Եթե կան որևէ քանակի մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։
screenshot #22[[Պատկեր:պնդում22.png|center|600px]]
Թող լինեն կամայական քանակի մեծություններ A, B, C և ուրիծ մեծություններ D, E, F նրանց քանակով հավասար, որոնք զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությունը ունեն այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես D-ն E-ին և
Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, և եթե նրանց հարաբերությունը խանգառված է, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։
screenshot #23[[Պատկեր:պնդում23.png|center|400px]]
Թող A, B, C մեծությունները և D, E, F ուրիշ մեծությունները նրանց քանակով հավասար, որոնք զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությունը ունեն։ Եվ թող նրանց հարաբերությունը խանգառված լինի, այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին և B-ն C-ին ինչպես D-ն F-ին։ Ես ասում եմ որ A-ն կհարաբերի C-ին ինչպես D-ն F-ին։
Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին, ինչն ունի երրորդը չորրորդին և հինգերորդը նույնպես ունի նույն հարաբերություն երկրորդին ինչպիսին վեցերորդը ունի չորրորդին, ապա առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված կունենան նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդն ու վեցերորդը գումարված չորրորդին։
screenshot #24[[Պատկեր:պնդում24.png|center|400px]]
Թող առաջին մեծություն ԱԲ-ն ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ C-ին, ինչն երրորդ DE-ն ունի չորրորդ F-ին։ Եվ թող հինգերորդ BG-ն նույնպես ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ C-ին ինչպիսին վեցերորդ EH-ը ունի չորրորդ
Եթե չորս մեծություններ համաչափ են, ապա նրանցից մեծագույնի և փոքրագույնի գումարը մեծ կլինի մնացած երկուսի գումարից։
screenshot #25[[Պատկեր:պնդում25.png|center|400px]]
Թող AB-ն, CD-ն, E-ն F-ը լինեն չորս համաչափ մեծություններ, այնպես որ AB-ն հարաբերում է CD-ին այնպես ինչպես E-ն F-ին։ Եվ թող AB-ն լինի նրանցից մեծագույնը, իսկ F-ը փոքրագույնը։ Ես ասում եմ որ, AB-ն և F-ը մեծ են քան CD-ն և E-ն։