Changes

<math>\alpha</math> և <math>\gamma</math> կետերից տանենք <math>\alpha \zeta || \delta \beta \epsilon</math> և կառուցենք <math>\gamma \zeta</math> ուղիղը և կառուցել <math>\kappa</math>այնպես, որ <math>\kappa \theta = \gamma \kappa</math>: Պատկերացրեք, որ <math>\gamma \theta</math>-ն ճոճանակ է <math>\kappa</math> տատանման կենտրոնով և դիցուք <math>\mu \xi</math>ն <math>\epsilon \delta</math>-ին զուգահեռ ցանկացած գիծ է: Այժմ քանի որ <math>\alpha \beta \gamma</math>ն պարաբոլ է, <math>\gamma \zeta</math>ն շոշափող(տանգենտ) ուղիղ է, իսկ <math>\gamma \delta</math>ն օրդինատ, հետևաբար <math>\epsilon \beta = \beta \delta</math>; սա ապացուցվել է Էլեմենտների գրքում: Այս պատճառով և քանի որ <math>\zeta \alpha</math> և <math>\mu \xi</math> ուղիղները զուգահեռ են <math>\epsilon \delta</math>, <math>\mu \nu = \nu \xi</math> և <math>\zeta \kappa = \kappa \alpha</math>: Եվ քանի որ <math>\gamma \alpha : \alpha \zeta = \mu \zeta : \zeta o</math> (սա ցուցադրված է հետևանքում) , <math>\gamma \alpha : \alpha \zeta = \gamma \kappa : \kappa \nu</math> և <math>\gamma \kappa = \kappa \theta</math>, հետևաբար <math>\theta \kappa : \kappa \nu = \mu \zeta : \zeta o</math>: Եվ քանի որ <math>\nu</math>ն <math>\mu \zeta</math> ուղիղ գծի ծանրության կենտրոնն է, քանի որ <math>\mu \nu = \nu \zeta</math>, հետևաբար, եթե կառուցենք <math>\tau \eta = \zeta o</math> առ այն որ <math>\theta</math>ն ծանրության կենտրոնն է այսինքն <math>\tau \theta = \theta \eta</math>, հետևաբար <math>\tau \theta \eta</math> ուղիղ գիծը հավասարակշռության մեջ կլինի <math>\mu \zeta</math> հետ, քանի որ <math>\theta \mu</math>ն բաժանված է իր <math>\tau \eta</math> և <math>\mu \zeta</math> ծանրությունների հակադիր հարաբերակցությամբ, և <math>\theta \kappa : \kappa \nu = \mu \zeta : \eta \tau</math>, հետևաբար <math>\kappa</math>ն երկուսի միասնակ զանգվածի ծանրության կենտրոնն է: Նույն կերպ <math>\zeta \alpha \gamma || \epsilon \delta</math> եռանկյան բոլոր ուղիղները, հավասարակշռված են իրենց պարաբոլով կտրված հատվածների հետ, երբ վերջինս տեղափոխվի <math>\theta</math> կետ, այնպես, որ <math>\kappa</math>ն լինի երկուսի միասնական ծանրության կենտրոնը: եվ քանի որ <math>\gamma \zeta \alpha</math> եռանկյունը կազմվածը <math>\gamma \zeta \alpha</math> եռանկյանը պատկանող ուղիղ գծերից, և <math>\alpha \beta \gamma</math> հատվածը կազմված է պարաբոլին մեջ գտնվող այն ուղիղ գծերից, որոնք համապատասխանում են <math> \zeta o</math> ուղղին, հետևաբար <math>\zeta \alpha \gamma</math> եռանկյունը հավասարակշռության մեջ կլինի պարաբոլ-սեգմենտի հետ <math>\kappa</math> կետում, երբ այն կտեղափոխվի <math>\theta</math> որպես ծանրության կենտրոն, այնպես որ <math>\kappa</math>ն երկուսի միասնական ծանրության կենտրոնն է։ Այժմ դիցուք <math>X</math>ը <math>\gamma \kappa</math>ն կիսում է այնպես, որ <math>\gamma \kappa = 3 \kappa X</math>, հետևաբար <math>X</math>ը կլինի <math>\alpha \zeta \gamma</math> եռանկյան ծանրության կենտրոնը, սա ցույց է տրվել Ստատիկայում։ Այժմ եթե <math>\zeta \alpha \gamma</math> եռանկյունը <math>\kappa</math> կետում հավասարակշռության մեջ է <math>\beta \alpha \gamma</math> սեգմենտի հետ, երբ այն <math>\theta</math> է տեղափոխվում, որպես ծանրության կենտրոն, և <math>\zeta \alpha \gamma</math> եռանկյան ծանրության կենտրոնը <math>X</math>ն է, հետևաբար եռանկյուն <math>\alpha \zeta \gamma : \alpha \beta \gamma</math> սեգմենտ, երբ ծանրության կենտորնը փոխվում է <math>\theta</math>, <math>= \theta \kappa : \kappa X</math>։ Սակայն <math> \theta \kappa = 3 \kappa X</math>, հետևաբար նաև եռանկյուն <math>\zeta \alpha \gamma = 4 \Delta \alpha \beta \gamma</math>, քանի որ <math>\zeta \kappa = \kappa \alpha</math> և <math>\alpha \delta = \delta \gamma</math>, հետևաբար <math>\alpha \beta \gamma</math> սեգմենտը <math>=4/3 \alpha \beta \gamma</math> եռանկյանը։ Սա իհարկե պարզ է։