Տարերք/Գիրք 12

Pages 481 - 505

Պնդում 6

Բուրգերը, որոնք ունեն միևնույն բարձրություն և ունեն բազմանկյուն հիմքեր, միմյանց համար որպես հիմքեր են հանդիսանում:

Դիտարկենք նույն բարձրության բուրգեր, որոնց հիմքերն են ABCDE և FGHKL բազմանկյունները, իսկ գագաթները՝ M և N կետերը (համապատասխանաբար): Ինչպես ABCDE հիմքը նման/հարաբերվում է է FGHKL-ին է, այնպես էլ ABCDEM բուրգը նման է FGHKLN բուրգին:

Թող AC, AD, FH և FK հատվածները միացված լինեն: Հետևաբար, քանի որ ABCM-ը և ACDM-ը երկու բուրգեր են, որոնք ունեն եռանկյունաձև հիմքեր և հավասար բարձրություն, դրանք միմյանց նկատմամբ համեմատելի են իրենց հիմքերի չափերով [Պնդ. 12.5]։ Այսպիսով, ինչպես ΑΒC հիմքն է հարաբերվում ACD հիմքին, այնպես էլ բուրգը ABCM-ն է հարաբերվում ACDM բուրգին: Եվ, կոմպոզիցիայի միջոցով, ինչպես ABCD հիմքն է հարաբերվում ACD հիմքին, այնպես էլ բուրգը ABCDM է հարաբերվում ACDM բուրգին [Prop. 5.18]: Բայց, քանի որ ACD հիմքն է ահրաբերվում ADE հիմքին, այնպես էլ նաև ACDM բուրգն է հարաբերվում ADEM բուրգին [Պնդ. 12.5]։ Այսպիսով, հավասարության միջոցով, ABCD հիմքի հարաբերությաւոնը ADE հիմքին հավասար է ABCDM բուրգի հարաբորուտըանը ADEM բուրգին [Պնդ. 5.22]: Եվ, դարձյալ, կոմպոզիցիայի միջոցով, ինչպես ABCDE հիմքն է հարաբերվում ADE հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգն է հարաբերվում ADEM բուրգին [Պնդ. 5.18]: Այսպիսով, նման կերպով կարելի է նաև ցույց տալ, որ ինչպես FGHKL հիմքն է հարաբերվում FGH հիմքին, այնպես էլ FGHKLN բուրգն է հարաբերվում FGHN բուրգին: Եվ քանի որ ADEM-ը և FGHN-ը երկու բուրգեր են, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր և հավասար բարձրություն, հետևաբար, ADE և FGH հիմքերի հարաբերությունը հավասար է ADEM և FGHN բուրգերի հարաբերությանը [Պնդ. 12.5]։ Բայց, ինչպես ADE հիմքն է հարաբերվում ABCDE հիմքին, այնպես էլ ADEM բուրգն է հարաբերվում ABCDEM բուրգին: Այսպիսով, հավասարության միջոցով, քանի որ ABCDE հիմքը հարաբերվում է FGH հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգը հարաբերվում է նաև FGHN բուրգին [Պնդ. 5.22]: Բայց, ավելին, ինչպես FGH հիմքն է հարաբերվում FGHKL հիմքինին, այնպես էլ FGHN բուրգն է նույնպես հարաբերվում FGHKLN բուրգին: Այսպիսով, հավասարության միջոցով, քանի որ ABCDE հիմքը հարաբերվում է FGHKL հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգը հարաբերվում է նաև FGHKLN բուրգին [Պնդ. 5.22]: Ինչը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:

Պնդում 7

Եռանկյուն հիմք ունեցող ցանկացած պրիզմա բաժանվում է երեք բուրգերի, որոնց եռանկյուն հիմքերը հավասար են միմյանց:

Դիտարկենք պրիզմա, որի հիմքը ABC եռանկյունին է, իսկ հակառակ հարթությունը DEF: Ենթադրենք, որ ABCDEF պրիզման բաժանված է երեք բուրգերի, որոնք ունեն միմյանց հավասար եռանկյուն հիմքեր: