«Տարերք/Գիրք 8»–ի խմբագրումների տարբերություն
No edit summary |
No edit summary |
||
| (13 intermediate revisions by 2 users not shown) | |||
| Տող 8. | Տող 8. | ||
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]] |
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]] |
||
''' |
|||
Ամեն տեսակ տրված հարաբերությունների համար, որոնք արտահայտված են նվազագույն թվերով, անհրաժեշտ է գտնել նվազագույն թվեր, որոնք շարունակաբար համեմատական են այդ տրված հարաբերություններում։ |
|||
== Պնդում 1 == |
|||
[[Պատկեր:Example.jpg]] |
|||
Եթե կա շարունակաբար համեմատվող թվերի որևէ խումբ, և այդ խմբի արտաքնապես թվերը միմյանց համապատասխան չեն, ապա այս թվերը կլինեն |
|||
Թող տրված հարաբերությունները, արտահայտված նվազագույն թվերով, լինեն A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և, վերջապես, E-ի և F-ի հարաբերությունները։ Անհրաժեշտ է գտնել նվազագույն թվերը, որոնք շարունակաբար համեմատական են A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և E-ի և F-ի հարաբերություններում։ |
|||
ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն: |
|||
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 8 Proposition 1.png|center|350px]] |
|||
Թող A, B, C, D լինեն շարունակաբարհամեմատվող թվերի ցանկացած խումբ։ Եվ թող այդ խումբիարտաքնապես թվերը՝ A և D, միմյանց համապատասխան չեն: Ես ասում եմ, որ A,B, C, D-ը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։ |
|||
Եթե ոչ, թող E, F, G, H լինեն A, B, C, D-ից փոքր, լինելով նույն հարաբերության մեջ նրանց հետ։ Եվ քանի որ A, B, C, D-ը նույն հարաբերությունն ունեն E, F, G, H-ի հետ, ապա A, B, C, D-ի բազմապատկումը հավասար է E, F, G, H-ի բազմապատկմանը։ Հետևաբար, ըստ հավասարության, ինչպես A-ն՝ D-ին, այնպես էլ E-ն՝ H-ին, ուստի A և D թվերը միմյանց համապատասխան են, և դրանք միմյանց պնդեն։ |
|||
Թող G-ն լինի նվազագույն թիվը, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից [Նախ. 7.34]։ Եվ որքան անգամ B-ն բաժանում է G-ին, նույնքան անգամ թող A-ն բաժանի H-ին։ Եվ որքան անգամ C-ն բաժանում է G-ին, նույնքան անգամ թող D-ն բաժանի K-ին։ Եվ E-ն կամ բաժանում է K-ին, կամ չի բաժանում։ Նախ, թող բաժանի (K-ին)։ Եվ որքան անգամ E-ն բաժանում է K-ին, նույնքան անգամ թող F-ն բաժանի L-ին։ Քանի որ A-ն բաժանում է H-ին նույնքան անգամ, որքան B-ն բաժանում է G-ին, հետևում է, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ H-ը G-ի նկատմամբ է [Սահ. 7.20, Նախ. 7.13]։ Նույն հիմքով, ինչպես C-ն է D-ի նկատմամբ, այնպես էլ K-ը L-ի նկատմամբ է։ Այսպիսով, H, G, K, L թվերը շարունակաբար համեմատական են A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և E-ի և F-ի հարաբերություններում։ |
|||
Այսպիսով, A-ն չափում է E-ն՝ մեծը՝ փոքրին։ Սա անհնար է։ Հետևաբար, E, F, G, H թվերը չեն կարող նույն հարաբերությամբ լինել A, B, C, D-ի հետ։ |
|||
