«Մեխանիկական թեորեմների մեթոդը»–ի խմբագրումների տարբերություն
չ (հունարեն տառեր) |
(→Պնդում XIII) |
||
| Տող 8. | Տող 8. | ||
| − | == Պնդում XIII == | + | == Մեխանիկայից բխած երկրաչափական լուծումներ։ Արքիմեդի ճառը == |
| + | |||
| + | === Արքիմեդի ողջույնը Էրատոսթենես Կիրենացուն։ === | ||
| + | |||
| + | Որոշ ժամանակ առաջ ես ձեզ ուղարկեցի իմ հայտնաբերած որոշ թեորեմներ՝ գրելով միայն պնդումները, որովհետև ես ցանկացա, որ դուք գտնեք դրանց ապացույցները, որոնք չէին տրվել։ Թեորեմների պնդումերը, որոնք ես ուղարկել եմ ձեզ, եղել են հետևյալը. | ||
| + | |||
| + | # Եթե քառակուսի հիմքով ուղիղ պրիզմայում գլան ներգծվի, այնպես որ գլանի հիմքերը լինեն երկու հանդիպակած քառակուսիներում, և գլանի մակերույթը շոշափում է պրիզմայի մյուս նիստերը, և եթե մի հարթություն անցկացվի այն գլանի հիմքերից մեկի շրջանագծի կենտրոնով և հանդիպակած քառակուսու կողերից մեկով, ապա այդ մի հատված կկիսի գլանից, որը սահմանափակված կլինի երկու հարթություններով՝ հատող հարթությամբ և գլանի հիմքի հարթությամբ, ինչպես նաև գլանի այն մակերևույթի մասով, որը ընկած է այդ երկու հարթությունների միջև; այս կտված գլանի հատվածը ամբողջ պրիզմայի 1/6 մասն է կազմում։ | ||
| + | # Եթե խորհանարդի մեջ գլան ներգծվի, այնպես որ գլանի հիմքերը լինեն երկու հանդիպակած քառակուսի նիստերում և որի մակերևույթը շոշափում է մնացյալ չորս հարթությունները, և եթե նույն խորհանարդում երկրորդ գլանը ներգծվի այնպես որ հիմքերը գտնվեն այլ երկու հանդիպակած քառակուսի նիստերում և որի մակերևույթը շոշափում է մնացյալ չորս հարթությունները, այն մարմինը որը փակված կլինի գլանի մակերևույթով, ինչպես նաև ընկած կլինի երկու գլանների մեջ կկազմի ամբողջ խորհանարդի 2/3 մասը։ | ||
| + | |||
| + | Այս պնդումները էապես տարբերվում են նախկինում հայտնաբերվածներից. նախկինում մենք համեմատում էինք այդ մարմինները(կոնաձևեր, գնդաձևեր և դրանց հատվածները) կոների և գլանների ծավալների հետ, սակայն դրանցից ոչ մեկը չէր հայտնաբերվել հավասար հարթություններով սահմանափակված մարմնի։ Մյուս կողմից, այս մարմիններից յուրաքանչյուր, որոնք պարփակված են երկու հարթություններով, իսկ գլանաձև մակերևույթները գտնված է, որ հավասար են հարթություններով պարփակված մարմնի։ համապատասխանաբար այս գրքում ուղարկում եմ այս պնդումների ապացույցները: | ||
| + | |||
| + | Սակայն ինչպես նախկինում ասացի, քանի որ տեսնում եմ, որ դուք որպես ընդունակ գիտնական և փիլիսոփայության նշանավոր ուսուցիչ, ինչպես նաև հասկանում եք, թե ինչպես արժևորել հետազոտության մաթեմատիկական մեթոդը, երբ հնարավորությունը կա, կարծում եմ լավ կլինի ձեր համար նշել նաև այս նույն գրքում մի յուրահատուկ մեթոդ, որի միջոցով ձեզ համար հնարավոր կլինի հրահանգներ ստանալ, թե ինչպես կարելի է մաթեմատիկական որոշ հարցեր ուսումնասիրել մեխանիկայի միջոցով: Եվ ես համոզված եմ, որ սա հավասարապես շահավետ է հենց պնդման ապացույցին, առ այն որ, շատ բաներ որ ինձ համար ակնհայտ էին մեխանիկայի միջոցով հետագայում ապացուցվել են երկրաչափությամբ, քանի որ առաջին մեթոդը ապացույցի համար ընդունված մեթոդ չէր։ | ||
| + | |||
| + | Որովհետև, իհարկե, ավելի հեշտ է ապացույց հաստատել եթե որևէ մեկը այս կերպ նախկինում ստացել է հարցերի գաղափարը, քան եթե նա փնտրի այն առանց նման նախնական պատկերացման: | ||
| + | |||
| + | Հետևաբար այս հայտնի պնդումները, որոնց ապացույցները առաջին անգամ Եվդոքսի կողմից են հայտնաբերվել, առ այն որ կոնը և բուրգը նույն բարձրություն և հիմք ունեցող գլանի և պրիզմայի 1/3 մասն են, քիչ պատիվ է տրվում Դեմոկրիտոսին, որը առաջինն էր, որ առանց որևէ ցուցադրության այդ հայտարարությունն արեց այս մարմինների մասին։ Բայց մենք այն իրավիճակում ենք, որ գտնել ենք ներկա պնդումը նույն կերպ, ինչ նախորդը, և ես որոշել եմ այն գրի առնել և մեթոդը հայտնի դարձնել, մասամբ քանի որ մենք մինչ այժմ այս մասին խոսել ենք, հետևաբար ոչ ոք չի կարծի, որ մենք պարապ խոսակցություն ենք տարածում, և մասամբ այն համոզմունքով, որ այդ միջոցով մենք մաթեմատիկայի համար ոչ աննշան առավելություն ենք ստանում, քանի որ, իրոք, ես ենթադրում եմ, որ այսօրվա կամ ապագա հետազոտողները այստեղ սահմանված մեթոդով կառաջարկեն այլ պնդումներ, որոնք մեր մտքով դեռ չի անցել: | ||
| + | Առաջին հերթին, մենք կբացատրենք մեխանիկայի միջոցով մեզ համար պարզաբանվածը, այն է որ պարաբոլը միևնույն հիմքը և բարձրությունը ունեցող եռանկյան 4/3 մասն է. սա մենք կբացատրենք, հաջորդիվ մենք կբացատրենք նույն հերթականությամբ վերևում նշված մեթոդով հայտնաբերված պնդումները, և վերջապես կներկայացնենք պնդումների երկրաչափական ապացույցները։ | ||
| + | |||
| + | # Եթե մի մեծություն հանվում է մեկ այլ մեծությունից, և եթե ամբողջը և հանված մասը ունեն նույն ծանրության կենտրոնը, ապա նույն կետը կլինի նաև մնացյալի ծանրության կենտրոնը։ | ||
| + | # Եթե մի մեծություն հանվում է մեկ այլ մեծությունից, և ամբողջի և հանված մասի ծանրության կենտրոնը նույն կետում չէ, ապա մնացած մասի ծանրության կենտրոնը կարելի է գտնել՝ շարունակելով ուղիղ գիծը, որը միացնում է ամբողջի և հանված մասի ծանրության կենտրոնները, և այդ գծի վրա մեկ այլ ուղիղ գիծ անցկացնելով, ինչի հարաբերությունը կետերը միացնող գծի հետ, նույնն է ինչ հարաբերություն ունի հանված մեծության քաշը մնացած մեծության քաշի հետ [De plan. aequil. I, 8]։ | ||
| + | # Եթե ցանկացած քանակի մեծությունների ծանրության կենտրոնները գտնվում են նույն գծի վրա, ապա բոլոր մեծությունների համակցված ծանրության կենտրոնը նույնպես կլինի նույն ուղիղ գծի վրա [Cf. ibid. I, 5]։ | ||
| + | # Ուղիղ գծի ծանրության կենտրոնը այդ գծի կենտրոնն է [Cf. ibid. I, 4]։ | ||
| + | # Եռանկյան ծանրության կենտրոնը կետն է, որտեղ հատվում են եռանկյան անկյուններից հակադիր կողմերի կենտրոններին տարված ուղիղ գծերը [Ibid. I, 14]։ | ||
| + | # Զուգահեռագծի ծանրության կենտրոնը կետն է, որտեղ հատվում են նրա անկյունագծերը [Ibid. I, 10]։ | ||
| + | # Շրջանի ծանրության կենտրոնը այդ շրջանի կենտրոնն է։ | ||
| + | # Մխոցի ծանրության կենտրոնը նրա առանցքի կենտրոնն է։ | ||
| + | # Պրիզմայի ծանրության կենտրոնը նրա առանցքի կենտրոնն է։ | ||
| + | # Կոնի ծանրության կենտրոնը առանցքի այն կետն է, որ գագաթից կետ գտնվող հատվածը երեք անգամ մեծ է մնացած մասից։ | ||
| + | # Բացի այստեղ ներկայացված վարժություններից, ես կօգտագործեմ հետևյալ պնդումը. | ||
| + | |||
| + | Եթե ցանկացած քանակով մեծություններ ունեն նույն հարաբերությունը միևնույն քանակով զույգ առ զույգ համապատասխանող այլ մեծությունների հետ, և եթե այդ մեծություններից մի քանիսը կամ բոլորը, ունեն որևէ հարաբերություն մյուս մեծությունների հետ, և մյուսները նույն հարաբերությամբ են համապատասխան մեծությունների հետ, ապա առաջին շարքի մեծությունների գումարը կունենա նույն հարաբերությունը երրորդ շարքի մեծությունների գումարի հետ, ինչ հարաբերություն ունի երկրորդ շարքի մեծությունների գումարը չորրորդ շարքի մեծությունների գումարի հետ [De Conoid. I]։ | ||
| + | |||
| + | === Պնդում I === | ||
| + | |||
