Տարերք/Գիրք 8

հեղինակ՝ էվկլիդես աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick

Տարերքի գրքեր

Պնդում 1

Եթե կա շարունակաբար համեմատվող թվերի որևէ խումբ, և այդ խմբի արտաքնապես թվերը միմյանց համապատասխան չեն, ապա այս թվերը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն:

Թող A, B, C, D լինեն շարունակաբարհամեմատվող թվերի ցանկացած խումբ։ Եվ թող այդ խումբիարտաքնապես թվերը՝ A և D, միմյանց համապատասխան չեն: Ես ասում եմ, որ A,B, C, D-ը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։

Եթե ոչ, թող E, F, G, H լինեն A, B, C, D-ից փոքր, լինելով նույն հարաբերության մեջ նրանց հետ։ Եվ քանի որ A, B, C, D-ը նույն հարաբերությունն ունեն E, F, G, H-ի հետ, ապա A, B, C, D-ի բազմապատկումը հավասար է E, F, G, H-ի բազմապատկմանը։ Հետևաբար, ըստ հավասարության, ինչպես A-ն՝ D-ին, այնպես էլ E-ն՝ H-ին, ուստի A և D թվերը միմյանց համապատասխան են, և դրանք միմյանց պնդեն։

Այսպիսով, A-ն չափում է E-ն՝ մեծը՝ փոքրին։ Սա անհնար է։ Հետևաբար, E, F, G, H թվերը չեն կարող նույն հարաբերությամբ լինել A, B, C, D-ի հետ։ A, B, C, D թվերը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։ Այսպիսով, մենք դա ապացուցեցինք։

Պնդում 2

Հարթ թվերը միմյանց նկատմամբ ունեն հարաբերություն, որը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից: Թող A և B լինեն հարթ թվեր, և թող C և D թվերը լինեն A-ի կողմերը, իսկ E և F (թվերը)՝ B-ի (կողմերը): Ասում եմ, որ A-ն ունի B-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից:

Քանի որ տրված են հարաբերությունները, որոնցով C-ն ունի E-ի նկատմամբ, և D-ն (ունի) F-ի նկատմամբ, թող նվազագույն թվերը՝ G, H, K, շարունակաբար համեմատական լինեն CE, DF հարաբերություններում [Հիմք 8.4], այնպես, որ ինչպես C-ն E-ին է, այնպես էլ G-ն (լինի) H-ին, և ինչպես D-ն (լինի) F-ին, այնպես էլ H-ն (լինի) K-ին: Եվ թող D-ն ստեղծի L՝ E-ն բազմապատկելով:

Եվ քանի որ D-ն ստեղծել է A-ն՝ C-ն բազմապատկելով, և ստեղծել է L-ն՝ E-ն բազմապատկելով, ուրեմն, ինչպես C-ն E-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին [Հիմք 7.17]: Եվ ինչպես C-ն (լինում է) E-ին, այնպես էլ G-ն (լինում է) H-ին: Ուստի, ինչպես G-ն (լինում է) H-ին, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին:

Կրկին, քանի որ E-ն ստեղծել է L-ն՝ D-ն բազմապատկելով [Հիմք 7.16], բայց իրականում նաև ստեղծել է B-ն՝ F-ն բազմապատկելով, ուրեմն, ինչպես D-ն F-ին է, այնպես էլ L-ն (լինում է) B-ին [Հիմք 7.17]: Բայց ինչպես D-ն (լինում է) F-ին, այնպես էլ H-ն (լինում է) K-ին: Ուստի, ինչպես H-ն (լինում է) K-ին, այնպես էլ L-ն (լինում է) B-ին: Եվ արդեն ցույց էր տրվել, որ ինչպես G-ն (լինում է) H-ին, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին:

Ուստի, հավասարության միջոցով, ինչպես G-ն K-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) B-ին [Հիմք 7.14]: Եվ G-ն ունի K-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է կողմերի (A-ի և B-ի) հարաբերություններից: Ուստի, A-ն նույնպես ունի B-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է կողմերի (A-ի և B-ի) հարաբերություններից:

Պնդում 3

Եթե որևէ քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր կան, և առաջինը չի չափում երկրորդին, ապա ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ):

Թող A, B, C, D, E լինեն ցանկացած քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր, և թող A-ն չչափի B-ին: Ասում եմ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ):

Հիմա պարզ է, որ A, B, C, D, E-ն հաջորդաբար չեն չափում միմյանց: Քանի որ A-ն նույնիսկ չի չափում B-ին: Ուստի ասում եմ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ):

Եթե հնարավոր է, թող A-ն չափի C-ին: Եվ որքան (թվեր) որ A, B, C-ն են, թող այդքան նվազագույն թվեր՝ F, G, H, ընտրված լինեն նրանցից (թվերից), որոնք ունեն նույն հարաբերությունը, ինչ A, B, C [Հիմք 7.33]: Եվ քանի որ F, G, H-ն ունեն նույն հարաբերությունը, ինչ A, B, C-ն, և A, B, C-ի քանակը հավասար է F, G, H-ի քանակին, ուրեմն, հավասարության միջոցով, ինչպես A-ն C-ին է, այնպես էլ F-ը (լինում է) H-ին [Հիմք 7.14]:

Եվ քանի որ ինչպես A-ն B-ին է, այնպես էլ F-ը (լինում է) G-ին, և A-ն չի չափում B-ին, ապա F-ը նույնպես չի չափում G-ին [Սահմանում 7.20]: Ուստի F-ը միավոր չէ: Քանի որ միավորը չափում է բոլոր թվերը: Եվ F-ն ու H-ն միմյանց նկատմամբ պարզ թվեր են [Հիմք 8.3], (և, հետևաբար, F-ը չի չափում H-ին): Եվ ինչպես F-ը H-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) C-ին: Ուստի A-ն նույնպես չի չափում C-ին [Սահմանում 7.20]:

Այսպիսով, նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի կարող չափել որևէ այլ (թիվ): (Ինչը) հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ: