ ցանկացած տեսակի բազմապատկման համաձայն։6. # Նույն հարաբերություն ունեցող մեծությունները կոչվում են պրոպորցիոնալ:7. # Երբ հավասար բազմապատիկների համար (ինչպես սահմանում 5-ում), առաջին բազմապատիկի մեծությունը գերազանցում է երկրորդի բազմապատիկինը, իսկ երրորդ բազմապատիկի մեծությունը չի գերազանցում չորրորդ բազմապատիկինը, ապա առաջին մեծությունը երկրորդի նկատմամբ ավելի մեծ հարաբերություն ունի, քան երրորդը մեծությունը չորրորդի նկատմամբ:8․ # Եվ երեք անդամով հարաբերությունը ամենափոքրն է (հնարավոր):9. # Եվ երբ երեք մեծություն պրոպորցիոնալ են, առաջինը երրորդին ունի նույն հարաբերությունը ինչ առաջինը երկրորդին բարձրացրած քառակուսի10․ # Եվ երբ չորս մեծություն (շարունակաբար) պրոպորցիոնալ են, առաջինը չորրորդին ունի նույն հարաբերությունը ինչ առաջինը երկրորդին բարձրացրած խորանարդ։Եվ այսպես շարունակ, նմանապես, հաջորդական հերթականությամբ, ինչպիսին էլ որ կարող է լինել (շարունակական) հարաբերությունը:11. # երկու հարաբերությունների առաջին անդամները, և հաջորդող անդամները կոչվում են համապատասխան մեծություններ։12.# Այլընտրանքային հարաբերությունը ստացվում է երկու հարաբերությունների առաջինների հարաբերությունը հավասարեցնելով երկու հարաբերությունների հաջորդողների հարաբերությանը։13. # Հակադարձ հարաբերություն է ստացվում վերցնելով հարաբերության առաջին, որպես հաջորդող և հաջորդողը առաջին:14. # Բաղադրյալ հարաբերություն է ստացվում վերցնելով հարաբերության առաջին, որպես հաջորդողի և առաջինի գումար, իսկ հաջորդողը մնում է նույնը։15. # Բաժանման հարաբերություն է ստացվում վերցնելով հարաբերության առաջին, որպես առաջինի և հաջորդողի տարբերություն, իսկ հաջորդողը մնում է նույնը։16. # Փոխարկման հարաբերություն է ստացվում վերցնելով հարաբերության առաջին, որպես առաջին իսկ հաջորդող, որպես առաջինի և հաջորդողի տարբերություն։17. # Կան մի քանի մեծություններ և դրանց հավասար թվով այլ մեծություններ, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը զույգ առ զույգ վերցված, հարաբերությունը հավասարության միջոցով տեղի է ունենում, երբ առաջինը մինչև վերջինն է առաջինում մեծությունների բազմությունում, ուստի առաջինը (է) մինչև վերջինը երկրորդ արտաքին (մեծությունների) (հարաբերակցությունը) հեռացնելով ներքինը (մեծությունները).
երբ առաջինը մինչև վերջինն է առաջինում մեծությունների բազմությունում, ուստի առաջինը (է) մինչև վերջինը երկրորդ արտաքին (մեծությունների) (հարաբերակցությունը) հեռացնելով ներքինը (մեծությունները).‡‡‡ es chgitem vonc grem fhrhbgferhfvrehufgveruhgfrehfuergberyhfbrevhygrb18. esel chgitem kdzem der== Պնդում 1 ==
Պնդում 1 Եթե որևէ քանակի մեծություններ համապատասխանաբար բազմապատիկ են հավասար թվով ուրիշմեծությունների, ապա քանի անգամ մեծություններից մեկը մեծ է իրեն համապատասխան մեծությունից,այնքան անգամ մնացած բոլոր մեծությունները մեծ են իրենց համապատասխան մեծություններից։
Stex screenshot piti dnem
Թող լինի ցանկացած քանակի քանակության,AB, CD մեծություններ որոնք հավասար բազմապատիկ են, համապատասխանաբար, որոշ այլ հավասար թվով մեծությունների՛ E, F։ քանի անգամ AB-ն բաժանվում է E-ի, այնքան անգամ AB-ն, CD-ն նույնպես կբաժանվի E, F-ի: Քանի որ AB-ն, CD-ն հավասար է E, F-ի բազմապատիկին, ապա AB-ում այնքան մեծություններ հավասար են E-ին, ինչքան CD-ում հավասար են F-ի: Թող AB-ն բաժանվի AG, GB, հավասար E-ի և CD-ն CH, HD, հավասար F: Այսպիսով, AG, GB-ի թիվը հավասար կլինի CH, HD-ի թվին:Եվ քանի որ AG-ը հավասար է E-ի, իսկ CH-ն F-ն է, ապա AG (հավասար), հետևաբար, հավասար է E-ի, իսկ AG, CH - E, F: Այսպիսով, նույն (պատճառներով) GB-ն հավասար է E-ի, և GB, HD - E, F.