| + | Դիցուք <math>\alpha \beta \gamma</math> պարաբոլի այն հատվածն է, որ սահմանափակված է <math>\alpha \gamma</math> ուղղով և <math>\alpha \beta \gamma</math> պարաբոլով: Դիցուք <math>\delta</math>ն կիսում է <math>\alpha \gamma</math>-ն երկու հավասար հատվածի,<math>\delta \beta \epsilon</math>ը զուգահեռ է տրամագծին, կառուցել ուղիղներ <math>\alpha \beta</math> և <math>\beta \gamma</math>: Հետևաբար <math>\alpha \beta \gamma</math> սեգմենտը <math>\alpha \beta \gamma</math> եռանկյան 4/3 մասն է կազմում:[[Պատկեր:Method-Archimedes-Fig1.png]] | ||
| + | <math>\alpha</math> և <math>\gamma</math> կետերից տանենք <math>\alpha \zeta || \delta \beta \epsilon</math> և կառուցենք <math>\gamma \zeta</math> ուղիղը և կառուցել <math>\kappa</math>այնպես, որ <math>\kappa \theta = \gamma \kappa</math>: Պատկերացրեք, որ <math>\gamma \theta</math>-ն ճոճանակ է <math>\kappa</math> տատանման կենտրոնով և դիցուք <math>\mu \xi</math>ն <math>\epsilon \delta</math>-ին զուգահեռ ցանկացած գիծ է: Այժմ քանի որ <math>\alpha \beta \gamma</math>ն պարաբոլ է, <math>\gamma \zeta</math>ն շոշափող(տանգենտ) ուղիղ է, իսկ <math>\gamma \delta</math>ն օրդինատ, հետևաբար <math>\epsilon \beta = \beta \delta</math>; սա ապացուցվել է Էլեմենտների գրքում: Այս պատճառով և քանի որ <math>\zeta \alpha</math> և <math>\mu \xi</math> ուղիղները զուգահեռ են <math>\epsilon \delta</math>, <math>\mu \nu = \nu \xi</math> և <math>\zeta \kappa = \kappa \alpha</math>: Եվ քանի որ <math>\gamma \alpha : \alpha \zeta = \mu \zeta : \zeta o</math> (սա ցուցադրված է հետևանքում) , <math>\gamma \alpha : \alpha \zeta = \gamma \kappa : \kappa \nu</math> և <math>\gamma \kappa = \kappa \theta</math>, հետևաբար <math>\theta \kappa : \kappa \nu = \mu \zeta : \zeta o</math>: Եվ քանի որ <math>\nu</math>ն <math>\mu \zeta</math> ուղիղ գծի ծանրության կենտրոնն է, քանի որ <math>\mu \nu = \nu \zeta</math>, հետևաբար, եթե կառուցենք <math>\tau \eta = \zeta o</math> առ այն որ <math>\theta</math>ն ծանրության կենտրոնն է այսինքն <math>\tau \theta = \theta \eta</math>, հետևաբար <math>\tau \theta \eta</math> ուղիղ գիծը հավասարակշռության մեջ կլինի <math>\mu \zeta</math> հետ, քանի որ <math>\theta \mu</math>ն բաժանված է իր <math>\tau \eta</math> և <math>\mu \zeta</math> ծանրությունների հակադիր հարաբերակցությամբ, և <math>\theta \kappa : \kappa \nu = \mu \zeta : \eta \tau</math>, հետևաբար <math>\kappa</math>ն երկուսի միասնակ զանգվածի ծանրության կենտրոնն է: Նույն կերպ <math>\zeta \alpha \gamma || \epsilon \delta</math> եռանկյան բոլոր ուղիղները, հավասարակշռված են իրենց պարաբոլով կտրված հատվածների հետ, երբ վերջինս տեղափոխվի <math>\theta</math> կետ, այնպես, որ <math>\kappa</math>ն լինի երկուսի միասնական ծանրության կենտրոնը: եվ քանի որ <math>\gamma \zeta \alpha</math> եռանկյունը կազմվածը <math>\gamma \zeta \alpha</math> եռանկյանը պատկանող ուղիղ գծերից, և <math>\alpha \beta \gamma</math> հատվածը կազմված է պարաբոլին մեջ գտնվող այն ուղիղ գծերից, որոնք համապատասխանում են <math> \zeta o</math> ուղղին, հետևաբար <math>\zeta \alpha \gamma</math> եռանկյունը հավասարակշռության մեջ կլինի պարաբոլ-սեգմենտի հետ <math>\kappa</math> կետում, երբ այն կտեղափոխվի <math>\theta</math> որպես ծանրության կենտրոն, այնպես որ <math>\kappa</math>ն երկուսի միասնական ծանրության կենտրոնն է։ Այժմ դիցուք <math>X</math>ը <math>\gamma \kappa</math>ն կիսում է այնպես, որ <math>\gamma \kappa = 3 \kappa X</math>, հետևաբար <math>X</math>ը կլինի <math>\alpha \zeta \gamma</math> եռանկյան ծանրության կենտրոնը, սա ցույց է տրվել Ստատիկայում։ Այժմ եթե <math>\zeta \alpha \gamma</math> եռանկյունը <math>\kappa</math> կետում հավասարակշռության մեջ է <math>\beta \alpha \gamma</math> սեգմենտի հետ, երբ այն <math>\theta</math> է տեղափոխվում, որպես ծանրության կենտրոն, և <math>\zeta \alpha \gamma</math> եռանկյան ծանրության կենտրոնը <math>X</math>ն է, հետևաբար եռանկյուն <math>\alpha \zeta \gamma : \alpha \beta \gamma</math> սեգմենտ, երբ ծանրության կենտորնը փոխվում է <math>\theta</math>, <math>= \theta \kappa : \kappa X</math>։ Սակայն <math> \theta \kappa = 3 \kappa X</math>, հետևաբար նաև եռանկյուն <math>\zeta \alpha \gamma = 4 \Delta \alpha \beta \gamma</math>, քանի որ <math>\zeta \kappa = \kappa \alpha</math> և <math>\alpha \delta = \delta \gamma</math>, հետևաբար <math>\alpha \beta \gamma</math> սեգմենտը <math>=4/3 \alpha \beta \gamma</math> եռանկյանը։ Սա իհարկե պարզ է։ | ||
| + | |||
| + | Ճիշտ է սա ապացուցվել է, ոչ այն կերպ ինչ ես այստեղ ասացի, բայց մատնանշում է, որ արդյունքը ճշգրիտ է։ Այսպիսով, հենց նոր մենք տեսանք, այն ինչ չէր ապացուցվել և լոկ ենթադրվել էր, որ արդյունքը ճիշտ է, մենք մշակեցինք այն երկրաչափական ապացույցը, որը արդեն որոշ ժամանակ հայտնի էր և կրկին հետագայում առաջ կբերվի։ | ||
| + | |||
| + | === Պնդում II === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում III === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում IV === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում V === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում VI === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում VIա === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում VII === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում VIII === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում IX === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում X === | ||
| + | |||
| + | === Պնդում XI === | ||
| + | |||
| + | |||
| + | === Պնդում XIII === | ||
Թող քառակուսի <math>\alpha \beta \gamma \delta</math> [նկ. 12] [[Պատկեր:Example.jpg]] լինի ուղղահայաց պրիզմայի հիմքը, որն ունի քառակուսի հիմքեր, և թող պրիզմայի մեջ լինի տեղադրված գլան, որի հիմքը <math>\epsilon \zeta \eta \theta</math> շրջանագիծն է, որն առնչվում է αβγδ զուգահեռագծի կողմերին՝ ∈, ζ, η և θ կետերում։ Անցկացնելով հարթություն նրա կենտրոնով և քառակուսու հակառակ կողմով (համապատասխանող γδ կողմին), այն կառանձնանա ամբողջ պրիզմայից՝ ձևավորելով երկրորդ պրիզմա, որն ամբողջ պրիզմայի 1/4 մասն է, և որը, սահմանափակվում է երեք զուգահեռագծերով և երկու հակառակ եռանկյուններով։ | Թող քառակուսի <math>\alpha \beta \gamma \delta</math> [նկ. 12] [[Պատկեր:Example.jpg]] լինի ուղղահայաց պրիզմայի հիմքը, որն ունի քառակուսի հիմքեր, և թող պրիզմայի մեջ լինի տեղադրված գլան, որի հիմքը <math>\epsilon \zeta \eta \theta</math> շրջանագիծն է, որն առնչվում է αβγδ զուգահեռագծի կողմերին՝ ∈, ζ, η և θ կետերում։ Անցկացնելով հարթություն նրա կենտրոնով և քառակուսու հակառակ կողմով (համապատասխանող γδ կողմին), այն կառանձնանա ամբողջ պրիզմայից՝ ձևավորելով երկրորդ պրիզմա, որն ամբողջ պրիզմայի 1/4 մասն է, և որը, սահմանափակվում է երեք զուգահեռագծերով և երկու հակառակ եռանկյուններով։ | ||
22:08, 10 Դեկտեմբերի 2024-ի տարբերակ
հեղինակ՝ Արքիմեդ |
Մեխանիկայից բխած երկրաչափական լուծումներ։ Արքիմեդի ճառը
Արքիմեդի ողջույնը Էրատոսթենես Կիրենացուն։
Որոշ ժամանակ առաջ ես ձեզ ուղարկեցի իմ հայտնաբերած որոշ թեորեմներ՝ գրելով միայն պնդումները, որովհետև ես ցանկացա, որ դուք գտնեք դրանց ապացույցները, որոնք չէին տրվել։ Թեորեմների պնդումերը, որոնք ես ուղարկել եմ ձեզ, եղել են հետևյալը.
