Տարերք/Գիրք 2

Սահմանումներ

1. Ցանկացած ուղղանկյուն զուգահեռագիծ համարվում է սահմանափակված ուղիղ անկյուն կազմող երկու ուղիղ գծերով։

2. Ցանկացած զուգահեռագիծ պատկերում նրա անկյունագծի շուրջ (վերցված) ցանկացած զուգահեռագիծ իր երկու լրացումների հետ միասին կոչվում է գնոմոն։

Պնդում 6†

Հետևաբար, քանի որ AC-Ն և CB-Ն հավասար են, AL և CH անկյունագծերով ուղղանկյունները նույնպես հավասար են [Պնդում 1.36]։ CH անկյունագծով ուղղանկյունն էլ հավասար է HF անկյունագծովին [Պնդում 1.43], որից հետևում է, որ AL անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է HF անկյունագծովին։ Երկու կողմերին էլ ավելացնենք CM անկյունագծով ուղղանկյունը։ Կստացվի, որ AM անկյունագծով ուղղանկյունը և NOP գնոմոնը հավասար են։ Իսկ AM անկյունածով ուղղանկյունը կարող ենք կառուցել AD և DB կողմերով։ DM-ն ու DB-ն նույնպես հավասար են, հետևաբար NOP գնոմոնը հավասար է AD-ով և DB-ով կառուցված ուղղանկյանը։ Երկու կողմին էլ ավելացնենք LG անկյունագծով քառակուսին, որը հավասար է BC հիմքով քառակուսուն։ Այսպիսով՝ AD և DB կողմերով ուղղանկյան և CB հիմքով քառակուսու գումարը հավասար է NOP գնոմոնի և LG անկյունագծով քառակուսու գումարին։ Սակայն NOP գնոմոնն ու LG անկյունագծով քառակուսին համարժեք են ողջ CEFD-ին, որը ընկած է CD-ի վրա։ Հետևում է, որ AD-ով և DB-ով կառուցված ուղղանկյան և CB հիմքով քառակուսու գումարը հավասար է CD հիմքով քառակուսուն։ Հետևաբար, հատվածը կիսելու և դրան ուղիղ գծով այլ հատված կցելու արդյունքում՝ ստացված ողջ հատվածով և ավելացված մասով կառուցված ուղղանկյան և հատվածի կեսով կառուցված քառակուսու գումարը հավասար է նախնական հատվածի կեսի և կցված հատվածի գումարով ստացված նոր հատվածով կառուցված քառակուսուն։

† Այս պնդումը հետևյալ հանրահաշվական նույնության երկրաչափական տարբերակն է՝ (2a + b) b + a^2 = (a + b)^2։

Պնդում 7†

Հատվածը կամայական կետում հատելիս՝ ստացված հատվածներից պատահականորեն ընտրված մեկի և ողջ հատվածի քառակուսիների գումարը հավասար է ողջ և նախապես ընտրված հատվածներով կառուցված ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկի և հատման արդյունքում առաջացած մյուս հատվածի երկարության քառակուսու գումարին։

էջ 56․

Տրված AB հատվածը հատենք C կետում: AB և BC հատվածների քառակուսիների գումարը հավասար է AB և BC հատվածներով որոշված ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկի և CA կողմով քառակուսու մակերեսի գումարին։ Կառուցենք ADEB քառակուսին՝ AB կողմով սահմանված։ Կառուցենք նաև գծագրի մնացած մասը։ AG և GE անկյունագծերով ուղղանկյունները հավասար են, երկուսին էլ կցենք CF անկյունագծով քառակուսին։ Արդյունքում AF և CE անկյունագծերով ուղղանկյունները հավասար կլինեն։ Հետևաբար, AF և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների գումարը հավասար է AF անկյունագծով ուղղանկյան կրկնապատիկին։ Սակայն AF և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների գումարը KLM գնոմոնն է և CF անկյունագծով քառակուսին։ Հետևաբար, KLM գնոմոնը և CF անկյունագծով քառակուսին AF անկյունագծով ուղղանկյան կրկնապատիկն են կազմում։ Մինչդեռ AF անկյունագծով ուղղանկյան կրկնապատիկը նաև AB և BC կողմերով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկին է հավասար։ BF-ն ու BC-ն հավասար են։ Հետևում է, որ KLM գնոմոնն ու CF քառակուսին հավասար են AB և BC կողմորով կառուված ուղղանկյան կրկնապատիկին։ Երկու կողմերին էլ ավելացնենք DG անկյունագծով քառակուսին։ Արդյունքում՝ KLM գնոմոնն ու BG և GD անկյունագծերով քառակուսիները հավասար են AB և BC կողմերով կառուցաված ուղղանկյանն ու AC անկյունագծովո քառակուսուն։ Բայց KLM գնոմոնն ու BG և GD քառակուսիները հավասարարժեք են ողջ ADEB-ին և CF-ին, որոնք AB և BC քառակուսիներն են։ Հետևաբար, AB և BC քառակուսիների գումարը հավասար է AB և BC կողմերով կազմված քառակուսու կրկնապատիկին և AC քառակուսուն։ Այսպիսով՝ հատվածը կամայական կետում հատելիս՝ ստացված հատվածներից պատահականորեն ընտրված մեկի և ողջ հատվածի քառակուսիների գումարը հավասար է ողջ և նախապես ընտրված հատվածներով կառուցված ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկի և հատման արդյունքում առաջացած մյուս հատվածի երկարության քառակուսու գումարին։

† Այս պնդումը հետևյալ հանրահաշվական նույնության երկրաչափական տարբերակն է՝ (a + b) ^2 + a^2 = 2(a + b)a + b^2:

Պնդում 8†

Հատվածը կամայական կետում հատելիս՝ այդ հատվածով և հատման արդյունքում առաջացած կտորներից մեկով սահմանված ուղղանկյան մակերեսի քառապատիկի և հատման արդյունքում առաջացած մյուս հատվածով կառուցված քառակուսու մակերեսի գումարը հավասար է վերոնշյալ և ողջ հատվածների գումարով սահմանված քառակուսու մակերեսին։

էջ 58․

Տրված AB հատվածը հատենք C կետում: AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսի քառապատիկի և AC կողմով քառակուսու մակերեսի գումարը հավասար է AB և BC կողմերի գումարով սահմանված քառակուսու մակերեսին։ Շարունակելով AB հատվածը՝ կառուցենք BD-ն այնպես, որ հավասար այն հավասար լինի CB-ին։ Ապա, Կառուցենք AEFD քառակուսին՝ AD կողմով։ Կառուցենք նաև գծագրի մնացած մասը։ Հետևաբար, քանի որ CB-ն և BD-ն, CB-ն և GK-ը, BD-ն և KN-ը հավասար են, GK-ը և KN-ը նույնպես հավասար են։ Նույն պատճառով հավասար են նաև QR-ը և RP-ն։ Եվ քանի որ BC-ն ու BD-ն, GK-ն ու KN-ը հավասար են՝ CK և KD, GR և RN անկյունագծերով քառակուսիները նույնպես հավասար են։ Հավասար են նաև CK և RN անկյունգծերով քառակուսիները, որոնք CP անկյունագծով զուգահեռագծի մաս են կազմում։ Հետևաբար, KD և GR անկյունագծով քառակուսիները նույնպես հավասար են։ Հավասար են նաև DK, CK, GR և RN անկյունագծերով քառակուսիները, հետևաբար, այդ 4-ը միասին CK անկյունագծով քառակուսու քառակին են։ Հաջորդիվ դիտարկենք հետևյալ հավասարությունները՝ CB=BD=BK, CG=CB=GK, GQ=CG=GQ։ CG=CQ, QR=RP, այս հավասարություննեից էլ հետևում է որ AG և MQ, QL և RF, MQ և QL անկյունագծերով ուղղանկյունները հավասար են և ML անկյունագծով զուգահեռագծի մաս են կազմում։ AG և RF ուղղանկյունները ևս հավասար են։ Հետևաբար, AG, MQ, QL և RF ուղղանկյունները միմյանց հավասար են, և այդ չորսը իրար հետ վերցված AG ուղղանկյան քառապատիկն են։ Ցույց էր տրված նաև, որ CK, KD, GR և RN քառակուսիները միասին CK-ի քառապատիկն են։ Հետևում է, որ STU գնոմոնը կազմեղ վերոնշյալ 8 պատկերները AK ուղղանկյան քառապատիկն են։ BK=BD հավասարությունից ելնելով AK ուղղանկյունը ստացվել է AB և BD կողմերից։ Այդ ուղղանկյան քառապատիկը AK-ի քառապատիկն է։ Սակայն STU գնոմոնը նույնպես AK-ի քառապատիկն էր։ Հետևաբար, AB և BD կողմերով ուղղանկյունը հավասար է STU գնոմոնին։ Դիցուք, վերոնշյալ երկուսին էլ գումարենք OH-ը, որը հավասար է AC կողմով քառակուս։ Կստացվի, որ AB և BD կողմերով ուղղանկյանը AC-ի հետ միասին հավասար է STU գնոմոնին և OH քառակուսուն։ Սակայն STU գնոմոնն ու OH քառակուսին համարժեք են ոնջ AEFD քառակուսուն, որը կառուցված է AD կողմով։ Հետևում է, որ AB և BD կողերով հազմված ուղղանկյան քառապատիկը AC քառակուսու հետ միասին հավասար է AD քառակուսուն։ BD-ն էլ հավասար է BC-ին։ Հետևում է, որ AB և BC կողմերով ուղղանկյան քառապատիկը AC քառակուսու հետ միասին հավասար է AD քառակուսուն, որը սահմանված է AB և BC հատվածների գումարը որպես կողմ վերցնելով։ Հետէաբար, հատվածը կամայական կետում հատելիս՝ այդ հատվածով և հատման արդյունքում առաջացած կտորներից մեկով սահմանված ուղղանկյան մակերեսի քառապատիկի և հատման արդյունքում առաջացած մյուս հատվածով կառուցված քառակուսու մակերեսի գումարը հավասար է վերոնշյալ և ողջ հատվածների գումարով սահմանված քառակուսու մակերեսին։ Ահա այն ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

