«Տարերք/Գիրք 13»–ի խմբագրումների տարբերություն

Գրապահարան-ից
(+վերնագիր, ձևավորում)
Տող 12. Տող 12.
 
== Պնդում 1 ==
 
== Պնդում 1 ==
  
−
Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն։
+
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։
  
−
[[Պատկեր:Nkar_1.png|260px|thumb|left|Նկ․ 1]]
+
Թող AB ուղիղ գիծը կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Թող AD ուղիղ գիծը երկարացվի՝ անցնելով CA։ Եվ թող AD-ն լինի AB-ի կեսը։ Ասում եմ, որ CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։
  
−
Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է ''(Նկ․ 1)''։ Շարունակենք AC հատվածը, և տեղադրենք <math>AD = \frac{AB}{2}</math>։ Ես պնդում եմ, որ <math>CD^2 = 5\cdot DA^2</math>:
+
Թող AB և DC վրա քառակուսիները՝ AE և DF, նկարագրվեն։ Եվ DF պատկերում գծվի։ Եվ թող գիծը FC գծվի՝ հասնելով G-ին։ Եվ քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, ապա ABC բազմապատկիչը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Եվ CE-ն ABC բազմապատկիչն է, իսկ FH-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CE-ն հավասար է FH-ին։ Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, իսկ BA-ն հավասար է KA-ին, և AD-ն՝ AH-ին, ապա KA-ն նույնպես կրկնապատիկն է AH-ի։ Եվ քանի որ KA-ն AH-ի նկատմամբ հարաբերություն է, CK-ն նույնպես CH-ի կրկնապատիկն է [Պնդում 6.1]։ Այսպիսով, CK-ն կրկնապատիկն է CH-ի։ Եվ LH-ն գումարած HC կրկնապատիկն է CH-ի [Պնդում 1.43]։ Այսպիսով, KC-ն հավասար է LH-ի գումարած HC-ի։ Եվ CE-ն ցույց տրվեց, որ հավասար է HF-ին։ Այսպիսով, ամբողջ քառակուսի AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։
  
−
Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC ''(Նկ․ 1)''։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակելով հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`
+
Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, BA-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է AD-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, AE-ն չորսապատիկն է DH-ի։ Եվ AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։ Եվ, այսպիսով, գնոմոն MNO-ն նույնպես չորսապատիկն է AP-ի։ Այսպիսով, ամբողջ DF-ը հնգապատիկն է AP-ի։ Եվ DF-ը CD-ի վրա քառակուսին է, իսկ AP-ն՝ DA-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։
−
<math>AC^2 = AB\cdot BC</math> ''(Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)''։ Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին ''(Նկ․ 1)'': Եվ քանի որ <math>AB = 2\cdot AD</math> և <math>BA = KA</math>, <math>AD = AH</math>, հետևաբար <math>KA = 2\cdot AH</math>: Այսպիսով ստանում ենք հարաբերություն՝ <math>\frac{KA}{AH} = \frac{KA\cdot AC}{AH\cdot AC} </math> ''(Պնդ․ 6․1)'', հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը հավասար է երկու անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին: Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանը, ապա նրանց մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1․43)'': Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է LH և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEG-ի մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար ABEK-ի մակերեսը հավասար է գնոմոն MNO-ին (CH, FH, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին): Քանի որ գնոմոն <math>MNO = 4\cdot AP</math>, հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով <math>CD^2 = 5\cdot DA^2</math>:
+
  
−
Այսպիսով, եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։
+
Այսպիսով, եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
  
 
== Պնդում 2 ==
 
== Պնդում 2 ==
  
−
Եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է։
+
Եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։
  
−
[[Պատկեր:Nkar_2.png|280px|thumb|left|Նկ․ 2]]
+
Թող AB ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC կտորի վրա քառակուսու։ Եվ թող CD-ն լինի կրկնապատիկ AC-ից։ Ասում եմ, որ եթե CD-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։
  
−
Դիցուք՝ եթե <math>AB^2 = 5\cdot AC^2</math> և СВ շարունակենք, այնպես, որ <math>CD = 2\cdot AC</math>, ապա CD-ն բաժանվում է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, որտեղ մեծ հատվածը CB է ''(Նկ․ 2)''։
+
Թող AB և CD վրա քառակուսիները՝ AF և CG, նկարագրվեն։ Եվ թող AF պատկերում գծվի։ Եվ թող BE գիծը գծվի։ Եվ քանի որ BA-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC-ի վրա քառակուսու, ապա AF-ն հնգապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, ապա DC-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, CG-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ չորսապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն հավասար է CG-ին։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, և DC-ն հավասար է CK-ին, և AC-ն՝ CH-ին, [CK-ն կրկնապատիկն է CH-ից], իսկ KB-ն նույնպես կրկնապատիկն է BH-ից [Պնդում 6.1]։ Այսպիսով, KB-ն հավասար է LH-ի գումարած HB-ին։ Եվ ամբողջ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է ամբողջ CG-ին։ Այսպիսով, մնացորդ HF-ն նույնպես հավասար է մնացորդ BG-ին։ Եվ BG-ն այն բազմապատկիչն է, որը պարունակում է CDB։ Քանի որ CD-ն հավասար է DG-ին։ Եվ HF-ն CB-ի վրա քառակուսին է։ Այսպիսով, CDB բազմապատկիչը հավասար է CB-ի վրա քառակուսուն։
  
−
Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ALFB և СKGD ''(Նկ․ 2)'': Տանենք AF անկյունագիծը։ Շարունակենք FB հատվածը և հատենք KG-ի հետ E-ում: Քանի որ <math>AB^2 = 5\cdot AC^2</math>, հետևաբար AF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով գնոմոն <math>MNO = 4\cdot AH</math>: Քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>, հետևաբար <math>DC^2 = 4\cdot AC^2</math>, կամ նույնն է ինչ ասենք, որ СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևաբար գնոմոն <math>MNO = CG</math> անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (HB, HF, HL անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են CDGK-ի մակերեսին): Եվ քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>, <math>DC = CK</math>, <math>AC = CH</math> ապա <math>KC = 2\cdot CH</math> և KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 2 անգամ BH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 6․1)'' և քանի որ LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ HB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1.43)'', ապա KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավսար է LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց էր տրված վերևում գնոմոն MNO-ն հավասար է СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևում է, որ HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է BDGE ուղղանկյան մակերեսին։ Իսկ վերջինս հավասար է СD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսին, <math>CD = DG</math>, HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math>։ Հետևաբար CD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math> <math>(CB^2 = DC\cdot BD)</math>: Այսպիսով, ստանում ենք <math>\frac{DC}{CB} = \frac{CB}{BD}</math> ''(Պնդ․ 6․17)'': Եվ քանի որ DC ավելի մեծ է քան СB (տես Լեմմա, ներքևում), ապա СB-ն նույնպես ավելի մեծ է քան BD-ն։ Այսպիսով, եթե CD հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա СB-ն նրա մեծ հատվածն է։
+
Այսպիսով, ինչպես DC-ն է CB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CB-ն է BD-ի նկատմամբ [Պնդում 6.17]։ Եվ քանի որ DC-ն ավելի մեծ է, քան CB (տես լեմա), ապա CB-ն նույնպես ավելի մեծ է, քան BD [Պնդում 5.14]։ Այսպիսով, եթե CD ուղիղ գծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։
−
 
+
−
Այսպիսով, եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։
+
  
 +
Այսպիսով, եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
 
== Լեմմա ==
 
== Լեմմա ==
  

22:18, 11 Դեկտեմբերի 2024-ի տարբերակ

Տարերք, Գիրք 13

հեղինակ՝ էվկլիդես
աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick
Տարերքի գրքեր

Գիրք 1 - Գիրք 2 - Գիրք 3 - Գիրք 4 - Գիրք 5 - Գիրք 6 - Գիրք 7 - Գիրք 8 - Գիրք 9 - Գիրք 10 - Գիրք 11 - Գիրք 12 - Գիրք 13

Pages 506-530

Պնդում 1

Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։

Թող AB ուղիղ գիծը կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Թող AD ուղիղ գիծը երկարացվի՝ անցնելով CA։ Եվ թող AD-ն լինի AB-ի կեսը։ Ասում եմ, որ CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։

Թող AB և DC վրա քառակուսիները՝ AE և DF, նկարագրվեն։ Եվ DF պատկերում գծվի։ Եվ թող գիծը FC գծվի՝ հասնելով G-ին։ Եվ քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, ապա ABC բազմապատկիչը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Եվ CE-ն ABC բազմապատկիչն է, իսկ FH-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CE-ն հավասար է FH-ին։ Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, իսկ BA-ն հավասար է KA-ին, և AD-ն՝ AH-ին, ապա KA-ն նույնպես կրկնապատիկն է AH-ի։ Եվ քանի որ KA-ն AH-ի նկատմամբ հարաբերություն է, CK-ն նույնպես CH-ի կրկնապատիկն է [Պնդում 6.1]։ Այսպիսով, CK-ն կրկնապատիկն է CH-ի։ Եվ LH-ն գումարած HC կրկնապատիկն է CH-ի [Պնդում 1.43]։ Այսպիսով, KC-ն հավասար է LH-ի գումարած HC-ի։ Եվ CE-ն ցույց տրվեց, որ հավասար է HF-ին։ Այսպիսով, ամբողջ քառակուսի AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։

Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, BA-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է AD-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, AE-ն չորսապատիկն է DH-ի։ Եվ AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։ Եվ, այսպիսով, գնոմոն MNO-ն նույնպես չորսապատիկն է AP-ի։ Այսպիսով, ամբողջ DF-ը հնգապատիկն է AP-ի։ Եվ DF-ը CD-ի վրա քառակուսին է, իսկ AP-ն՝ DA-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։

Այսպիսով, եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։

Պնդում 2

Եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։

Թող AB ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC կտորի վրա քառակուսու։ Եվ թող CD-ն լինի կրկնապատիկ AC-ից։ Ասում եմ, որ եթե CD-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։

