«Տարերք/Գիրք 13»–ի խմբագրումների տարբերություն

22:38, 11 Դեկտեմբերի 2024-ի տարբերակ

Pages 506-530

Պնդում 1

Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։

Թող AB ուղիղ գիծը կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Թող AD ուղիղ գիծը երկարացվի՝ անցնելով CA։ Եվ թող AD-ն լինի AB-ի կեսը։ Ասում եմ, որ CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։

Թող AB և DC վրա քառակուսիները՝ AE և DF, նկարագրվեն։ Եվ DF պատկերում գծվի։ Եվ թող գիծը FC գծվի՝ հասնելով G-ին։ Եվ քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, ապա ABC բազմապատկիչը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Եվ CE-ն ABC բազմապատկիչն է, իսկ FH-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CE-ն հավասար է FH-ին։ Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, իսկ BA-ն հավասար է KA-ին, և AD-ն՝ AH-ին, ապա KA-ն նույնպես կրկնապատիկն է AH-ի։ Եվ քանի որ KA-ն AH-ի նկատմամբ հարաբերություն է, CK-ն նույնպես CH-ի կրկնապատիկն է [Պնդում 6.1]։ Այսպիսով, CK-ն կրկնապատիկն է CH-ի։ Եվ LH-ն գումարած HC կրկնապատիկն է CH-ի [Պնդում 1.43]։ Այսպիսով, KC-ն հավասար է LH-ի գումարած HC-ի։ Եվ CE-ն ցույց տրվեց, որ հավասար է HF-ին։ Այսպիսով, ամբողջ քառակուսի AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։

Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, BA-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է AD-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, AE-ն չորսապատիկն է DH-ի։ Եվ AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։ Եվ, այսպիսով, գնոմոն MNO-ն նույնպես չորսապատիկն է AP-ի։ Այսպիսով, ամբողջ DF-ը հնգապատիկն է AP-ի։ Եվ DF-ը CD-ի վրա քառակուսին է, իսկ AP-ն՝ DA-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։

Այսպիսով, եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։

Պնդում 2

Եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։

Թող AB ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC կտորի վրա քառակուսու։ Եվ թող CD-ն լինի կրկնապատիկ AC-ից։ Ասում եմ, որ եթե CD-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։

Թող AB և CD վրա քառակուսիները՝ AF և CG, նկարագրվեն։ Եվ թող AF պատկերում գծվի։ Եվ թող BE գիծը գծվի։ Եվ քանի որ BA-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC-ի վրա քառակուսու, ապա AF-ն հնգապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, ապա DC-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, CG-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ չորսապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն հավասար է CG-ին։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, և DC-ն հավասար է CK-ին, և AC-ն՝ CH-ին, [CK-ն կրկնապատիկն է CH-ից], իսկ KB-ն նույնպես կրկնապատիկն է BH-ից [Պնդում 6.1]։ Այսպիսով, KB-ն հավասար է LH-ի գումարած HB-ին։ Եվ ամբողջ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է ամբողջ CG-ին։ Այսպիսով, մնացորդ HF-ն նույնպես հավասար է մնացորդ BG-ին։ Եվ BG-ն այն բազմապատկիչն է, որը պարունակում է CDB։ Քանի որ CD-ն հավասար է DG-ին։ Եվ HF-ն CB-ի վրա քառակուսին է։ Այսպիսով, CDB բազմապատկիչը հավասար է CB-ի վրա քառակուսուն։

Այսպիսով, ինչպես DC-ն է CB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CB-ն է BD-ի նկատմամբ [Պնդում 6.17]։ Եվ քանի որ DC-ն ավելի մեծ է, քան CB (տես լեմա), ապա CB-ն նույնպես ավելի մեծ է, քան BD [Պնդում 5.14]։ Այսպիսով, եթե CD ուղիղ գծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։

Այսպիսով, եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։

Լեմմա

Եվ կարող է ցույց տրվել, որ կրկնապատիկ AC-ը (այսինքն՝ DC-ն) ավելի մեծ է, քան BC, ինչպես հետևյալը։

Եթե (կրկնապատիկ AC-ը) ոչ (մեծ է BC-ից), եթե հնարավոր է, թող BC-ն լինի կրկնապատիկ CA-ից։ Այսպիսով, BC-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու։ Այսպիսով, BC-ի և CA-ի վրա քառակուսիների (հավաքածուն) հնգապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու։ Եվ BA-ի վրա քառակուսին համարվեց հնգապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու։ Այսպիսով, BA-ի վրա քառակուսին հավասար է BC-ի և CA-ի վրա քառակուսիների (հավաքածուն)։ Սա՝ անխուսափելի է [Պնդում 2.4]։ Այսպիսով, CB-ն չի կարող լինել կրկնապատիկ AC-ից։ Ուստի, նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ ուղիղ գիծը, որը փոքր է CB-ից, նույնպես չի կարող լինել կրկնապատիկ AC-ից։ Ասածը՝ ավելի մեծ հակասություն է։ Այսպիսով, կրկնապատիկ AC-ը ավելի մեծ է, քան CB։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։

Պնդում 3

Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր կտորի վրա քառակուսին, ավելացված մեծ կտորի կեսին, հնգապատիկն է մեծ կտորի կեսի վրա քառակուսու։

Թող ինչ-որ ուղիղ գիծ AB կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում։ Եվ թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AC-ն կտրված լինի կեսում՝ D կետում։ Ասում եմ, որ BD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու։ Թող AE քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա։ Եվ թող պատկերն լիներ կրկնակի։ Քանի որ AC-ն կրկնապատիկ է DC-ից, ապա AC-ի վրա քառակուսին՝ դա չորսապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն՝ RS-ն չորսապատիկն է FG-ից։ Եվ քանի որ ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17], և CE-ն ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունն է, ապա CE-ն հավասար է RS-ին։ Եվ RS-ն չորսապատիկն է FG-ից։ Այսպիսով, CE-ն նույնպես չորսապատիկն է FG-ից։ Վերջապես, քանի որ AD-ն հավասար է DC-ին, ապա HK-ն նույնպես հավասար է KF-ին։ Ուստի, GF քառակուսին նույնպես հավասար է HL քառակուսուն։ Այսպիսով, GK-ն հավասար է KL-ին՝ այսինքն՝ MN-ն հավասար է NE-ին։ Ուստի, MF-ն նույնպես հավասար է FE-ին։ Բայց, MF-ն հավասար է CG-ին։ Այսպիսով, CG-ն նույնպես հավասար է FE-ին։ Թող CN-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ հավասար է CE-ին։ Բայց, CE-ն ցույց տրված է, որ հավասար է չորսապատիկ GF-ին։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ նույնպես չորսապատիկն է GF քառակուսուց։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ գումարած GF քառակուսին հնգապատիկն է GF քառակուսուց։ Բայց, գնոմոնը OPQ գումարած GF քառակուսին դա DN քառակուսին է։ Եվ DN-ը DB-ի վրա քառակուսին է, իսկ GF-ն՝ DC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, DB-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։

Պնդում 4

Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա ամբողջ գծի և փոքր կտորի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է մեծ կտորի վրա քառակուսու։

Թող AB լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է CA-ի վրա քառակուսուց։ Թող ADEB քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա, և թող մնացած պատկերն ընդունի իր ձևը։ Քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և AC-ն մեծ կտոր է, ապա ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Եվ AK-ն է ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը, և HG-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AK-ն հավասար է HG-ին։ Եվ քանի որ AF-ն հավասար է FE-ին [Պնդում 1.43], թող CK-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, ամբողջ AK-ն հավասար է ամբողջ CE-ին։ Այսպիսով, AK-ն և CE-ն միասին հավասար են երկու անգամ AK-ին։ Բայց, AK-ն և CE-ն միասին դա է գնոմոնը LMN, որը գումարած CK քառակուսին։ Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է երկու անգամ AK-ին։ Բայց, իսկապես, AK-ն նաև ցույց տրված է, որ հավասար է HG-ին։ Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է HG-ին։ Եվ այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները երեքապատիկն են HG քառակուսուց։ Եվ գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները ամբողջ AE-ն են գումարած CK-ը՝ որոնք են AB և BC քառակուսիները (համապատասխանաբար), և GH-ը՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է AC-ի վրա քառակուսուց։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։

Պնդում 5

Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և այդ մեծ կտորին հավասար ուղիղ գիծը ավելացվում է դրան, ապա ամբողջ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և սկզբնական ուղիղ գիծը մեծ կտորն է։

Թող AB լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AD-ն [դառնա] հավասար AC-ին։ Ասում եմ, որ DB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ A կետում, և որ սկզբնական AB ուղիղ գիծը մեծ կտորն է։ Թող AE քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա, և թող մնացած պատկերն ընդունի իր ձևը։ Քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, ապա ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Եվ CE-ն է ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը, և CH-ը՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Բայց, HE-ն հավասար է CE-ին [Պնդում 1.43], և DH-ն հավասար է HC-ին։ Այսպիսով, DH-ն նաև հավասար է HE-ին։ [Թող HB-ն ավելացվի երկուսի վրա]։ Այսպիսով, ամբողջ DK-ն հավասար է ամբողջ AE-ին։ Եվ DK-ն է BD և DA-ում պարունակվող ուղղանկյունը։ Քանի որ AD-ն հավասար է DL-ին, և AE-ն է AB-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, BD-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AB-ի վրա քառակուսուն։ Այսպիսով, ինչպես DB-ն է BA-ի նկատմամբ, այնպես էլ BA-ն է AD-ի նկատմամբ [Պնդում 6.17]։ Եվ DB-ն ավելի մեծ է BA-ից։ Այսպիսով, BA-ն նույնպես ավելի մեծ է AD-ից [Պնդում 5.14]։ Այսպիսով, DB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ A կետում, և մեծ կտորը AB-ն է։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։

Պնդում 6

Եթե մի ռացիոնալ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա յուրաքանչյուր կտորը կլինի այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։

