===Պնդում 1===
Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին համեմատությամբհարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն։
[[Պատկեր:Nkar_1.png|200px|thumb|left|Նկ․ 1]]
::::Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին համեմատությամբ հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է։ Շարունակենք AC հատվածը, և տեղադրենք AD = AB / 2։ Ես պնդում եմ, որ СD^2 = 5*(DA^2):
::::Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC ''(Նկ․ 1)''։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակենք և հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`