Թող AB և CD վրա քառակուսիները՝ AF և CG, նկարագրվեն։ Եվ թող AF պատկերում գծվի։ Եվ թող BE գիծը գծվի։ Եվ քանի որ BA-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC-ի վրա քառակուսու, ապա AF-ն հնգապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, ապա DC-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, CG-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ չորսապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն հավասար է CG-ին։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, և DC-ն հավասար է CK-ին, և AC-ն՝ CH-ին, [CK-ն կրկնապատիկն է CH-ից], իսկ KB-ն նույնպես կրկնապատիկն է BH-ից [Պնդում 6.1]։ Այսպիսով, KB-ն հավասար է LH-ի գումարած HB-ին։ Եվ ամբողջ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է ամբողջ CG-ին։ Այսպիսով, մնացորդ HF-ն նույնպես հավասար է մնացորդ BG-ին։ Եվ BG-ն այն բազմապատկիչն է, որը պարունակում է CDB։ Քանի որ CD-ն հավասար է DG-ին։ Եվ HF-ն CB-ի վրա քառակուսին է։ Այսպիսով, CDB բազմապատկիչը հավասար է CB-ի վրա քառակուսուն։

Այսպիսով, ինչպես DC-ն է CB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CB-ն է BD-ի նկատմամբ [Պնդում 6.17]։ Եվ քանի որ DC-ն ավելի մեծ է, քան CB (տես լեմա), ապա CB-ն նույնպես ավելի մեծ է, քան BD [Պնդում 5.14]։ Այսպիսով, եթե CD ուղիղ գծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։

Այսպիսով, եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։

Լեմմա

Ապացուցենք, որ ։

Ենթադրենք ավելի մեծ չէ քան BC, և ։ Այսպիսով ։ Հետևում է, որ ։ Ենթադրվում էր, որ ։ Հետևաբար, , որը և հակասում է պայմանին (Պնդ․ 2․4)։ Այսպիսով , նույն կերպ, կարող ենք ասել, որ CB-ից ավելի փոքր հատվածը հավասար չէ : Այսպիսով, , որն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 3

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր հատվածի և մեծ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է մեծ հատվածի կեսի քառակուսու հնգապատիկին։

Նկ․ 3

Դիցուք՝ եթե AB հատվածը բաժանենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, այնպես որ AC մեր մեծ հատվածն է, և AC-ն կիսենք D-ում, ապա (Նկ․ 3):

Դիտարկենք AE անկյունագծով քառակուսին, ինչպես ցույց է տրված Նկ․ 3-ում։ Քանի որ , ապա (RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին)։ Եվ AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին (Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17), որն էլ հավասար է CBES ուղղանկյան մակերեսին, հետևաբար վերջինս հավասար է RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով CBES ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Ինչպես գիտենք ,և , հետևաբար HL և GF անկյունագծերով քառակուսիների մակերեսները հավասար են։ Այսպիսով , այնպես ինչպես ։ Քանի որ MF անկյունագծով ուղղանկյայն մակերեսը հավասար է FE և CG անկյունագծերով ուղանկյունների մակերեսներին, հետևաբար վերջիններս նույնպես հավասար են: Եթե СN անկյունագծով ուղղանկյունն ավելացնենք երկուսին էլ, ապա կարող ենք ասել, որ գնոմոն OPQ հավասար է CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին։ Եվ ինչպես ցույց էր տրվել վերևում, CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար գնոմոն OPQ-ն նույնպես հավասար է FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսի քառապատիկին։ Հետևաբար գնոմոն OPQ հավասար է 5 անգամ FG-ի մակերեսին։ Բայց մենք գիտենք, որ գնոմոն OPQ-ի և FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսի գումարը հավասար է DN անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Իսկ վերջինիս մակերեսը հավասար է , իսկ GF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է : Այսպիսով , ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 4

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր և մեծ հատվածների քառակուսիների գումարը հավասար է մեծ հատվածի քառակուսու եռապատիկին։

Նկ․ 4

Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է (Նկ․ 4)։ Ես պնդում եմ, որ :

Դիտարկենք քառակուսի ADEB (Նկ․ 4): Քանի որ AB մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը AC կողմով քառակուսու մակերեսին (Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)։ AK անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է AB և BC կողմերով ուղղանկյանը, և HG անկյունագծով քառակուսին հավասար է AC կողմով քառակուսուն, հետևաբար AK և HG անկյունագծով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են։ Քանի որ AF և FE անկյունագծերով ուղղանկյունները հավասար են (Պնդ․ 1․43), և CBKF քառակուսին ընդհանուր է, հետևաբար ABKH և CBEG ուղանկյունները հավասար են։ Այսպիսով, AK և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է AK անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկին։ Քանի որ AK և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է գնոմոն LMN-ի և CK անկյունագծով քառակուսու մակերեսների գումարին, ապա գնոմոն LMN և CK-ն հավասար է AK անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկին: Եվ ինչպես ցույց էր տրվել վերևում, վերջինս հավասար է նաև HG անկյունագծով քառակուսուն, հետևաբար գնոմոն LMN-ը

Ստացված է «https://grapaharan.org/index.php?title=Տարերք/Գիրք_13&oldid=15317» էջից