[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
Ամեն տեսակ տրված հարաբերությունների համար, որոնք արտահայտված են նվազագույն թվերով, անհրաժեշտ է գտնել նվազագույն թվեր, որոնք շարունակաբար համեմատական են այդ տրված հարաբերություններում։'''
image== Պնդում 1 ==
Թող տրված հարաբերություններըԵթե կա շարունակաբար համեմատվող թվերի որևէ խումբ, արտահայտված նվազագույն թվերովև այդ խմբի արտաքնապես թվերը միմյանց համապատասխան չեն, լինեն ապա այս թվերը կլինենամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն:[[Պատկեր:Euclid Elements Book 8 Proposition 1.png|center|350px]]Թող A-ի և , B-ի, C-ի , D լինեն շարունակաբարհամեմատվող թվերի ցանկացած խումբ։ Եվ թող այդ խումբիարտաքնապես թվերը՝ A և D-ի, ևմիմյանց համապատասխան չեն: Ես ասում եմ, վերջապեսոր A, E-ի և F-ի հարաբերությունները։ Անհրաժեշտ է գտնել նվազագույն թվերը, որոնք շարունակաբար համեմատական են A-ի և B-ի, C-ի և , D-իը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, և E-ի և F-ի հարաբերություններում։որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։
Թող Եթե ոչ, թող E, F, G-ն լինի նվազագույն թիվը, որը բաժանվում է թե՛ H լինեն A, B-ի, թե՛ C, D-ի կողմից [Նախ. 7.34]։ ից փոքր, լինելով նույն հարաբերության մեջ նրանց հետ։ Եվ որքան անգամ քանի որ A, B-ն բաժանում է G-ին, նույնքան անգամ թող A-ն բաժանի H-ին։ Եվ որքան անգամ C-ն բաժանում է G-ին, նույնքան անգամ թող D-ն բաժանի K-ին։ Եվ ը նույն հարաբերությունն ունեն E-ն կամ բաժանում է K-ին, կամ չի բաժանում։ ՆախF, թող բաժանի (KG, H-ին)։ Եվ որքան անգամ E-ն բաժանում է K-ինի հետ, նույնքան անգամ թող F-ն բաժանի L-ին։ Քանի որ ապա A-ն բաժանում է H-ին նույնքան անգամ, որքան B-ն բաժանում է G-ին, հետևում էC, որ ինչպես AD-ն ի բազմապատկումը հավասար է B-ի նկատմամբE, F, G, այնպես էլ H-ը G-ի նկատմամբ է [Սահ. 7.20բազմապատկմանը։ Հետևաբար, Նախ. 7.13]։ Նույն հիմքովըստ հավասարության, ինչպես CA-ն է ն՝ D-ի նկատմամբին, այնպես էլ KE-ը Lն՝ H-ի նկատմամբ է։ Այսպիսովին, H, G, K, L թվերը շարունակաբար համեմատական են ուստի A-ի և B-ի, C-ի և D-իթվերը միմյանց համապատասխան են, և E-ի և F-ի հարաբերություններում։դրանք միմյանց պնդեն։
Այս թվերը նվազագույն թվերն ենԱյսպիսով, որոնք շարունակաբար համեմատական են այդ հարաբերություններում։ Եթե H, G, K, L թվերը նվազագույն շարունակաբար համեմատական թվերը չեն A-ի և Bն չափում է E-ին՝ մեծը՝ փոքրին։ Սա անհնար է։ Հետևաբար, C-ի և D-իE, և E-ի և F-ի հարաբերություններում, ապա թող NG, O, M, P H թվերը լինեն այդպիսի նվազագույն թվերը։ Եվ քանի որ ինչպես չեն կարող նույն հարաբերությամբ լինել A-ն է , B-ի նկատմամբ, այնպես էլ N-ը OC, D-ի նկատմամբ է, և հետ։ A-ն և B-ն նվազագույն թվեր են (որոնք ունեն նույն հարաբերությունը), և նվազագույն թվերը նույն հարաբերությամբ թվերին բաժանում են նույնքան անգամ, ուստի B-ն բաժանում է O-ին։ Նույն կերպ նաև C-ն բաժանում է O-ին։ Այսպիսով, նվազագույն թիվը, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից, կբաժանի նաև O-ին [Նախ. 7.35]։ Եվ G-ն նվազագույն թիվն էD թվերը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որը բաժանվում է թե՛ B-իորոնք նույն հարաբերությունն ունեն։Այսպիսով, թե՛ C-ի կողմից։մենք դա ապացուցեցինք։
