Changes

B-ն C-ին, ինչպես Դ-ն Ե-ին։ Եվ թող A-ն մեծ լինի C-ից ըստ հավասարության։ Ես ասում եմ որ D-ն նույնպես մեծ կլինի F-ից, և եթե A-ն հավասար է C-ին, ապա D-ն նույնպես հավասար կլինի F-ին։ Եվ եթե A-ն փոքր է C-ից, ապա D-ն նույնպես փոքր կլինի F-ից։

Քանի որ A-ն մեծ է C-ից և B-ն մեկ ուրիշ մեծություն է, հետևաբար A-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն B-ին քան C-ն B-ին [Պնդում 5.8]։ Բայց A-ն հարաբերում է B-ին, ինչպես Ե-ն Ֆ-ին։ Եվ հակադարձորեն C-ն հարաբերում է B-ին այնպես ինչպես Ե-ը Դ-ին [Պնդում 5.7-ի հետևանք]։ Հետևաբար Ե-ն նույնպես ունի ավելի մեծ հարաբերություն Ֆ-ին քան Ե-ը Դ-ին [Պնդում 5.13]։ Եվ մեծությունները ունեն հարաբերություն նույն մեծությանը, այն մեծությունը որը ունի մեծ հարաբերություն մեծն է [Պնդում 5.10]։ Հետևաբար Ֆ-ը փոքր է Դ-ից։ Հետևաբար Դ-ն մեծ է Ֆ-ից։ Հանգունորեն մենք կարոզ ենք ցույց տալ, որ եթե նույնիսկ A-ն հավասար է C-ին ապա D-ն նույնպես հավասար կլինի F-ին և նույնիսկ եթե A-ն փոքր է C-ից, ապա D-ն նույնպես փոքր կլինի քան F-ը։

== Պնդում 22 ==

Եթե կան որևէ քանակի մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։

Թող լինեն կամայական քանակի մեծություններ A, B, C և ուրիծ մեծություններ D, E, F նրանց քանակով հավասար, որոնք զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությունը ունեն այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես D-ն E-ին և

Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, և եթե նրանց հարաբերությունը խանգառված է, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։

Թող A, B, C մեծությունները և D, E, F ուրիշ մեծությունները նրանց քանակով հավասար, որոնք զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությունը ունեն։ Եվ թող նրանց հարաբերությունը խանգառված լինի, այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին և B-ն C-ին ինչպես D-ն F-ին։ Ես ասում եմ որ A-ն կհարաբերի C-ին ինչպես D-ն F-ին։

Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին, ինչն ունի երրորդը չորրորդին և հինգերորդը նույնպես ունի նույն հարաբերություն երկրորդին ինչպիսին վեցերորդը ունի չորրորդին, ապա առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված կունենան նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդն ու վեցերորդը գումարված չորրորդին։

Թող առաջին մեծություն ԱԲ-ն ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ C-ին, ինչն երրորդ DE-ն ունի չորրորդ F-ին։ Եվ թող հինգերորդ BG-ն նույնպես ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ C-ին ինչպիսին վեցերորդ EH-ը ունի չորրորդ

Եթե չորս մեծություններ համաչափ են, ապա նրանցից մեծագույնի և փոքրագույնի գումարը մեծ կլինի մնացած երկուսի գումարից։

Թող AB-ն, CD-ն, E-ն F-ը լինեն չորս համաչափ մեծություններ, այնպես որ AB-ն հարաբերում է CD-ին այնպես ինչպես E-ն F-ին։ Եվ թող AB-ն լինի նրանցից մեծագույնը, իսկ F-ը փոքրագույնը։ Ես ասում եմ որ, AB-ն և F-ը մեծ են քան CD-ն և E-ն։