Տարերք/Գիրք 10

Պնդում 87

Գտնել երրորդ կտրվածքը(ապոտոմեն)։

Թող տրված լինի ուղիղ գիծ A-ն:Նաև տրված լինեն երեք թվեր՝ E, BC և CD, որոնք մեկը մյուսի նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Բայց, CB-ն BD-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Թող հայտնի լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ A-ն FG-ի նկատմամբ կառուցված լինի, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ FG-ն GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ լինի [«Տարրեր» 10.6]։ Եվ եթե A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս FG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, A-ն ունի երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Նորից, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, հետևաբար FG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ եթե FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն GH-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ BC-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ եթե երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, Ուրեմն FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե(կտրվածք) է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Ուրեմն կարող ենք ասել, որ դա նաև երրորդ կտրվածքն (ապոտոմե) է: Քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ապա հավասարության միջոցով, ինչպես E-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.22]: Եվ E-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ նույնպես չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, A-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Ուրեմն, ոչ FG-ն և ոչ էլ GH-ն համաչափ չեն երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Հետևաբար, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն, փոխադարձաբար, ինչպես BC-ն BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ եթե BC-ն BD-ի նկատմամբ ունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ,ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես K-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ ունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, FG-ն երկարությամբ համաչափ է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց, այն որոշակի ուղիղ գծի վրա գտնվող քառակուսու չափով, որը երկարությամբ համաչափ է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ էլ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Ուստի, FH-ն երրորդ ապոտոմն է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի սահմանումը]:

Այսպիսով, գտնվեց երրորդ ապոտոմե (կտրվածք) FH-ն: (Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):

Պնդում 88

Գտնել չորրորդ ապոտոմեն

Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն և տրված լինի BG-ն, որը երկարությամբ համաչափ է A-ի հետ: Այսպիսով, BG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն լրիվությամբ չունենա DF-ից և FE-ից յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես DE-ն է EF-ի նկատմամբ, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Ուստի BG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GC-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է: Ուրեմն GC-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն BG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես GC-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, BG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, BG-ն և GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, BC-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Հիմա, թող H-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով BG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GC-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես DE-ն EF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն փոխադարձաբար, ինչպես ED-ն DF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GB-ի վրա կառուցված քառակուսին H-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]:

Պնդում 89

Գտնել հինգերորդ ապոտոմեն։

Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն, և թող CG-ն լինի երկարությամբ համաչափ A-ի հետ: Այսպիսով, CG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն կրկին չունենա DF-ի և FE-ի յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես FE-ն ED-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CG-ի վրա կառուցված քառակուսին GB-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Ուստի, GB-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Հետևաբար, BG-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ ինչպես DE-ն EF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Եվ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, BG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, BG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, BG-ն և GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, BC-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Այսպիսով, գտնվեց հինգերորդ ապոտոմե BC-ն: (Սա էր այն, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):

Պնդում 90

Թող տրված լինեն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն և երեք թվեր՝ E, BC, և CD, որոնք միմյանց նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ավելին, թող CB-ն նույնպես չունենա BD-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է FG-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է: Ուրեմն, FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, A-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, A-ն նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ քանի որ BC-ն չունի CD-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, FG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73], ու դա նաև վեցերորդ ապոտոմեն է:

Եվ քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն հավասարության միջոցով, ինչպես E-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.22]: Եվ եթե E-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն, A-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, A-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]. Այսպիսով, ոչ FG-ն, ոչ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ:

Ուստի, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն մակերեսը, որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GH-ի վրա կառուցված քառակուսին [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, ուրեմն փոխադարձաբար, ինչպես CB-ն BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ քանի որ CB-ն չունի BD-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ապա, FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GH-ի վրա կառուցված քառակուսին՝ K-ի վրա կառուցված քառակուսիով: Այսպիսով, FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GH-ի վրա կառուցված քառակուսին՝ (ինչ-որ ուղղահայաց գծի) վրա կառուցված քառակուսիով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Ուստի, FH-ն վեցերորդ ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.16]:

Ուստի, վեցերորդ ապոտոմեն FH-ն գտնվեց: (Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):

Պնդում 91

Եթե որևէ մակերես ընդգրկված է ռացիոնալ ուղղագծի և առաջին ապոտոմեի միջոցով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը նույնպես

ապոտոմե է: Թող AB մակերեսը ընդգրկված լինի ռացիոնալ AC ուղղագծի և առաջին ապոտոմե AD-ի միջոցով: Ասում եմ, որ AB մակերեսի քառակուսի արմատը ապոտոմե է: Քանի որ AD-ն առաջին ապոտոմեն է, թող DG-ն լինի դրա կցորդը: Հետևաբար, AG-ն և DG-ն ռացիոնալ ուղղագծեր են, որոնք համաչափելի են  միայն քառակուսով[Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Եվ ամբողջ AG-ն համաչափ է (երկարությամբ) նախապես տրված ռացիոնալ ուղղագծի՝ AC-ի հետ, իսկ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GD-ի վրա կառուցված քառակուսին՝ (որոշ ուղղագծի վրա կառուցված) քառակուսու չափով, որը երկարությամբ համաչափ է AG-ի հետ[Տե՛ս «Տարրեր» 10.11]:

Թող DG-ն կիսված լինի կետ E-ով: Եվ թող AG-ի վրա կիրառված լինի EG-ի վրա կառուցված քառակուսու հավասար մակերես: Եվ թող այդ մակերեսը լինի AF-ում և FG-ում պարունակվող ուղղանկյունը: Հետևաբար AF-ն համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ: Եվ թող EH, FI և GK գծված լինեն E, F և G կետերով համապատասխանաբար, զուգահեռ AC-ին: Հետևաբար, եթե AG-ի վրա կիրառված լինի մակերես, որը հավասար է DG-ի վրա կառուցված քառակուսի չորրորդ մասին, պակասելով քառակուսի պատկերով, ապա այն բաժանում է AG-ն (մասերի, որոնք) համաչափ են (երկարությամբ) [Տե՛ս «Տարրեր» 10.17]: Թող DG-ն կիսված լինի կետ E-ում: Եվ թող AG-ի վրա կիրառված լինի մակերես, որը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, պակասելով քառակուսի պատկերով: Եվ թող այն լինի AF-ի և FG-ի պարունակած ուղղանկյունը, AF-ն, հետևաբար, համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ:

Թող EH, FI և GK գծված լինեն E, F և G կետերով համապատասխանաբար ու զուգահեռ AC-ին: Եվ քանի որ AF-ը համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ, ապա AG-ն նույնպես համաչափ է AF-ի և FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.15]: Բայց AG-ն նաև համաչափ է (երկարությամբ) AC-ի հետ: Այսպիսով, AF-ը և FG-ը նույնպես համաչափ են AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.12]: Եվ AC-ը ռացիոնալ (ուղղահայաց-գիծ) է, հետևաբար, AF և FG-ը նույնպես ռացիոնալ (ուղղահայաց-գծեր) են: Ուստի, AI և FK-ը նույնպես ռացիոնալ մակերեսներ են։[Տե՛ս «Տարրեր» 10.19]: Եվ քանի որ DE-ն համաչափ է EG-ի հետ, ապա DG-ն նույնպես համաչափ է DE-ի և EG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.15]: Սակայն, DG-ն ռացիոնալ է, բայց անհամաչափ է (երկարությամբ) AC-ի հետ: DE-ն և EG-ն, հետևաբար, յուրաքանչյուրը նույնպես ռացիոնալ են, և անհամաչափ AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13]: Ուստի, DH և EK-ը յուրաքանչյուրը ռացիոնալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր» 10.21].