- Եթե քառակուսի հիմքով ուղիղ պրիզմայում գլան ներգծվի, այնպես որ գլանի հիմքերը լինեն երկու հանդիպակած քառակուսիներում, և գլանի մակերույթը շոշափում է պրիզմայի մյուս նիստերը, և եթե մի հարթություն անցկացվի այն գլանի հիմքերից մեկի շրջանագծի կենտրոնով և հանդիպակած քառակուսու կողերից մեկով, ապա այդ մի հատված կկիսի գլանից, որը սահմանափակված կլինի երկու հարթություններով՝ հատող հարթությամբ և գլանի հիմքի հարթությամբ, ինչպես նաև գլանի այն մակերևույթի մասով, որը ընկած է այդ երկու հարթությունների միջև; այս կտված գլանի հատվածը ամբողջ պրիզմայի 1/6 մասն է կազմում։
- Եթե խորհանարդի մեջ գլան ներգծվի, այնպես որ գլանի հիմքերը լինեն երկու հանդիպակած քառակուսի նիստերում և որի մակերևույթը շոշափում է մնացյալ չորս հարթությունները, և եթե նույն խորհանարդում երկրորդ գլանը ներգծվի այնպես որ հիմքերը գտնվեն այլ երկու հանդիպակած քառակուսի նիստերում և որի մակերևույթը շոշափում է մնացյալ չորս հարթությունները, այն մարմինը որը փակված կլինի գլանի մակերևույթով, ինչպես նաև ընկած կլինի երկու գլանների մեջ կկազմի ամբողջ խորհանարդի 2/3 մասը։
Այս պնդումները էապես տարբերվում են նախկինում հայտնաբերվածներից. նախկինում մենք համեմատում էինք այդ մարմինները(կոնաձևեր, գնդաձևեր և դրանց հատվածները) կոների և գլանների ծավալների հետ, սակայն դրանցից ոչ մեկը չէր հայտնաբերվել հավասար հարթություններով սահմանափակված մարմնի։ Մյուս կողմից, այս մարմիններից յուրաքանչյուր, որոնք պարփակված են երկու հարթություններով, իսկ գլանաձև մակերևույթները գտնված է, որ հավասար են հարթություններով պարփակված մարմնի։ համապատասխանաբար այս գրքում ուղարկում եմ այս պնդումների ապացույցները:
Սակայն ինչպես նախկինում ասացի, քանի որ տեսնում եմ, որ դուք որպես ընդունակ գիտնական և փիլիսոփայության նշանավոր ուսուցիչ, ինչպես նաև հասկանում եք, թե ինչպես արժևորել հետազոտության մաթեմատիկական մեթոդը, երբ հնարավորությունը կա, կարծում եմ լավ կլինի ձեր համար նշել նաև այս նույն գրքում մի յուրահատուկ մեթոդ, որի միջոցով ձեզ համար հնարավոր կլինի հրահանգներ ստանալ, թե ինչպես կարելի է մաթեմատիկական որոշ հարցեր ուսումնասիրել մեխանիկայի միջոցով: Եվ ես համոզված եմ, որ սա հավասարապես շահավետ է հենց պնդման ապացույցին, առ այն որ, շատ բաներ որ ինձ համար ակնհայտ էին մեխանիկայի միջոցով հետագայում ապացուցվել են երկրաչափությամբ, քանի որ առաջին մեթոդը ապացույցի համար ընդունված մեթոդ չէր։
Որովհետև, իհարկե, ավելի հեշտ է ապացույց հաստատել եթե որևէ մեկը այս կերպ նախկինում ստացել է հարցերի գաղափարը, քան եթե նա փնտրի այն առանց նման նախնական պատկերացման:
Հետևաբար այս հայտնի պնդումները, որոնց ապացույցները առաջին անգամ Եվդոքսի կողմից են հայտնաբերվել, առ այն որ կոնը և բուրգը նույն բարձրություն և հիմք ունեցող գլանի և պրիզմայի 1/3 մասն են, քիչ պատիվ է տրվում Դեմոկրիտոսին, որը առաջինն էր, որ առանց որևէ ցուցադրության այդ հայտարարությունն արեց այս մարմինների մասին։ Բայց մենք այն իրավիճակում ենք, որ գտնել ենք ներկա պնդումը նույն կերպ, ինչ նախորդը, և ես որոշել եմ այն գրի առնել և մեթոդը հայտնի դարձնել, մասամբ քանի որ մենք մինչ այժմ այս մասին խոսել ենք, հետևաբար ոչ ոք չի կարծի, որ մենք պարապ խոսակցություն ենք տարածում, և մասամբ այն համոզմունքով, որ այդ միջոցով մենք մաթեմատիկայի համար ոչ աննշան առավելություն ենք ստանում, քանի որ, իրոք, ես ենթադրում եմ, որ այսօրվա կամ ապագա հետազոտողները այստեղ սահմանված մեթոդով կառաջարկեն այլ պնդումներ, որոնք մեր մտքով դեռ չի անցել: Առաջին հերթին, մենք կբացատրենք մեխանիկայի միջոցով մեզ համար պարզաբանվածը, այն է որ պարաբոլը միևնույն հիմքը և բարձրությունը ունեցող եռանկյան 4/3 մասն է. սա մենք կբացատրենք, հաջորդիվ մենք կբացատրենք նույն հերթականությամբ վերևում նշված մեթոդով հայտնաբերված պնդումները, և վերջապես կներկայացնենք պնդումների երկրաչափական ապացույցները։
- Եթե մի մեծություն հանվում է մեկ այլ մեծությունից, և եթե ամբողջը և հանված մասը ունեն նույն ծանրության կենտրոնը, ապա նույն կետը կլինի նաև մնացյալի ծանրության կենտրոնը։
- Եթե մի մեծություն հանվում է մեկ այլ մեծությունից, և ամբողջի և հանված մասի ծանրության կենտրոնը նույն կետում չէ, ապա մնացած մասի ծանրության կենտրոնը կարելի է գտնել՝ շարունակելով ուղիղ գիծը, որը միացնում է ամբողջի և հանված մասի ծանրության կենտրոնները, և այդ գծի վրա մեկ այլ ուղիղ գիծ անցկացնելով, ինչի հարաբերությունը կետերը միացնող գծի հետ, նույնն է ինչ հարաբերություն ունի հանված մեծության քաշը մնացած մեծության քաշի հետ [De plan. aequil. I, 8]։
- Եթե ցանկացած քանակի մեծությունների ծանրության կենտրոնները գտնվում են նույն գծի վրա, ապա բոլոր մեծությունների համակցված ծանրության կենտրոնը նույնպես կլինի նույն ուղիղ գծի վրա [Cf. ibid. I, 5]։
- Ուղիղ գծի ծանրության կենտրոնը այդ գծի կենտրոնն է [Cf. ibid. I, 4]։
- Եռանկյան ծանրության կենտրոնը կետն է, որտեղ հատվում են եռանկյան անկյուններից հակադիր կողմերի կենտրոններին տարված ուղիղ գծերը [Ibid. I, 14]։
- Զուգահեռագծի ծանրության կենտրոնը կետն է, որտեղ հատվում են նրա անկյունագծերը [Ibid. I, 10]։
- Շրջանի ծանրության կենտրոնը այդ շրջանի կենտրոնն է։
- Մխոցի ծանրության կենտրոնը նրա առանցքի կենտրոնն է։
- Պրիզմայի ծանրության կենտրոնը նրա առանցքի կենտրոնն է։
- Կոնի ծանրության կենտրոնը առանցքի այն կետն է, որ գագաթից կետ գտնվող հատվածը երեք անգամ մեծ է մնացած մասից։
- Բացի այստեղ ներկայացված վարժություններից, ես կօգտագործեմ հետևյալ պնդումը.
Եթե ցանկացած քանակով մեծություններ ունեն նույն հարաբերությունը միևնույն քանակով զույգ առ զույգ համապատասխանող այլ մեծությունների հետ, և եթե այդ մեծություններից մի քանիսը կամ բոլորը, ունեն որևէ հարաբերություն մյուս մեծությունների հետ, և մյուսները նույն հարաբերությամբ են համապատասխան մեծությունների հետ, ապա առաջին շարքի մեծությունների գումարը կունենա նույն հարաբերությունը երրորդ շարքի մեծությունների գումարի հետ, ինչ հարաբերություն ունի երկրորդ շարքի մեծությունների գումարը չորրորդ շարքի մեծությունների գումարի հետ [De Conoid. I]։
Պնդում I
Դիցուք 
պարաբոլի այն հատվածն է, որ սահմանափակված է 
ուղղով և պարաբոլով: Դիցուք 
ն կիսում է -ն երկու հավասար հատվածի,
ը զուգահեռ է տրամագծին, կառուցել ուղիղներ 
և 
: Հետևաբար սեգմենտը եռանկյան 4/3 մասն է կազմում:Պատկեր:Method-Archimedes-Fig1.png
և 
կետերից տանենք 
և կառուցենք 
ուղիղը և կառուցել 
այնպես, որ 
: Պատկերացրեք, որ 
-ն ճոճանակ է տատանման կենտրոնով և դիցուք 
ն 
-ին զուգահեռ ցանկացած գիծ է: Այժմ քանի որ ն պարաբոլ է, ն շոշափող(տանգենտ) ուղիղ է, իսկ 
ն օրդինատ, հետևաբար 
; սա ապացուցվել է Էլեմենտների գրքում: Այս պատճառով և քանի որ 
և ուղիղները զուգահեռ են , 
և 
: Եվ քանի որ 
(սա ցուցադրված է հետևանքում) , 
և 
, հետևաբար 
: Եվ քանի որ 
ն 
ուղիղ գծի ծանրության կենտրոնն է, քանի որ 
, հետևաբար, եթե կառուցենք 
առ այն որ 
ն ծանրության կենտրոնն է այսինքն 
, հետևաբար 
ուղիղ գիծը հավասարակշռության մեջ կլինի հետ, քանի որ 
ն բաժանված է իր 
և ծանրությունների հակադիր հարաբերակցությամբ, և 
, հետևաբար ն երկուսի միասնակ զանգվածի ծանրության կենտրոնն է: Նույն կերպ 
եռանկյան բոլոր ուղիղները, հավասարակշռված են իրենց պարաբոլով կտրված հատվածների հետ, երբ վերջինս տեղափոխվի կետ, այնպես, որ ն լինի երկուսի միասնական ծանրության կենտրոնը: եվ քանի որ 
