Տարերք/Գիրք 13
հեղինակ՝ էվկլիդես |
Բովանդակություն
[թաքցնել]Pages 506-530
Պնդում 1
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։
Թող AB ուղիղ գիծը կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Թող AD ուղիղ գիծը երկարացվի՝ անցնելով CA։ Եվ թող AD-ն լինի AB-ի կեսը։ Ասում եմ, որ CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։
Թող AB և DC վրա քառակուսիները՝ AE և DF, նկարագրվեն։ Եվ DF պատկերում գծվի։ Եվ թող գիծը FC գծվի՝ հասնելով G-ին։ Եվ քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, ապա ABC բազմապատկիչը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Եվ CE-ն ABC բազմապատկիչն է, իսկ FH-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CE-ն հավասար է FH-ին։ Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, իսկ BA-ն հավասար է KA-ին, և AD-ն՝ AH-ին, ապա KA-ն նույնպես կրկնապատիկն է AH-ի։ Եվ քանի որ KA-ն AH-ի նկատմամբ հարաբերություն է, CK-ն նույնպես CH-ի կրկնապատիկն է [Պնդում 6.1]։ Այսպիսով, CK-ն կրկնապատիկն է CH-ի։ Եվ LH-ն գումարած HC կրկնապատիկն է CH-ի [Պնդում 1.43]։ Այսպիսով, KC-ն հավասար է LH-ի գումարած HC-ի։ Եվ CE-ն ցույց տրվեց, որ հավասար է HF-ին։ Այսպիսով, ամբողջ քառակուսի AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։
Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, BA-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է AD-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, AE-ն չորսապատիկն է DH-ի։ Եվ AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։ Եվ, այսպիսով, գնոմոն MNO-ն նույնպես չորսապատիկն է AP-ի։ Այսպիսով, ամբողջ DF-ը հնգապատիկն է AP-ի։ Եվ DF-ը CD-ի վրա քառակուսին է, իսկ AP-ն՝ DA-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։
Այսպիսով, եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Պնդում 2
Եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։
Թող AB ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC կտորի վրա քառակուսու։ Եվ թող CD-ն լինի կրկնապատիկ AC-ից։ Ասում եմ, որ եթե CD-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։
Թող AB և CD վրա քառակուսիները՝ AF և CG, նկարագրվեն։ Եվ թող AF պատկերում գծվի։ Եվ թող BE գիծը գծվի։ Եվ քանի որ BA-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC-ի վրա քառակուսու, ապա AF-ն հնգապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, ապա DC-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, CG-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ չորսապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն հավասար է CG-ին։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, և DC-ն հավասար է CK-ին, և AC-ն՝ CH-ին, [CK-ն կրկնապատիկն է CH-ից], իսկ KB-ն նույնպես կրկնապատիկն է BH-ից [Պնդում 6.1]։ Այսպիսով, KB-ն հավասար է LH-ի գումարած HB-ին։ Եվ ամբողջ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է ամբողջ CG-ին։ Այսպիսով, մնացորդ HF-ն նույնպես հավասար է մնացորդ BG-ին։ Եվ BG-ն այն բազմապատկիչն է, որը պարունակում է CDB։ Քանի որ CD-ն հավասար է DG-ին։ Եվ HF-ն CB-ի վրա քառակուսին է։ Այսպիսով, CDB բազմապատկիչը հավասար է CB-ի վրա քառակուսուն։
Այսպիսով, ինչպես DC-ն է CB-ի նկատմամբ, այնպես էլ CB-ն է BD-ի նկատմամբ [Պնդում 6.17]։ Եվ քանի որ DC-ն ավելի մեծ է, քան CB (տես լեմա), ապա CB-ն նույնպես ավելի մեծ է, քան BD [Պնդում 5.14]։ Այսպիսով, եթե CD ուղիղ գծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։
Այսպիսով, եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Լեմմա
Եվ կարող է ցույց տրվել, որ կրկնապատիկ AC-ը (այսինքն՝ DC-ն) ավելի մեծ է, քան BC, ինչպես հետևյալը։
Եթե (կրկնապատիկ AC-ը) ոչ (մեծ է BC-ից), եթե հնարավոր է, թող BC-ն լինի կրկնապատիկ CA-ից։ Այսպիսով, BC-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու։ Այսպիսով, BC-ի և CA-ի վրա քառակուսիների (հավաքածուն) հնգապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու։ Եվ BA-ի վրա քառակուսին համարվեց հնգապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու։ Այսպիսով, BA-ի վրա քառակուսին հավասար է BC-ի և CA-ի վրա քառակուսիների (հավաքածուն)։ Սա՝ անխուսափելի է [Պնդում 2.4]։ Այսպիսով, CB-ն չի կարող լինել կրկնապատիկ AC-ից։ Ուստի, նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ ուղիղ գիծը, որը փոքր է CB-ից, նույնպես չի կարող լինել կրկնապատիկ AC-ից։ Ասածը՝ ավելի մեծ հակասություն է։ Այսպիսով, կրկնապատիկ AC-ը ավելի մեծ է, քան CB։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Պնդում 3
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր կտորի վրա քառակուսին, ավելացված մեծ կտորի կեսին, հնգապատիկն է մեծ կտորի կեսի վրա քառակուսու։
Թող ինչ-որ ուղիղ գիծ AB կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում։ Եվ թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AC-ն կտրված լինի կեսում՝ D կետում։ Ասում եմ, որ BD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու։ Թող AE քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա։ Եվ թող պատկերն լիներ կրկնակի։ Քանի որ AC-ն կրկնապատիկ է DC-ից, ապա AC-ի վրա քառակուսին՝ դա չորսապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն՝ RS-ն չորսապատիկն է FG-ից։ Եվ քանի որ ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17], և CE-ն ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունն է, ապա CE-ն հավասար է RS-ին։ Եվ RS-ն չորսապատիկն է FG-ից։ Այսպիսով, CE-ն նույնպես չորսապատիկն է FG-ից։ Վերջապես, քանի որ AD-ն հավասար է DC-ին, ապա HK-ն նույնպես հավասար է KF-ին։ Ուստի, GF քառակուսին նույնպես հավասար է HL քառակուսուն։ Այսպիսով, GK-ն հավասար է KL-ին՝ այսինքն՝ MN-ն հավասար է NE-ին։ Ուստի, MF-ն նույնպես հավասար է FE-ին։ Բայց, MF-ն հավասար է CG-ին։ Այսպիսով, CG-ն նույնպես հավասար է FE-ին։ Թող CN-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ հավասար է CE-ին։ Բայց, CE-ն ցույց տրված է, որ հավասար է չորսապատիկ GF-ին։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ նույնպես չորսապատիկն է GF քառակուսուց։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ գումարած GF քառակուսին հնգապատիկն է GF քառակուսուց։ Բայց, գնոմոնը OPQ գումարած GF քառակուսին դա DN քառակուսին է։ Եվ DN-ը DB-ի վրա քառակուսին է, իսկ GF-ն՝ DC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, DB-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Պնդում 4
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա ամբողջ գծի և փոքր կտորի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է մեծ կտորի վրա քառակուսու։
