Տարերք/Գիրք 13

հեղինակ՝ էվկլիդես աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick

Անավարտ Այս ստեղծագործությունը դեռ ամբողջովին տեղադրված չէ Գրապահարանում

Pages 506-530

Պնդում 1

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն։

Նկ․ 1

Դիցուք՝ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է (Նկ․ 1)։ Շարունակենք AC հատվածը, և տեղադրենք $AD=\frac{AB}{2}$։ Ես պնդում եմ, որ $C{D}^2=5\cdot D{A}^2$:

Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC (Նկ․ 1)։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակելով հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`

$A{C}^2=AB\cdot BC$ (Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)։ Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (Նկ․ 1): Եվ քանի որ $AB=2\cdot AD$ և $BA=KA$, $AD=AH$, հետևաբար $KA=2\cdot AH$: Այսպիսով ստանում ենք հարաբերություն՝ $\frac{KA}{AH}=\frac{KA\cdot AC}{AH\cdot AC}$ (Պնդ․ 6․1), հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը հավասար է երկու անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին: Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանը, ապա նրանց մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 1․43): Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է LH և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEG-ի մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար ABEK-ի մակերեսը հավասար է գնոմոն MNO-ին (CH, FH, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին): Քանի որ գնոմոն $MNO=4\cdot AP$, հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով $C{D}^2=5\cdot D{A}^2$:

Այսպիսով, եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 2

Եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է։

Նկ․ 2

Դիցուք՝ եթե $A{B}^2=5\cdot A{C}^2$ (Նկ․ 2) և СВ շարունակենք, այնպես, որ $CD=2\cdot AC$, ապա CD-ն բաժանվում է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, որտեղ մեծ հատվածը CB է։

Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ALFB և СKGD (Նկ․ 2): Տանենք AF անկյունագիծը։ Շարունակենք FB հատվածը և հատենք KG-ի հետ E-ում: Քանի որ $A{B}^2=5\cdot A{C}^2$, հետևաբար AF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով գնոմոն $MNO=4\cdot AH$: Քանի որ $DC=2\cdot CA$, հետևաբար $D{C}^2=4\cdot A{C}^2$, կամ նույնն է ինչ ասենք, որ СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևաբար գնոմոն $MNO=CG$ անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (HB, HF, HL անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են CDGK-ի մակերեսին): Եվ քանի որ $DC=2\cdot CA$, $DC=CK$, $AC=CH$ ապա $KC=2\cdot CH$ և KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 2 անգամ BH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 6․1) և քանի որ LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ HB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին (Պնդ․ 1.43), ապա KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավսար է LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց էր տրված վերևում գնոմոն MNO-ն հավասար է СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևում է, որ HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է BDGE ուղղանկյան մակերեսին։ Իսկ վերջինս հավասար է СD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսին, $CD=DG$, HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է $C{B}^2$։ Հետևաբար CD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսը հավասար է $C{B}^2$ $(C{B}^2=DC\cdot BD)$: Այսպիսով, ստանում ենք $\frac{DC}{CB}=\frac{CB}{BD}$ (Պնդ․ 6․17): Եվ քանի որ DC ավելի մեծ է քան СB (տես Լեմմա, ներքևում), ապա СB-ն նույնպես ավելի մեծ է քան BD-ն։ Այսպիսով, եթե CD հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա СB-ն նրա մեծ հատվածն է։

Այսպիսով, եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Լեմմա

Ապացուցենք, որ՝$2\cdot AC(DC)>BC$. Ենթադրենք $2\cdot AC$ ավելի մեծ չէ քան BC, և $BC=2\cdot CA$։ Այսպիսով $B{C}^2=4\cdot C{A}^2$։ Այսպիսով՝ $B{C}^2+C{A}^2=5\cdot C{A}^2$. Եվ $B{A}^2$ ենթադրվում էր, որ հավասար է $5\cdot C{A}^2$։ Հետևաբար, $B{A}^2=B{C}^2+C{A}^2$, որը և հակասում է պայմանին (Պնդ․ 2․4)։ Այսպիսով $CB\ne 2\cdot AC$, նույն կերպ, կարող ենք ասել, որ CB-ից ավելի փոքր հատվածը նույնպես հավասար չէ $2\cdot AC$: Այսպիսով, $2\cdot AC>CB$, որն էլ պահանջվում էր ցույց տալ։