Changes

[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]

1. Մեծությունը համարվում է մեկ այլ մեծության

մաս՝ փոքրը մեծի, երբ այն չափում է մեծը։

# Բաժանման հարաբերություն է ստացվում վերցնելով հարաբերության առաջին, որպես առաջինի և հաջորդողի տարբերություն, իսկ հաջորդողը մնում է նույնը։

# Փոխարկման հարաբերություն է ստացվում վերցնելով հարաբերության առաջին, որպես առաջին իսկ հաջորդող, որպես առաջինի և հաջորդողի տարբերություն։

== Պնդում 1 ==

Եթե որևէ քանակի մեծություններ համապատասխանաբար բազմապատիկ են հավասար թվով ուրիշ մեծությունների, ապա քանի անգամ մեծություններից մեկը մեծ է իրեն համապատասխան մեծությունից, այնքան անգամ մնացած բոլոր մեծությունները մեծ են իրենց համապատասխան մեծություններից։

Թող լինի ցանկացած քանակի քանակության, AB, CD մեծություններ որոնք հավասար բազմապատիկ են, համապատասխանաբար, որոշ այլ հավասար թվով մեծությունների՛ E, F։ քանի անգամ AB-ն բաժանվում է E-ի, այնքան անգամ AB-ն, CD-ն նույնպես կբաժանվի E, F-ի: Քանի որ AB-ն, CD-ն հավասար է E, F-ի բազմապատիկին, ապա AB-ում այնքան մեծություններ հավասար են E-ին, ինչքան CD-ում հավասար են F-ի: Թող AB-ն բաժանվի AG, GB, հավասար E-ի և CD-ն CH, HD, հավասար F: Այսպիսով, AG, GB-ի թիվը հավասար կլինի CH, HD-ի թվին:Եվ քանի որ AG-ը հավասար է E-ի, իսկ CH-ն F-ն է, ապա AG (հավասար), հետևաբար, հավասար է E-ի, իսկ AG, CH - E, F: Այսպիսով, նույն (պատճառներով) GB-ն հավասար է E-ի, և GB, HD - E, F.

համապատասխանաբար C-ի և F-ի հավասար բազմապատիկներ:

Քանի որ AB-ն և DE-ն են C-ի և F-ի հավասար բազմապատիկներ են, ապա այնքան մեծություն որքան AB-ում հավասար են C-ին, այնքան էլ մեծություն DE-ում հավասար են F-ին: Եվ նույն պատճառներով, նույնքան մեծություններ BG-ում հավասար են C-ի, այնքան էլ EH-ում հավասար են F-ին:

Այսպիսով, նույն պատճառներով KF-ն և LH-ն հավասար են B-ի և D-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար): Հետևաբար, առաջին մեծություն EK-ն և երրորդ GL-ը հավասար են երկրորդ B-ի և չորրորդ D-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար), իսկ հինգերորդ մեծությունը KF-ը և վեցերորդ LH-ը նույնպես հավասար են երկրորդ B-ի և չորրորդ D-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար), ապա առաջին մեծությունն ու հինգերորդը, գումարվելով միասին (այնպես, որ տալիս են EF), և երրորդն ու վեցերորդը գումարվելով միասին (GH ստանալու համար), հավասար են երկրորդ B-ի և չորրորդ D-ի բազմապատիկներին (համապատասխանաբար):

Այսպիսով, եթե առաջինը (մեծությունը) և երրորդը հավասար են երկրորդի և չորրորդի համապատասխան բազմապատիկներին, և վերցված են առաջինի և երրորդի հավասար բազմապատիկները, ապա (հավասարության միջոցով) վերցված արժեքները նույնպես հավասար կլինեն երկրորդի և չորրորդը, համապատասխան բազմապատիկներին: Ինչը պետք էր ցույց տալ:

թող առաջին մեծությունը` A-ն ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ B-ի հետ, ինչ երրորդ C-ն ունի չորրորդ D-ի հետ: Եվ թող E-ն և F-ը լինեն A-ի և C-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկները, իսկ B-ից և D-ից համապատասխանաբար այլ պատահական հավասար բազմապատիկներ՝ G-ն և H-ը: Ապա E-ն հարաբերում է G-ին ինչպես F-ը D-ին։

Թող հավասար բազմապատիկներ K-ն ու L-ը վերցված լինեն համապատասխանաբար E-ից և F-ից և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ M-ն ու N-ը համապատասախանաբար G-ից ու H-ից։

Եթե ​​մեծությունը նույն մեծության բազմապատիկն է, ինչ վերցված մասը (է) վերցված մասի, ապա մնացորդը նույնպես կլինի մնացորդի նույն բազմապատիկը, ինչ ամբողջը ամբողջից (համապատասխանաբար):

Թող AB մեծությունը լինի CD մեծության նույն բազմապատիկը, ինչ վերցված AE մասը վերցված CF մասից է: Ես ասում եմ, որ մնացորդ EB-ն նույնպես կլինի մնացորդի FD-ի նույն բազմապատիկը, ինչ որ ամբողջ AB-ն ամբողջ CD-ի է:

Թող AB և CD մեծությունները լինեն E-ի, և F-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ: Եվ թող առաջինից վերցված մասերը՝ AG-ն և CH-ը լինեն համապատասխաբար E-ի և F-ի հավասար բազմապատիկներ: Ես ասում եմ որ GB և HD մնացորդները կամ նույնպես հավար են E-ի և F-ի կամ նրանց հավասար բազմապատիկներ են:

Թող GB-ն լինի հավասար E-ին: Ես ասում եմ որ HD-ն նույնպես հավասար է F-ին:

Թող A և B-ն լինեն հավասար մեծություններ, և C-ն պատահական մեծություն։ Ես ասում եմ որ A և B-ն ունեն նույն հարաբերությունը C-ին և C-ն ունի նույն հարաբերությունը A և B-ին։

Թող D և E հավասար բազմապատիկները համապատասխանաբար վերցված լինեն A-ից և B-ից, և ինչ-որ ուրիշ պատահական F-ը C-ից։

Հետևաբար, քանի որ D և E-ն A-ի և B-ի հավասար բազմապատիկներ են և A-ն հավասար է B-ին, հետևաբար D-ն հավասար է E-ին։ Եվ F-ը ուրիշ պատահական է։ Հետևաբար, եթե D-ն գերազանցում է

Այսպիսով՝ հավասար մեծությունները ունեն հավասար հարաբերություն նույն մեծությանը, և վերջին մեծությունը ունի հավասար հարաբերություն հավասար մեծություններին։

Այսպիսով այստեղից պարզ է որ երե որոշ մեծություններ պրոպորցիոնալ են, ապա նրանք նույնպես կլինեն հակադարձորեն պրոպորցիոնալ։ Ինչը պետք էր ցույց տալ:

Թող AB-ն ու C-ն լինեն անհավասար մեծություններ, և թող AB-ն լինի նրանցից մեծը, և D-ն ուրիշ պատահական մեծություն է։ Ես ասում եմ որ, AB-ն ունի ունի ավելի մեծ հարաբերություն D-ին քան C-ն D-ին և որ D-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն C-ին քան AB-ին։

Քանի որ AB-ն մեծ է C-ից, թող BE-ն լինի հավասար C-ին։ Այսպիսով AE-ի և EB-ից փոքրը, բազմապատկելով երբեմն մեծ կլինի D-ից [Սահմանում 5.4]: Առաջինը, թող AE-ն փոքր կլինի քան

D-ին։ Թող դա լինի բազմապատկված, եվ թող GH-ը լինի EB—ի բազմապատիկ, որը մեծ է D-ից։ Եվ այնքան անգամ որքան GH-ը բաժանվում է EB-ի այնքան ագամ էլ թող FG-ն նույնպես բաժանվի AE-ին, իսկ K-ն C-ին։ Հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ որ որ FH-ը ու K-ն AB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկեր են։ Եվ վերոնշյալին հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ որ FH-ն ու K-ն AB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկեր են։ Եվ վերոնշյալին հանգունորեն թող N-ն ու D-ն (որը առաջին բազմապատիկն է մեծ քան FG—ն) վերցված են։ Այսպես FG-ն կրկին փոքր չէ քան M-ը։ Եվ GH-ը մեծ է D-ից։ Այդ իսկ պատճառով ամբողջ FH-ը գերազանցում է D-ին և M-ին, որը N-ն է։ Եվ K-ն չի գերազանցում N-ին, աjնքանով որքան FG-ն, որը մեծ է GH-ից։ այսինքն՝ K—ն նույնպես չի գերազանցում է N-ին: Եվ շարունակելով նույն պնդումներով մենք կարող ենք ավարտել ապացույցը։

Այսպիսով՝ Անհավասար մեծությունների համար, ավելի մեծ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն քան փոքրը նույն հարաբերությանը։

== Պնդում 9 ==

Մեծություններ, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը նույն մեծությանը հավասար են մեկը մյուսին։ Եվ այն մեծությունները, որին նույն մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը հավասար են։

Թող A-ից և B-ից յուրաքանչյուրը ունենա նույն հարաբերությունը C-ին։ Ես ասում եմ որ A-ն հավասար է B-ին։

== Պնդում 10 ==

[Պնդում 5.7]: Բայց նրանք չունեն հավասար հարաբերություններ։ Հետևաբար, A-ն հավասար չի B-ին։ Նույնպես, իրոք A-ն փոքր չէ B-ից: Հակառակ դեպքում A-ն կունենա ավելի փոքր հարաբերություն C-ին քան B-ն C-ին [Պնդում 5.8]: Բայց դա այդպես չէ։ Հետևաբար, A-ն փոքր չէ B-ից: Եվ մենք ցույց էինք տվել որ նրանք հավասար չեն։ Հետևաբար A-ն մեծ է B-ից:

== Պնդում 11 ==

Հարաբերությունները որոնք նույն են նույն հարաբերության հետ նույնպես նույնն են իրար հետ։

Թող A-ն հարաբերի B-ին ինչպես C-ն D-ին և C-ն հարաբերում է D-ին ինչպես E-ն F-ին։ Ես ասում եմ որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին։

Եթե կան կամայական քանակի համաչափ մեծություններ, ապա ինչպես առաջնային մեծություններից մեկը հարաբերում է իր հետևողին, այդպես էլ կհարաբերեն բոլոր մնացած առաջնային մեծությունները իրենց հետևողներին։

Թող վերցված լինեն կամայական քանակի համաչափ մեծություններ: Oրինակ ` A, B, C, D, E, F Այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես C-ն D-ին և E-ն F-ին։

Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչպիսին ունի երրորդը չորրորդին և երրորդ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն չորրորդին քան հինգերորրդը վեցերորդին, ապա առաջին մեծությունը կունենա ավելի մեծ հարաբերություն երկրորդին քան հինգերորդը վեցերորդին։

Թող առաջին մեծությունը A-ն ունենեա նույն հարաբերությունը երկրորդ B-ին ինչպիսին ունի երրորդ C-ն չորրորդ D-ին և թող երրորդ մեծություն C-ն ունենա ավելի մեծ հարաբերություն չորրորդ D-ին քան հինգերորրդ E-ն ունի վեցերորդ

Քանի որ կան C-ի և E-ի հավասար բազմապատիկներ, և ուրիշ պատահական D-ի և F-ի հավասար բազմապատիկներ, որոնց համար C-ի բազմապատիկը չի գերազանցում D-ի բազմապատիկը և E-ի բազմապատիկը չի գերազանցում F-ինը [Պնդում 5.7], թող նրանք վերցված լինեն։ Եվ թող G, H-ը լինեն համապատասխանաբար

C, E-ի հավասար բազմապատիկներ և K, L-ը համապատասխանաբար D և F-ի ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ են, այնպես որ G-ն գերազանցում K-ին, բայց H-ը չի գերազանցում Լ-ին։ Եվ այնքան անգամ ինչքան G-ն բաժանվում է C-ին այնքան անգամ էլ M-ը բաժանվում է A-ին։ Եվ այնքան անգամ ինչքան K-ն բաժանվում է D-ին այնքան անգամ էլ թող N-ը բաժանվի է B-ին։

M-ը հավասար է N-ին, ապա G-ն նույնպես հավասար է K-ին, և եթե M-ը փոքր է

N-ից, ապա G-ն նույնպես փոքր է K-ից [Սահմանում 5.5]: Եվ G-ն գերազանցում է

Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդը չորրորդին և առաջին մեծությունը մեծ է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես մեծ կլինի չորրորդից։ Եվ եթե առաջին մեծությունը հավասար է երրորդին, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես հավասար կլինի չորրորդին։ Եվ եթե առաջին մեծությունը փոքր է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես փոքր կլինի չորրորդից։

Թող առաջին մեծություն A-ն ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ B-ին ինչ երրորդ C-ն ունի չորրորդ D-ին և A-ն մեծ է C-ից։ Ես ասում եմ որ B-ն նույնպես մեծ է D-ից։

Քանի որ A-ն մեծ է C-ից և B-ն ուրիշ պատահական մեծություն է, A-ն հետևաբար ունի ավելի մեծ հարաբերություն B-ին քան C-ն B-ին [Պնդում 5.8]։ Եվ ինչպես A-ն հարաբերում է B-ին, այնպես էլ C-ն հարաբերում է D-ին։ Հետևաբար, C-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն D-ին քան C-ն B-ին։ Եվ այն մեծությունը, որին նույն մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն փոքրն է [Պնդում 5.10]։ Հետևաբար D-ն փոքր է B-ից։ Հետևաբար, B-ն մեծ է D-ից։

Մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները, վերցված համապատասխանաբար հերթականությամբ։

Թող AB-ն և DE-ն լինեն C-ի և F-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ։ Ես ասում եմ որ C-ն հարաբերում է F-ին ինչպես AB-ն DE—ին։

Թող հավասար բազմապատիկներ E-ն ու F-ը վերցված լինեն համապատասխաբար A-ից և B-ից, և ուրիշ պատահական G, H հավասար բազմապատիկներ համապատասխանաբար C-ից և D-ից։

Եվ քանի որ E-ն ու F-ը համապատասխաբար A-ի և B-ի հավասար բազմապատիկներ են, և մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները, վերցված համապատասխանաբար հերթականությամբ [Պնդում 5.15]։ Հետևաբար A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին, բայց A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես C-ն D-ին և հետևաբար C-ն հարաբերում է D-ին ինչպես E-ն F-ին [Պնդում 5.11]։ Կրկին Եվ քանի որ G-ն ու H-ը համապատասխաբար C-ի և D-ի հավասար բազմապատիկներ են, հետևաբար C-ն հարաբերում է D-ին ինչպես G-ն H-ին [Պնդում 5.15], բայց C-ն հարաբերում է D-ին ինչպես E-ն F-ին և հետևաբար E-ն հարաբերում է F-ին ինչպես G-ն H-ին [Պնդում 5.11]։ Եվ Եթե չորս մեծություններ համաչափ են և առաջին մեծությունը մեծ է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես մեծ կլինի չորրորդից։ Եվ եթե առաջին մեծությունը հավասար է երրորդին, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես հավասար կլինի չորրորդին։ Եվ եթե առաջին մեծությունը փոքր է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես փոքր կլինի չորրորդից

Եթե համադրված մեծությունները համաչափ են, ապա նրանք նույնպես համաչափ կլինեն բաժանված։

Թող AB-ն BE-ն CD-ն և DF-ը լինեն համադրված մեծություններ, որոնք համաչափ են, այնպես որ AB-ն հարաբերում է BE-ին, այնպես ինչպես CD-ին DF-ին։ Ես ասում եմ որ նրանք նույնպես համաչափ կլինեն բաժանված, այնպես որ AE-ն կհարաբերի EB-ին ինչպես CF-ը DF-ին։

MP-ին, և եթե GK-ն հավասար է HO-ին, ապա LN-ը նույնպես հավասար է MP-ին, և եթե GK-ն փոքր է HO-ից, ապա LN-ը նույնպես փոքր է MP-ից [Սահմանում 5.5]։ Թող GK-ն գերազանցի HO-ին հետևաբար հանելով HK-ն երկուսից էլ GH-ն կգերազանցի

KO-ին։ Բայց մենք տեսել ենք որ եթե GK-ն գերազանցում է HO-ին , ապա LN-ը նույնպես գերազանցում է MP-ին։ Հետևաբար LN-ը նույնպես գերազանցում է MP-ին և MN-ը երկուսից էլ հանենք LM-ը նույնպես կգերազանցի NP-ին։ ՀԵտևաբար եթե GH-ը գերազանցում է KO-ին, ապա LM-ը նույնպես կգերազանցի NP-ին։ Հանգունորեն մենք կարեղ ենք ցույց տալ որ եթե GH-ը հավասար է KO-ին ապա LM-ը նույնպես հավասար է NP-ին և եթե GH-ը փոքր է KO-ից, ապա LM-ը նույնպես փոքր է NP-ից։ Եվ GH-ն ու LM-ը AE-ի և CF-ի հավասար բազմապատիկներ են և KO-ն ու NP—ն ուրիշ պատահական EB-ի և FD-ի հավասար բազմապատիկներ են։ ՀԵտևաբար, AE-ն հարաբերում է EB-ին ինչպես CF-ը FD-ին [Սահմանում 5.5]։

== Պնդում 18 ==

Եթե բաժանված մեծությունները համաչափ են, ապա նրանք նույնպես համաչափ կլինեն համադրված։

Թող AE-ն, EB-ն, CF-ը և FD-ն լինեն բաժանված մեծություններ որոնք համաչափ են, այնպես որ AE-ն հարաբերում է EB-ին ինչպես CF-ը FD-ին։ Ես ասում եմ որ նրանք նույնպես համաչափ կլինեն համադրված, այսինքն AB-ն կհարաբերի BE-ին ինչպես

Հետևաբար, երկրորդ մեծություն GD-ն նույնպես մեծ է չորրորդ FD-ից

[Պնդում 5.14]։ Բայց նա նույնպես փոքր է, ինչը անհնար է։ Հետևաբար սա այն դեպքը չէ, երբ AB-ն հարաբերում է BE-ին ինչպես CD-ն FD-ից փոքրին։ Հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ նաև որ սա FD-ից մեծ դեպքը չէ։ Հետևաբար, սա հավասար FD-ին դեպքն է։

== Պնդում 19 ==

Եթե ամբողջ մասը հարաբերում է ամբողջ մասին ինչպես վերցված մասը վերցված մասին, ապա մնացորդը կհարաբերի մնացորդին ինչպես ամբողջ մասը ամբողջին։

Թող ամբողջ մաս AB-ն հարաբերի ամբողջ մաս CD ինչպես վերցված մաս AE-ն CF վերցված մասին։ Ես ասում եմ որ, EB մնացորդը կհարաբերի CD մնացորդին ինչպես ամբողջ մաս AB-ն CD ամբողջին։

Հետևաբար, EB մնացորդը հարաբերում է FD մնացորդին, ինչպես ամբողջ AB-ն կհարաբերի ամբողջ CD-ին։

Այսպիսով՝ եթե ամբողջ մասը հարաբերում է ամբողջ մասին ինչպես վերցված մասը վերցված մասին, ապա մնացորդը կհարաբերի մնացորդին ինչպես ամբողջ մասը ամբողջին։ Ինչը պետք էր ցույց տալ:

FD-ին, Սա նույնպես այն դեպքն է հակադարձ, որ AB-ն հարաբերում է BE-ին ինչպես CD-ն FD-ին։ Հետևաբար համադրված մեծությունները համաչափ են։ Եվ ցույց տրված եղել է որ BA-ն հարաբերում է AE-ին ինչպես DC-ն CF-ին։ Եվ վերջինս ստացվել է առաջինից։

Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ մեծություններ նրանց հավասար թվով, նաև նրանց հարաբաերությունները զույգ առ զույգ վերցված հավասար են, և եթե հավասարման միջոցով առաջինը մեծ է երրորդից, ապա չորրորդը նույնպես մեծ կլինի վեցերորդից, և եթե առաջինը հավասար է երրորդին, ապա չորրորդը նույնպես հավասար կլինի վեցերորդին, և եթե առաջինը փոքր է երրորդից, ապա չորրորդը նույնպես փոքր կլինի վեցերորդից։

Թող A, B, C-ն լինեն երեք մեծություններ և D, E, F-ը ուրիշ մեծություններ նրանց թվով հավասար և նույնպես զույգ առ զույգ վերցված հավասար հարաբերություններով, այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես D-ն E-ին, և

Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ մեծություններ նրանց հավասար թվով, նաև նրանց հարաբաերությունները զույգ առ զույգ վերցված հավասար են, և եթե նրանց հարաբերությունը խանգառված է, և եթե հավասարման միջոցով առաջինը մեծ է երրորդից, ապա չորրորդը նույնպես մեծ կլինի վեցերորդից, և եթե առաջինը հավասար է երրորդին, ապա չորրորդը նույնպես հավասար կլինի վեցերորդին, և եթե առաջինը փոքր է երրորդից, ապա չորրորդը նույնպես փոքր կլինի վեցերորդից։

ող A, B, C-ն լինեն երեք մեծություններ և D, E, F-ը ուրիշ մեծություններ նրանց թվով հավասար և նույնպես զույգ առ զույգ վերցված հավասար հարաբերություններով, և խանգառված հարաբերությամբ, այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես Ե-ն Ֆ-ին, և

B-ն C-ին, ինչպես Դ-ն Ե-ին։ Եվ թող A-ն մեծ լինի C-ից ըստ հավասարության։ Ես ասում եմ որ D-ն նույնպես մեծ կլինի F-ից, և եթե A-ն հավասար է C-ին, ապա D-ն նույնպես հավասար կլինի F-ին։ Եվ եթե A-ն փոքր է C-ից, ապա D-ն նույնպես փոքր կլինի F-ից։

Քանի որ A-ն մեծ է C-ից և B-ն մեկ ուրիշ մեծություն է, հետևաբար A-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն B-ին քան C-ն B-ին [Պնդում 5.8]։ Բայց A-ն հարաբերում է B-ին, ինչպես Ե-ն Ֆ-ին։ Եվ հակադարձորեն C-ն հարաբերում է B-ին այնպես ինչպես Ե-ը Դ-ին [Պնդում 5.7-ի հետևանք]։ Հետևաբար Ե-ն նույնպես ունի ավելի մեծ հարաբերություն Ֆ-ին քան Ե-ը Դ-ին [Պնդում 5.13]։ Եվ մեծությունները ունեն հարաբերություն նույն մեծությանը, այն մեծությունը որը ունի մեծ հարաբերություն մեծն է [Պնդում 5.10]։ Հետևաբար Ֆ-ը փոքր է Դ-ից։ Հետևաբար Դ-ն մեծ է Ֆ-ից։ Հանգունորեն մենք կարոզ ենք ցույց տալ, որ եթե նույնիսկ A-ն հավասար է C-ին ապա D-ն նույնպես հավասար կլինի F-ին և նույնիսկ եթե A-ն փոքր է C-ից, ապա D-ն նույնպես փոքր կլինի քան F-ը։

== Պնդում 22 ==

Եթե կան որևէ քանակի մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։

Թող լինեն կամայական քանակի մեծություններ A, B, C և ուրիծ մեծություններ D, E, F նրանց քանակով հավասար, որոնք զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությունը ունեն այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես D-ն E-ին և

Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, և եթե նրանց հարաբերությունը խանգառված է, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։

Թող A, B, C մեծությունները և D, E, F ուրիշ մեծությունները նրանց քանակով հավասար, որոնք զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությունը ունեն։ Եվ թող նրանց հարաբերությունը խանգառված լինի, այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին և B-ն C-ին ինչպես D-ն F-ին։ Ես ասում եմ որ A-ն կհարաբերի C-ին ինչպես D-ն F-ին։

Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին, ինչն ունի երրորդը չորրորդին և հինգերորդը նույնպես ունի նույն հարաբերություն երկրորդին ինչպիսին վեցերորդը ունի չորրորդին, ապա առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված կունենան նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդն ու վեցերորդը գումարված չորրորդին։

Թող առաջին մեծություն ԱԲ-ն ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ C-ին, ինչն երրորդ DE-ն ունի չորրորդ F-ին։ Եվ թող հինգերորդ BG-ն նույնպես ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ C-ին ինչպիսին վեցերորդ EH-ը ունի չորրորդ

F-ին։ Ես ասում եմ որ առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված՝ AG-ն կունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ C-ին ինչ կունենան երրորդն ու վեցերորդը գումարված՝ DH-ը չորրորդ F-ին։

Քանի որ BG-ն հարաբերում է C-ին այնպես ինչպես EH-ը F-ին հետևաբար հակադարձորեն C-ն հարաբերում է BG-ին այնպես ինչպես F-ը EH-ին

[Պնդում 5.22]: Եվ Եթե բաժանված մեծությունները համաչափ են, ապա նրանք նույնպես համաչափ կլինեն համադրված [Պնդում 5.18]։ Այդ իսկ պատճառով AG-ն հարաբերում է GB-ին այնպես ինչպես DH-ը HE-ին։ Եվ նաև BG-ն հարաբերում է

C-ին այնպես ինչպես EH-ը F-ին։ ՀԵտևաբար ըստ հավասարման AG-ն հարաբրերում

Եթե չորս մեծություններ համաչափ են, ապա նրանցից մեծագույնի և փոքրագույնի գումարը մեծ կլինի մնացած երկուսի գումարից։

Թող AB-ն, CD-ն, E-ն F-ը լինեն չորս համաչափ մեծություններ, այնպես որ AB-ն հարաբերում է CD-ին այնպես ինչպես E-ն F-ին։ Եվ թող AB-ն լինի նրանցից մեծագույնը, իսկ F-ը փոքրագույնը։ Ես ասում եմ որ, AB-ն և F-ը մեծ են քան CD-ն և E-ն։