Changes

† Այլ կերպ ասած` <math> s, \cdot \frac{q\left[\sqrt{1 + k2)1/k^2 } + k\right]/[}{2 (1 + k2k^2)] } +\frac{q\left[(\sqrt{1 + k2)1/k^2 − } - k\right]/[}{2 (1 + k2k^2)] } = \frac{q\left[(\sqrt{1 + k′2)1/k'^2 } + k′k'\right]/[}{2 (1 + k′2k'^2)]} +\frac{q\left[(\sqrt{1 + k′2)1/k'^2 − k′} - k'\right]/[}{2 (1 + k′2k'^2)] } </math> ունի միայն մեկ արմատ, այն է: k′ = k.

† Այլ կերպ ասած, k′1<math> k'^{1/4q4} \cdot \frac{q \left[1 + \frac{k/(}{\sqrt{1 + k2)1/k^2}}\right]/}{2 } + k′1k'^{1/4q4} \cdot \frac{q \left[1 − - \frac{k/(}{\sqrt{1 + k2)1/k^2}}\right]/}{2 } = k′′′1k'''^{1/4q4} \cdot \frac{q \left[1 + k′′/(\frac{k''}{\sqrt{1 + k′′2)1/k''^2}}\right]/}{2} +k′′′1k'''^{1/4q4} \cdot \frac{q \left[1 − k′′/(- \frac{k''}{\sqrt{1 + k′′2)1/k''^2}}\right]}{2}. </2 math> ունի միայն մեկ արմատ, այն է, k′′ = k և k′′′ = k′.

Տանենք ԱՑ և ՑԲ երկարություններով հատվածներն այնպես, որ դրանց ԱԲ գումարը ԲՑ-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն ինչպիսին (որևէ) քառակուսի թիվ ունի (մեկ այլ) քառակուսի թվի նկատմամբ, բայց չունենա CAՑԱ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին (որևէ) քառակուսի թիվ ունի (մեկ այլ) քառակուսի թվի նկատմամբ [[Պնդում 10.28, լեմմա I | Պնդում 10.28, լեմմա I]]]: Նաև տանենք ռացիոնալ երկարությամբ Դ ուղիղ գիծը: Բացի այդ, ԵՖ-ն երկարոթյամբ համաչափելի է Դ-ին: Ուստի ԵՖ-ը նույնպես ռացիոնալ է [[Սահմանում 10.3| Սահմանում 10.3]]։ Եվ թող սահմանվի, որ այնպես ինչպես ԲԱ-ն է հարաբերվում ԱՑ-ին, նույն կերպ էլ ԵՖ-ի քառակուսին ՖԳ-ի քառակուսուն [[Պնդում 10.6 հետևանք | Պնդում 10.6 հետևանք ]]]: ԵՎ ԱԲ-ն ԱՑ-ի հետ ունի այն նույն հարաբերությունը, ինչը ինչ-որ թիվ ունի մեկ այլ թվի հետ: Այսպիսով, ԵՖ քառակուսին ՖԳ քառակուսու նկատմամբ ունի այն նույն հարաբերությունը ինչ մի թիվ ունի մյուսի նկատմամբ: Հետևաբար ԵՖ-ով կազմված թառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ով կառուցված քառակուսուն [[Պնդում 10.6 | Պնդում 10.6]]։ Նաև ԵՖ-ն ռացիոնալ է: հետևաբար ՖԳ-ն ևս ռացիոնալ է: Եվ քանի որ ԲԱ-ն ԱՑ-ի նկատմամբ չունի այն նույն հարաբերությունը ինչ մի քառակուսի ունի մյուսի նկատմամբ, հետևաբար ԵՖ քառակուսին չունի ՖԳ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն ինչպես մի քառակուսին մյուսի նկատմամբ ունի ևս: Հետևաբար ԵՖ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՖԳ-ին [[Պնդում 10.9 | Պնդում 10.9]]։ Ստացվում է, որ ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով: Հետևաբար ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Պնդում 10.36 | Պնդում 10.36]]։ Այն է, դա նաև առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:

†Եթե ռացիոնաI ուղիղն ունի միավոր երկարություն, ապա առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի <math> k + k√1 − k′ k\sqrt{1 - k'^2: Սա և } </math> դա առաջին ապոտոմենապոտոմենն է, որի երկարությունն է է՝ <math> k - k\sqrt{1 - k − k√1 − k′ '^2 }. </math> [[Պնդում 10.85 | Պնդում 10.85]], հետևյալ x2 − <math> x^2 k x - 2kx + k2 k′ k^2k'^2 = 0 . </math> հավասարման արմատներն են։