Ես ասում եմ, որ այս թվերը նվազագույն թվերն են, որոնք շարունակաբար համեմատական են այդ հարաբերություններում։ Եթե H, G, K, L թվերը նվազագույն շարունակաբար համեմատական թվերը չեն A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և E-ի և F-ի հարաբերություններում, ապա թող N, O, M, P թվերը լինեն այդպիսի նվազագույն թվերը։ Եվ քանի որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ N-ը O-ի նկատմամբ է, և A-ն և B-ն նվազագույն թվեր են (որոնք ունեն նույն հարաբերությունը), և նվազագույն թվերը նույն հարաբերությամբ թվերին բաժանում են նույնքան անգամ, ուստի B-ն բաժանում է O-ին։ Նույն կերպ նաև C-ն բաժանում է O-ին։ Այսպիսով, նվազագույն թիվը, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից, կբաժանի նաև O-ին [Նախ. 7.35]։ Եվ G-ն նվազագույն թիվն է, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից։ |
|||
A, B, C, D թվերը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։ |
|||
Այսպիսով, մենք դա ապացուցեցինք։ |
|||
== Պնդում 2 == |
|||
Հարթ թվերը միմյանց նկատմամբ ունեն հարաբերություն, որը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից: |
|||
Թող A և B լինեն հարթ թվեր, և թող C և D թվերը լինեն A-ի կողմերը, իսկ E և F (թվերը)՝ B-ի (կողմերը): Ասում եմ, որ A-ն ունի B-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից: |
|||
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 8 Proposition 2.png|center|350px]] |
|||
Քանի որ տրված են հարաբերությունները, որոնցով C-ն ունի E-ի նկատմամբ, և D-ն (ունի) F-ի նկատմամբ, թող նվազագույն թվերը՝ G, H, K, շարունակաբար համեմատական լինեն CE, DF հարաբերություններում [Հիմք 8.4], այնպես, որ ինչպես C-ն E-ին է, այնպես էլ G-ն (լինի) H-ին, և ինչպես D-ն (լինի) F-ին, այնպես էլ H-ն (լինի) K-ին: Եվ թող D-ն ստեղծի L՝ E-ն բազմապատկելով: |
|||
Եվ քանի որ D-ն ստեղծել է A-ն՝ C-ն բազմապատկելով, և ստեղծել է L-ն՝ E-ն բազմապատկելով, ուրեմն, ինչպես C-ն E-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին [Հիմք 7.17]: Եվ ինչպես C-ն (լինում է) E-ին, այնպես էլ G-ն (լինում է) H-ին: Ուստի, ինչպես G-ն (լինում է) H-ին, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին: |
|||
Կրկին, քանի որ E-ն ստեղծել է L-ն՝ D-ն բազմապատկելով [Հիմք 7.16], բայց իրականում նաև ստեղծել է B-ն՝ F-ն բազմապատկելով, ուրեմն, ինչպես D-ն F-ին է, այնպես էլ L-ն (լինում է) B-ին [Հիմք 7.17]: Բայց ինչպես D-ն (լինում է) F-ին, այնպես էլ H-ն (լինում է) K-ին: Ուստի, ինչպես H-ն (լինում է) K-ին, այնպես էլ L-ն (լինում է) B-ին: Եվ արդեն ցույց էր տրվել, որ ինչպես G-ն (լինում է) H-ին, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին: |
|||
Ուստի, հավասարության միջոցով, ինչպես G-ն K-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) B-ին [Հիմք 7.14]: Եվ G-ն ունի K-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է կողմերի (A-ի և B-ի) հարաբերություններից: Ուստի, A-ն նույնպես ունի B-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է կողմերի (A-ի և B-ի) հարաբերություններից: |
|||
== Պնդում 3 == |
|||
Եթե որևէ քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր կան, և առաջինը չի չափում երկրորդին, ապա ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ): |
|||
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 8 Proposition 3.png|center|350px]] |