Այսպիսով, որքան շատ արժեքներ AB-ում հավասար են E-ին, այնքան շատ կան AB, CD-ն հավասար է E-ի, F-ին: Այսպիսով, քանի անգամ AB-ն (բաժանում է) E-ի վրա, այդքան անգամ AB-ն, CD-ն նույնպես ( բաժանել) E-ով, F:
Այսպիսով, եթե կա որևէ քանակի մեծություն (որոնք) հավասար են, համապատասխանաբար, որոշ (այլ) թվով (նրանց) հավասար քանակություններ, ապա այդքան շատ քանի անգամ (առաջին) մեծություններից մեկը կբաժանվի մեկին (երկրորդին), այդքան անգամ բոլորը (առաջին մեծությունները) նույնպես կբաժանվեն մեկով (երկրորդից): առաջին մեծությունները) նաև (բաժանել) բոլորի (երկրորդ): (ինչը պետք էր ցույց տալ):
առաջին մեծությունները) նաև (բաժանել) բոլորի (երկրորդ): (ինչը պետք էր ցույց տալ): == Պնդում 2==
Եթե առաջին մեծությունը և երրորդը հավասար են երկրորդ և չորրորդ մեծությունների համապատասխան բազմապատիկներին, իսկ հինգերորդը մեծությունը և վեցերորդը նույնպես հավասար են երկրորդի և չորրորդի համապատասխան բազմապատիկներին, ապա առաջին մեծությունը և հինգերորդը՝ գումարվելով միասին, իսկ երրորդն ու վեցերորդը ՝ գումարվելով միասին, նույնպես կլինեն երկրորդ և չորրորդ մեծությունների համապատասխան բազմապատիկները:
(ինչը որ պետք էր ցույց տալ):
== Պնդում 3==
Եթե առաջինը (մեծությունը) և երրորդը հավասար են երկրորդի և չորրորդի համապատասխան բազմապատիկներին, և հավասար բազմապատիկ վերցված են առաջինից և երրորդից, ապա հավասարության միջոցով վերցված (մեծությունները) նույնպես կլինեն երկրորդի (մեծությունը) և չորրորդի համապատասխան հավասար բազմապատիկ։
Քանի որ EF-ը և GH-ը հավասար են A-ի և C-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար), ապա այնքան (արժեքներ) EF-ում հավասար են A-ին, նույնքան GH-ում հավասար են C-ի:
Թող EF-ը բաժանվի EK, KF արժեքների հավասար A-ին, իսկ GH-ն՝ GL-ի, LH-ն հավասար C-իn: Այսպիսով EK, KF արժեքների թիվը հավասար կլինի GL, LH մեծությունների թվին:
Եվ քանի որ A-ն և C-ն հավասար են B-ի և D-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար), իսկ EK-ն հավասար է A-ի, իսկ GL-ը հավասար է C-ին, ուրեմն EK-ն և GL-ն, հավասար են B-ի և D-ի (համապատասխանաբար) բազմապատիկներին:
Այսպիսով, նույն պատճառներով KF-ն և LH-ն հավասար են B-ի և D-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար): Հետևաբար, առաջին մեծություն EK-ն և երրորդ GL-ը հավասար են երկրորդ B-ի և չորրորդ D-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար), իսկ հինգերորդ մեծությունը KF-ը և վեցերորդ LH-ը նույնպես հավասար են երկրորդ B-ի և չորրորդ D-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար), ապա առաջին մեծությունն ու հինգերորդը, գումարվելով միասին (այնպես, որ տալիս են EF), և երրորդն ու վեցերորդը գումարվելով միասին (GH ստանալու համար), հավասար են երկրորդ B-ի և չորրորդ D-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար):
Այսպիսով, եթե առաջինը (մեծությունը) և երրորդը հավասար են երկրորդի և չորրորդի համապատասխան բազմապատիկներին, և վերցված են առաջինի և երրորդի հավասար բազմապատիկները, ապա (հավասարության միջոցով) վերցված արժեքները նույնպես հավասար կլինեն երկրորդի և չորրորդը, համապատասխան բազմապատիկներին: Ինչը պետք էր ցույց տալ:
== Պնդում 4==
Եթե առաջինը (մեծությունը) ունի նույն հարաբերությունը երկրորդի հետ, ինչ երրորդը (ունի) չորրորդի, ապա առաջին (մեծության) և երրորդի հավասար բազմապատիկները նույնպես կունենան նույն հարաբերությունը երկրորդի և չորրորդի հավասար բազմապատիկներին՝ վերցված համապատասխան հերթականությամբ՝ ըստ ցանկացած բազմապատկման ձևի։
