Changes
== Պնդում 9 ==
Եթե նույն շրջանում նկարագրված ներգծված վեցանկյան և տասանկյան կողմերը միասին գումարվեն, ապա ամբողջ ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (հատման կետում), և նրա մեծ հատվածը տասանկյան կողմն է:<ref>"Եթե շրջանը միավոր շառավիղ ունի, ապա վեցանկյան կողմը հավասար է 1-ի, իսկ տասանկյան կողմը՝ (1/2)(√5 − 1):"</ref>
[[Պատկեր:9.png|center|200px]]
Թող ABC լինի շրջան: Եվ ABC շրջանում նկարագրված պատկերներից, BC լինի տասանկյան կողմը, և CD (կողմը) վեցանկյան կողմը: Եվ թող դրանք դրված լինեն ուղղահայաց: Պետք է ապացուցվի, որ ամբողջ BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (C կետում), և որ CD-ն նրա մեծ հատվածն է:
Թող շրջանի կենտրոնը, E կետը, գտնվի [Պնդում 3.1], և թող EB, EC և ED կետերը միավորված լինեն, և թող BE-ը գծվի A կետին: Քանի որ BC-ն հավասարանկյուն տասանկյան կողմ է, ապա շրջանագիծ ACB-ն 5 անգամ մեծ է BC-ի երկարությունից: Այսպիսով, շրջանագիծ AC-ն 4 անգամ մեծ է CB-ից: Եվ քանի որ AC շրջանագիծը հավասար է CB-ին, այնպես էլ անկյուն AEC-ն հավասար է CEB-ին [Պնդում 6.33]: Այդպես, անկյուն AEC-ն 4 անգամ մեծ է CEB-ից: Եվ քանի որ անկյուն EBC-ն հավասար է ECB-ին [Պնդում 1.5], ապա անկյուն AEC-ն 2 անգամ մեծ է ECB-ից [Պնդում 1.32]: Եվ քանի որ ուղղաձիգ EC-ն հավասար է CD-ին, ապա անկյուն CED-ն հավասար է անկյուն CDE-ին [Պնդում 1.5]: Այդպես, անկյուն ECB-ն 2 անգամ մեծ է EDC-ից [Պնդում 1.32]: Սակայն AEC-ն արդեն ապացուցվել է, որ 4 անգամ մեծ է EDC-ից: Եվ AEC-ն նույնպես 4 անգամ մեծ է BEC-ից: Այսպիսով, EDC-ն հավասար է BEC-ին: Եվ անկյուն EBD-ն համատեղ է երկու եռանկյունում՝ BEC և BED: Այդպիսով, մնացած անկյուն BED-ն հավասար է անկյուն ECB-ին [Պնդում 1.32]: Այսպիսով, եռանկյունը EBD հավասար է եռանկյունին EBC: Այլ կերպ ասած, համեմատաբար, ինչպես BD-ն է BE-ին, այնպես էլ AB-ն է BH-ին [Պնդում 6.4]: Եվ BE-ն հավասար է CD-ին: Ուստի, ինչպես BD-ն է DC-ին, այնպես էլ DC-ն է CB-ին: Եվ BD-ն մեծ է DC-ից: Այսպիսով, DC-ն նույնպես մեծ է CB-ից [Պնդում 5.14]. Այսպիսով, BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (C կետում), և DC-ն նրա մեծ հատվածն է: (Այս է այն, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):
== Պնդում 10 ==
Եթե միևնույն շրջանում համահարթ կանոնավոր հնգանկյուն է դրվածներգծված, ապա հնգանկյան կողմի քառակուսի գիծը գծի քառակուսին հավասար է նույն շրջանում դրված ներգծված վեցանկյանի և տասանկյանի կողմերի քառակուսիերի գումարին։<ref>"Եթե շրջանը միավոր շառավիղ ունի, ապա հնգանկյան կողմը հավասար է (1/2)(√10 − 2√5):"</ref>
[[Պատկեր:10.png|center|200px]]
Եվ ռացիոնալ (ուղիղ գծի) և չորրորդ ափոտոմի միջև պարունակվող ուղղանկյունը անհամաչափ է, և դրա քառակուսի արմատը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր» [Պնդում 10.94]։ Եվ AB-ի վրա կառուցված քառակուսին ուղղանկյունն է, որը պարունակում է HBM-ը, հաշվի առնելով, որ AH-ի միացման դեպքում եռանկյուն ABH-ը դառնում է հավասանկյուն եռանկյուն ABM-ի հետ [Պնդում 6.8], և (համեմատաբար) ինչպես HB-ն է BA-ի նկատմամբ, այնպես էլ AB-ն է BM-ի նկատմամբ։
Հետևաբար, հնգանկյան կողմ AB-ն այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր»։ <ref>"Եթե շրջանը միավոր շառավիղ ունի, ապա հնգանկյան կողմը հավասար է (1/2)(√10 − 2√5): Այնուամենայնիվ, այս երկարությունը կարող է գրվել «փոքր» ձևով (տես Առ. 10.94)՝ (ρ/√2)(1 + k/√1 + k²) − (ρ/√2)(1 − k/√1 + k²), որտեղ ρ = √5/2 և k = 2:"</ref>
Սա այն էր, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։
Եվ AE-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է AB-ի և BE-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին [Պնդումներ 3.31, 1.47]։ Ուստի, AB-ի և BE-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը չորս անգամ մեծ է BE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Ուստի, ըստ բաժանման, AB-ի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է BE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Եվ BE-ն հավասար է DE-ին։ Ուստի, AB-ի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է DE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։
Ուստի, եռանկյան կողմի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է շրջանի շառավղի վրա կառուցված քառակուսուց։ <ref>"Եթե գնդի շառավիղը միավոր է, ապա բուրգի (այսինքն՝ տետրահեդրոնի) կողմը հավասար է √8/3:"</ref>
Սա այն էր, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։
Այսպիսով, AB-ի քառակուսին նույնպես հավասար է LM-ի քառակուսուն։ Այսպիսով, AB = LM։ Եվ AB-ն տրված գնդի տրամագծն է։ Ուստի, LM-ը հավասար է տրված գնդի տրամագծին։
Այսպիսով, ութանկյունը ներգծված է տրված գնդի մեջ, և միաժամանակ ցույց տրված է, որ գնդի տրամագծի քառակուսին կրկնապատիկ է ութանկյոնի կողի քառակուսուց։ <ref>"Եթե գնդի շառավիղը միավոր է, ապա ութանիստի կողմը հավասար է √2:"</ref> (Այսինքն) հենց այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։
==Պնդում 15==
Եվ GK-ի քառակուսին նույնպես ցույց տրված է, որ երեք անգամ գերազանցում է KE-ի քառակուսին։ Եվ KE-ն հավասարեցված էր DB-ի հետ։ Այսպիսով, KG-ն հավասար է AB-ին։ Իսկ AB-ն տրված գնդի տրամագիծն է։ Ուստի, KG-ն հավասար է տրված գնդի տրամագծին։
Այսպիսով, խորանարդը ներգծված է տրված գնդի մեջ։ Եվ միաժամանակ ցույց տրվել է, որ գնդի տրամագծի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է խորանարդի կողմի քառակուսուն։ <ref>"Եթե գնդի շառավիղը միավոր է, ապա խորանարդի կողմը հավասար է √4/3:"</ref>(Այսինքն) հենց այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։
==Պնդում 16==