Թող AB լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է CA-ի վրա քառակուսուց։ Թող ADEB քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա, և թող մնացած պատկերն ընդունի իր ձևը։ Քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և AC-ն մեծ կտոր է, ապա ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Եվ AK-ն է ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը, և HG-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AK-ն հավասար է HG-ին։ Եվ քանի որ AF-ն հավասար է FE-ին [Պնդում 1.43], թող CK-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, ամբողջ AK-ն հավասար է ամբողջ CE-ին։ Այսպիսով, AK-ն և CE-ն միասին հավասար են երկու անգամ AK-ին։ Բայց, AK-ն և CE-ն միասին դա է գնոմոնը LMN, որը գումարած CK քառակուսին։ Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է երկու անգամ AK-ին։ Բայց, իսկապես, AK-ն նաև ցույց տրված է, որ հավասար է HG-ին։ Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է HG-ին։ Եվ այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները երեքապատիկն են HG քառակուսուց։ Եվ գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները ամբողջ AE-ն են գումարած CK-ը՝ որոնք են AB և BC քառակուսիները (համապատասխանաբար), և GH-ը՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է AC-ի վրա քառակուսուց։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Պնդում 5
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և այդ մեծ կտորին հավասար ուղիղ գիծը ավելացվում է դրան, ապա ամբողջ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և սկզբնական ուղիղ գիծը մեծ կտորն է։
Թող AB լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AD-ն [դառնա] հավասար AC-ին։ Ասում եմ, որ DB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ A կետում, և որ սկզբնական AB ուղիղ գիծը մեծ կտորն է։ Թող AE քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա, և թող մնացած պատկերն ընդունի իր ձևը։ Քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, ապա ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Եվ CE-ն է ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը, և CH-ը՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Բայց, HE-ն հավասար է CE-ին [Պնդում 1.43], և DH-ն հավասար է HC-ին։ Այսպիսով, DH-ն նաև հավասար է HE-ին։ [Թող HB-ն ավելացվի երկուսի վրա]։ Այսպիսով, ամբողջ DK-ն հավասար է ամբողջ AE-ին։ Եվ DK-ն է BD և DA-ում պարունակվող ուղղանկյունը։ Քանի որ AD-ն հավասար է DL-ին, և AE-ն է AB-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, BD-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AB-ի վրա քառակուսուն։ Այսպիսով, ինչպես DB-ն է BA-ի նկատմամբ, այնպես էլ BA-ն է AD-ի նկատմամբ [Պնդում 6.17]։ Եվ DB-ն ավելի մեծ է BA-ից։ Այսպիսով, BA-ն նույնպես ավելի մեծ է AD-ից [Պնդում 5.14]։ Այսպիսով, DB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ A կետում, և մեծ կտորը AB-ն է։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Պնդում 6
Եթե մի ռացիոնալ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա յուրաքանչյուր կտորը կլինի այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։
Թող AB լինի ռացիոնալ ուղիղ գիծ, որը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AC և CB-ը, յուրաքանչյուրը, կլինեն այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։
Թող BA-ն ընդարձակվի, և թող AD-ն արվի (հավասար) BA-ի կեսին։ Այսպիսով, քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և AD-ն, որը BA-ի կեսն է, ավելացվել է մեծ կտոր AC-ին, ապա CD-ի վրա քառակուսին կլինի հինգ անգամ DA-ի վրա քառակուսիին [Պնդում 13.1]։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին և DA-ի վրա քառակուսին կունենան հարաբերություն, որը նման է մի թվի հարաբերությանը մյուս թվին։ CD-ի վրա քառակուսին, հետևաբար, համահունչ կլինի DA-ի վրա քառակուսուն [Պնդում 10.6]։ Իսկ DA-ի վրա քառակուսին կլինի ռացիոնալ, քանի որ DA-ն ռացիոնալ է, երբ որ AB-ն ռացիոնալ է։ Այսպիսով, CD-ի վրա քառակուսին նույնպես կլինի ռացիոնալ [Սահմանում 10.4]։ Այսպիսով, CD-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ քանի որ CD-ի վրա քառակուսին չի ունենում հարաբերություն DA-ի վրա քառակուսիին, որը նման է քառակուսի թվերի հարաբերությանը, ապա CD-ն չհամապատասխանում է DA-ի երկարության հետ [Պնդում 10.9]։ Այսպիսով, CD և DA-ը այն ռացիոնալ ուղիղ գծերն են, որոնք համահունչ են միայն քառակուսու տեսքով։ Այսպիսով, AC-ն կլինի ապոտոմ [Պնդում 10.73]։
Կրկին, քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և AC-ն մեծ կտորն է, ապա AB և BC-ի պարունակած ուղղանկյունը կլինի հավասար AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Այսպիսով, AC-ի վրա ապոտոմի քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի AB-ի վրա, կկազմի BC՝ որպես լայնություն։ Եվ ապոտոմի վրա քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ գծի վրա, կկազմի առաջին ապոտոմը՝ որպես լայնություն [Պնդում 10.97]։ Այսպիսով, CB-ն կլինի առաջին ապոտոմ։ Եվ CA-ն նույնպես ցույց տրված է որպես ապոտոմ։
Այսպիսով, եթե մի ռացիոնալ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա յուրաքանչյուր կտորը կլինի այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։
Here are the corrected versions for the 7th and 8th propositions with the updated terminology for the shapes:
Պնդում 7
Թող երեք անկյունները, որոնք լինելու են կամ հաջորդական, կամ ոչ հաջորդական, հավասար կլինեն հավասարանկյուն հնգանկյունում, ապա հնգանկյունը կլինի հավասարանկյուն։
Դա ցույց տալու համար, թող հնգանկյունի ABCDE երեք անկյունները՝ առաջին հերթին A, B և C կետերում, հավասար լինեն իրար։ Ես ասում եմ, որ հնգանկյունը ABCDE հավասարանկյուն է։
Թող AC, BE և FD լինեն միացված։ Եվ քանի որ երկու (ուղղաձիգ գծերը) CB և BA հավասար են երկու (ուղղաձիգ գծերին) BA և AE համապատասխանաբար, և CBA անկյունը հավասար է BAE անկյունին, ապա AC հիմքը հավասար կլինի BE հիմքին, և ABC եռանկյունը հավասար կլինի ABE եռանկյունին, և մնացած անկյունները հավասար կլինեն մնացած անկյուններին, որոնք հավասար կողմերի տրված անկյուններին ենթադրում են [Պրոֆ. 1.4]։ Իսկ դա նշանակում է, որ BCA (հավասար է) BEA-ին, իսկ ABE-ը (հավասար է) CAB-ին։
Այսպիսով, AF կողմը նույնպես հավասար է BF կողմին [Պրոֆ. 1.6]։ Եվ ամբողջ AC-ն նույնպես ցույց է տրվել, որ հավասար է BE-ին։ Այսպիսով, մնացորդը FC նույնպես հավասար կլինի FE-ին։ Եվ CD-ն նույնպես հավասար է DE-ին։
Այսպիսով, երկու (ուղղաձիգ գծերը) FC և CD հավասար են երկու FE և ED համապատասխանաբար։ Իսկ FD-ը նրանց ընդհանուր հիմքն է։ Այսպիսով, FCD անկյունը հավասար է FED անկյունին [Պրոֆ. 1.8]։
Եվ BCA-ն նույնպես ցույց է տրվել, որ հավասար է AEB-ին։ Այսպիսով, ամբողջ BCD-ն հավասար է AED-ին։ Բայց, BCD անկյունը ենթադրվել էր, որ հավասար է A և B անկյուններին։ Այսպիսով, AED անկյունը նույնպես հավասար կլինի A և B անկյուններին։