Թող AB լինի ռացիոնալ ուղիղ գիծ, որը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AC և CB-ը, յուրաքանչյուրը, կլինեն այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։

Թող BA-ն ընդարձակվի, և թող AD-ն արվի (հավասար) BA-ի կեսին։ Այսպիսով, քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և AD-ն, որը BA-ի կեսն է, ավելացվել է մեծ կտոր AC-ին, ապա CD-ի վրա քառակուսին կլինի հինգ անգամ DA-ի վրա քառակուսիին [Պնդում 13.1]։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին և DA-ի վրա քառակուսին կունենան հարաբերություն, որը նման է մի թվի հարաբերությանը մյուս թվին։ CD-ի վրա քառակուսին, հետևաբար, համահունչ կլինի DA-ի վրա քառակուսուն [Պնդում 10.6]։ Իսկ DA-ի վրա քառակուսին կլինի ռացիոնալ, քանի որ DA-ն ռացիոնալ է, երբ որ AB-ն ռացիոնալ է։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին նույնպես կլինի ռացիոնալ [Սահմանում 10.4]։ Այսպիսով, CD-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ քանի որ CD-ի վրա քառակուսին չի ունենում հարաբերություն DA-ի վրա քառակուսիին, որը նման է քառակուսի թվերի հարաբերությանը, ապա CD-ն չհամապատասխանում է DA-ի երկարության հետ [Պնդում 10.9]։ Այսպիսով, CD և DA-ը այն ռացիոնալ ուղիղ գծերն են, որոնք համահունչ են միայն քառակուսու տեսքով։ Այսպիսով, AC-ն կլինի ապոտոմ [Պնդում 10.73]։

Կրկին, քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և AC-ն մեծ կտորն է, ապա AB և BC-ի պարունակած ուղղանկյունը կլինի հավասար AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Այսպիսով, AC-ի վրա ապոտոմի քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի AB-ի վրա, կկազմի BC՝ որպես լայնություն։ Եվ ապոտոմի վրա քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի վրա, կկազմի առաջին ապոտոմը՝ որպես լայնություն [Պնդում 10.97]։ Այսպիսով, CB-ն կլինի առաջին ապոտոմ։ Եվ CA-ն նույնպես ցույց տրված է որպես ապոտոմ։

Այսպիսով, եթե մի ռացիոնալ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա յուրաքանչյուր կտորը կլինի այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։

Պնդում 7

• • If three angles, either consecutive or not consecutive, of an equilateral pentagon are equal then the pentagon will be equiangular.**

Թող երեք անկյունները, որոնք լինելու են կամ հաջորդական, կամ ոչ հաջորդական, հավասար կլինեն հավասարանկյուն պենտագոնում, ապա պենտագոնը կլինի հավասարանկյուն։

Դա ցույց տալու համար, թող պենտագոնի ABCDE երեք անկյունները՝ առաջին հերթին A, B և C կետերում, հավասար լինեն իրար։ Ես ասում եմ, որ պենտագոնը ABCDE հավասարանկյուն է։

Թող AC, BE և FD լինեն միացված։ Եվ քանի որ երկու (ուղղաձիգ գծերը) CB և BA հավասար են երկու (ուղղաձիգ գծերին) BA և AE համապատասխանաբար, և CBA անկյունը հավասար է BAE անկյունին, ապա AC հիմքը հավասար կլինի BE հիմքին, և ABC եռանկյունը հավասար կլինի ABE եռանկյունին, և մնացած անկյունները հավասար կլինեն մնացած անկյուններին, որոնք հավասար կողմերի տրված անկյուններին ենթադրում են [Պրոֆ. 1.4]։ Իսկ դա նշանակում է, որ BCA (հավասար է) BEA-ին, իսկ ABE-ը (հավասար է) CAB-ին։

Այսպիսով, AF կողմը նույնպես հավասար է BF կողմին [Պրոֆ. 1.6]։ Եվ ամբողջ AC-ն նույնպես ցույց է տրվել, որ հավասար է BE-ին։ Այսպիսով, մնացորդը FC նույնպես հավասար կլինի FE-ին։ Եվ CD-ն նույնպես հավասար է DE-ին։

Այսպիսով, երկու (ուղղաձիգ գծերը) FC և CD հավասար են երկու FE և ED համապատասխանաբար։ Իսկ FD-ը նրանց ընդհանուր հիմքն է։ Այսպիսով, FCD անկյունը հավասար է FED անկյունին [Պրոֆ. 1.8]։

Եվ BCA-ն նույնպես ցույց է տրվել, որ հավասար է AEB-ին։ Այսպիսով, ամբողջ BCD-ն հավասար է AED-ին։ Բայց, BCD անկյունը ենթադրվել էր, որ հավասար է A և B անկյուններին։ Այսպիսով, AED անկյունը նույնպես հավասար կլինի A և B անկյուններին։

Այսպիսով, նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ CDE անկյունը նույնպես հավասար է A, B, C անկյուններին։ Այսպիսով, պենտագոնը ABCDE հավասարանկյուն է։