Կառուցել իկոսահեդրոն (<ref>"տասնութ նիստերով բազմանիստ է, որն ունի 20 ճիշտ եռանկյունիներ, ունի 12 գագաթներ և 30 եզրեր) "</ref> և այն փակել շրջանակով, ինչպես նշված վերոնշյալ պատկերներում, և ցույց տալ, որ իկոսահեդրոնի կողմը այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր:
[[Պատկեր:17.png|center|200px]]
Թող տրված շրջանակի AB գնդի տրամագիծը դրված AB լինի, և թող այն կիսվի լինի կտրված C կետում , այնպես, որ AC-ն լինի չորս վեց անգամ ավելի մեծ, քան CB [Պնդում Պրո. 6.10]: ։ Եվ թող գծի ADB կիսաշրջանը ծածկվել լինի AB-ում: ի վրա։ Եվ թող ուղղաձիգ CD ուղիղ գիծը նկարահանվի նշվի C-ից, որը ուղղահայաց է AB-ին: ի նկատմամբ։ Եվ թող DB-ն միացվի: միախառնվի։ Եվ թող շրջան EFGHK շրջանը դրված լինիտեղադրված, և թող նրա ռադիուսը դրա շառավիղը հավասար լինի DB-ի: ի։ Եվ թող հավասար հավասարազանգված և հավասար անկյուն ունեցող հնգանկյուն հավասարանկյուն հնգանկյան EFGHK լիներ նկարագրված ներառված լինի EFGHK շրջանի մեջ [Պնդում Պրո. 4.11]: ։ Եվ թող շրջանների EF, FG, GH, HK, և KE շրջանների հատվածները կիսվեն կեսը հատվի L, M, N, O, և P կետերում (հարգի): համապատասխանաբար։ Եվ թող LM, MN, NO, OP, PL և EP միացվեն: Այդպես միախառնվեն։ Այսպիսով, LMNOP հնգանկյունը հավասար հնգանկյանը նույնպես հավասարազանգված է, և EP-ն (կողմը) կողմն է տասանկյունի ) տասանկյան (նախադրված շրջանակի մեջհամապատասխան շրջանագծում): Եվ թող գծերը EQ, FR, GS, HT, KU ուղիղ գծերը, որոնք հավասար են EFGHK շրջանի ռադիուսի հետշառավիղին, ուղղահայաց տեղադրված լինեն այդ ուղղանկյուն ձևով շրջանի ինքնատիպ մակերևույթինմակարդակում, ԵE, F, G, H , և K կետերում (հարգի): համապատասխանաբար։ Եվ թող QR, RS, ST, TU, UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP, և PQ միացվենմիախառնվեն։Եվ քանի որ EQ և KU-ն ուղղանկյուն են նույն ինքնուրույն շրջանագծին, EQ-ն այսպիսով զուգահեռ է KU-ին [Պրո. 11.6]։ Եվ դրանք հավասար են։ Եվ համարժեք ուղղաձիգները միևնույն կողմում հավասար և զուգահեռ են [Պրո. 1.33]։ Այսպիսով, QU-ն հավասար և զուգահեռ է EK-ին:Եվ EK-ն (կողմն է) հավասարազանգված հնգանկյան (inscribed in the circle EFGHK): Այսպիսով, QU-ն (կողմն է) նույնպես հավասարազանգված հնգանկյան (EFGHK շրջանի մեջ): Այսպիսով, նույն (պատճառներով), QR, RS, ST, և TU-ն նույնպես հավասարազանգված կողմեր են, EFGHK շրջանի մեջ: Հնգանկյուն QRSTU (կողմն է) հետևաբար հավասարազանգված:Ուղղանկյուն QE-ն (կողմն է) վեցանկյան (EFGHK շրջանում), և EP (կողմն է) տասանկյան, իսկ QEP անկյունը ուղղանկյուն է, այսպիսով QP-ն (կողմն է) հնգանկյան (նույն շրջանի մեջ):Քանի որ վեցանկյան կողմի քառորդը հավասար է այն կողմերի քառորդներին, որոնք տեղադրված են մեկ ընդհանուր գծով շրջանագծում [Պրո. 13.10]: Այսպիսով, նույն (պատճառներով), PU-ն նույնպես հնգանկյան կողմն է:Այսպիսով, QU-ն նույնպես (կողմն է) հնգանկյան։ Այսպիսով, QPU եռանկյունը հավասար է։Այսպիսով, նույն (պատճառներով), QLR, RMS, SNT և TOU եռանկյունները հավասար են։ Եվ քանի որ QL-ն և QP-ն (կողմն են) հնգանկյան, և LP-ն նույնպես (կողմն է) հնգանկյան, triangle QLP-ն հավասարազանգված է։ Այսպիսով, նույն (պատճառներով) LRM, MSN, NTO և OUP եռանկյունները հավասար են։ Թող կենտրոնը, V կետը, լինի նշված [Պրո. 3.1]։ Եվ թող VZ-ն տեղադրվի, V կետում, ուղղանկյունորեն շրջանի մակարդակին։ Եվ թող այն լինի արտաշարժված մյուս կողմում (շրջանի), ինչպես VX։ Եվ թող VW-ն կտրվի XZ-ից այնպես, որ հավասար լինի վեցանկյան կողմին, իսկ յուրաքանչյուր VX և WZ (հավասար լինի) տասանկյանի կողմին։ Եվ թող QZ, QW, UZ, EV, LV, LX և XM միախառնվեն։
Եվ քանի որ EQ VW-ն և KU ուղղահայաց QE-ն ուղղանկյուն են նույն ինքնատիպ մակերևույթինշրջանի մակարդակին, EQVW-ն պառլլել զուգահեռ է KUQE-ին [Պնդում 11.6]: ։ Եվ նրանք նույնն են: Եվ հավասար են։ EV-ն և QW-ն հավասար և զուգահեռ ուղիղ գծերը նույն կողմում նույնն են [Պնդում 1.33]: Այսպես, QU։ Եվ EV-ն հավասար և զուգահեռ (կողմն է EK) վեցանկյան։ Այսպիսով, QW-ին: ն (կողմն է) նույնպես վեցանկյան։ Եվ EKքանի որ QW-ն (կողմըկողմն է) վեցանկյան, և WZ-ն (կողմն է հավասար հնգանկյունի ) տասանկյանի, և QWZ անկյունը ուղղանկյուն է [Սահմանում 11.3, Պնդում 1.29], ապա QZ-ն (նախադրված շրջանակի մեջկողմն է): Այսպեսհնգանկյան [Պնդում 13.10]։ Այդպես, QUնույն (պատճառներով), UZ-ն նույնպես (կողմըկողմն է) էլ հնգանկյան, քանի որ եթե մենք միացնենք VK և WU, ապա դրանք կլինեն հավասար հնգանկյունի և հակադարձ։ Եվ VK-ն, որը հավասար է գնդի շառավիղին, (կողմն է) վեցանկյան [Պնդում 4.15 շտկված]։ Այսպիսով, որը նախադրված WU-ն նույնպես (կողմն է EFGHK) վեցանկյան։ Եվ WZ-ում: Այդպես էլ ն (կողմն է) տասանկյան, և UWZ անկյունը ուղղանկյուն է։ Այսպիսով, UZ-ն (կողմն է) հնգանկյան [Պրո. 13.10]։ Եվ QU-ն (կողմն է) հնգանկյան։ Triangle QUZ-ն հավասար է։ Այսպիսով, նույն (պատճառներով), մնացած բոլոր եռանկյունները, որոնց հիմքերը են QR, RS, ST , և TU գծերը, և բարձունքները Z կետում, նույնպես են հավասար հնգանկյունի կողմեր, որոնք նախադրված են EFGHK-ում: Հնգանկյունը QRSTU հավասար է: են։ Եվ QEքանի որ VL-ն (կողմը) կողմն է դասական վեցանկյունի (նախադրված շրջանակի մեջ) վեցանկյան, և EP VX-ն (կողմըկողմն է) է տասանկյունիտասանկյան, և LVX անկյունը QEP-ն ուղղահայաց ուղղանկյուն է, այնպես որ QPապա LX-ն (կողմը) կողմն է հնգանկյուն (նախադրված նույն շրջանակում): Քանի որ հնգանկյունի կողմի քառակուսին հավասար է ութանկյունի և տասանկյունի կողմերի քառակուսիների գումարով նույն շրջանակում հնգանկյան [Պնդում 13.10]: Այսպես ։ Այդպես, նույն տրամաբանությամբ PU(պատճառներով), եթե մենք միացնենք MV, որը (կողմն է) վեցանկյան, ապա MX-ն նույնպես հնգանկյունի կողմ կլինի (կողմն է: ) հնգանկյան։ Եվ QULM-ն նույնպես հնգանկյունի կողմ (կողմն է: Այսպես) հնգանկյան։ Այսպիսով, QPU եռանկյունը triangle LMX-ը հավասար է: է։ Այսպես, նույն ձևովնմանապես, (տրիանկյունները) QLRկարող է ցուցադրվել, RMSոր մնացած բոլոր եռանկյունները, SNTորոնց հիմքերը են MN, NO, OP, և PL գծերը, և բարձունքները X կետում, TOU նույնպես հավասար են: Եվ են։ Այսպիսով, իկոսիադրոնը, որը բաղկացած է քսան հավասարազանգված եռանկյուններից, կառուցվել է։ Այսպիսով, պետք է նաև տեղադրել այն տրամադրված գնդի մեջ և ցույց տանք, որ իկոսիադրոնի կողմը այն անկյունագիծն է, որը կոչվում է միկրո։ Ուրեմն, քանի որ QL և QP եղել են VW-ն (կողմըկողմն է) հնգանկյունի կողմիցվեցանկյան, և LPWZ-ը նույնպես հնգանկյուն ն (կողմն է) տասանկյան, ապա QLP եռանկյունը հավասար VZ-ն այստեղ կտրված է: Այսպեսէքստրեմալ և միջին հարաբերությամբ W-ում, նույն ձևովև VW-ն նրա մեծ մասը է [Պնդում 13.9]։ Այդպես, ԼRMերբ ZV-ն VW-ին համեմատվում է, MSNVW-ն համեմատվում է WZ-ի։ Եվ VW-ն հավասար է VE-ին, NTOWZ-ն՝ VX-ին։ Այդպես, OUP երեքը հավասար ZV-ն համեմատվում է VE-ի հետ, իսկ EV-ն՝ VX-ի հետ։ Եվ անկյունները ZVE և EVX են:ուղղանկյուն։
Ուրեմն, նույն (պատճառներով), քանի որ ZV-ն նման է VW-ին, այնպես որ VW-ն նման է WZ-ին, և ZV-ն հավասար է XW-ին, իսկ VW-ը նման է WQ-ին, ապա ինչպես XW-ն նման է WQ-ին, այնպես էլ QW-ն նման է WZ-ին: Եվ կրկին, այս պատճառով, եթե մենք միացնենք QX-ը, ապա Q-ում գտնվող անկյունը կլինի ուղղանկյուն [Պնդում 6.8]: Ուրեմն, XZ-ի վրա նկարագրված կես շրջանը նույնպես կանցնի Q-ի միջով [ՊատկերՊնդում 3.31]:18Եվ եթե XZ-ը մնա անշարժ, և կես շրջանը տեղաշարժվի, ապա այն նորից կտեղադրվի նույն (հայեցողական) դիրքում, որտեղից այն սկսել է շարժվել, ապա այն նույնպես կանցնի (Q) կետի միջով, և (կանցնի) իկոսահեդրոնի մնացած անկյունային կետերի միջով: Եվ իկոսահեդրոնը կշրջապատվի գնդի կողմից: Ուրեմն, ես ասում եմ, որ այն նույնպես շրջապատված է տրված (գնդով): Թող ՎW-ն կիսվել է a-ի վրա: Եվ քանի որ ուղիղ գիծը VZ կիսվել է ծայրահեղ և միջին հարաբերությամբ W-ին, և ZW-ն դրա փոքր մասը է, ապա ZW-ի վրա նկարված քառորդը և ավելի մեծ մասի կեսը՝ W a-ն, հավասար է հինգ անգամ (այդ) մասի քառորդին [Պնդում 13.png|center|200px3]: Ուրեմն, Za-ի վրա նկարված քառորդը հինգ անգամ մեծ է (aW)-ի վրա նկարված քառորդից: Եվ ZX-ը երկակի է Za-ից, և VW-ն երկակի է aW-ից: Ուրեմն, ZX-ի վրա նկարված քառորդը հինգ անգամ մեծ է VW-ի վրա նկարված քառորդից: Եվ քանի որ AC-ն չորս անգամ մեծ է CB-ից, ապա AB-ն հինգ անգամ մեծ է BC-ից: Եվ ինչպես AB-ն է BC-ին, այնպես էլ AB-ի վրա նկարված քառորդը է BD-ի վրա նկարված քառորդից [Պնդում 6.8, Սահմանում 5.9]: Ուրեմն, AB-ի վրա նկարված քառորդը հինգ անգամ մեծ է BD-ի վրա նկարված քառորդից: Եվ ZX-ի վրա նկարված քառորդը նույնպես ցույց է տվել, որ հինգ անգամ մեծ է VW-ի վրա նկարված քառորդից: Եվ DB-ն հավասար է VW-ին: Քանզի երկուսը նույնպես հավասար են EFGHK շրջանակի ռադիուսին: Ուրեմն, AB-ն նույնպես հավասար է XZ-ին: Եվ AB-ն տրված գնդի տրամագիծն է: Ուրեմն, XZ-ն հավասար է տրված գնդի տրամագծին: Ուրեմն, իկոսահեդրոնը շրջապատված է տրված գնդով:
