Changes

Թող ԱԲAB-ն ու ՑC-ն լինեն անհավասար մեծություններ, և թող ԱԲAB-ն լինի նրանցից մեծը, և ԴD-ն ուրիշ պատահական մեծություն է։ Ես ասում եմ որ, ԱԲAB-ն ունի ունի ավելի մեծ հարաբերություն ԴD-ին քան ՑC-ն ԴD-ին և որ ԴD-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն ՑC-ին քան ԱԲAB-ին։

Քանի որ ԱԲAB-ն մեծ է ՑC-ից, թող ԲԵBE-ն լինի հավասար ՑC-ին։ Այսպիսով ԱԵAE-ի և ԵԲEB-ից փոքրը , բազմապատկելով երբեմն մեծ կլինի ԴD-ից [Սահմանում 5.4]: Առաջինը, թող ԱԵAE-ն փոքր կլինի քան ԵԲEB-ն և թող ԱԵAE-ն լինի բազմապատկված, և թող ՖԳFG-ն լինի դրա բազմապատիկը, որը ավելի մեծ է քան ԴD-ն։ Եվ քանի անգամ ՖԳFG-ն բաժանվում է ԱԵAE-ի այդքան անգամ էլ թող ԳՀGH-ն բաժանվի ԵԲEB-ին և ԿK-ն ՑC-ին։ Եվ թող ԴD-ի կրկնապատիկ ԼL-ը վերցված լինի և եռակի բազմապատիկ ՄM-ը և ուրիշները՝ յուրաքանչյուրը մեծանալով մեկով ըստ հերթականության, մինչև որ վերցված բազմապատիկը լինում է ԴD-ի առաջին բազմապատիկը, որը մեծ է ԿK-ից։ Թող դա վերցված լինի և թող դա նույնպես լինի ԴD-ի քառակի բազմապատիկ ՆN-ը՝ առաջին բազմապտիկը ԿK-ից մեծ։ Հետևաբար քանի որ ԿK-ն փոքր է ՆN-ից, ապա ԿK-ն փոքր չէ ՄM-ից։ Եվ քանի որ ՖԳFG-ն ու ԳՀGH-ը համապատասխանաբար ԱԵAE-ի և ԵԲEB-ի հավասար բազմապատիկներ են, հետևաբար ՖԳFG-ն ու ՖՀFH-ը ԱԵAE-ի և ԱԲ—ի AB—ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ են [Պնդում 5.1]։ Եվ FG-ն ու K-ն AE-ի և C—ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ են։ Այդ իսկ պատճառով FH-ն ու K-ն AB-ի և C-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ են։ Կրկին, քանի որ GH-ն ու K-ն EB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկներ են և EB-ն հավասար է C-ին, ապա GH-ը նույնպես հավասար է K-ին։ Եվ K-ն փոքր չէ M-ից։ Հետևաբար, GH-ը նույնպես փոքր չէ M-ից նույնպես։ Եվ FG-ն մեծ է D-ից։ Հետևաբար ամբողջ FH-ը քան D-ն և M-ը գումարված իրար։ Բայց D-ն ու M-ը գումարված հավասար են N-ին, այնքանով որ M-ը D-ի եռապատիկն է և M-ն ու D-ն գումարված հավասար է չորս անգամ D-ի և N-ը նույնպես չորս անգամ D-ն է։ Այսպիսով M-ն ու D-ը գումարված հավասար է N-ի։ Բայց FH-ը մեծ է M-ից ու D-ից։ ՀԵտևաբար FH-ը գերազանցում է N-ին։ Եվ K-ն չի գերազանցում N-ին։ Եվ FH-ն ու K-ն AB—ի և AC-ի հավասար բազմապատիկներ են ու N-ը ուրիշ պատահական D-ի բազմապատիկ է։ Հետևաբար AB-ն ունի ավելի մեծ հաևաբերություն քան D—ին քան C-ն D-ին [Սահմանում 5.7]:Այսպիսով՝ ես ասում եմ որ D-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն C-ին քան D-ն ունի AB-ին։Հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ, որ N-ը գերազանցում է K-ին ու N-ը չի գերազանցում FH-ին։ Եվ N-ը D-ի բազմապատիկ է ու FH, K-ն համապատասխանաբար AB-ի C—ի ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ են։ Այդ իսկ պատճառով D-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն C-ին քան D-ն AB-ին [Սահմանում 5.5]։Եվ թող AB-ն մեծ լինի EB-ից։ Այսպիսով փոքր EB-ն լինելով բազմապատկված երբեմն կգերազանցի D-ին։ Թող դա լինի բազմապատկված, եվ թող GH-ը լինի EB—ի բազմապատիկ, որը մեծ է D-ից։ Եվ այնքան անգամ որքան GH-ը բաժանվում է EB-ի այնքան ագամ էլ թող FG-ն նույնպես բաժանվի AE-ին, իսկ K-ն C-ին։ Հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ որ որ FH-ը ու K-ն AB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկեր են։ Եվ վերոնշյալին հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ որ FH-ն ու K-ն AB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկեր են։ Եվ վերոնշյալին հանգունորեն թող N-ն ու D-ն (որը առաջին բազմապատիկն է մեծ քան FG—ն) վերցված են։ Այսպես FG-ն կրկին փոքր չէ քան M-ը։ Եվ GH-ը մեծ է D-ից։ Այդ իսկ պատճառով ամբողջ FH-ը գերազանցում է D-ին և M-ին, որը N-ն է։ Եվ K-ն չի գերազանցում N-ին, աjնքանով որքան FG-ն, որը մեծ է GH-ից։ այսինքն՝ K—ն նույնպես չի գերազանցում է N-ին: Եվ շարունակելով նույն պնդումներով մենք կարող ենք ավարտել ապացույցը։Այսպիսով՝ Անհավասար մեծությունների համար, ավելի մեծ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն քան փոքրը նույն հարաբերությանը։

Թող AB-ն, CD-ն, E-ն F-ը լինեն չորս համաչափ մեծություններ, այնպես որ AB-ն հարաբերում է CD-ին այնպես ինչպես E-ն F-ին։ Եվ թող AB-ն լինի նրանցից մեծագույնը, իսկ F-ը փոքրագույնը։ Ես ասում եմ որ, AB-ն և F-ը մեծ են քան CD-ն և E-ն։

CD—ին ինչպես E-ն F-ին ու E-ն հավասար է հավասար է AG-ին և F-ը CH-ին, հետևաբար AB-ն հարաբերում է CD—ին CD-ին ինչպես AG-ն CH-ին։ Եվ քանի որ ամբողջ