եռանկյունը կազմվածը եռանկյանը պատկանող ուղիղ գծերից, և հատվածը կազմված է պարաբոլին մեջ գտնվող այն ուղիղ գծերից, որոնք համապատասխանում են 
ուղղին, հետևաբար 
եռանկյունը հավասարակշռության մեջ կլինի պարաբոլ-սեգմենտի հետ կետում, երբ այն կտեղափոխվի որպես ծանրության կենտրոն, այնպես որ ն երկուսի միասնական ծանրության կենտրոնն է։ Այժմ դիցուք 
ը 
ն կիսում է այնպես, որ 
, հետևաբար ը կլինի 
եռանկյան ծանրության կենտրոնը, սա ցույց է տրվել Ստատիկայում։ Այժմ եթե եռանկյունը կետում հավասարակշռության մեջ է 
սեգմենտի հետ, երբ այն է տեղափոխվում, որպես ծանրության կենտրոն, և եռանկյան ծանրության կենտրոնը ն է, հետևաբար եռանկյուն 
սեգմենտ, երբ ծանրության կենտորնը փոխվում է , 
։ Սակայն 
, հետևաբար նաև եռանկյուն 
, քանի որ և 
, հետևաբար սեգմենտը 
եռանկյանը։ Սա իհարկե պարզ է։
Ճիշտ է սա ապացուցվել է, ոչ այն կերպ ինչ ես այստեղ ասացի, բայց մատնանշում է, որ արդյունքը ճշգրիտ է։ Այսպիսով, հենց նոր մենք տեսանք, այն ինչ չէր ապացուցվել և լոկ ենթադրվել էր, որ արդյունքը ճիշտ է, մենք մշակեցինք այն երկրաչափական ապացույցը, որը արդեն որոշ ժամանակ հայտնի էր և կրկին հետագայում առաջ կբերվի։
Պնդում II
Պնդում III
Պնդում IV
Պնդում V
Պնդում VI
Պնդում VIա
Պնդում VII
Պնդում VIII
Պնդում IX
Պնդում X
Պնդում XI
Պնդում XIII
Թող քառակուսի 
[նկ. 12] 
լինի ուղղահայաց պրիզմայի հիմքը, որն ունի քառակուսի հիմքեր, և թող պրիզմայի մեջ լինի տեղադրված գլան, որի հիմքը 
շրջանագիծն է, որն առնչվում է αβγδ զուգահեռագծի կողմերին՝ ∈, ζ, η և θ կետերում։ Անցկացնելով հարթություն նրա կենտրոնով և քառակուսու հակառակ կողմով (համապատասխանող γδ կողմին), այն կառանձնանա ամբողջ պրիզմայից՝ ձևավորելով երկրորդ պրիզմա, որն ամբողջ պրիզմայի 1/4 մասն է, և որը, սահմանափակվում է երեք զուգահեռագծերով և երկու հակառակ եռանկյուններով։
∈ζη կիսաշրջանագծի մեջ նկարենք պարաբոլ, որի սկզբնակետը η∈ է, իսկ առանցքը՝ ζκ, իսկ δη զուգահեռագծի մեջ գծենք µνkκζ-ը։ Այն կանցնի կիսաշրջանագծի շրջանագծով ξ կետում, պարաբոլով՝ λ կետում, և µν × νλ = νζ²
(քանի որ սա ակնհայտ է [Ապոլոնիոս, Կոն. I, 11]): Հետևաբար µν : νλ = κη² : λσ²։
µν-ի վրա կառուցենք հարթություն, որը զուգահեռ է ∈η-ին։ Այն կկտրվի ամբողջ պրիզմայից կտրած պրիզմայի մեջ ուղիղանկյուն եռանկյունով, որի մի կողմը µν-ն է, իսկ մյուսը՝ γδ հարթության վրա գտնվող ուղիղ գիծը, որն ուղղահայաց է γδ-ին՝ ν կետում և հավասար է գլանի առանցքին։ Հիպոթենուզը կլինի կտրված հարթության մեջ։ Այն կկտրվի գլանից կտրված մասից (մասն, որը կտրել է ∈η հարթությունը և քառակուսու հակառակ կողմը γδ-ի նկատմամբ) ուղիղանկյուն եռանկյունով, որի մի կողմը µξ-ն է, իսկ մյուսը՝ գլանի մակերեսին գտնվող գիծը, որը ուղղահայաց է κν հարթությանը:․․․․․Եվ բոլոր եռանկյուններին պրիզմայում
: բոլոր եռանկյունները գլանի հատվածում = բոլոր ուղիղ գծերին δη զուգահեռագծում : բոլոր ուղիղ գծերը պարաբոլի և ∈η ուղիղի միջև։ Եվ պրիզման կազմված է պրիզմայում գտնվող եռանկյուններից, գլանի հատվածը՝ գլանի հատվածում գտնվող եռանկյուններից, δη զուգահեռագիծը՝ զուգահեռագծում գտնվող ուղիղ գծերից, իսկ պարաբոլի հատվածը՝ պարաբոլի և ուղիղ ∈η-ի միջև կտրված գծերից։ Հետևաբար, պրիզմա : գլանի հատված = δη զուգահեռագիծ : ∈ζη հատված, որը սահմանափակված է պարաբոլով և ուղիղ ∈η-ով։
Բայց զուգահեռագիծ δη = 3/2 պարաբոլի և ուղիղ ∈η-ի միջև գտնվող հատվածին (ինչպես ցույց է տրվել ավելի վաղ հրապարակված աշխատանքում), հետևաբար նաև պրիզման հավասար է գլանի հատվածի մեկուկես անգամին։ Հետևաբար, երբ գլանի հատվածը = 2, պրիզման = 3, և ամբողջ պրիզման, որը պարունակում է գլանը, հավասար է 12, որովհետև այն 4 անգամ մեծ է մյուս պրիզմայից. հետևաբար գլանի հատվածը հավասար է պրիզմայի 1/6-ին, Q. E. D.