Հետևաբար, եթե G բաժանում է O-ն, ինչքան մեծ է բաժանումը, այնքան կքչանա։ Բանն ինքնին անհնար է։ Հետևաբար, չեն կարող լինել թվեր, որոնք փոքր են H, G, K, L-ից և որոնք, շարունակական են և համաչափ to A-ն B-ի, և C-ն D-ի և հետագայում Е և F-ի հանդեպ։== Պնդում 2 ==
imageՀարթ թվերը միմյանց նկատմամբ ունեն հարաբերություն, որը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից:Թող A և B լինեն հարթ թվեր, և թող C և D թվերը լինեն A-ի կողմերը, իսկ E և F (թվերը)՝ B-ի (կողմերը): Ասում եմ, որ A-ն ունի B-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից:[[Պատկեր:Euclid Elements Book 8 Proposition 2.png|center|350px]]Քանի որ տրված են հարաբերությունները, որոնցով C-ն ունի E-ի նկատմամբ, և D-ն (ունի) F-ի նկատմամբ, թող նվազագույն թվերը՝ G, H, K, շարունակաբար համեմատական լինեն CE, DF հարաբերություններում [Հիմք 8.4], այնպես, որ ինչպես C-ն E-ին է, այնպես էլ G-ն (լինի) H-ին, և ինչպես D-ն (լինի) F-ին, այնպես էլ H-ն (լինի) K-ին: Եվ թող D-ն ստեղծի L՝ E-ն բազմապատկելով:
Այժմ թող EԵվ քանի որ D-ն չչափի Kստեղծել է A-ն՝ C-ն: Եվ թող նվազագույն թիվըբազմապատկելով, Mև ստեղծել է L-ըն՝ E-ն բազմապատկելով, որը չափվում ուրեմն, ինչպես C-ն E-ին է , այնպես էլ A-ն (ևլինում է) EL-ով և K-ով, ընտրված լինի ին [Հիմք 7.3417]: Եվ քանի անգամ Kինչպես C-ն չափում (լինում է M) E-ը, նույնքան անգամ թող H-նին, այնպես էլ G-ն նույնպես չափեն N(լինում է) H-ն և O-ն համապատասխանաբարին: Եվ քանի անգամ EՈւստի, ինչպես G-ն չափում (լինում է M) H-ըին, նույնքան անգամ թող Fայնպես էլ A-ն նույնպես չափի P(լինում է) L-նին: Քանի Կրկին, քանի որ HE-ն չափում ստեղծել է NL-ը նույնքան անգամ, որքան Gն՝ D-ն (չափում բազմապատկելով [Հիմք 7.16], բայց իրականում նաև ստեղծել է) OB-ն՝ F-նբազմապատկելով, ուրեմն, ինչպես HD-ն GF-ին է, այնպես էլ NL-ը՝ Oն (լինում է) B-ին [Սահմանում 7.20, Հիմք 7.1317]: Եվ Բայց ինչպես HD-ն (կապակցվում լինում է) GF-ի հետին, այնպես էլ AH-ն (կապակցվում լինում է) BK-ին: Ուստի, ինչպես AH-ն (կապակցվում լինում է) BK-ին, այնպես էլ NL-ը՝ Oն (լինում է) B-ին: Եվ այսպիսով, նույն պատճառներովարդեն ցույց էր տրվել, որ ինչպես CG-ն (կապակցվում լինում է) DH-ին, այնպես էլ OA-ն (կապակցվում լինում է) ML-ին: Դարձյալ Ուստի, քանի որ Eհավասարության միջոցով, ինչպես G-ն չափում է MK-ը նույնքան անգամ, որքան F-ն (չափում ին է) P-ն, ուրեմն, ինչպես Eայնպես էլ A-ն (կապակցվում լինում է) F-ին, այնպես էլ M-ը՝ PB-ին [Սահմանում 7.20, Հիմք 7.1314]: Ուստի, N, O, M, PԵվ G-ն շարունակաբար համեմատական են ունի K-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է կողմերի (A-ի և B-ի) հարաբերություններից: Ուստի, ինչպես նաև CA-ի և Dն նույնպես ունի B-ինկատմամբ հարաբերություն, և վերջապես Eորը կազմված է կողմերի (A-ի և FB-ի հարաբերությամբ) հարաբերություններից: Ասում եմ == Պնդում 3 == Եթե որևէ քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր կան, որ դրանք նաև ամենափոքր և առաջինը չի չափում երկրորդին, ապա ոչ մի այլ (թվերնթիվ) են չի չափի որևէ այլ (թիվ):[[Պատկեր:Euclid Elements Book 8 Proposition 3.png|center|350px]]Թող A , B, C , D, E F հարաբերություններում: Քանի որ եթե ոչ, ապա կլինեն որոշ լինեն ցանկացած քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր, որոնք փոքր են N, O, M, Pև թող A-ից ն չչափի B-ին: Ասում եմ, որ ոչ մի այլ (որոնքթիվ) շարունակաբար համեմատական են չի չափի որևէ այլ (թիվ): Հիմա պարզ է, որ A , B, C , D, E F հարաբերություններով-ն հաջորդաբար չեն չափում միմյանց: Թող դրանք լինեն Q, R, S, T: Եվ քանի Քանի որ ինչպես QA-ն Rնույնիսկ չի չափում B-ին : Ուստի ասում եմ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ): Եթե հնարավոր է, այնպես էլ թող A-ն չափի C-ին: Եվ որքան (կապակցվում էթվեր) որ A, B-ին, և AC-ն և B-ն ամենափոքրն են , թող այդքան նվազագույն թվեր՝ F, G, H, ընտրված լինեն նրանցից (թվերից), որոնք ունեն նույն հարաբերությունը նրանց հետ), և ամենափոքրները չափում են նույն հարաբերությունն ունեցող թվերը հավասար թվովինչ A, առաջնայինը՝ առաջնայինինB, և հետևորդը՝ հետևորդին C [Հիմք 7.2033]: Եվ քանի որ F, BG, H-նունեն նույն հարաբերությունը, ուրեմնինչ A, չափում է RB, C-ը: Ուստին, նույն (պատճառներով)և A, B, C-ն նույնպես չափում ի քանակը հավասար է RF, G, H-ը: Այսպիսովի քանակին, ուրեմն, հավասարության միջոցով, Bինչպես A-ն և C-ն (երկուսն ին է, այնպես էլ) չափում են RF-ը: Այսպիսով, ամենափոքր թիվը, որը չափվում (լինում է (և) BH-ով և C-ով, նույնպես կչափի R-ը ին [Հիմք 7.3514]: Իսկ G-ն ամենափոքր թիվն է, որը չափվում է (և) B-ով և C-ով: Ուստի G-ն չափում է R-ը: Եվ քանի որ ինչպես GA-ն RB-ին է, այնպես էլ KF-ն՝ Sը (լինում է) G-ին: Ուստի, Kև A-ն չի չափում B-ին, ապա F-ը նույնպես չի չափում է SG-ը ին [Սահմանում 7.20]: Եվ EՈւստի F-ն նույնպես ը միավոր չէ: Քանի որ միավորը չափում է S-ը [Հիմք 7.20]բոլոր թվերը: Ուստի, EԵվ F-ն և Kու H-ն (երկուսն էլ) չափում միմյանց նկատմամբ պարզ թվեր են S-ը: Այսպիսով, ամենափոքր թիվը, որը չափվում է (և) E-ով և K-ով, նույնպես կչափի S-ը [Հիմք 78.353]: Իսկ M-ը ամենափոքր (թիվն է), որը չափվում է (և) E-ով և K-ով: Ուստի, Mհետևաբար, F-ը չի չափում է SH-ը՝ մեծը (չափելովին) փոքրին: Սա հակասական Եվ ինչպես F-ը H-ին է: Ուստի չեն կարող լինել որևէ թվեր, որոնք փոքր են N, O, M, Pայնպես էլ A-ից ն (որոնքլինում է) շարունակաբար համեմատական են C-ին: Ուստի A B, -ն նույնպես չի չափում C D, E F հարաբերություններում-ին [Սահմանում 7.20]: Ուստի Այսպիսով, Nնմանապես, Oկարող ենք ցույց տալ, M, P-ն ամենափոքր որ ոչ մի այլ (թվերնթիվ) չի կարող չափել որևէ այլ (թիվ) են, որոնք շարունակաբար համեմատական են A B, C D, E F հարաբերություններում: (Ինչը) հենց այն էրէ, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ: == Նշումներ ==<references/>