Changes

Թող AB-ն ու C-ն լինեն անհավասար մեծություններ, և թող AB-ն լինի նրանցից մեծը, և D-ն ուրիշ պատահական մեծություն է։ Ես ասում եմ որ, AB-ն ունի ունի ավելի մեծ հարաբերություն D-ին քան C-ն D-ին և որ D-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն C-ին քան AB-ին։

Քանի որ AB-ն մեծ է C-ից, թող BE-ն լինի հավասար C-ին։ Այսպիսով AE-ի և EB-ից փոքրը, բազմապատկելով երբեմն մեծ կլինի D-ից [Սահմանում 5.4]: Առաջինը, թող AE-ն փոքր կլինի քան

D-ին։ Թող դա լինի բազմապատկված, եվ թող GH-ը լինի EB—ի բազմապատիկ, որը մեծ է D-ից։ Եվ այնքան անգամ որքան GH-ը բաժանվում է EB-ի այնքան ագամ էլ թող FG-ն նույնպես բաժանվի AE-ին, իսկ K-ն C-ին։ Հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ որ որ FH-ը ու K-ն AB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկեր են։ Եվ վերոնշյալին հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ որ FH-ն ու K-ն AB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկեր են։ Եվ վերոնշյալին հանգունորեն թող N-ն ու D-ն (որը առաջին բազմապատիկն է մեծ քան FG—ն) վերցված են։ Այսպես FG-ն կրկին փոքր չէ քան M-ը։ Եվ GH-ը մեծ է D-ից։ Այդ իսկ պատճառով ամբողջ FH-ը գերազանցում է D-ին և M-ին, որը N-ն է։ Եվ K-ն չի գերազանցում N-ին, աjնքանով որքան FG-ն, որը մեծ է GH-ից։ այսինքն՝ K—ն նույնպես չի գերազանցում է N-ին: Եվ շարունակելով նույն պնդումներով մենք կարող ենք ավարտել ապացույցը։

Այսպիսով՝ Անհավասար մեծությունների համար, ավելի մեծ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն քան փոքրը նույն հարաբերությանը։

== Պնդում 9 ==