† Այս պնդումը հետևյալ հանրահաշվական նույնության երկրաչափական տարբերակն է՝ 4(a + b) a + b^2 = [(a + b) + a]^2:

Պնդում 9†

Հատվածը հավասար և անհավասար մասերի բաժանելիս՝ անհավասար մասերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար է հատվածի կեսի և հավասար ու անհավասար մասերի տարբերության վրա կառուված քառակուսիների գումարի կրկնապատիկին։

էջ 59․

Տրված AB հատվածը հավասար կիսենք C կետով, անհավասար՝ D-ով։ AD և DB հավտածների վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար է AC և CD կողմերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկին։ C կետով՝ AB-ին ուղղահայաց կառուցենք CE հատվածը [Պնդում 1․11], այնպես, որ հավասար լինի AC-ին և CB-ին [Պնդում 1․3]։ Միացնենք EA-ն և EB-ն։ EC-ին զուգահեռ՝ D կետով կառուցենք DF-ը [Պնդում 1․31], իսկ AB-ին զուգահեռ՝ FG-ը F կետով [Պնդում 1․31]։ Միացնենք AF-ը։ Քանի որ AC-ն ու CE-ն հավասար են, անկյուն EAC-ն հավասար է AEC-ին [Պնդում 1․5]։ Եվ քանի որ C անկյունը ուղիղ անկյեւն է, EAC և AEC անկյունների գումարը նույնպես ուղիղ անկյուն է կազմում [Պնդում 1․32]։ Հետևում է, որ CEA CAE անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղիղ անկյան կեսն է։ Նույն պատճառով՝ CEB և EBC անկյունները նույնպես հավասար են ուղիղ անկյան կեսին։ Հետևում է, որ AEB-ն ուղիղ անկյուն է։ Եվ քանի որ GEF-ն ուղիղ անկյան կես է, իսկ EGF՝ ուղիղ անկյուն (որը հավասար է ներքին ECB անկյանը [Պնդում 1․29]), մնացյալ EFG-ն նույնպես ուղիղ անկյան կես է [Պնդում 1․32]։ Հետևաբար, GEF անկյունը հավասար է EFG-ին, իսկ EG կողմը՝ GF-ին [Պնդում 1․6]։ Քանի որ անկյուն B-ն ուղիղ անկյան կես է, իսկ FDB-ն՝ ուղիղ անկյուն (որը հավասր է ներքին ECB անկյանը [Պնդում 1․29]), մնացյալ BFD անկյունը նույնպես ուղիղ անկյան կես է [Պնդում 1․32]։ Այսպիսով՝ B և DFB անկյունները, FD և DB կողմերը նույնպես հավասար են [Պնդում 1․6]։ Քանի որ AC-ն և CE-ն հավասար են, այդ կողմերով կառուցված համապատասխան քառակուսիները ևս հավասար են։ Հետևաբար, AC-ի և CE-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար է AC-ի վրա կառուցված քառակուսու կրկնապատիկին։ EA հիմքով քառակուսին հավասար է AC և CE հիմքերով քառակուսիների գումարին։ ACE անկյունն էլ ուղիղ է [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, EA հիմքով քառակուսին AC հիմքովի կրկնապատիկն է։ Քանի որ EG-ն և GF-ը հավասար են, համապատասխան հիմքերով քառակուսիները նույնպես հավասար են, և դրանց գումարը GF հիմքով քառակուսու կրկնապատիկն է։ EF-ի վրա կառուցված քառակուսին էլ հավասար է EG-ի և GF-ի վրա կառուցած քառակուսիների գումարին [Պնդում 1․47]։ Այսպիսով՝ EF հիմքով քառակուսին GF հիմքովի կրկնապատիկն է։ GF-ն էլ հավասար է CD-ին [Պնդում 1․34]։ Հետևաբար, EF հիմքով քառակուսին CD հիմքովի կրկնապատիկն է, EA հիմքովն էլ՝ AC-ի։ Հետևում է, որ AE և EF հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և CD հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ AF հիմով քառակուսին AE և EF հիմքերովների գումարին է հավասար։ AEF-ն ուղիղ անկյուն է [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, AF հիմքով քառակուսին AC և CD հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ AD և DF հիմքերով քառակուսիների գումարը հավասար է AF հիմքով քառակուսուն։ D-ն ուղիղ անկյուն է [Պնդում 1․47], հետևաբար AD և DF հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և CD հիմքերով քառակուսիների կրկնապատիկն է։ DF-ն էլ հավասար է DB-ին։ Արդյունքում՝ AD-ի և DB-ի վրա ընկած քառակուսիների գումարը AC-ի և CD-ի վրա ընկած քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ Ստաղվում է, որ հատվածը հավասար և անհավասար մասերի բաժանելիս՝ անհավասար մասերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար է հատվածի կեսի և հավասար ու անհավասար մասերի տարբերության վրա կառուված քառակուսիների գումարի կրկնապատիկին։

