«Տարերք/Գիրք 10»–ի խմբագրումների տարբերություն

Գրապահարան-ից
Տող 8. Տող 8.
 
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
 
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
  
−
==Պնդում 87==
+
==Պնդում 102==
−
Գտնել երրորդ կտրվածքը(ապոտոմեն)։
+
  
−
Թող տրված լինի ուղիղ գիծ A-ն:Նաև տրված լինեն երեք թվեր՝ E, BC և CD, որոնք մեկը մյուսի նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Բայց, CB-ն BD-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Թող հայտնի լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ A-ն FG-ի նկատմամբ կառուցված լինի, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ FG-ն GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ լինի [«Տարրեր» 10.6]։ Եվ եթե A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս FG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, A-ն ունի երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Նորից, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, հետևաբար FG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ եթե FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն GH-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ BC-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ եթե երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, Ուրեմն FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե(կտրվածք) է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Ուրեմն կարող ենք ասել, որ դա նաև երրորդ կտրվածքն (ապոտոմե) է:
+
Այն (ուղիղ գիծը), որի վրա կառուցված քառակուսին միջինական մակերեսի հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն, ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա դրված` ստանում է վեցերորդ կտրվածք (ապոտոմե) որպես լայնություն։
  
−
Քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ապա հավասարության միջոցով, ինչպես E-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.22]: Եվ E-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ նույնպես չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, A-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]:  
+
Թող AB-ն լինի այն ուղիղ գիծը, որը միջինական մակերեսի հետ կազմում է միջինական ամբողջություն, և CD-ն լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ): Եվ թող CE-ն, որը հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա, պարփակված AG-ով և GB-ով, որոնք միջինական են, և AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 10.78]:
  
−
Ուրեմն, ոչ FG-ն և ոչ էլ GH-ն համաչափ չեն երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Հետևաբար, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն, փոխադարձաբար, ինչպես BC-ն BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ եթե BC-ն BD-ի նկատմամբ ունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ,ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես K-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ ունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, FG-ն երկարությամբ համաչափ է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց, այն որոշակի ուղիղ գծի վրա գտնվող քառակուսու չափով, որը երկարությամբ համաչափ է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ էլ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Ուստի, FH-ն երրորդ ապոտոմն է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի սահմանումը]:
+
Ուստի, թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա, արտադրելով CK որպես լայնություն, և KL-ը, որը հավասար է GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Այսպիսով, CL-ի ամբողջությունը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին։ CL-ը, հետևաբար, միջինական է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ CD-ի վրա, արտադրելով CM որպես լայնություն։ Ուստի, CM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]:
  
−
Այսպիսով, գտնվեց երրորդ ապոտոմե (կտրվածք) FH-ն: (Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):
+
Հետևաբար, քանի որ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, որոնցից CE-ն հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, մնացորդ FL-ը, հետևաբար, հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 2.7]: Եվ քանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունը միջինական է, FL-ը նույնպես միջինական է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ FE-ի վրա, արտադրելով FM որպես լայնություն։ Ուստի, FM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]:
  
−
==Պնդում 88==
+
Քանի որ AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյան հետ, CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, իսկ FL-ը հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյան, CL-ը, հետևաբար, անհամաչափ է FL-ի հետ։ Եվ ինչպես CL-ն է FL-ի նկատմամբ, այնպես էլ CM-ը MF-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]:
−
Գտնել չորրորդ ապոտոմեն
+
  
−
Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն և տրված լինի BG-ն, որը երկարությամբ համաչափ է A-ի հետ: Այսպիսով, BG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն լրիվությամբ չունենա DF-ից և FE-ից յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես DE-ն է EF-ի նկատմամբ, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Ուստի BG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GC-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է: Ուրեմն GC-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն BG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես GC-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, BG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, BG-ն և GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, BC-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]:
+
Ուստի, CM-ը երկարությամբ անհամաչափ է MF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ են։ Ուստի, CM-ն և MF-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ CF-ը, հետևաբար, ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73]: Ուրեմն, ես ասում եմ, որ այն նաև վեցերորդ (կտրվածքն) է։
 +
 
 +
Քանի որ FL-ը հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյանին, թող FM-ը բաժանված լինի կեսի վրա N-ում, և թող NO-ն քաշված լինի N-ի միջով, զուգահեռ CD-ին։ Այսպիսով, FO-ն և NL-ը յուրաքանչյուրն հավասար են AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյան։ Եվ քանի որ AG-ն և GB-ն անհամաչափ են քառակուսով, AG-ի վրա կառուցված քառակուսին, հետևաբար, անհամաչափ է GB-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Սակայն, CH-ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, իսկ KL-ը հավասար է GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն։
 +
 
