Changes

Եթե հատվածը մասնատենք Թող AB ուղիղ գիծը կտրված լինի արտաքին և միջին համեմատությամբհարաբերությամբ C կետում, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Թող AD ուղիղ գիծը երկարացվի՝ անցնելով CA։ Եվ թող AD-ն լինի AB-ի կեսը։ Ասում եմ, որ CD-ի վրա քառակուսին հավասար հնգապատիկն է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն։DA-ի վրա քառակուսու։

Թող AB և DC վրա քառակուսիները՝ AE և DF, նկարագրվեն։ Եվ DF պատկերում գծվի։ Եվ թող գիծը FC գծվի՝ հասնելով G-ին։ Եվ քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, ապա ABC բազմապատկիչը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [[Պատկեր:Nkar_1#Պնդում 6|Սահմանում 6.png3, Պնդում 6.17]]։ Եվ CE-ն ABC բազմապատկիչն է, իսկ FH-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CE-ն հավասար է FH-ին։ Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, իսկ BA-ն հավասար է KA-ին, և AD-ն՝ AH-ին, ապա KA-ն նույնպես կրկնապատիկն է AH-ի։ Եվ քանի որ KA-ն AH-ի նկատմամբ հարաբերություն է, CK-ն նույնպես CH-ի կրկնապատիկն է [[#Պնդում 6|200pxՊնդում 6.1]]։ Այսպիսով, CK-ն կրկնապատիկն է CH-ի։ Եվ LH-ն գումարած HC կրկնապատիկն է CH-ի [[#Պնդում 1|thumb|left|Նկ․ Պնդում 1.43]]։ Այսպիսով, KC-ն հավասար է LH-ի գումարած HC-ի։ Եվ CE-ն ցույց տրվեց, որ հավասար է HF-ին։ Այսպիսով, ամբողջ քառակուսի AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։

Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է արտաքին և միջին համեմատությամբ СAD-ումի, որտեղ ACBA-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է AD-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, AE-ն մեծ հատվածն է։ Շարունակենք AC հատվածըչորսապատիկն է DH-ի։ Եվ AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։ Եվ, և տեղադրենք AD = AB / 2։ Ես պնդում եմայսպիսով, որ СD^2 = 5*(գնոմոն MNO-ն նույնպես չորսապատիկն է AP-ի։ Այսպիսով, ամբողջ DF-ը հնգապատիկն է AP-ի։ Եվ DF-ը CD-ի վրա քառակուսին է, իսկ AP-ն՝ DA^2):-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։

Դիտարկենք Այսպիսով, եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։ == Պնդում 2 == Եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։ [[Պատկեր:2.png|center|200px]] Թող AB ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC կտորի վրա քառակուսու։ Եվ թող CD-ն լինի կրկնապատիկ AC-ից։ Ասում եմ, որ եթե CD-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։ Թող AB և CD կողմերով վրա քառակուսիները՝ ABEK AF և DLFC (Նկ․ CG, նկարագրվեն։ Եվ թող AF պատկերում գծվի։ Եվ թող BE գիծը գծվի։ Եվ քանի որ BA-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC-ի վրա քառակուսու, ապա AF-ն հնգապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, ապա DC-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, CG-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ չորսապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն հավասար է CG-ին։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, և DC-ն հավասար է CK-ին, և AC-ն՝ CH-ին, [CK-ն կրկնապատիկն է CH-ից], իսկ KB-ն նույնպես կրկնապատիկն է BH-ից [[#Պնդում 6|Պնդում 6.1]]։  Այսպիսով, KB-ն հավասար է LH-ի գումարած HB-ին։ Եվ ամբողջ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է ամբողջ CG-ին։ Այսպիսով, մնացորդ HF-ն նույնպես հավասար է մնացորդ BG-ին։ Եվ BG-ն այն բազմապատկիչն է, որը պարունակում է CDB։ Քանի որ CD-ն հավասար է DG-ին։ Եվ HF-ն CB-ի վրա քառակուսին է։ Այսպիսով, CDB բազմապատկիչը հավասար է CB-ի վրա քառակուսուն։  Այսպիսով, ինչպես DC-ն է CB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CB-ն է BD-ի նկատմամբ [[#Պնդում 6|Պնդում 6.17]]։ Եվ քանի որ DC-ն ավելի մեծ է, քան CB (տես լեմա), ապա CB-ն նույնպես ավելի մեծ է, քան BD [[#Պնդում 5|Պնդում 5.14]]։ Տանենք DF անկյունագիծը Այսպիսով, եթե CD ուղիղ գծը կտրված է արտաքին և FC հատվածը շարունակենք միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։  Այսպիսով, եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և հատենք KEկրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։ == Լեմմա == Եվ կարող է ցույց տրվել, որ կրկնապատիկ AC-ը (այսինքն՝ DC-ն) ավելի մեծ է, քան BC, ինչպես հետևյալը։  Եթե (կրկնապատիկ AC-ը) ոչ (մեծ է BC-ից), եթե հնարավոր է, թող BC-ն լինի կրկնապատիկ CA-ից։ Այսպիսով, BC-ի հետ Gվրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ում։ ի վրա քառակուսու։ Այսպիսով, BC-ի և CA-ի վրա քառակուսիների (հավաքածուն) հնգապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու։ Եվ BA-ի վրա քառակուսին համարվեց հնգապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու։ Այսպիսով, BA-ի վրա քառակուսին հավասար է BC-ի և CA-ի վրա քառակուսիների (հավաքածուն)։ Սա՝ անխուսափելի է [[#Պնդում 2|Պնդում 2.4]]։ Այսպիսով, CB-ն չի կարող լինել կրկնապատիկ AC-ից։ Ուստի, նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ ուղիղ գիծը, որը փոքր է CB-ից, նույնպես չի կարող լինել կրկնապատիկ AC-ից։ Ասածը՝ ավելի մեծ հակասություն է։ Այսպիսով, կրկնապատիկ AC-ը ավելի մեծ է, քան CB։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։ == Պնդում 3 == Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր կտորի վրա քառակուսին, ավելացված մեծ կտորի կեսին, հնգապատիկն է մեծ կտորի կեսի վրա քառակուսու։  [[Պատկեր:3.png|center|200px]] Թող ինչ-որ ուղիղ գիծ AB կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում։ Եվ թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AC-ն կտրված լինի կեսում՝ D կետում։ Ասում եմ, որ BD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու։  Թող AE քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա։ Եվ թող պատկերն լիներ կրկնակի։ Քանի որ AC-ն կրկնապատիկ է DC-ից, ապա AC-ի վրա քառակուսին՝ դա չորսապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն՝ RS-ն չորսապատիկն է FG-ից։ Եվ քանի որ ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17], և CE-ն ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունն է, ապա CE-ն հավասար է RS-ին։ Եվ RS-ն չորսապատիկն է FG-ից։ Այսպիսով, CE-ն նույնպես չորսապատիկն է FG-ից։ Վերջապես, քանի որ AD-ն հավասար է DC-ին, ապա HK-ն նույնպես հավասար է KF-ին։ Ուստի, GF քառակուսին նույնպես հավասար է HL քառակուսուն։  Այսպիսով, GK-ն հավասար է KL-ին՝ այսինքն՝ MN-ն հավասար է NE-ին։ Ուստի, MF-ն նույնպես հավասար է FE-ին։ Բայց, MF-ն հավասար է CG-ին։ Այսպիսով, CG-ն նույնպես հավասար է FE-ին։ Թող CN-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ հավասար է CE-ին։ Բայց, CE-ն ցույց տրված է, որ հավասար է չորսապատիկ GF-ին։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ նույնպես չորսապատիկն է GF քառակուսուց։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ գումարած GF քառակուսին հնգապատիկն է GF քառակուսուց։ Բայց, գնոմոնը OPQ գումարած GF քառակուսին դա DN քառակուսին է։ Եվ DN-ը DB-ի վրա քառակուսին է, իսկ GF-ն՝ DC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, DB-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։ == Պնդում 4 == Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա ամբողջ գծի և փոքր կտորի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է մեծ կտորի վրա քառակուսու։ [[Պատկեր:4.png|center|200px]] Թող AB հատվածը բաժանված լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է CA-ի վրա քառակուսուց։ Թող ADEB քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա, և թող մնացած պատկերն ընդունի իր ձևը։ Քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ Cկետում, և AC-ումն մեծ կտոր է, ապա ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [[#Պնդում 6|Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]]։ Եվ AK-ն է ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը, և HG-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AK-ն հավասար է HG-ին։ Եվ քանի որ AF-ն հավասար է FE-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.43]], թող CK-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, ամբողջ AK-ն հավասար է ամբողջ CE-ին։ Այսպիսով, AK-ն և CE-ն միասին հավասար են երկու անգամ AK-ին։ Բայց, AK-ն և CE-ն միասին դա է գնոմոնը LMN, որը գումարած CK քառակուսին։  Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է երկու անգամ AK-ին։ Բայց, իսկապես, AK-ն նաև ցույց տրված է, որ հավասար է HG-ին։ Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է HG-ին։ Եվ այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները երեքապատիկն են HG քառակուսուց։ Եվ գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները ամբողջ AE-ն են գումարած CK-ը՝ որոնք են AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը քառակուսիները (համապատասխանաբար), և GH-ը՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է AC-ի վրա քառակուսուց։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։ == Պնդում 5 == Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և այդ մեծ կտորին հավասար ուղիղ գիծը ավելացվում է դրան, ապա ամբողջ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և սկզբնական ուղիղ գիծը մեծ կտորն է։  [[Պատկեր:5.png|center|200px]] Թող AB լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC կողմով քառակուսու մակերեսին`-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AD-ն [դառնա] հավասար AC-ին։ Ասում եմ, որ DB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ A կետում, և որ սկզբնական AB ուղիղ գիծը մեծ կտորն է։ Թող AE քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա, և թող մնացած պատկերն ընդունի իր ձևը։ Քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, ապա ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC^2 -ի վրա քառակուսուն [[#Պնդում 6|Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]]։ Եվ CE-ն է ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը, և CH-ը՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Բայց, HE-ն հավասար է CE-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.43]], և DH-ն հավասար է HC-ին։  Այսպիսով, DH-ն նաև հավասար է HE-ին։ [Թող HB-ն ավելացվի երկուսի վրա]։ Այսպիսով, ամբողջ DK-ն հավասար է ամբողջ AE-ին։ Եվ DK-ն է BD և DA-ում պարունակվող ուղղանկյունը։ Քանի որ AD-ն հավասար է DL-ին, և AE-ն է AB-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, BD-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AB-ի վրա քառակուսուն։ Այսպիսով, ինչպես DB-ն է BA-ի նկատմամբ, այնպես էլ BA-ն է AD-ի նկատմամբ [[#Պնդում 6|Պնդում 6.17]]։ Եվ DB-ն ավելի մեծ է BA-ից։ Այսպիսով, BA-ն նույնպես ավելի մեծ է AD-ից [[#Պնդում 5|Պնդում 5.14]]։ Այսպիսով, DB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ A կետում, և մեծ կտորը AB-ն է։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։ = = Պնդում 6 == Եթե մի ռացիոնալ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա յուրաքանչյուր կտորը կլինի այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։  [[Պատկեր:6.png|center|200px]] Թող AB * լինի ռացիոնալ ուղիղ գիծ, որը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AC և CB-ը, յուրաքանչյուրը, կլինեն այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։  Թող BA-ն ընդարձակվի, և թող AD-ն արվի (հավասար) BA-ի կեսին։ Այսպիսով, քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և AD-ն, որը BA-ի կեսն է, ավելացվել է մեծ կտոր AC-ին, ապա CD-ի վրա քառակուսին կլինի հինգ անգամ DA-ի վրա քառակուսիին [[#Պնդում 13|Պնդում 13.1]]։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին և DA-ի վրա քառակուսին կունենան հարաբերություն, որը նման է մի թվի հարաբերությանը մյուս թվին։ CD-ի վրա քառակուսին, հետևաբար, համահունչ կլինի DA-ի վրա քառակուսուն [[#Պնդում 10|Պնդում 10.6]]։ Իսկ DA-ի վրա քառակուսին կլինի ռացիոնալ, քանի որ DA-ն ռացիոնալ է, երբ որ AB-ն ռացիոնալ է։  Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին նույնպես կլինի ռացիոնալ [[#Պնդում 10|Սահմանում 10.4]]։ Այսպիսով, CD-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ քանի որ CD-ի վրա քառակուսին չի ունենում հարաբերություն DA-ի վրա քառակուսիին, որը նման է քառակուսի թվերի հարաբերությանը, ապա CD-ն չհամապատասխանում է DA-ի երկարության հետ [[#Պնդում 10|Պնդում 10.9]]։ Այսպիսով, CD և DA-ը այն ռացիոնալ ուղիղ գծերն են, որոնք համահունչ են միայն քառակուսու տեսքով։ Այսպիսով, AC-ն կլինի ապոտոմ [[#Պնդում 10|Պնդում 10.73]]։  Կրկին, քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և AC-ն մեծ կտորն է, ապա AB և BC -ի պարունակած ուղղանկյունը կլինի հավասար AC-ի վրա քառակուսուն [[#Պնդում 6|Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]]։ Այսպիսով, AC-ի վրա ապոտոմի քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի AB-ի վրա, կկազմի BC՝ որպես լայնություն։ Եվ ապոտոմի վրա քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի վրա, կկազմի առաջին ապոտոմը՝ որպես լայնություն [[#Պնդում 10|Պնդում 10.97]]։ Այսպիսով, CB-ն կլինի առաջին ապոտոմ։ Եվ CA-ն նույնպես ցույց տրված է որպես ապոտոմ։  Այսպիսով, եթե մի ռացիոնալ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա յուրաքանչյուր կտորը կլինի այն անպարբեր (Սահմ․ 6․3ուղիղ գիծ), Պնդ․ 6․17որ կոչվում է «ապոտոմ»։ Here are the corrected versions for the 7th and 8th propositions with the updated terminology for the shapes: == Պնդում 7 == Թող երեք անկյունները, որոնք լինելու են կամ հաջորդական, կամ ոչ հաջորդական, հավասար կլինեն հավասարանկյուն հնգանկյունում, ապա հնգանկյունը կլինի հավասարանկյուն։  [[Պատկեր:7.png|center|200px]] Դա ցույց տալու համար, թող հնգանկյունի ABCDE երեք անկյունները՝ առաջին հերթին A, B և C կետերում, հավասար լինեն իրար։ Ես ասում եմ, որ հնգանկյունը ABCDE հավասարանկյուն է։ Թող AC, BE և FD լինեն միացված։ Եվ քանի որ երկու (ուղղաձիգ գծերը)CB և BA հավասար են երկու (ուղղաձիգ գծերին) BA և AE համապատասխանաբար, և CBA անկյունը հավասար է BAE անկյունին, ապա AC հիմքը հավասար կլինի BE հիմքին, և ABC եռանկյունը հավասար կլինի ABE եռանկյունին, և մնացած անկյունները հավասար կլինեն մնացած անկյուններին, որոնք հավասար կողմերի տրված անկյուններին ենթադրում են [[#Պնդում 1|Պնդում. 1.4]]։ Իսկ դա նշանակում է, որ BCA (հավասար է) BEA-ին, իսկ ABE-ը (հավասար է) CAB-ին։ Այսպիսով, AF կողմը նույնպես հավասար է BF կողմին [[#Պնդում 1|Պնդում. 1.6]]։ Եվ ամբողջ AC-ն նույնպես ցույց է տրվել, որ հավասար է BE-ին։ Այսպիսով, մնացորդը FC նույնպես հավասար կլինի FE-ին։ Եվ CD-ն նույնպես հավասար է DE-ին։ Այսպիսով, երկու (ուղղաձիգ գծերը) FC և CD հավասար են երկու FE և ED համապատասխանաբար։ Իսկ FD-ը նրանց ընդհանուր հիմքն է։ Այսպիսով, FCD անկյունը հավասար է FED անկյունին [[#Պնդում 1|Պնդում. 1.8]]։ Եվ BCA-ն նույնպես ցույց է տրվել, որ հավասար է AEB-ին։ Այսպիսով, ամբողջ BCD-ն հավասար է AED-ին։ Բայց, BCD անկյունը ենթադրվել էր, որ հավասար է A և B անկյուններին։ Այսպիսով, AED անկյունը նույնպես հավասար կլինի A և B անկյուններին։ Այսպիսով, նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ CDE անկյունը նույնպես հավասար է A, B, C անկյուններին։ Այսպիսով, հնգանկյունը ABCDE հավասարանկյուն է։ == Պնդում 8 == Եթե ուղղաձիգ գծերը կտրում են երկու հաջորդական անկյուններ հավասարանկյուն և հավասար կողմ ունեցող հնգանկյունում, ապա դրանք իրար կտրում են արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և դրանց մեծ հատվածները հավասար են հնգանկյունի կողմերին։ [[Պատկեր:8.png|center|200px]] Իսկ հիմա, եթե երկու ուղղաձիգ գծեր՝ AC և BE, հատում են իրար H կետում և դրանք ծածկում են հավասար անկյուններ՝ A և B համապատասխանաբար հավասարանկյուն հնգանկյունում ABCDE, ապա պետք է ապացուցենք, որ յուրաքանչյուր գիծ կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում և դրանց մեծ հատվածները հավասար են հնգանկյունի կողմերին։ Եկեք ընդունենք, որ ABCDE հնգանկյունի շուրջ է նկարագրված շրջան [Պնդում 4.14]: Եվ քանի որ երկու ուղղաձիգ գծերը՝ EA և AB հավասար են երկու ուղղաձիգ գծերին՝ AB և BC համապատասխանաբար, և նրանք պարունակում են հավասար անկյուններ, BE հիմքը հավասար կլինի AC հիմքին, և ABC և ABE եռանկյունները հավասար կլինեն, ուստի մնացած անկյունները նույնպես հավասար կլինեն [[#Պնդում 1|Պնդում 1.4]]: Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը , անկյուն BAC հավասար կլինի անկյուն ABE-ին: Այսպիսով, անկյուն AHE-ն երկու անգամ մեծ է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին , քան անկյուն BAH [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]: Եվ EAC նույնպես երկու անգամ մեծ է BAC-ից, քանի որ շրջանագիծը EDC երկու անգամ մեծ է CB շրջանագծից [Առաջարկներ 3.28, 6.33]: Ուստի, անկյուն HAE-ն հավասար կլինի անկյուն AHE-ին: Հետևաբար, ուղղաձիգ HE-ը հավասար կլինի ուղղաձիգ EA-ին՝ այն է՝ AB [[#Պնդում 1|Պնդում 1.6]]:  Եվ քանի որ ուղղաձիգ BA-ն հավասար է AE-ին, ապա անկյուն ABE-ն նույնպես հավասար կլինի AEB-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.5]]: Բայց, ABE-ն արդեն ցույց տրված էր, որ հավասար է BAH-ին: Հետևաբար, BEA-ն նույնպես հավասար կլինի BAH-ին: Իսկ քանի որ անկյուն ABE-ն ընդհանուր է երկու եռանկյունների՝ ABE և ABH-ի համար, մնացած անկյունը՝ BAE, հավասար կլինի մնացած անկյունի՝ AHB [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]: Հետևաբար, եռանկյունը ABE հավասար է եռանկյունին ABH: Այսպիսով, համամասնորեն, ինչպես BE-ն հավասար է BA-ին, այնպես էլ AB-ն հավասար է BH-ին [[#Պնդում 6|Պնդում 6.4]]: Եվ BA-ն հավասար է EH-ին: Այսպիսով, ինչպես BE-ն հավասար է EH-ին, այնպես էլ EH-ն հավասար է HB-ին: Եվ BE-ն ավելի մեծ է EH-ից: EH-ն ավելի մեծ է HB-ից [[#Պնդում 5|Պնդում 5.14]]: Հետևաբար, BE-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում, և մեծ հատվածը՝ EH, հավասար է հնգանկյունի կողմին: Ուստի նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ AC-ն նույնպես կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում, և դրա մեծ հատվածը՝ CH, հավասար է հնգանկյունի կողմին: Սա է այն, ինչ պետք էր ապացուցել: == Պնդում 9 == Եթե նույն շրջանում ներգծված վեցանկյան և տասանկյան կողմերը միասին գումարվեն, ապա ամբողջ ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (Նկ․ հատման կետում), և նրա մեծ հատվածը տասանկյան կողմն է: <ref>"Եթե շրջանը միավոր շառավիղ ունի, ապա վեցանկյան կողմը հավասար է 1-ի, իսկ տասանկյան կողմը՝ (1/2)(√5 − 1):"</ref>  [[Պատկեր:9.png|center|200px]] Թող ABC լինի շրջան: Եվ ABC շրջանում նկարագրված պատկերներից, BC լինի տասանկյան կողմը, և CD (կողմը) վեցանկյան կողմը: Եվ թող դրանք դրված լինեն ուղղահայաց: Պետք է ապացուցվի, որ ամբողջ BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (C կետում), և որ CD-ն նրա մեծ հատվածն է:  Թող շրջանի կենտրոնը, E կետը, գտնվի [[#Պնդում 1|Պնդում 3.1]], և թող EB, EC և ED կետերը միավորված լինեն, և թող BE-ը գծվի A կետին: Քանի որ BC-ն հավասարանկյուն տասանկյան կողմ է, ապա շրջանագիծ ACB-ն 5 անգամ մեծ է BC-ի երկարությունից: Այսպիսով, շրջանագիծ AC-ն 4 անգամ մեծ է CB-ից: Եվ քանի որ AC շրջանագիծը հավասար է CB-ին, այնպես էլ անկյուն AEC-ն հավասար է CEB-ին [[#Պնդում 6|Պնդում 6.33]]: Այդպես, անկյուն AEC-ն 4 անգամ մեծ է CEB-ից: Եվ քանի որ անկյուն EBC-ն հավասար է ECB-ին [Պնդում 1.5], ապա անկյուն AEC-ն 2 անգամ մեծ է ECB-ից [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]: Եվ քանի որ ուղղաձիգ EC-ն հավասար է CD-ին, ապա անկյուն CED-ն հավասար է անկյուն CDE-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.5]]: Այդպես, անկյուն ECB-ն 2 անգամ մեծ է EDC-ից [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]: Սակայն AEC-ն արդեն ապացուցվել է, որ 4 անգամ մեծ է EDC-ից: Եվ AEC-ն նույնպես 4 անգամ մեծ է BEC-ից: Այսպիսով, EDC-ն հավասար է BEC-ին: Եվ անկյուն EBD-ն համատեղ է երկու եռանկյունում՝ BEC և BED: Այդպիսով, մնացած անկյուն BED-ն հավասար է անկյուն ECB-ին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]:  Այսպիսով, եռանկյունը EBD հավասար է եռանկյունին EBC: Այլ կերպ ասած, համեմատաբար, ինչպես BD-ն է BE-ին, այնպես էլ AB -ն է BH-ին [Պնդում 6.4]: Եվ BE-ն հավասար է CD-ին: Ուստի, ինչպես BD-ն է DC-ին, այնպես էլ DC-ն է CB-ին: Եվ BD-ն մեծ է DC-ից: Այսպիսով, DC-ն նույնպես մեծ է CB-ից [[#Պնդում 5|Պնդում 5.14]]. Այսպիսով, BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (C կետում), և DC-ն նրա մեծ հատվածն է: (Այս է այն, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել): = = Պնդում 10 == Եթե միևնույն շրջանում կանոնավոր հնգանկյուն է ներգծված, ապա հնգանկյան կողմի գծի քառակուսին հավասար է նույն շրջանում ներգծված վեցանկյանի և տասանկյանի կողմերի քառակուսիերի գումարին։ <ref>"Եթե շրջանը միավոր շառավիղ ունի, ապա հնգանկյան կողմը հավասար է (1/2 * AD )(√10 − 2√5):"</ref> [[Պատկեր:10.png|center|200px]] Թող ABCDE լինի շրջան։ Եվ թող ABCDE հավասարակողմ հնգանկյունը լինի դրված ABCDE շրջանում։ Պնդում եմ, որ հնգանկյան ABCDE կողմի քառակուսին հավասար է նույն շրջանում դրված վեցանկյանի և տասանկյանի կողմերի քառակուսիերի գումարին։ Թող կենտրոնի կետը լինի F, որը գտնվել է [[#Պնդում 3|Պնդում. 3.1]]։ Եվ թող AF ուղղի միացված լինի, և թող այն անցնի G կետով։ Եվ թող F B միացված լինի։ Եվ թող FH ուղղը լինի F-ից ուղղահայաց AB-ին։ Եվ թող այն անցնի K կետով։ Եվ թող AK և K B միացված լինեն։ Եվ կրկին, թող F L ուղղը լինի F-ից ուղղահայաց AK-ին։ Եվ թող այն անցնի M կետով։ Եվ թող K N միացված լինի։ Քանի որ ABCG շրջանը հավասար է AEDG շրջանում, որի ABC-ն հավասար է AED-ին, մնացած շրջանը CG-ը այդպես էլ հավասար է մնացած GD շրջանին։ Եվ CD-ը (հնգանկյան կողմն է)։ CG-ը այդպես էլ (տասանկյանի կողմն է)։ Եվ քանի որ F A հավասար է F B-ին, և F H ուղղահայաց է (AB-ին), ապա անկյուն AFK-ը նույնպես հավասար է KFB-ին [[#Պնդում 1|Պնդում. 1.5, 1.26]]։ Հետևաբար, AK շրջանը հավասար է KB-ի [[#Պնդում 3|Պնդում. 3.26]]։  Այսպիսով, AB շրջանը կրկնակի է BK շրջանից։ Այսպիսով, ուղիղ գիծը AK տասանկյան կողմն է։ Այսպես, նույն պատճառներով, AK շրջանը կրկնակի է KM-ից։ Եվ քանի որ AB շրջանը կրկնակի է BK շրջանից, և CD շրջանը հավասար է AB շրջանին, ապա CD շրջանը նույնպես կրկնակի է BK շրջանից։ Եվ CD շրջանը նույնպես կրկնակի է CG-ից։ Այսպիսով, CG շրջանը հավասար է BK շրջանին։ Բայց, BK-ը կրկնակի է KM-ից, քանի որ KA-ը նույնպես (կրկնակի է KM-ից)։ Այսպես, CG շրջանը նույնպես կրկնակի է KM-ից։ Բայց, իսկապես, CB շրջանը նույնպես կրկնակի է BK-ից։ Քանի որ CB շրջանը հավասար է BA -ին։ Այսպիսով, ամբողջ GB շրջանը նույնպես կրկնակի է BM-ից։ Հետևաբար, անկյուն GFB [է] նույնպես կրկնակի անկյուն BF M [[#Պնդում 6|Պնդում. 6.33]]։ = KA=Պնդում 11== Եթե հավասարակողմ հնգանկյունը ներգծված է շրջանի մեջ, որի տրամագիծը ռացիոնալ է, ապա հնգանկյան կողմը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր»։  [[Պատկեր:11.png|center|200px]] Թող հավասարակողմ հնգանկյուն ABCDE-ն ներգծված լինի ABCDE շրջանի մեջ, որի տրամագիծը ռացիոնալ է։ Ասում եմ, որ հնգանկյան [ABCDE] կողմը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր»։  Թող գտնված լինի շրջանի կենտրոնը՝ F կետը [[#Պնդում 3|Պնդում 3.1]]։ Եվ թող միացվեն AF-ն և FB-ն։ Եվ թող դրանք քաշվեն G և H կետերին (համապատասխանաբար)։ Եվ թող միացվի AC-ն։ Եվ թող FK-ն հավասար լինի AF-ի չորրորդ մասին։ AF-ն ռացիոնալ է։ Ուստի, FK-ն նույնպես ռացիոնալ է։ FB-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Ուստի, ամբողջ BK-ն ռացիոնալ է։ Եվ քանի որ ACG աղեղն հավասար է ADG աղեղին, որոնցից ABC աղեղն հավասար է AED աղեղին, մնացորդային CG աղեղն, հետևաբար, հավասար է GD մնացորդային աղեղին։  Եվ եթե միացնենք AD = AH-ն, ապա L կետում գտնվող անկյունները դառնում են ուղիղ անկյուններ, իսկ CD-ն հավասար է CL-ի կրկնակիին [Պնդում 1.4]։ Հետևաբար, նույն տրամաբանությամբ, M կետում անկյունները նույնպես ուղիղ են, իսկ AC-ն կրկնակի է CM-ի։ Ուստի, քանի որ ALC անկյունն հավասար է AMF անկյունին, և LAC անկյունն ընդհանուր է ACL և AMF եռանկյունների համար, ապա մնացորդային ACL անկյունն, հետևաբար KA = 2 * AH: Այսպիսով ստանում , հավասար է MF A մնացորդային անկյունին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.32]]։ Ուստի, ACL եռանկյունն հավասանկյուն է AMF եռանկյան հետ։ Ուստի, համեմատաբար, ինչպես LC-ն է CA-ի նկատմամբ, այնպես էլ MF-ն է FA-ի նկատմամբ [[#Պնդում 6|Պնդում 6.4]]։  Եվ (կարող ենք հարաբերություն՝ KA / վերցնել) առաջատար մեծությունների կրկնակի արժեքները։ Ուստի, ինչպես LC-ի կրկնակին է CA-ի նկատմամբ, այնպես էլ MF-ն է FA-ի կեսի նկատմամբ։ Եվ, ուստի, ինչպես LC-ի կրկնակին է CA-ի կեսի նկատմամբ, այնպես էլ MF-ն է FA-ի չորրորդ մասի նկատմամբ։ Եվ DC-ն LC-ի կրկնակի է, իսկ CM-ն CA-ի կեսն է, իսկ FK-ն FA-ի չորրորդ մասը։ Ուստի, ինչպես DC-ն է CM-ի նկատմամբ, այնպես էլ MF-ն է FK-ի նկատմամբ։  Սկզբունքով, ինչպես DCM գումարը (այսինքն՝ DC և CM) CM-ի նկատմամբ, այնպես էլ MK-ն է KF-ի նկատմամբ [[#Պնդում 5|Պնդում 5.18]]։ Եվ, ուստի, ինչպես DCM գումարի վրա կառուցված քառակուսին է CM-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, այնպես էլ MK-ի վրա կառուցված քառակուսին է KF-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ։  Եվ քանի որ հնգանկյան երկու կողմերը սահմանող մեծ հատվածը, ինչպես AC-ն, որը բաժանված է ծայրագույն և միջին հարաբերությամբ, հավասար է հնգանկյան կողմին [[#Պնդում 13|Պնդում 13.8]]՝ այսինքն DC-ին, և ամբողջի կեսին ավելացված մեծ հատվածի վրա կառուցված քառակուսին հնգապատիկ է ամբողջի կեսի վրա կառուցված քառակուսու, իսկ CM-ն AC-ի կեսն է։ Ուստի, DCM-ի վրա կառուցված քառակուսին, որպես ամբողջություն, հնգապատիկ է CM-ի վրա կառուցված քառակուսու։  Եվ DCM-ի վրա կառուցված քառակուսին, որպես ամբողջություն, CM-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպես է, ինչպես MK-ի վրա կառուցված քառակուսին KF-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ։ Ուստի, MK-ի վրա կառուցված քառակուսին հնգապատիկ է KF-ի վրա կառուցված քառակուսու։ Եվ KF-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է։ Քանի որ տրամագիծն ռացիոնալ է։ Ուստի, MK-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է։  Ուստի, MK-ն ռացիոնալ է [քառակուսու միայն]։ Եվ քանի որ BF-ն FK-ի չորս անգամն է, BK-ն, ուստի, FK-ի հինգ անգամն է։ Ուստի, BK-ի վրա կառուցված քառակուսին FK-ի վրա կառուցված քառակուսու քսանհինգ անգամն է։ Եվ MK-ի վրա կառուցված քառակուսին FK-ի վրա կառուցված քառակուսու հնգապատիկն է։ Ուստի, BK-ի վրա կառուցված քառակուսին MK-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այն հարաբերությունը, որ քառակուսի թվերը ունեն քառակուսի թվերի նկատմամբ։ Ուստի, BK-ն անհամաչափ է երկարությամբ MK-ի հետ [[#Պնդում 10|Պնդում 10.9]]։  Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են։ Ուստի, BK-ն և MK-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են քառակուսու միայն։ Եվ եթե ռացիոնալ (ուղիղ գծից) հանենք ռացիոնալ (ուղիղ գիծ), որը քառակուսու միայն համաչափ է առաջինի հետ, ապա ստացվում է անհամաչափ (ուղիղ գիծ)։  Եվ քանի որ KF-ն համաչափ է երկարությամբ BF-ի հետ, ապա, ըստ կազմի, BK-ն նույնպես համաչափ է երկարությամբ BF-ի հետ [[#Պնդում 10|Պնդում 10.15]]։ Բայց BF-ն համաչափ է երկարությամբ BH-ի հետ։ Հետևաբար, BK-ն նույնպես համաչափ է երկարությամբ BH-ի հետ [Պնդում 10.12]։ Եվ քանի որ BK-ի վրա կառուցված քառակուսին հնգապատիկ է MK-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ապա BK-ի վրա կառուցված քառակուսին, հետևաբար, ունի MK-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այն հարաբերությունը, որը 5-ն ունի 1-ի նկատմամբ։  Հետևաբար, հակադարձմամբ՝ BK-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի \( N \)-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այն հարաբերությունը, որը 5-ն ունի 4-ի նկատմամբ [[#Պնդում 5|Պնդում 5.19]], ինչը չի համապատասխանում քառակուսի թվի և քառակուսի թվի հարաբերությանը։  BK-ն, հետևաբար, անհամաչափ է երկարությամբ \( N \)-ի հետ [[#Պնդում 10|Պնդում 10.9]]։ Հետևաբար, քանի որ BK-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է MK-ի վրա կառուցված քառակուսուց \( N \)-ի վրա կառուցված անհամաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, և ամբողջը՝ BK-ն, համաչափ է նախկինում տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի)՝ BH-ի հետ, MB-ն, հետևաբար, չորրորդ ափոտոմ է [[#Պնդում 10|Սահմանում 10.14]]։  Եվ ռացիոնալ (ուղիղ գծի) և չորրորդ ափոտոմի միջև պարունակվող ուղղանկյունը անհամաչափ է, և դրա քառակուսի արմատը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր» [Պնդում 10.94]։ Եվ AB-ի վրա կառուցված քառակուսին ուղղանկյունն է, որը պարունակում է HBM-ը, հաշվի առնելով, որ AH = ACGK-ի մակերես / HC անկյունագծով ուղղանկյան մակերես միացման դեպքում եռանկյուն ABH-ը դառնում է հավասանկյուն եռանկյուն ABM-ի հետ [[#Պնդում 6|Պնդում 6.8]], և (համեմատաբար) ինչպես HB-ն է BA-ի նկատմամբ, այնպես էլ AB-ն է BM-ի նկատմամբ։  Հետևաբար, հնգանկյան կողմ AB-ն այն անհամաչափ (Պնդ․ 6․1ուղիղ գիծն)է, հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը որը կոչվում է «փոքր»։ <ref>"Եթե շրջանը միավոր շառավիղ ունի, ապա հնգանկյան կողմը հավասար է երկու (1/2)(√10 − 2√5): Այնուամենայնիվ, այս երկարությունը կարող է գրվել «փոքր» ձևով (տես Առ. 10.94)՝ (ρ/√2)(1 + k/√1 + k²) − (ρ/√2)(1 − k/√1 + k²), որտեղ ρ = √5/2 և k = 2:"</ref>  Սա այն էր, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։ ==Պնդում 12== Եթե հավասարակողմ եռանկյունը ներգծված է շրջանի մեջ, ապա եռանկյան կողմի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսինմեծ է շրջանի շառավղի վրա կառուցված քառակուսուց։  Թող լինի ABC շրջան, և թող հավասարակողմ եռանկյուն ABC-ն ներգծված լինի դրանում [[#Պնդում 4|Պնդում 4.2]]։ Ասում եմ, որ եռանկյուն ABC-ի որևէ կողմի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է ABC շրջանի շառավղի վրա կառուցված քառակուսուց։  [[Պատկեր: 12.png|center|200px]] Թող գտնված լինի ABC շրջանի կենտրոնը՝ D կետը [[#Պնդում 3|Պնդում 3.1]]։ Եվ AD (լինելով) միացված, թող անցկացվի E կետի միջով։ Եվ թող BE-ն միացվի։  Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը եռանկյուն ABC-ն հավասարակողմ է, ուստի BEC կամարը, հետևաբար, ABC շրջանի կամարի երրորդ մասն է։ Ուստի, BE կամարը շրջանի կամարի վեցերորդ մասն է։ Ուստի, ուղիղ գիծ BE-ն վեցանկյան կողմն է։ Ուստի, այն հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանըշառավղի՝ DE-ի [[#Պնդում 4|Պնդում 4.15]]։ Եվ քանի որ AE-ն կրկնակի է DE-ի, ապա նրանց մակերեսների AE-ի վրա կառուցված քառակուսին չորս անգամ մեծ է DE-ի վրա կառուցված քառակուսուց՝ այսինքն՝ BE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։  Եվ AE-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է AB-ի և BE-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին [[#Պնդում 3|Պնդում 3.31]]։ Ուստի, AB-ի և BE-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը չորս անգամ մեծ է BE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Ուստի, ըստ բաժանման, AB-ի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է BE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Եվ BE-ն հավասար է երկու DE-ին։ Ուստի, AB-ի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին մեծ է DE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։  Ուստի, եռանկյան կողմի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է շրջանի շառավղի վրա կառուցված քառակուսուց։ <ref>"Եթե գնդի շառավիղը միավոր է, ապա բուրգի (Պնդ․ 1․43այսինքն՝ տետրահեդրոնի): Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը կողմը հավասար է LH √8/3:"</ref>  Սա այն էր, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։ ==Պնդում 13== Կառուցել (կանոնավոր) բուրգ (այսինքն՝ տետրահեդրոն), այն ներգծել տրված գնդի մեջ և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ ցույց տալ, որ գնդի տրամագծի վրա կառուցված քառակուսին մեկ ու կես անգամ մեծ է բուրգի կողմի վրա կառուցված քառակուսուց։  [[Պատկեր:13.png|center|200px]] Թող տրված գնդի տրամագիծը լինի AB, և այն կետ C-ում բաժանվի այնպես, որ AC-ն կրկնակի լինի CB-ին [[#Պնդում 6|Պնդում 6.10]]։ Եվ քանի թող AB-ի վրա կառուցվի կեսաշրջագիծ ADB։ Եվ թող C կետից ուղղանկյուն լինի գծված CD ուղիղը AB-ի նկատմամբ։ Եվ թող միացվի DA։ Եվ թող DC շառավղով գծվի շրջան EFG, որի մեջ ներգծված կլինի հավասարակողմ եռանկյուն EFG [[#Պնդում 4|Պնդում 4.2]]։ Թող գտնվի շրջանի կենտրոնը՝ H կետը [[#Պնդում 3|Պնդում 3.1]]։ Թող միացվեն EH, HF, և HG։ Թող H կետում ուղղանկյուն լինի գծված HK ուղիղը EFG շրջանի հարթության նկատմամբ [[#Պնդում 11|Պնդում 11.12]]։ Եվ թող HK ուղիղի վրա կտրվի հատված, որը հավասար կլինի AC ուղիղին։ Թող KE, KF, և KG գծերը միացվեն։  Քանի որKH ուղիղը ուղղանկյուն է EFG շրջանի հարթության նկատմամբ, այն ուղղանկյուն կլինի նաև իր հետ միացող բոլոր ուղիղների նկատմամբ, որոնք գտնվում են EFG շրջանի հարթությունում [[#Պնդում 11|սահմանում 11.3]]։ HE, HF, և HG ուղղերը միանում են դրան։ Ուստի, HK-ն ուղղանկյուն է HE-ի, HF-ի և HG-ի նկատմամբ։  Քանի որ AC-ն հավասար է HK-ին, և CD-ն՝ HE-ին, իսկ նրանք պարունակում են ուղղանկյուններ, ապա հիմքը՝ DA-ն, հավասար է հիմքին՝ KE [[#Պնդում 1|Պնդում 1.4]]։ Նույն պատճառներով KF-ն և KG-ն նույնպես հավասար են DA-ին։ Ուստի, KE, KF և KG երեք ուղիղները հավասար են միմյանց։  Քանի որ AC-ն կրկնակի է CB-ի, ուստի AB-ն եռակի է CB-ին։ Եվ ինչպես AB-ն CB-ի նկատմամբ, այնպես էլ AD-ի վրա կառուցված քառակուսին DC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, ինչպես ցույց կտրվի ստորև [տես լեմմա]։ Ուստի, AD-ի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է DC-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Եվ FE-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես երեք անգամ մեծ է EH-ի վրա կառուցված քառակուսուց [[#Պնդում 13|Պնդում 13.12]], և DC-ն հավասար է EH-ին։ Ուստի, DA-ն հավասար է EF-ին։  Բայց DA-ն ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEGոր հավասար է KE, KF և KG յուրաքանչյուրին։ Ուստի EF, FG, և GE-ն հավասար են KE, KF, և KG-ին համապատասխանաբար։ Ուստի, EFG, KEF, KFG, և KEG չորս եռանկյունները հավասարակողմ են։  Ուստի, կառուցվել է բուրգ, որի հիմքը եռանկյուն EFG-ն է, իսկ գագաթը՝ K կետը։  Այժմ անհրաժեշտ է այն ներգծել տրված գնդի մեջ և ցույց տալ, որ գնդի տրամագծի վրա կառուցված քառակուսին մեկ ու կես անգամ մեծ է բուրգի կողմի վրա կառուցված քառակուսուց։  Թող HL ուղիղը երկարացվի K H ուղղի շարունակությամբ, և HL-ը հավասար լինի CB-ին։ Եվ քանի որ ինչպես AC-ն CD-ի մակերեսը նկատմամբ, այնպես էլ CD-ն CB-ի նկատմամբ [[#Պնդում 6|Պնդում 6.8]], իսկ AC-ն հավասար է FH անկյունագծով KH-ին, CD-ն՝ HE-ին, և CB-ն՝ HL-ին, ուստի ինչպես KH-ն HE-ի նկատմամբ, այնպես էլ EH-ն HL-ի նկատմամբ։ Ուստի, K H և HL ուղղագծերի պարունակած ուղղանկյունը հավասար է EH-ի վրա կառուցված քառակուսուն [[#Պնդում 6|Պնդում 6.17]]։  Եվ քանի որ AC-ն կրկնակի է CB-ի, ապա AB-ն եռակի է CB-ի։ Ուստի, AB-ն մեկ ու կես անգամ մեծ է AC-ից։ Եվ ինչպես AB-ն AC-ի նկատմամբ, այնպես էլ AB-ի վրա կառուցված քառակուսին AC-ի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսիննկատմամբ։ Եվ քանի որ AB-ն գնդի տրամագիծն է, իսկ AD-ն՝ բուրգի կողմը, ապա ABEKAB-ի մակերեսը վրա կառուցված քառակուսին մեկ ու կես անգամ մեծ է AD-ի վրա կառուցված քառակուսուց։  Սա էր պահանջվում ցույց տալ։  [[Պատկեր:14.png|center|200px]] ==Լեմմա== Ապացուցել, որ ինչպես AB գիծը BC գծի նկատմամբ, այնպես էլ AD գծի վրա կառուցված քառակուսին DC գծի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ են հավասար :  Թող կեսաշրջագծի պատկերը կազմվի, և DB գիծը միացվի։ Թող AC-ի վրա կառուցվի EC քառակուսին։ Եվ թող FB զուգահեռագիծը լրացվի։  Քանի որ եռանկյուն DAB-ը համաչափ է գնոմոն MNOեռանկյուն DAC -ին [[#Պնդում 6|Պնդումներ 6.8, 6.4]], հետևում է, որ ինչպես BA գիծը AD գծի նկատմամբ, այնպես էլ AD գիծը AC գծի նկատմամբ են հավասար։ Ուստի, BA և AC գծերի պարունակած ուղղանկյունը հավասար է AD-ի վրա կառուցված քառակուսուն [[#Պնդում 6|Պնդում 6.17]]։  Քանի որ ինչպես AB գիծը BC գծի նկատմամբ, այնպես էլ EB ուղղանկյունը BF ուղղանկյունի նկատմամբ են հավասար [[#Պնդում 6|Պնդում 6.1]], EB-ը հավասար է BA և AC գծերի պարունակած ուղղանկյանին (CHքանի որ EA = AC), FHիսկ BF-ը հավասար է AC և CB գծերի պարունակած ուղղանկյանին։  Այսպիսով, ինչպես AB գիծը BC գծի նկատմամբ, այնպես էլ AD գծի վրա կառուցված քառակուսին DC գծի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ են հավասար։ ==Պնդում 14== Կառուցել ութանկյուն և փակել այն տրված գնդի մեջ՝ ինչպես նախորդ պնդումներում, և ցույց տալ, որ գնդի տրամագծի քառակուսին կրկնապատիկ է ութանկյոնի կողի քառակուսուց։  Թող տրված գնդի տրամագիծը լինի AB, և այն կիսվի C կետում։ Նկարել ADB կիսամորթը AB վրա։ Նկարել CD ուղղահայաց AB-ին C-ից։ Միացնել DB։  Կառուցել EFGH քառակուսին, որի յուրաքանչյուր կողմը հավասար է DB-ին։ Միացնել HF-ը և EG-ը։ Սահմանել ուղիղ գիծ KL K-ում, ուղղահայաց դեպի EFGH քառակուսիի պլանը [[#Պնդում 11|Պնդում 11.12]], և նկարել մեկ այլ գիծ՝ KM, որը գտնվում է պլանի մյուս կողմում։  Կտրել KL-ը և KM-ը՝ հավասարեցնելով մեկին EK-ի, FK-ի, GK-ի և HK-ի։ Միացնել LE-ը, LF-ը, LG-ը, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին)-ը, ME-ը, MF-ը, MG-ը և MH-ը։  [[Պատկեր: 15.png|center|200px]] Քանի որ KE = KH և անկյունը EKH ուղիղ անկյուն է, ապա HE-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց (Պնդում 1.47)։ Նույն կերպ, քանի որ LK = KE և անկյունը LKE ուղիղ անկյուն է, ապա EL-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց [[#Պնդում 1|Պնդում 1.47]]։ Եվ քանի որ գնոմոն MNO HE-ի քառակուսին նույնպես կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց, ապա LE-ի քառակուսին հավասար է EH-ի քառակուսուն։  Ուստի, LE = EH։ Նույն պատճառներով, LH = HE։ LEH եռանկյունը հավասարակողմ է։ Այսպիսով, մենք կարող ենք նույն կերպ ցույց տալ, որ մնացած բոլոր եռանկյունիները, որոնց հիմքերը EFGH քառակուսիի կողմերն են, և գագաթները L-ն ու M-ն են, հավասարակողմ են։ Այսպես, ութանկյուն, որը բաղկացած է ութ հավասարակողմ եռանկյունիներից, կառուցվել է։  Այժմ պետք է ցույց տրվի, որ այն փակվում է տրված գնդի մեջ, և որ գնդի տրամագծի քառակուսին կրկնապատիկ է ութանկյոնի կողի քառակուսուց։  Քանի որ LK = KM և KE ընդհանուր է, և նրանք պարունակում են ուղիղ անկյուններ, ապա LE-ի հիմքը հավասար է EM-ին (Պնդում 1.4 * AP)։ Եվ քանի որ անկյունը LEM ուղիղ անկյուն է՝ ըստ կիսամորթի [[#Պնդում 1|Պնդում 3.31]], հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը ապա LM-ի քառակուսին կրկնապատիկ է LE-ի քառակուսուն [[#Պնդում 6|Պնդում 1.47]]։  Այնուհետև, քանի որ AC = CB, AB-ն կրկնապատիկ է BC-ի։ Եվ ինչպես AB-ը BC-ին է, այնպես էլ AB-ի քառակուսին հավասար է 5 BD-ի քառակուսուն [[#Պնդում 6|Պնդում 6.8]]։ Այսպիսով, AB-ի քառակուսին կրկնապատիկ է BD-ի քառակուսուց։  Եվ LM-ի քառակուսին նույնպես ցույց տրված է, որ կրկնապատիկ է LE-ի քառակուսուց։ Եվ DB-ի քառակուսին հավասար է LE-ի քառակուսուն։ Քանի որ EH-ը հավասար է DB-ին։  Այսպիսով, AB-ի քառակուսին նույնպես հավասար է LM-ի քառակուսուն։ Այսպիսով, AB = LM։ Եվ AB-ն տրված գնդի տրամագծն է։ Ուստի, LM-ը հավասար է տրված գնդի տրամագծին։  Այսպիսով, ութանկյունը ներգծված է տրված գնդի մեջ, և միաժամանակ ցույց տրված է, որ գնդի տրամագծի քառակուսին կրկնապատիկ է ութանկյոնի կողի քառակուսուց։<ref>"Եթե գնդի շառավիղը միավոր է, ապա ութանիստի կողմը հավասար է √2:"</ref> (Այսինքն) հենց այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։ ==Պնդում 15== Կառուցել խորանարդ և փակել այն տրված գնդի մեջ, ինչպես պիրամիդի դեպքում, և ցույց տալ, որ գնդի տրամագծի քառակուսին երեք անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ գերազանցում է խորանարդի կողմի քառակուսուն։  Թող տրված գնդի տրամագիծը լինի AB, և այն կիսվի C կետում այնպես, որ AC-ն երկու անգամ մեծ է քան CB-ն։ Նկարել ADB կիսամորթը AB վրա։ Նկարել CD ուղղահայաց AB-ին C-ից։ Միացնել DB։  Կառուցել EFGH քառակուսին, որի յուրաքանչյուր կողմը հավասար է DB-ին։ Նկարել EK-ը, FL-ը, GM-ը և HN-ը՝ E, F, G և H կետերից համապատասխանաբար, ուղղահայաց դեպի EFGH քառակուսիի պլանը։ Նկարել EK-ը, FL-ը, GM-ը և HN-ը՝ հավասարեցնելով EF, FG, GH և HE կողմերին, և կտրել դրանք համապատասխանաբար EK-ից, FL-ից, GM-ից և HN-ից։ Միացնել KL-ը, LM-ը, MN-ը և NK-ը։ Այսպիսով СВ^2 , խորանարդը, որը բաղկացած է վեց հավասար քառակուսիներից, կառուցվել է։  Այժմ պետք է այն փակվի տրված գնդի մեջ, և ցույց տրվի, որ գնդի տրամագծի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է խորանարդի կողմի քառակուսուն։  [[Պատկեր:16.png|center|200px]] Թող KG և EG միացվեն։ Քանի որ անկյուն KEG-ն ճիշտ անկյուն է՝ հաշվի առնելով, որ KE-ն նաև ուղղահայաց է EG-ի պլանին և ակնհայտորեն նաև ուղղահայաց է EG ուղիղ գծին (Սահման. 11.3), ապա KG-ի վրա նկարած կիսամորթը նույնպես կանցնի E կետով։ Նույն կերպ, քանի որ GF-ն ուղղահայաց է FL և FE-ի ամեն մի մասի, GF-ն նույնպես ուղղահայաց է FK-ի պլանին (Պնդում 11.4)։ Հետևաբար, եթե մենք միացնենք FK-ը, GF-ն նույնպես կլինի ուղղահայաց FK-ի հետ։ Եվ քանի որ դա այդպես է, GK-ի վրա նկարած կիսամորթը նույնպես կանցնի F կետով։ Նույն կերպ, այն կհասնի խորանարդի մնացած անկյուններին։  Այսպիսով, եթե KG-ը մնա (ապացուցված) և կիսամորթը տեղափոխվի, ապա այն կվերադառնա սկզբնական դիրքին, և խորանարդը փակվել է տրված գնդի մեջ։ Դրանից մենք տեսնում ենք, որ այն փակված է տրված գնդի մեջ։ Քանի որ GF-ը հավասար է FE-ին, և անկյունը F-ում ճիշտ անկյուն է, ապա EG-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EF-ի քառակուսուց [[#Պնդում 1|Պնդում 1.47]]։ Եվ FE-ը հավասար է EK-ին։ Այսպիսով, EG-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց։  Ուստի, GE և EK քառակուսիների գումարը՝ այսինքն՝ GK-ի քառակուսին [[#Պնդում 1|Պնդում 1.47]], երեք անգամ գերազանցում է EK-ի քառակուսուն։ Եվ քանի որ AB-ը երեք անգամ գերազանցում է BC-ին, և ինչպես AB-ը BC-ին, այնպես էլ AB-ի քառակուսին հավասար է BD-ի քառակուսուն [[#Պնդում 6|Պնդում 6.8], ապա AB-ի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է BD-ի քառակուսին։  Եվ GK-ի քառակուսին նույնպես ցույց տրված է, որ երեք անգամ գերազանցում է KE-ի քառակուսին։ Եվ KE-ն հավասարեցված էր DB-ի հետ։ Այսպիսով, KG-ն հավասար է AB-ին։ Իսկ AB-ն տրված գնդի տրամագիծն է։ Ուստի, KG-ն հավասար է տրված գնդի տրամագծին։  Այսպիսով, խորանարդը ներգծված է տրված գնդի մեջ։ Եվ միաժամանակ ցույց տրվել է, որ գնդի տրամագծի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է խորանարդի կողմի քառակուսուն։<ref>"Եթե գնդի շառավիղը միավոր է, ապա խորանարդի կողմը հավասար է √4/3:"</ref>(Այսինքն) հենց այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։  = 5*=Պնդում 16== Կառուցել իկոսահեդրոն <ref>"տասնութ նիստերով բազմանիստ է, որն ունի 20 ճիշտ եռանկյունիներ, ունի 12 գագաթներ և 30 եզրեր"</ref> և այն փակել շրջանակով, ինչպես նշված վերոնշյալ պատկերներում, և ցույց տալ, որ իկոսահեդրոնի կողմը այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր: [[Պատկեր:17.png|center|200px]] Թող գնդի տրամագիծը AB լինի, և թող այն լինի կտրված C կետում, այնպես, որ AC լինի վեց անգամ ավելի մեծ, քան CB [Պրո. 6.10]։ Եվ թող գծի ADB ծածկվել լինի AB-ի վրա։ Եվ թող ուղղաձիգ CD գիծը նշվի C-ից AB-ի նկատմամբ։ Եվ թող DB-ն միախառնվի։ Եվ թող շրջան EFGHK լինի տեղադրված, և թող դրա շառավիղը հավասար լինի DB-ի։ Եվ թող հավասարազանգված և հավասարանկյուն հնգանկյան EFGHK ներառված լինի EFGHK շրջանի մեջ [[#Պնդում 4|Պնդում 4.11]]։ Եվ թող շրջանների EF, FG, GH, HK և KE կեսը հատվի L, M, N, O և P կետերում համապատասխանաբար։ Եվ թող LM, MN, NO, OP, PL և EP միախառնվեն։ Այսպիսով, LMNOP հնգանկյանը նույնպես հավասարազանգված է, և EP-ն (DA^2կողմն է) տասանկյան (համապատասխան շրջանագծում):  Եվ թող գծերը EQ, FR, GS, HT, KU, որոնք հավասար են EFGHK շրջանի շառավիղին, տեղադրված լինեն ուղղանկյուն ձևով շրջանի մակարդակում, E, F, G, H, և K կետերում համապատասխանաբար։ Եվ թող QR, RS, ST, TU, UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP և PQ միախառնվեն։Եվ քանի որ EQ և KU-ն ուղղանկյուն են նույն ինքնուրույն շրջանագծին, EQ-ն այսպիսով զուգահեռ է KU-ին [[#Պնդում 11|Պնդում 11.6]]։ Եվ դրանք հավասար են։ Եվ համարժեք ուղղաձիգները միևնույն կողմում հավասար և զուգահեռ են [Պրո. 1.33]։ Այսպիսով, QU-ն հավասար և զուգահեռ է EK-ին: Եվ EK-ն (կողմն է) հավասարազանգված հնգանկյան (inscribed in the circle EFGHK): Այսպիսով, QU-ն (կողմն է) նույնպես հավասարազանգված հնգանկյան (EFGHK շրջանի մեջ): Այսպիսով, նույն (պատճառներով), QR, RS, ST, և TU-ն նույնպես հավասարազանգված կողմեր են, EFGHK շրջանի մեջ: Հնգանկյուն QRSTU (կողմն է) հետևաբար հավասարազանգված:Ուղղանկյուն QE-ն (կողմն է) վեցանկյան (EFGHK շրջանում), և EP (կողմն է) տասանկյան, իսկ QEP անկյունը ուղղանկյուն է, այսպիսով QP-ն (կողմն է) հնգանկյան (նույն շրջանի մեջ):Քանի որ վեցանկյան կողմի քառորդը հավասար է այն կողմերի քառորդներին, որոնք տեղադրված են մեկ ընդհանուր գծով շրջանագծում [[#Պնդում 13|Պնդում 13.10]]: Այսպիսով, նույն (պատճառներով), PU-ն նույնպես հնգանկյան կողմն է:Այսպիսով, QU-ն նույնպես (կողմն է) հնգանկյան։ Այսպիսով, QPU եռանկյունը հավասար է։Այսպիսով, նույն (պատճառներով), QLR, RMS, SNT և TOU եռանկյունները հավասար են։ Եվ քանի որ QL-ն և QP-ն (կողմն են) հնգանկյան, և LP-ն նույնպես (կողմն է) հնգանկյան, triangle QLP-ն հավասարազանգված է։ Այսպիսով, նույն (պատճառներով) LRM, MSN, NTO և OUP եռանկյունները հավասար են։ Թող կենտրոնը, V կետը, լինի նշված [[#Պնդում 3|Պնդում 3.1]]։ Եվ թող VZ-ն տեղադրվի, V կետում, ուղղանկյունորեն շրջանի մակարդակին։ Եվ թող այն լինի արտաշարժված մյուս կողմում (շրջանի), ինչպես VX։ Եվ թող VW-ն կտրվի XZ-ից այնպես, որ հավասար լինի վեցանկյան կողմին, իսկ յուրաքանչյուր VX և WZ (հավասար լինի) տասանկյանի կողմին։ Եվ թող QZ, QW, UZ, EV, LV, LX և XM միախառնվեն։ Եվ քանի որ VW-ն և QE-ն ուղղանկյուն են շրջանի մակարդակին, VW-ն զուգահեռ է QE-ին [[#Պնդում 11|Պնդում 11.6]]։ Եվ նրանք հավասար են։ EV-ն և QW-ն հավասար և զուգահեռ են [[#Պնդում 1|Պնդում 1.33]]։ Եվ EV-ն (կողմն է) վեցանկյան։ Այսպիսով, QW-ն (կողմն է) նույնպես վեցանկյան։ Եվ քանի որ QW-ն (կողմն է) վեցանկյան, և WZ-ն (կողմն է) տասանկյանի, և QWZ անկյունը ուղղանկյուն է [[#Պնդում 11|Սահմանում 11.3, Պնդում 1.29]], ապա QZ-ն (կողմն է) հնգանկյան [[#Պնդում 13|Պնդում 13.10]։ Այդպես, նույն (պատճառներով), UZ-ն նույնպես (կողմն է) հնգանկյան, քանի որ եթե հատվածը մասնատենք արտաքին մենք միացնենք VK և միջին համեմատությամբWU, ապա դրանք կլինեն հավասար և հակադարձ։ Եվ VK-ն, որը հավասար է գնդի շառավիղին, (կողմն է) վեցանկյան [[#Պնդում 4|Պնդում 4.15]]։ Այսպիսով, WU-ն նույնպես (կողմն է) վեցանկյան։ Եվ WZ-ն (կողմն է) տասանկյան, և UWZ անկյունը ուղղանկյուն է։  Այսպիսով, UZ-ն (կողմն է) հնգանկյան [Պրո. 13.10]։ Եվ QU-ն (կողմն է) հնգանկյան։ Եռանկյուն QUZ-ն հավասար է։ Այսպիսով, նույն (պատճառներով), մնացած բոլոր եռանկյունները, որոնց հիմքերը են QR, RS, ST, և TU գծերը, և բարձունքները Z կետում, նույնպես հավասար են։ Եվ քանի որ VL-ն (կողմն է) վեցանկյան, և VX-ն (կողմն է) տասանկյան, և LVX անկյունը ուղղանկյուն է, ապա LX-ն (կողմն է) հնգանկյան [Պնդում 13.10]։ Այդպես, նույն (պատճառներով), եթե մենք միացնենք MV, որը (կողմն է) վեցանկյան, ապա MX-ն նույնպես կլինի (կողմն է) հնգանկյան։ Եվ LM-ն (կողմն է) հնգանկյան։ Այսպիսով, triangle LMX-ը հավասար է։ Այսպես, նմանապես, կարող է ցուցադրվել, որ մնացած բոլոր եռանկյունները, որոնց հիմքերը են MN, NO, OP, և PL գծերը, և բարձունքները X կետում, նույնպես հավասար են։ Այսպիսով, իկոսիադրոնը, որը բաղկացած է քսան հավասարազանգված եռանկյուններից, կառուցվել է։ Այսպիսով, պետք է նաև տեղադրել այն տրամադրված գնդի մեջ և ցույց տանք, որ իկոսիադրոնի կողմը այն անկյունագիծն է, որը կոչվում է միկրո։ Ուրեմն, քանի որ VW-ն (կողմն է) վեցանկյան, և WZ-ն (կողմն է) տասանկյան, VZ-ն այստեղ կտրված է էքստրեմալ և միջին հարաբերությամբ W-ում, և VW-ն նրա մեծ հատվածի մասը է [[#Պնդում 13|Պնդում 13.9]]։ Այդպես, երբ ZV-ն VW-ին համեմատվում է, VW-ն համեմատվում է WZ-ի։ Եվ VW-ն հավասար է VE-ին, WZ-ն՝ VX-ին։ Այդպես, ZV-ն համեմատվում է VE-ի հետ, իսկ EV-ն՝ VX-ի հետ։ Եվ անկյունները ZVE և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին EVX են ուղղանկյուն։ Ուրեմն, նույն (պատճառներով), քանի որ ZV-ն նման է VW-ին, այնպես որ VW-ն նման է WZ-ին, և ZV-ն հավասար է XW-ին, իսկ VW-ը նման է WQ-ին, ապա ինչպես XW-ն նման է WQ-ին, այնպես էլ QW-ն նման է WZ-ին: Եվ կրկին, այս պատճառով, եթե մենք միացնենք QX-ը, ապա Q-ում գտնվող անկյունը կլինի ուղղանկյուն [[#Պնդում 6|Պնդում 6.8]]: Ուրեմն, XZ-ի վրա նկարագրված կես շրջանը նույնպես կանցնի Q-ի միջով [[#Պնդում 3|Պնդում 3.31]]: Եվ եթե XZ-ը մնա անշարժ, և կես շրջանը տեղաշարժվի, ապա այն նորից կտեղադրվի նույն (հայեցողական) դիրքում, որտեղից այն սկսել է շարժվել, ապա այն նույնպես կանցնի (Q) կետի միջով, և (կանցնի) իկոսահեդրոնի մնացած անկյունային կետերի միջով: Եվ իկոսահեդրոնը կշրջապատվի գնդի կողմից: Ուրեմն, ես ասում եմ, որ այն նույնպես շրջապատված է տրված (գնդով): Թող ՎW-ն կիսվել է a-ի վրա: Եվ քանի որ ուղիղ գիծը VZ կիսվել է ծայրահեղ և միջին հարաբերությամբ W-ին, և ZW-ն դրա փոքր մասը է, ապա ZW-ի վրա նկարված քառորդը և ավելի մեծ մասի կեսը՝ W a-ն, հավասար է հինգ անգամ (այդ) մասի քառորդին [[#Պնդում 13|Պնդում 13.3]]:  Ուրեմն, Za-ի վրա նկարված քառորդը հինգ անգամ մեծ է (aW)-ի վրա նկարված քառորդից: Եվ ZX-ը երկակի է Za-ից, և VW-ն երկակի է aW-ից: Ուրեմն, ZX-ի վրա նկարված քառորդը հինգ անգամ մեծ է VW-ի վրա նկարված քառորդից: Եվ քանի որ AC-ն չորս անգամ մեծ է CB-ից, ապա AB-ն հինգ անգամ մեծ է BC-ից: Եվ ինչպես AB-ն է BC-ին, այնպես էլ AB-ի վրա նկարված քառորդը է BD-ի վրա նկարված քառորդից [[#Պնդում 6|Պնդում 6.8, Սահմանում 5 .9]]: Ուրեմն, AB-ի վրա նկարված քառորդը հինգ անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսունմեծ է BD-ի վրա նկարված քառորդից: Եվ ZX-ի վրա նկարված քառորդը նույնպես ցույց է տվել, որ հինգ անգամ մեծ է VW-ի վրա նկարված քառորդից: Եվ DB-ն հավասար է VW-ին: Քանզի երկուսը նույնպես հավասար են EFGHK շրջանակի ռադիուսին: Ուրեմն, AB-ն նույնպես հավասար է XZ-ին: Եվ AB-ն տրված գնդի տրամագիծն է: Ուրեմն, XZ-ն հավասար է տրված գնդի տրամագծին: Ուրեմն, իկոսահեդրոնը շրջապատված է տրված գնդով: Ուրեմն, ես ասում եմ, որ իկոսահեդրոնի կողմը այն անհամաչափ (ուղղահայաց) ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր: Քանզի գնդի տրամագիծը համաչափ է, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։դրա քառորդը հինգ անգամ մեծ է EFGHK շրջանակի ռադիուսի վրա նկարված քառորդից, ապա EFGHK շրջանակի ռադիուսը նույնպես համաչափ է: Ուրեմն, դրա տրամագիծը նույնպես համաչափ է: Եվ եթե հավասարակողմ պենտագոն ներկառուցվի շրջանի մեջ, որը ունի համաչափ տրամագիծ, ապա պենտագոնի կողմը այն անհամաչափ (ուղղահայաց) ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր [[#Պնդում 13|Պնդում 13.11][: Եվ EFGHK պենտագոնի կողմը այն կողմն է, որը համընկնում է իկոսահեդրոնի կողմի հետ: Ուրեմն, իկոսահեդրոնի կողմը այն անհամաչափ (ուղղահայաց) ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր: Հետևանք Ուրեմն, ակնհայտ է, որ գնդի տրամագծի քառորդը հինգ անգամ մեծ է այն շրջանակի ռադիուսի քառորդից, որի միջոցով նկարագրված է իկոսահեդրոնը, և որ գնդի տրամագիծը հավասար է նույն շրջանակի մեջ ներկառուցված վեցանկու եզրը և երկու տասանկու եզրերի գումարին: ==Նշումներ==<references />