† Այս պնդումը հետևյալ հանրահաշվական նույնության երկրաչափական տարբերակն է՝ a^2 + b^2 = 2[([a + b]/2)^2 + ([a + b]/2 − b)^2]:

Պնդում 10†

Եթե հատվածը հավասար կիսենք և որպես հատվածի շարունակություն նրան կցենք նոր հատված, ապա ստացված ողջ և ավելացված հատվածի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար կլինի նախնական հատվածի կեսի և այդ կեսի ու կցված հատվածի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին։

էջ 61․

Տրված է AB հատվածը, հավասար կիսենք այն C կետում և որպես AB-ի շարունակություն կցենք BD հատվածը։ Պետք է ցույց տալ, որ AD և DB հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և CD հիմքերով քառակուսիների կրկնապատիկն է։ C կետով կառուցենք CE հատվածը, որը կլինի AB-ին ուղղահայաց [Պնդում 1․11] և AC-ին ու CB-ին հավասար [Պնդում 1․3]։ Կառուցենք նաև EA և EB հատվածները։ AD-ին զուգահեռ՝ E կետով տանենք EF հատվածը [Պնդում 1․31]։ CE-ին զուգահեռ՝ FD-ն՝ D կետով [Պնդում 1․3]։ Եվ քանի որ EF-ն հատվում է EC և FD զուգահեռ հատվածների հետ, CEF և EFD ներքին անկյունները հավասար են ուղիղ անկյունների [Պնդում 1․29]։ Հետևաբար, FEB և EFD անկյուննեը փոքր են երկու ուղիղ անկյուններից։ Եվ երկու ներքին անկյուններից (որոնց գումարը ավելի փոքր է քան երկու ուղիղ անկյունների գումար) առաջացած հատվածները հատվում էն [Կանխադրույթ 1.5]։ Հետևաբար, B-ի և D-ի ուղղություններով կառուցված EB և FD հատվածները կհատվեն։ Կռուցենք դրանք, որպես հատման կետ նշանակնեք G-ն և միացնենք AG-ն։ Քանի որ AC-ն և CE-ն հավասար են, EAC և AEC անկյունները նույնպես հավասար են [Կանխադրույթ 1.5]։ Անկյուն C-ն ուղիղ անկյուն է։ Հետևում է, որ EAC-ն ու AEC-ը ուղիղ անկյան կեսեր են [Պնդում 1․32]։ Նույն պատճառներով՝ CEB-ն ու EBC-ն նույնպես ուղիղ անկյան կեսեր են։ Ստացվում է, որ AEB-ն ուղիղ անկյուն է։ Եվ քանի որ EBC-ն ուղիղ անկյան կես է, DBG-ն նույնպես ուղիղ անկյան կես է [Պնդում 1․15]։ BDG-ն նունպես ուղիղ անկյուն է, որը հավասար է DCE-ին։ Այսինքն դրանք համարժեք/այլընտրանքային անկյուններ են [Պնդում 1․29]։ Հետևաբար, մնացյալ DGB-ն ուղիղ անկյան կես է։ DGB-ն ու DGB-ն հավասար են։ BD-ն էլ հավասար է GD-ին [Պնդում 1․6]։ Կրկին, քանի որ EGF-ն ուղիղ անկյան կես է, իսկ F-ը՝ ուղիղ անկյուն, այն հավասար է հակառակ C անկյանը[Պնդում 1․34], մնացյալ FEG անկյունն էլ կրկին ուղիղ անկյան կես է։ Հետևում է, որ EGF և FEG անկյունները հավասար են։ GF կողմն էլ հավասար է EF-ին [Պնդում 1․6]։ Եվ քանի որ EC-ն ու CA-ն հավասար են, EC և CA հիմքերով քառակուսիները նույնպես հավասար են։ Ստացվում է, որ EC և CA հիմքերով քառակուսիների գումարը CA հիմքով քառակուսու կրկնապատիկն է։ EA հիմքով քառակուսին էլ հավասար է EC և CA հիմքերով քառակուսինորի գումարին [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, EA հիմքով քառակուսին AC հիմքովի