== Պնդում XIV ==
[Գծեք գլան] ուղղանկյուն պրիզմայի ներսում, որը ունի քառակուսի հիմքեր [և թող այն հատի հարթությամբ, որը անցնում է գլանի հիմքի կենտրոնով և հակառակ քառակուսու մի կողmով:] Այնուհետև այս հարթությունը կհատի պրիզմայից մեկ հատված և մեկ հատված գլանից։ Կարելի է ապացուցել, որ գլանից կտրված հատվածը կազմում է ամբողջ պրիզմայի մեկ վեցերորդ մասը։ Սակայն նախ մենք կապացուցենք, որ հնարավոր է գլանի հատվածում ներգծել մի մարմին և դուրս գրել մեկ այլ մարմին, որը կազմված է հավասար բարձրության պրիզմաներից, որոնց հիմքերը նման եռանկյունիներ են, այնպես, որ դուրս գրված մարմինը գերազանցի ներգծվածին ցանկացած տրված մեծությունից պակաս չափով։ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Սակայն արդեն ցույց է տրված, որ թեք հարթությամբ կտրված պրիզման < 3/2 գլանի հատվածում ներգծված մարմնի։ Այժմ թեք հարթությամբ կտրված պրիզման : գլանի հատվածում ներգծված մարմինը = զուգահեռագիծ δη: Զուգահեռագծերը, որոնք ներգծված են պարաբոլով և ուղիղ գծով սահմանափակված հատվածում։ Ուստի զուգահեռագիծ δη < 3/2 պարաբոլով և ուղիղ գծով սահմանափակված հատվածի զուգահեռագծերի ուղիղով ∈η։ Բայց սա անհնար է, որովհետև այլուր ցույց է տրված, որ զուգահեռագիծ δη-ն մեկ ու կես անգամ մեծ է պարաբոլով և ուղիղ գծով սահմանափակված հատվածից, հետևաբար . . չի կարող ավելի մեծ լինել ․․․
Բոլոր պրիզմաները թեք հարթությամբ հատված պրիզմայում : բոլոր պրիզմաները գլանի հատվածի շուրջ նկարագրված մարմնում = բոլոր զուգահեռագծերը զուգահեռագծում δη: բոլոր զուգահեռագծերը պարաբոլով և ուղիղ գծով սահմանափակված հատվածի շուրջ նկարագրված մարմնում, այսինքն՝ թեք հարթությամբ կտրված պրիզման : գլանի հատվածի շուրջ նկարագրված մարմինը = զուգահեռագիծ δη: պարաբոլով և ուղիղ գծով սահմանափակված հատվածի մարմինը։ Սակայն թեք հարթությամբ կտրված պրիզման մեկ ու կես անգամ գերազանցում է գլանի հատվածի շուրջ նկարագրված մարմնին . . .
Պնդում XIV
[Ուղղահայաց պրիզմայի մեջ քառակուսի հիմքերով տեղադրեք գլան և կտրեք այն հարթությամբ, որը անցնում է գլանի հիմքի կենտրոնով և հակառակ քառակուսու մեկ կողմով:] Այդ հարթությունը կկտրի պրիզմայից պրիզմայի մի մաս և գլանից գլանի մի մաս։ Կարելի է ապացուցել, որ գլանից հարթությամբ կտրված մասը հավասար է ամբողջ պրիզմայի 1/6-ին։ Բայց նախ մենք կպարզենք, որ հնարավոր է գլանի հատվածի մեջ տեղադրել մարմին և շրջապատել մեկ այլ մարմնով, որոնք կազմված են հավասար բարձրությամբ պրիզմաներից և ունեն նման եռանկյուններ հիմքում այնպես, որ շրջապատող մարմինը գերազանցի ներսում տեղադրվածին ավելի փոքր չափով, քան ցանկացած տրված մեծություն։
... Բայց ցույց է տրվել, որ թեք հարթությամբ կտրված պրիզման < 3/2 գլանի հատվածում ներսում տեղադրված մարմնից։ Իսկ թեք հարթությամբ կտրված պրիզման : գլանի հատվածում ներսում տեղադրված մարմինը = δη զուգահեռագիծ : պարաբոլով և ուղիղ �η-ով սահմանափակված հատված։ Հետևաբար δη զուգահեռագիծը < 3/2 պարաբոլով և ուղիղ �η-ով սահմանափակված հատվածի։
Բայց սա անհնար է, որովհետև այլ տեղ ցույց է տրվել, որ δη զուգահեռագիծը մեկուկես անգամ մեծ է պարաբոլով և ուղիղ �η-ով սահմանափակված հատվածից, հետևաբար...