Տանենք ԱՑ և ՑԲ երկարություններով հատվածներն այնպես, որ դրանց գումար ԱԲ-ն ԲՑ-ի հետ ունենա հարաբերություն, որը հավասար է ինչ-որ քառակուսու հարաբերությանը մեկ այլ քառակուսուն, և ԱՑ-ի հետ չունենա հաարաբերություն, որը հավասար է ինչ-որ քառակուսու հարաբերությանը մեկ այլ քառակուսուն [[Պնդում 10.28, լեմմա I | Պնդում 10.28, լեմմա I]]]: Տանենք ռացիոնալ Դ երկարությամբ ուղիղը: ԵՖ-ը Դ-ի հետ երկարությամբ համաչափելի է: Հետևաբար ԵՖ-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է: Եվ թող սահմանվի, որ այնպես, ինչպես CA-ն ունի հարաբերություն AB-ի նկատմամբ, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի հարաբերություն FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [[Պնդում 10.6, հետևանք | Պնդում 10.6, հետևանք]]։ Այսպիսով, ԵՖ-ի քառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ի քառակուսուն [[Պնդում 10.6 | Պնդում 10.6 ]]: Ստացվուն է, որ ՖԳ-ն ևս ռացիոնալ ուղի գիծ է: Եվ քանի որ ՑԱ-ն ԱԲ-ի նկատմամբ չունի նույն հարաբերությունը ինչ մի քառակուսի մյուսի նկատմամբ, ԵՖ քառակուսինՖԳ-ի նկատմամբ չունի նույն հարաբերությունը, ինչ մի քառակուսի մյուսի նկատմամբ ևս: Հետևաբար ԵՖ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՖԳ-ին [[Պնդում 10.9 | Պնդում 10.9]]: Հետևաբար ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր, որոնք միայն քառակուսով են համաչափելի: Այսպիսով, ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Պնդում 10.9 | Պնդում 10.9]]: Ստացվում է, որ ԵՖ-ն ու ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ միայն քառակուսով համաչափելի ուղիղ գծեր են:Ուրեմն ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Պնդում 10.36 | Պնդում 10.36]]: Այսպիսով մենք պետք է ցույց տանք, որ այն նաև երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է: Քանի որ, հակադարձ հարաբերությամբ, ինչպես ԲԱ-ն ունի ԱՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ԳՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին ՖԵ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [[Պնդում 5.7, հետևանք | Պնդում 5.7, հետևանք]], և ԲԱ-ն ավելի մեծ է, քան ԱՑ-ն, ապա ԳՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ավելի մեծ է, քան ՖԵ-ի վրա կառուցված քառակուսին [[Պնդում 5.14 | Պնդում 5.14 ]]։ Թող ԵՖ-ի և Հ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար լինի ԳՖ-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Ուստի, ինչպես ԱԲ-ն ունի հարաբերություն ԲՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի հարաբերություն Հ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [[Պնդում 5.14 | Պնդում 5.14]]: Բայց ԱԲ-ն ունի ԲՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի, ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ունի Հ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի, ՖԳ-ն երկարությամբ համաչափելի է Հ-ի հետ [[Պնդում 10.9 | Պնդում 10.9]]։ Ուստի, ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է ՖԵ-ի վրա կառուցված քառակուսուց այն քառակուսի չափով, որը ուղիղ գծի վրա է, համաչափելի երկարությամբ ՖԳ-ի հետ։ Եվ ՖԳ-ն և ՖԵ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ Իսկ փոքր հատվածը՝ ՖԵ-ն, երկարությամբ համաչափելի է նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծի՝ Դ-ի հետ։

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի <math> \frac{k/√1 − k′ }{\sqrt{1 - k'^2 }} + k. </math> Սա և երկրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը <math> \frac{k/√1 − k′² − }{\sqrt{1 - k '^2}} - k. </math> է [[Պնդում 10.86 | Պնդում 10.86]], x² − <math> x^2 - \left(\frac{2k/√1 − k′²}{\sqrt{1 - k'^2}}\right)x + k²k^2\left[k′²/(\frac{k'^2}{1 − k′²)- k'^2}\right] = 0 . </math> հավասարման արմատներն են։

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k1<math> k^{1/2 } \left(1+√1 − k′ \sqrt{1 - k'^2}\right). </math>. Սա և երրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը k1<math> k^{1/2 } \left(1 − √1 − k′ - \sqrt{1 - k'^2}\right) . </math> [[Պնդում 10.87 | Պնդում 10.87]], <math> f x2 − x^2 k1- 2k^{1/2 } x + k k′ k'^2 = 0 . </math> հավասարման արմատներն են:

†Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի <math> k \left(1+\frac{1}{\sqrt{1/√1 + k′k'}}\right). </math> Սա և չորրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունըk երկարությունը <math> k \left(1 − - \frac{1}{\sqrt{1/√1 + k′k'}}\right) . </math> [[Պնդում 10.8 | Պնդում 10.8]], x2 − 2 k <math> x ^2 - 2kx + k2 k′/(\frac{k^2 k'}{1 + k′) k'} = 0 . </math> հավասարման արմատներն են:

†Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի <math> k \left(√1 \sqrt{1 + k′ k'} +1\right). </math> Սա և հինգերորդ ապոտոմեն, որի երկարությունըk երկարությունը <math> k \left(√1 \sqrt{1 + k′ − k'} - 1\right) . </math> [[Պնդում 10.89 | Պնդում 10.89]], x2 − <math> x^2 k√1 - 2k\sqrt{1 + k′ k'}x + k2 k′ k^2 k' = 0 . </math> հավասարման արմատներն են:

†Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա վեցերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի √k + √k′: Սա և վեցերորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը √k −√k′ է [[Պնդում 10.90 | Պնդում 10.90]], x2 − 2√k <math> x^2 - 2\sqrt{k}x + (k − k′- k') = 0. </math>. հավասարման արմատներն են:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծը ունի միավոր երկարություն, ապա այս տեսության համաձայն, առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի քառակուսի արմատը ևս երկբաղաադրիչ ուղիղ գիծ է: Այն է, առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը ունի <math> k + k√1 − k′ k\sqrt{1 - k'^2 }. </math> երկարությունը, որի քառակուսի արմատը ρ <math> \rho \left(1 +√k′′\sqrt{k''}\right). </math>-ն է, որտեղρ որտեղ <math> \rho = \frac{pk (1 + k′k')/}{2 }. </math> և k′′ <math> k'' = (\frac{1 − k′)/(- k'}{1 + k′)k'}. </math>. Սա երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունն է (Տես Պնդում 10.36), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի քառակուսի արմատը հավասար է <math> \frac{k/√1 − k′ }{\sqrt{1 - k'^2 }} + k. </math>, որի քառակուսի արմատը կլինի ρ <math> \rho \left(k′′1k''^{1/4 } + k′′3k''^{3/4}\right). </math>, որտեղ ρ <math> \rho = p\left(\frac{k/}{2} \right) \frac{(1 + k′k')/}{(1 − k′) և k′′ = (1−k′- k')}, </(math> <math> k'' = \frac{1 - k'}{1+k′)k'}. </math>: Սա առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունն է (Տես Պնդում 10.3), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի քառակուսի արմատը երկրորդ երկմիջնորդ ուղիղ գիծ է. այն է` երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը ունի k1<math> k^{1/2 } \left(1+√1 − k′ \sqrt{1 - k'^2}\right) . </math> երկարություն, որի քառակուսի արմատն է` ρ <math> \rho \left(k1k^{1/4 } +k′′1\frac{k''^{1/2/k1}}{k^{1/4}}\right). </math>, որտեղ ρ <math> \rho = p\left(\frac{1 + k′k'}{2} \right). </2 math> և k′′ <math> k'' = \frac{k (1 − k′- k')/(}{1 + k′)k'}. </math>. Սա երկրորդ երկմիջնորդի երկարությունն էeէ (Տես Պնդում 10.38), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծն ունի <math> k \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1/√1 + k′k'}}\right) . </math> երկարությունը, որի արմատը ρq<math> \rho q \left[\frac{1 + k′′/(\frac{k''}{\sqrt{1 + k′′ k''^2)1/}}}{2} \right]/2 + ρq\rho q \left[\frac{1 − k′′/(- \frac{k''}{\sqrt{1 + k′′ k''^2)1/}}}{2} \right]. </2math>-ն է, որտեղ ρ = √k և k′′ 2 = k′, սա առանցքային ուղիղ գծի երկարությունն է (Տես Պնդում. 10.39), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի արմատը հավասար է ռացիոնալ թվի արմատի և միջնականի գումարին, այն է, հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը <math> k \left(√1 \sqrt{1 + k′ k'} + 1\right) . </math> է, որի արմատը ρq<math> \rho q \left[(\frac{\sqrt{1 + k′′ 2)1/k''^2 } + k′′]/[k''}{2 (1 + k′′ k''^2)} \right] + ρq\rho q \left[(\frac{\sqrt{1 + k′′ k''^2)1/2 − k′′]/[} - k''}{2 (1 + k′′ k''^2)} \right]. </math>-ն է, որտեղ ρ = pk (1 + k′′ 2) և k′′ 2 = k, սա ռացիոնալ թվի արմատի և միջնականի գումարն է (Տես Պնդում. 10.40), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

k1<math> k^{1/4 „q} \left[q \left( \frac{1 + k′′/(\frac{k''}{\sqrt{1 + k′′ k''^2}}}{2} \right)1/2]/2 +q[1 − k′′/\left(\frac{1 - \frac{k''}{\sqrt{1 + k′′ k''^2}}}{2} \right)1/2\right]. </2«math>, where որտեղ k′′ 2 = (k −k′)/k′ . Սա երկու միջնականների գումարի քառակուսի արմատն է (Տես Պնդում 10.41):