|||
Թող A, B, C, D, E լինեն ցանկացած քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր, և թող A-ն չչափի B-ին: Ասում եմ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ): |
|||
Հիմա պարզ է, որ A, B, C, D, E-ն հաջորդաբար չեն չափում միմյանց: Քանի որ A-ն նույնիսկ չի չափում B-ին: Ուստի ասում եմ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ): |
|||
Եթե հնարավոր է, թող A-ն չափի C-ին: Եվ որքան (թվեր) որ A, B, C-ն են, թող այդքան նվազագույն թվեր՝ F, G, H, ընտրված լինեն նրանցից (թվերից), որոնք ունեն նույն հարաբերությունը, ինչ A, B, C [Հիմք 7.33]: Եվ քանի որ F, G, H-ն ունեն նույն հարաբերությունը, ինչ A, B, C-ն, և A, B, C-ի քանակը հավասար է F, G, H-ի քանակին, ուրեմն, հավասարության միջոցով, ինչպես A-ն C-ին է, այնպես էլ F-ը (լինում է) H-ին [Հիմք 7.14]: |
|||
Եվ քանի որ ինչպես A-ն B-ին է, այնպես էլ F-ը (լինում է) G-ին, և A-ն չի չափում B-ին, ապա F-ը նույնպես չի չափում G-ին [Սահմանում 7.20]: Ուստի F-ը միավոր չէ: Քանի որ միավորը չափում է բոլոր թվերը: Եվ F-ն ու H-ն միմյանց նկատմամբ պարզ թվեր են [Հիմք 8.3], (և, հետևաբար, F-ը չի չափում H-ին): Եվ ինչպես F-ը H-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) C-ին: Ուստի A-ն նույնպես չի չափում C-ին [Սահմանում 7.20]: |
|||
Այսպիսով, նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի կարող չափել որևէ այլ (թիվ): (Ինչը) հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ: |
|||
== Նշումներ == |
|||
<references/> |
|||
Ընթացիկ տարբերակը 01:14, 14 դեկտեմբերի 2024-ի դրությամբ
հեղինակ՝ էվկլիդես |
Պնդում 1
Եթե կա շարունակաբար համեմատվող թվերի որևէ խումբ, և այդ խմբի արտաքնապես թվերը միմյանց համապատասխան չեն, ապա այս թվերը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն:
Թող A, B, C, D լինեն շարունակաբարհամեմատվող թվերի ցանկացած խումբ։ Եվ թող այդ խումբիարտաքնապես թվերը՝ A և D, միմյանց համապատասխան չեն: Ես ասում եմ, որ A,B, C, D-ը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։
Եթե ոչ, թող E, F, G, H լինեն A, B, C, D-ից փոքր, լինելով նույն հարաբերության մեջ նրանց հետ։ Եվ քանի որ A, B, C, D-ը նույն հարաբերությունն ունեն E, F, G, H-ի հետ, ապա A, B, C, D-ի բազմապատկումը հավասար է E, F, G, H-ի բազմապատկմանը։ Հետևաբար, ըստ հավասարության, ինչպես A-ն՝ D-ին, այնպես էլ E-ն՝ H-ին, ուստի A և D թվերը միմյանց համապատասխան են, և դրանք միմյանց պնդեն։
Այսպիսով, A-ն չափում է E-ն՝ մեծը՝ փոքրին։ Սա անհնար է։ Հետևաբար, E, F, G, H թվերը չեն կարող նույն հարաբերությամբ լինել A, B, C, D-ի հետ։ A, B, C, D թվերը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։ Այսպիսով, մենք դա ապացուցեցինք։
Պնդում 2
Հարթ թվերը միմյանց նկատմամբ ունեն հարաբերություն, որը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից: Թող A և B լինեն հարթ թվեր, և թող C և D թվերը լինեն A-ի կողմերը, իսկ E և F (թվերը)՝ B-ի (կողմերը): Ասում եմ, որ A-ն ունի B-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից:
