[[Պատկեր:103.png|center|350px]]
Թող AB-ն լինի ապոտոմե, և թող CD-ն լինի երկարությամբ համաչափ AB-ի հետ։ Ասում եմ, որ CD-ն նույնպես ապոտոմե է և նույն կարգի է, ինչ AB-ն։
Քանի որ AB-ն ապոտոմե է, թող BE-ն լինի կցորդ դրան։ Այսպիսով, AE-ն և EB-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [[#Պնդում 10|Պնդում 10.73]]։ Եվ թող այնպես լինի, որ BE-ի և DF-ի հարաբերությունը նույնն է, ինչ AB-ի և CD-ի հարաբերությունը [[#Պնդում 6|Պնդում 6.12]]։ Այսպիսով, ինչպես մեկ է մեկի նկատմամբ, այնպես էլ ամեն ինչ՝ ամեն ինչի [[#Պնդում 5|Պնդում 5.12]]։ Եվ ինչպես ամբողջ AE-ն է ամբողջ CF-ի նկատմամբ, այնպես էլ AB-ն է CD-ի նկատմամբ։ Եվ AB-ն համաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ։ AE-ն, հետևաբար, նույնպես համաչափ է CF-ի հետ, և BE-ն՝ DF-ի հետ [[#Պնդում 10|Պնդում 10.11]]։
Քանի որ ABԵվ AE-ն ապոտոմե է, թող և BE-ն լինի կցորդ դրան։ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ Այսպիսով, AECF-ն և EBFD-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" [#Պնդում 10|Պնդում 10.7313]։ Եվ թող այնպես լինի, որ BE-ի և DF-ի հարաբերությունը նույնն է, ինչ AB-ի և CD-ի հարաբերությունը [Տե՛ս "Տարրեր" 6.12]։ ԱյսպիսովՈւստի, ինչպես մեկ է մեկի նկատմամբ, այնպես էլ ամեն ինչ՝ ամեն ինչի [Տե՛ս "Տարրեր" 5.12]։ Եվ ինչպես ամբողջ AE-ն է ամբողջ CF-ի նկատմամբ, այնպես էլ AB-ն է CD-ի նկատմամբ։ Եվ AB-ն համաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ։ AE-նապոտոմե է։ Ասում եմ, հետևաբար, որ այն նույնպես համաչափ նույն կարգի է CF-ի հետ, և BEինչ AB-ն՝ DF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]։ն։
Եվ Ուստի, քանի որ ինչպես AE-ն և է CF-ի նկատմամբ, այնպես էլ BE-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր ենէ DF-ի նկատմամբ, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ Այսպիսովապա, այլընտրանքով, ինչպես AE-ն է EB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CF-ն և է FD-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 10[#Պնդում 5|Պնդում 5.1316]]։ ՈւստիԱյսպիսով, CDAE-ն ապոտոմե է։ Ասում եմ, որ այն նույնպես նույն կարգի ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ էEB-ի վրա կառուցված քառակուսուց կամ որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, ինչ ABորը համաչափ է կամ անհամաչափ AE-ն։ի հետ։
Ուստի, քանի որ ինչպես եթե AE-ն է CF-ի նկատմամբ, այնպես էլ BE-ն վրա կառուցված քառակուսին մեծ է DFEB-ի նկատմամբ, ապավրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, այլընտրանքով, ինչպես որը համաչափ է AE-ն է EB-ի նկատմամբհետ, այնպես էլ ապա CF-ն է FD-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.16]։ Այսպիսով, AE-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես մեծ է EBկլինի FD-ի վրա կառուցված քառակուսուց կամ որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափ է կամ անհամաչափ AECF-ի հետ։հետ [[#Պնդում 10|Պնդում 10.14]]։ Եվ եթե AE-ն երկարությամբ համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծի հետ, ապա նույնը նաև CF-ն է [[#Պնդում 10|Պնդում 10.12]]։ Եվ եթե BE-ն համաչափ է, ապա նաև DF-ը։ Եվ եթե ոչ AE-ն և ոչ էլ EB-ն համաչափ չեն, ապա նույնը նաև CF-ն և FD-ն [[#Պնդում 10|Պնդում 10.13]]։
Ուստի, Եվ եթե AE-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է EB-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափ անհամաչափ է AE-ի հետ, ապա CF-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես մեծ կլինի FD-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափ անհամաչափ է CF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" [#Պնդում 10|Պնդում 10.14]]։ Եվ եթե AE-ն երկարությամբ համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծի հետ, ապա նույնը նաև CF-ն է [Տե՛ս "Տարրեր" [#Պնդում 10|Պնդում 10.12]]։ Եվ եթե BE-ն համաչափ է, ապա նաև DF-ը։ Եվ եթե ոչ AE-ն և ոչ էլ EB-ն համաչափ չեն, ապա նույնը նաև CF-ն և FD-ն [Տե՛ս "Տարրեր" [#Պնդում 10|Պնդում 10.13]]։
Եվ եթե AE-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է EB-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը անհամաչափ է AE-ի հետ, ապա CF-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես մեծ կլինի FD-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը անհամաչափ է CF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.14]։ Եվ եթե AE-ն երկարությամբ համաչափ է նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծի հետ, ապա նույնը նաև CF-ն է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.12]։ Եվ եթե BE-ն համաչափ է, ապա նաև DF-ը։ Եվ եթե ոչ AE-ն և ոչ էլ EB-ն համաչափ չեն, ապա նույնը նաև CF-ն և FD-ն [Տե՛ս "Տարրեր" 10.13]։ Ուստի, CD-ն ապոտոմե է և նույն կարգի է, ինչ AB-ն [Տե՛ս "Տարրեր" [#Պնդում 10|Պնդում 10.11-10.16]]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։
==Պնդում 104==