 +
Ուստի, CH-ը անհամաչափ է KL-ի հետ։ Եվ ինչպես CH-ն է KL-ի նկատմամբ, այնպես էլ CK-ն KM-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]: Ուստի, CK-ն երկարությամբ անհամաչափ է KM-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]: Եվ քանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյունը միջին չափաբաժին է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների միջև [Տե՛ս "Տարրեր" 10.21-ի լեմմա], իսկ CH-ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, KL-ը՝ GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, NL-ը՝ AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյունին, NL-ը, հետևաբար, նույնպես միջին չափաբաժին է CH-ի և KL-ի միջև։
 +
 
 +
Ուստի, ինչպես CH-ն է NL-ի նկատմամբ, այնպես էլ NL-ը KL-ի։ Եվ նույն տրամաբանությամբ, CM-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է MF-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը լայնությամբ արտադրում է CF։ Ես ասում եմ, որ CF-ը վեցերորդ ապոտոմեն է։
 +
 
 +
Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

21:41, 11 Դեկտեմբերի 2024-ի տարբերակ

Տարերք, Գիրք 10

հեղինակ՝ էվկլիդես
աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick
Տարերքի գրքեր

Գիրք 1 - Գիրք 2 - Գիրք 3 - Գիրք 4 - Գիրք 5 - Գիրք 6 - Գիրք 7 - Գիրք 8 - Գիրք 9 - Գիրք 10 - Գիրք 11 - Գիրք 12 - Գիրք 13

Պնդում 102

Այն (ուղիղ գիծը), որի վրա կառուցված քառակուսին միջինական մակերեսի հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն, ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա դրված` ստանում է վեցերորդ կտրվածք (ապոտոմե) որպես լայնություն։

Թող AB-ն լինի այն ուղիղ գիծը, որը միջինական մակերեսի հետ կազմում է միջինական ամբողջություն, և CD-ն լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ): Եվ թող CE-ն, որը հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա, պարփակված AG-ով և GB-ով, որոնք միջինական են, և AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 10.78]:

Ուստի, թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա, արտադրելով CK որպես լայնություն, և KL-ը, որը հավասար է GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Այսպիսով, CL-ի ամբողջությունը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին։ CL-ը, հետևաբար, միջինական է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ CD-ի վրա, արտադրելով CM որպես լայնություն։ Ուստի, CM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]:

Հետևաբար, քանի որ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, որոնցից CE-ն հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, մնացորդ FL-ը, հետևաբար, հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 2.7]: Եվ քանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունը միջինական է, FL-ը նույնպես միջինական է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ FE-ի վրա, արտադրելով FM որպես լայնություն։ Ուստի, FM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]:

Քանի որ AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյան հետ, CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, իսկ FL-ը հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյան, CL-ը, հետևաբար, անհամաչափ է FL-ի հետ։ Եվ ինչպես CL-ն է FL-ի նկատմամբ, այնպես էլ CM-ը MF-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]:

Ուստի, CM-ը երկարությամբ անհամաչափ է MF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ են։ Ուստի, CM-ն և MF-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ CF-ը, հետևաբար, ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73]: Ուրեմն, ես ասում եմ, որ այն նաև վեցերորդ (կտրվածքն) է։

Քանի որ FL-ը հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյանին, թող FM-ը բաժանված լինի կեսի վրա N-ում, և թող NO-ն քաշված լինի N-ի միջով, զուգահեռ CD-ին։ Այսպիսով, FO-ն և NL-ը յուրաքանչյուրն հավասար են AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյան։ Եվ քանի որ AG-ն և GB-ն անհամաչափ են քառակուսով, AG-ի վրա կառուցված քառակուսին, հետևաբար, անհամաչափ է GB-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Սակայն, CH-ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, իսկ KL-ը հավասար է GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն։

Ուստի, CH-ը անհամաչափ է KL-ի հետ։ Եվ ինչպես CH-ն է KL-ի նկատմամբ, այնպես էլ CK-ն KM-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]: Ուստի, CK-ն երկարությամբ անհամաչափ է KM-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]: Եվ քանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյունը միջին չափաբաժին է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների միջև [Տե՛ս "Տարրեր" 10.21-ի լեմմա], իսկ CH-ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, KL-ը՝ GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, NL-ը՝ AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյունին, NL-ը, հետևաբար, նույնպես միջին չափաբաժին է CH-ի և KL-ի միջև։

Ուստի, ինչպես CH-ն է NL-ի նկատմամբ, այնպես էլ NL-ը KL-ի։ Եվ նույն տրամաբանությամբ, CM-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է MF-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը լայնությամբ արտադրում է CF։ Ես ասում եմ, որ CF-ը վեցերորդ ապոտոմեն է։

Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Ստացված է «https://grapaharan.org/index.php?title=Տարերք/Գիրք_10&oldid=15310» էջից