Քանի որ տրված են հարաբերությունները, որոնցով C-ն ունի E-ի նկատմամբ, և D-ն (ունի) F-ի նկատմամբ, թող նվազագույն թվերը՝ G, H, K, շարունակաբար համեմատական լինեն CE, DF հարաբերություններում [Հիմք 8.4], այնպես, որ ինչպես C-ն E-ին է, այնպես էլ G-ն (լինի) H-ին, և ինչպես D-ն (լինի) F-ին, այնպես էլ H-ն (լինի) K-ին: Եվ թող D-ն ստեղծի L՝ E-ն բազմապատկելով:
Եվ քանի որ D-ն ստեղծել է A-ն՝ C-ն բազմապատկելով, և ստեղծել է L-ն՝ E-ն բազմապատկելով, ուրեմն, ինչպես C-ն E-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին [Հիմք 7.17]: Եվ ինչպես C-ն (լինում է) E-ին, այնպես էլ G-ն (լինում է) H-ին: Ուստի, ինչպես G-ն (լինում է) H-ին, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին:
Կրկին, քանի որ E-ն ստեղծել է L-ն՝ D-ն բազմապատկելով [Հիմք 7.16], բայց իրականում նաև ստեղծել է B-ն՝ F-ն բազմապատկելով, ուրեմն, ինչպես D-ն F-ին է, այնպես էլ L-ն (լինում է) B-ին [Հիմք 7.17]: Բայց ինչպես D-ն (լինում է) F-ին, այնպես էլ H-ն (լինում է) K-ին: Ուստի, ինչպես H-ն (լինում է) K-ին, այնպես էլ L-ն (լինում է) B-ին: Եվ արդեն ցույց էր տրվել, որ ինչպես G-ն (լինում է) H-ին, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին:
Ուստի, հավասարության միջոցով, ինչպես G-ն K-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) B-ին [Հիմք 7.14]: Եվ G-ն ունի K-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է կողմերի (A-ի և B-ի) հարաբերություններից: Ուստի, A-ն նույնպես ունի B-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է կողմերի (A-ի և B-ի) հարաբերություններից:
Պնդում 3
Եթե որևէ քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր կան, և առաջինը չի չափում երկրորդին, ապա ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ):
Թող A, B, C, D, E լինեն ցանկացած քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր, և թող A-ն չչափի B-ին: Ասում եմ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ):
Հիմա պարզ է, որ A, B, C, D, E-ն հաջորդաբար չեն չափում միմյանց: Քանի որ A-ն նույնիսկ չի չափում B-ին: Ուստի ասում եմ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ):
Եթե հնարավոր է, թող A-ն չափի C-ին: Եվ որքան (թվեր) որ A, B, C-ն են, թող այդքան նվազագույն թվեր՝ F, G, H, ընտրված լինեն նրանցից (թվերից), որոնք ունեն նույն հարաբերությունը, ինչ A, B, C [Հիմք 7.33]: Եվ քանի որ F, G, H-ն ունեն նույն հարաբերությունը, ինչ A, B, C-ն, և A, B, C-ի քանակը հավասար է F, G, H-ի քանակին, ուրեմն, հավասարության միջոցով, ինչպես A-ն C-ին է, այնպես էլ F-ը (լինում է) H-ին [Հիմք 7.14]:
Եվ քանի որ ինչպես A-ն B-ին է, այնպես էլ F-ը (լինում է) G-ին, և A-ն չի չափում B-ին, ապա F-ը նույնպես չի չափում G-ին [Սահմանում 7.20]: Ուստի F-ը միավոր չէ: Քանի որ միավորը չափում է բոլոր թվերը: Եվ F-ն ու H-ն միմյանց նկատմամբ պարզ թվեր են [Հիմք 8.3], (և, հետևաբար, F-ը չի չափում H-ին): Եվ ինչպես F-ը H-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) C-ին: Ուստի A-ն նույնպես չի չափում C-ին [Սահմանում 7.20]:
Այսպիսով, նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի կարող չափել որևէ այլ (թիվ): (Ինչը) հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ: