Changes

Մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները, վերցված համապատասխանաբար հերթականությամբ։

Թող AB-ն և DE-ն լինեն C-ի և F-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ։ Ես ասում եմ որ C-ն հարաբերում է F-ին ինչպես AB-ն DE—ին։

Թող հավասար բազմապատիկներ E-ն ու F-ը վերցված լինեն համապատասխաբար A-ից և B-ից, և ուրիշ պատահական G, H հավասար բազմապատիկներ համապատասխանաբար C-ից և D-ից։

Եվ քանի որ E-ն ու F-ը համապատասխաբար A-ի և B-ի հավասար բազմապատիկներ են, և մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները, վերցված համապատասխանաբար հերթականությամբ [Պնդում 5.15]։ Հետևաբար A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին, բայց A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես C-ն D-ին և հետևաբար C-ն հարաբերում է D-ին ինչպես E-ն F-ին [Պնդում 5.11]։ Կրկին Եվ քանի որ G-ն ու H-ը համապատասխաբար C-ի և D-ի հավասար բազմապատիկներ են, հետևաբար C-ն հարաբերում է D-ին ինչպես G-ն H-ին [Պնդում 5.15], բայց C-ն հարաբերում է D-ին ինչպես E-ն F-ին և հետևաբար E-ն հարաբերում է F-ին ինչպես G-ն H-ին [Պնդում 5.11]։ Եվ Եթե չորս մեծություններ համաչափ են և առաջին մեծությունը մեծ է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես մեծ կլինի չորրորդից։ Եվ եթե առաջին մեծությունը հավասար է երրորդին, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես հավասար կլինի չորրորդին։ Եվ եթե առաջին մեծությունը փոքր է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես փոքր կլինի չորրորդից

Եթե համադրված մեծությունները համաչափ են, ապա նրանք նույնպես համաչափ կլինեն բաժանված։

Թող AB-ն BE-ն CD-ն և DF-ը լինեն համադրված մեծություններ, որոնք համաչափ են, այնպես որ AB-ն հարաբերում է BE-ին, այնպես ինչպես CD-ին DF-ին։ Ես ասում եմ որ նրանք նույնպես համաչափ կլինեն բաժանված, այնպես որ AE-ն կհարաբերի EB-ին ինչպես CF-ը DF-ին։

MP-ին, և եթե GK-ն հավասար է HO-ին, ապա LN-ը նույնպես հավասար է MP-ին, և եթե GK-ն փոքր է HO-ից, ապա LN-ը նույնպես փոքր է MP-ից [Սահմանում 5.5]։ Թող GK-ն գերազանցի HO-ին հետևաբար հանելով HK-ն երկուսից էլ GH-ն կգերազանցի

KO-ին։ Բայց մենք տեսել ենք որ եթե GK-ն գերազանցում է HO-ին , ապա LN-ը նույնպես գերազանցում է MP-ին։ Հետևաբար LN-ը նույնպես գերազանցում է MP-ին և MN-ը երկուսից էլ հանենք LM-ը նույնպես կգերազանցի NP-ին։ ՀԵտևաբար եթե GH-ը գերազանցում է KO-ին, ապա LM-ը նույնպես կգերազանցի NP-ին։ Հանգունորեն մենք կարեղ ենք ցույց տալ որ եթե GH-ը հավասար է KO-ին ապա LM-ը նույնպես հավասար է NP-ին և եթե GH-ը փոքր է KO-ից, ապա LM-ը նույնպես փոքր է NP-ից։ Եվ GH-ն ու LM-ը AE-ի և CF-ի հավասար բազմապատիկներ են և KO-ն ու NP—ն ուրիշ պատահական EB-ի և FD-ի հավասար բազմապատիկներ են։ ՀԵտևաբար, AE-ն հարաբերում է EB-ին ինչպես CF-ը FD-ին [Սահմանում 5.5]։

== Պնդում 18 ==

Եթե բաժանված մեծությունները համաչափ են, ապա նրանք նույնպես համաչափ կլինեն համադրված։

Թող AE-ն, EB-ն, CF-ը և FD-ն լինեն բաժանված մեծություններ որոնք համաչափ են, այնպես որ AE-ն հարաբերում է EB-ին ինչպես CF-ը FD-ին։ Ես ասում եմ որ նրանք նույնպես համաչափ կլինեն համադրված, այսինքն AB-ն կհարաբերի BE-ին ինչպես

Հետևաբար, երկրորդ մեծություն GD-ն նույնպես մեծ է չորրորդ FD-ից

[Պնդում 5.14]։ Բայց նա նույնպես փոքր է, ինչը անհնար է։ Հետևաբար սա այն դեպքը չէ, երբ AB-ն հարաբերում է BE-ին ինչպես CD-ն FD-ից փոքրին։ Հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ նաև որ սա FD-ից մեծ դեպքը չէ։ Հետևաբար, սա հավասար FD-ին դեպքն է։

== Պնդում 19 ==

Եթե ամբողջ մասը հարաբերում է ամբողջ մասին ինչպես վերցված մասը վերցված մասին, ապա մնացորդը կհարաբերի մնացորդին ինչպես ամբողջ մասը ամբողջին։

Թող ամբողջ մաս AB-ն հարաբերի ամբողջ մաս CD ինչպես վերցված մաս AE-ն CF վերցված մասին։ Ես ասում եմ որ, EB մնացորդը կհարաբերի CD մնացորդին ինչպես ամբողջ մաս AB-ն CD ամբողջին։

Հետևաբար, EB մնացորդը հարաբերում է FD մնացորդին, ինչպես ամբողջ AB-ն կհարաբերի ամբողջ CD-ին։

Այսպիսով՝ եթե ամբողջ մասը հարաբերում է ամբողջ մասին ինչպես վերցված մասը վերցված մասին, ապա մնացորդը կհարաբերի մնացորդին ինչպես ամբողջ մասը ամբողջին։ Ինչը պետք էր ցույց տալ:

FD-ին, Սա նույնպես այն դեպքն է հակադարձ, որ AB-ն հարաբերում է BE-ին ինչպես CD-ն FD-ին։ Հետևաբար համադրված մեծությունները համաչափ են։ Եվ ցույց տրված եղել է որ BA-ն հարաբերում է AE-ին ինչպես DC-ն CF-ին։ Եվ վերջինս ստացվել է առաջինից։

Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ մեծություններ նրանց հավասար թվով, նաև նրանց հարաբաերությունները զույգ առ զույգ վերցված հավասար են, և եթե հավասարման միջոցով առաջինը մեծ է երրորդից, ապա չորրորդը նույնպես մեծ կլինի վեցերորդից, և եթե առաջինը հավասար է երրորդին, ապա չորրորդը նույնպես հավասար կլինի վեցերորդին, և եթե առաջինը փոքր է երրորդից, ապա չորրորդը նույնպես փոքր կլինի վեցերորդից։

Թող A, B, C-ն լինեն երեք մեծություններ և D, E, F-ը ուրիշ մեծություններ նրանց թվով հավասար և նույնպես զույգ առ զույգ վերցված հավասար հարաբերություններով, այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես D-ն E-ին, և

Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ մեծություններ նրանց հավասար թվով, նաև նրանց հարաբաերությունները զույգ առ զույգ վերցված հավասար են, և եթե նրանց հարաբերությունը խանգառված է, և եթե հավասարման միջոցով առաջինը մեծ է երրորդից, ապա չորրորդը նույնպես մեծ կլինի վեցերորդից, և եթե առաջինը հավասար է երրորդին, ապա չորրորդը նույնպես հավասար կլինի վեցերորդին, և եթե առաջինը փոքր է երրորդից, ապա չորրորդը նույնպես փոքր կլինի վեցերորդից։

