Տարերք/Գիրք 8

հեղինակ՝ էվկլիդես աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick

Տարերքի գրքեր

Ամեն տեսակ տրված հարաբերությունների համար, որոնք արտահայտված են նվազագույն թվերով, անհրաժեշտ է գտնել նվազագույն թվեր, որոնք շարունակաբար համեմատական են այդ տրված հարաբերություններում։

image

Թող տրված հարաբերությունները, արտահայտված նվազագույն թվերով, լինեն A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և, վերջապես, E-ի և F-ի հարաբերությունները։ Անհրաժեշտ է գտնել նվազագույն թվերը, որոնք շարունակաբար համեմատական են A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և E-ի և F-ի հարաբերություններում։

Թող G-ն լինի նվազագույն թիվը, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից [Նախ. 7.34]։ Եվ որքան անգամ B-ն բաժանում է G-ին, նույնքան անգամ թող A-ն բաժանի H-ին։ Եվ որքան անգամ C-ն բաժանում է G-ին, նույնքան անգամ թող D-ն բաժանի K-ին։ Եվ E-ն կամ բաժանում է K-ին, կամ չի բաժանում։ Նախ, թող բաժանի (K-ին)։ Եվ որքան անգամ E-ն բաժանում է K-ին, նույնքան անգամ թող F-ն բաժանի L-ին։ Քանի որ A-ն բաժանում է H-ին նույնքան անգամ, որքան B-ն բաժանում է G-ին, հետևում է, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ H-ը G-ի նկատմամբ է [Սահ. 7.20, Նախ. 7.13]։ Նույն հիմքով, ինչպես C-ն է D-ի նկատմամբ, այնպես էլ K-ը L-ի նկատմամբ է։ Այսպիսով, H, G, K, L թվերը շարունակաբար համեմատական են A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և E-ի և F-ի հարաբերություններում։

Այս թվերը նվազագույն թվերն են, որոնք շարունակաբար համեմատական են այդ հարաբերություններում։ Եթե H, G, K, L թվերը նվազագույն շարունակաբար համեմատական թվերը չեն A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և E-ի և F-ի հարաբերություններում, ապա թող N, O, M, P թվերը լինեն այդպիսի նվազագույն թվերը։ Եվ քանի որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ N-ը O-ի նկատմամբ է, և A-ն և B-ն նվազագույն թվեր են (որոնք ունեն նույն հարաբերությունը), և նվազագույն թվերը նույն հարաբերությամբ թվերին բաժանում են նույնքան անգամ, ուստի B-ն բաժանում է O-ին։ Նույն կերպ նաև C-ն բաժանում է O-ին։ Այսպիսով, նվազագույն թիվը, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից, կբաժանի նաև O-ին [Նախ. 7.35]։ Եվ G-ն նվազագույն թիվն է, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից։

Հետևաբար, եթե G բաժանում է O-ն, ինչքան մեծ է բաժանումը, այնքան կքչանա։ Բանն ինքնին անհնար է։ Հետևաբար, չեն կարող լինել թվեր, որոնք փոքր են H, G, K, L-ից և որոնք, շարունակական են և համաչափ to A-ն B-ի, և C-ն D-ի և հետագայում Е և F-ի հանդեպ։

image

Ենթադրենք, որ E չի բաժանում K-ն։ Ուրեմն, ենթադրենք, որ նվազագույն թիվ