Այսպիսով, նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ CDE անկյունը նույնպես հավասար է A, B, C անկյուններին։ Այսպիսով, հնգանկյունը ABCDE հավասարանկյուն է։
Պնդում 8
Եթե ուղղաձիգ գծերը կտրում են երկու հաջորդական անկյուններ հավասարանկյուն և հավասար կողմ ունեցող հնգանկյունում, ապա դրանք իրար կտրում են արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և դրանց մեծ հատվածները հավասար են հնգանկյունի կողմերին։
Իսկ հիմա, եթե երկու ուղղաձիգ գծեր՝ AC և BE, հատում են իրար H կետում և դրանք ծածկում են հավասար անկյուններ՝ A և B համապատասխանաբար հավասարանկյուն հնգանկյունում ABCDE, ապա պետք է ապացուցենք, որ յուրաքանչյուր գիծ կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում և դրանց մեծ հատվածները հավասար են հնգանկյունի կողմերին։
Եկեք ընդունենք, որ ABCDE հնգանկյունի շուրջ է նկարագրված շրջան [Առաջարկ 4.14]: Եվ քանի որ երկու ուղղաձիգ գծերը՝ EA և AB հավասար են երկու ուղղաձիգ գծերին՝ AB և BC համապատասխանաբար, և նրանք պարունակում են հավասար անկյուններ, BE հիմքը հավասար կլինի AC հիմքին, և ABC և ABE եռանկյունները հավասար կլինեն, ուստի մնացած անկյունները նույնպես հավասար կլինեն [Առաջարկ 1.4]: Հետևաբար, անկյուն BAC հավասար կլինի անկյուն ABE-ին: Այսպիսով, անկյուն AHE-ն երկու անգամ մեծ է, քան անկյուն BAH [Առաջարկ 1.32]: Եվ EAC նույնպես երկու անգամ մեծ է BAC-ից, քանի որ շրջանագիծը EDC երկու անգամ մեծ է CB շրջանագծից [Առաջարկներ 3.28, 6.33]: Ուստի, անկյուն HAE-ն հավասար կլինի անկյուն AHE-ին: Հետևաբար, ուղղաձիգ HE-ը հավասար կլինի ուղղաձիգ EA-ին՝ այն է՝ AB [Առաջարկ 1.6]: Եվ քանի որ ուղղաձիգ BA-ն հավասար է AE-ին, ապա անկյուն ABE-ն նույնպես հավասար կլինի AEB-ին [Առաջարկ 1.5]: Բայց, ABE-ն արդեն ցույց տրված էր, որ հավասար է BAH-ին: Հետևաբար, BEA-ն նույնպես հավասար կլինի BAH-ին: Իսկ քանի որ անկյուն ABE-ն ընդհանուր է երկու եռանկյունների՝ ABE և ABH-ի համար, մնացած անկյունը՝ BAE, հավասար կլինի մնացած անկյունի՝ AHB [Առաջարկ 1.32]: Հետևաբար, եռանկյունը ABE հավասար է եռանկյունին ABH: Այսպիսով, համամասնորեն, ինչպես BE-ն հավասար է BA-ին, այնպես էլ AB-ն հավասար է BH-ին [Առաջարկ 6.4]: Եվ BA-ն հավասար է EH-ին: Այսպիսով, ինչպես BE-ն հավասար է EH-ին, այնպես էլ EH-ն հավասար է HB-ին: Եվ BE-ն ավելի մեծ է EH-ից: EH-ն ավելի մեծ է HB-ից [Առաջարկ 5.14]: Հետևաբար, BE-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում, և մեծ հատվածը՝ EH, հավասար է հնգանկյունի կողմին: Ուստի նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ AC-ն նույնպես կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում, և դրա մեծ հատվածը՝ CH, հավասար է հնգանկյունի կողմին: Սա է այն, ինչ պետք էր ապացուցել:
Պնդում 9
Եթե նույն շրջանում նկարագրված վեցանկյան և տասանկյան կողմերը միասին գումարվեն, ապա ամբողջ ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (հատման կետում), և նրա մեծ հատվածը տասանկյան կողմն է:
Թող ABC լինի շրջան: Եվ ABC շրջանում նկարագրված պատկերներից, BC լինի տասանկյան կողմը, և CD (կողմը) վեցանկյան կողմը: Եվ թող դրանք դրված լինեն ուղղահայաց: Պետք է ապացուցվի, որ ամբողջ BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (C կետում), և որ CD-ն նրա մեծ հատվածն է:
Թող շրջանի կենտրոնը, E կետը, գտնվի [Առաջարկ 3.1], և թող EB, EC և ED կետերը միավորված լինեն, և թող BE-ը գծվի A կետին: Քանի որ BC-ն հավասարանկյուն տասանկյան կողմ է, ապա շրջանագիծ ACB-ն 5 անգամ մեծ է BC-ի երկարությունից: Այսպիսով, շրջանագիծ AC-ն 4 անգամ մեծ է CB-ից: Եվ քանի որ AC շրջանագիծը հավասար է CB-ին, այնպես էլ անկյուն AEC-ն հավասար է CEB-ին [Առաջարկ 6.33]: Այդպես, անկյուն AEC-ն 4 անգամ մեծ է CEB-ից: Եվ քանի որ անկյուն EBC-ն հավասար է ECB-ին [Առաջարկ 1.5], ապա անկյուն AEC-ն 2 անգամ մեծ է ECB-ից [Առաջարկ 1.32]: Եվ քանի որ ուղղաձիգ EC-ն հավասար է CD-ին, ապա անկյուն CED-ն հավասար է անկյուն CDE-ին [Առաջարկ 1.5]: Այդպես, անկյուն ECB-ն 2 անգամ մեծ է EDC-ից [Առաջարկ 1.32]: Սակայն AEC-ն արդեն ապացուցվել է, որ 4 անգամ մեծ է EDC-ից: Եվ AEC-ն նույնպես 4 անգամ մեծ է BEC-ից: Այսպիսով, EDC-ն հավասար է BEC-ին: Եվ անկյուն EBD-ն համատեղ է երկու եռանկյունում՝ BEC և BED: Այդպիսով, մնացած անկյուն BED-ն հավասար է անկյուն ECB-ին [Առաջարկ 1.32]: Այսպիսով, եռանկյունը EBD հավասար է եռանկյունին EBC: Այլ կերպ ասած, համեմատաբար, ինչպես BD-ն է BE-ին, այնպես էլ AB-ն է BH-ին [Առաջարկ 6.4]: Եվ BE-ն հավասար է CD-ին: Ուստի, ինչպես BD-ն է DC-ին, այնպես էլ DC-ն է CB-ին: Եվ BD-ն մեծ է DC-ից: Այսպիսով, DC-ն նույնպես մեծ է CB-ից [Առաջարկ 5.14]. Այսպիսով, BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (C կետում), և DC-ն նրա մեծ հատվածն է: (Այս է այն, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):
Պնդում 10
Եթե միևնույն շրջանում համահարթ հնգանկյուն է դրված, ապա հնգանկյան կողմի քառակուսի գիծը հավասար է նույն շրջանում դրված վեցանկյանի և տասանկյանի կողմերի քառակուսիերի գումարին։
Թող ABCDE լինի շրջան։ Եվ թող ABCDE հավասարակողմ հնգանկյունը լինի դրված ABCDE շրջանում։ Պնդում եմ, որ հնգանկյան ABCDE կողմի քառակուսին հավասար է նույն շրջանում դրված վեցանկյանի և տասանկյանի կողմերի քառակուսիերի գումարին։
Թող կենտրոնի կետը լինի F, որը գտնվել է [Պրոպ. 3.1]։ Եվ թող AF ուղղի միացված լինի, և թող այն անցնի G կետով։ Եվ թող F B միացված լինի։ Եվ թող FH ուղղը լինի F-ից ուղղահայաց AB-ին։ Եվ թող այն անցնի K կետով։ Եվ թող AK և K B միացված լինեն։ Եվ կրկին, թող F L ուղղը լինի F-ից ուղղահայաց AK-ին։ Եվ թող այն անցնի M կետով։ Եվ թող K N միացված լինի։
Քանի որ ABCG շրջանը հավասար է AEDG շրջանում, որի ABC-ն հավասար է AED-ին, մնացած շրջանը CG-ը այդպես էլ հավասար է մնացած GD շրջանին։ Եվ CD-ը (հնգանկյան կողմն է)։ CG-ը այդպես էլ (տասանկյանի կողմն է)։ Եվ քանի որ F A հավասար է F B-ին, և F H ուղղահայաց է (AB-ին), ապա անկյուն AFK-ը նույնպես հավասար է KFB-ին [Պրոպ. 1.5, 1.26]։ Հետևաբար, AK շրջանը հավասար է KB-ի [Պրոպ. 3.26]։ Այսպիսով, AB շրջանը կրկնակի է BK շրջանից։ Այսպիսով, ուղիղ գիծը AK տասանկյան կողմն է։ Այսպես, նույն պատճառներով, AK շրջանը կրկնակի է KM-ից։ Եվ քանի որ AB շրջանը կրկնակի է BK շրջանից, և CD շրջանը հավասար է AB շրջանին, ապա CD շրջանը նույնպես կրկնակի է BK շրջանից։ Եվ CD շրջանը նույնպես կրկնակի է CG-ից։ Այսպիսով, CG շրջանը հավասար է BK շրջանին։ Բայց, BK-ը կրկնակի է KM-ից, քանի որ KA-ը նույնպես (կրկնակի է KM-ից)։ Այսպես, CG շրջանը նույնպես կրկնակի է KM-ից։ Բայց, իսկապես, CB շրջանը նույնպես կրկնակի է BK-ից։ Քանի որ CB շրջանը հավասար է BA-ին։ Այսպիսով, ամբողջ GB շրջանը նույնպես կրկնակի է BM-ից։ Հետևաբար, անկյուն GFB [է] նույնպես կրկնակի անկյուն BF M [Պրոպ. 6.33]։