ող A, B, C-ն լինեն երեք մեծություններ և D, E, F-ը ուրիշ մեծություններ նրանց թվով հավասար և նույնպես զույգ առ զույգ վերցված հավասար հարաբերություններով, և խանգառված հարաբերությամբ, այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես Ե-ն Ֆ-ին, և

B-ն C-ին, ինչպես Դ-ն Ե-ին։ Եվ թող A-ն մեծ լինի C-ից ըստ հավասարության։ Ես ասում եմ որ D-ն նույնպես մեծ կլինի F-ից, և եթե A-ն հավասար է C-ին, ապա D-ն նույնպես հավասար կլինի F-ին։ Եվ եթե A-ն փոքր է C-ից, ապա D-ն նույնպես փոքր կլինի F-ից։

Քանի որ A-ն մեծ է C-ից և B-ն մեկ ուրիշ մեծություն է, հետևաբար A-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն B-ին քան C-ն B-ին [Պնդում 5.8]։ Բայց A-ն հարաբերում է B-ին, ինչպես Ե-ն Ֆ-ին։ Եվ հակադարձորեն C-ն հարաբերում է B-ին այնպես ինչպես Ե-ը Դ-ին [Պնդում 5.7-ի հետևանք]։ Հետևաբար Ե-ն նույնպես ունի ավելի մեծ հարաբերություն Ֆ-ին քան Ե-ը Դ-ին [Պնդում 5.13]։ Եվ մեծությունները ունեն հարաբերություն նույն մեծությանը, այն մեծությունը որը ունի մեծ հարաբերություն մեծն է [Պնդում 5.10]։ Հետևաբար Ֆ-ը փոքր է Դ-ից։ Հետևաբար Դ-ն մեծ է Ֆ-ից։ Հանգունորեն մենք կարոզ ենք ցույց տալ, որ եթե նույնիսկ A-ն հավասար է C-ին ապա D-ն նույնպես հավասար կլինի F-ին և նույնիսկ եթե A-ն փոքր է C-ից, ապա D-ն նույնպես փոքր կլինի քան F-ը։

== Պնդում 22 ==

Եթե կան որևէ քանակի մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։

Թող լինեն կամայական քանակի մեծություններ A, B, C և ուրիծ մեծություններ D, E, F նրանց քանակով հավասար, որոնք զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությունը ունեն այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես D-ն E-ին և

Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, և եթե նրանց հարաբերությունը խանգառված է, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։

Թող A, B, C մեծությունները և D, E, F ուրիշ մեծությունները նրանց քանակով հավասար, որոնք զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությունը ունեն։ Եվ թող նրանց հարաբերությունը խանգառված լինի, այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին և B-ն C-ին ինչպես D-ն F-ին։ Ես ասում եմ որ A-ն կհարաբերի C-ին ինչպես D-ն F-ին։

Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին, ինչն ունի երրորդը չորրորդին և հինգերորդը նույնպես ունի նույն հարաբերություն երկրորդին ինչպիսին վեցերորդը ունի չորրորդին, ապա առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված կունենան նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդն ու վեցերորդը գումարված չորրորդին։

Թող առաջին մեծություն ԱԲ-ն ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ C-ին, ինչն երրորդ DE-ն ունի չորրորդ F-ին։ Եվ թող հինգերորդ BG-ն նույնպես ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ C-ին ինչպիսին վեցերորդ EH-ը ունի չորրորդ

Եթե չորս մեծություններ համաչափ են, ապա նրանցից մեծագույնի և փոքրագույնի գումարը մեծ կլինի մնացած երկուսի գումարից։

Թող AB-ն, CD-ն, E-ն F-ը լինեն չորս համաչափ մեծություններ, այնպես որ AB-ն հարաբերում է CD-ին այնպես ինչպես E-ն F-ին։ Եվ թող AB-ն լինի նրանցից մեծագույնը, իսկ F-ը փոքրագույնը։ Ես ասում եմ որ, AB-ն և F-ը մեծ են քան CD-ն և E-ն։