կրկնապատիկն է։ Կրկին, քանի որ FG-ն ու EF-ն հավասար են, FG և FE հիմքերով քառակուսիները նույնպես հավասար են։ Ստացվում է, որ GF-ի և FE-ի վրա կառուցված քառակուսիները EF հիքով քառակուսու կրկնապատիկն են։ EG հիմքով քառակուսին էլ GF և FE հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, EG հիմքով քառակուսին EF հիմքովի կրկնապատիկն է։ EF-ն էլ հավասար է CD-ին [Պնդում 1․34]։ EG հիմքով քառակուսին CD հիմքովի կրկնապատիկն է։ Սակայն ցույց էր տրվել նաև, որ EA-ի վրա կառուցված քառակուսին AC-ի վրա կառուցվածի կրկնապատիկն է։ Արդյունքում՝ AE և EC հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և DC հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ AG, AE և EG հիմքերով քառակուսիներն էլ հավասար են [Պնդում 1․47]։ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին AC և CD հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ AD և DG հիմքերով քառակուսիների գումարն էլ հավասար է AG հիմքով քառակուսուն [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, AD և DG հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և CD հիմքերով քառակուսիների գումարին հավասար։ DG- հավասար է DB-ին։ Հետրաբար, AD և DB հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և CD հմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ Ստացվում է, եթե հատվածը հավասար կիսենք և որպես հատվածի շարունակություն նրան կցենք նոր հատված, ապա ստացված ողջ և ավելացված հատվածի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար կլինի նախնական հատվածի կեսի և այդ կեսի ու կցված հատվածի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին։ ։ Սա հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ։

† Այս պնդումը հետևյալ հանրահաշվական նույնության երկրաչափական տարբերակն է՝ (2 a + b)^2 + b^2 = 2 [a^2 + (a + b)^2]։

Պնդում 11†

Հատվածը հատել այնպես, որ ողջ հատվածով և հատման արդյունքում առաջացած հատվածներիից մեկով կառուցված ուղղանկյունը հավասար լինի հատման արդյունքում առաջացած հատվածներիից մյուսի վրա սահմանված քառակուսուն։

էջ 63․

Տրված է AB հատվածը։ Այն պետք է բաժանել այնպես, որ AB-ով և հատման արդյունքում առաջացած մասերից մեկով կառուցաված քառակուսին հավասար լինի հատման արդյունքում առաջացած մյուս մասով կառուցված քառակուսուն։ AB-ով կառուցենք ABDC քառակուսին [Պնդում 1․4], AC-ն էլ կիսենք E կետում [Պնդում 1․10] և միացնենք B-ն ու E-ն՝ BE հատվածով։ Շարունակենք CA-ն և շարունակության վրա նշանակենք F կետն այնպես, որ EF-ն ու BE-ը հավասար լինեն [Պնդում 1․3]։ AF կողմով հառուցենք FH անկյունագծով քառակուսին [Պնդում 1․46], և GH-ը շարունակելով՝ հատենք այն CD-ի հետ՝ K կետում։ Կարելի է ասել, որ AB-ն H կետում հատելիս՝ AB և BH կողմերով քառակուսին հավասարվում է AH կողմով քառակուսուն։ Քանի որ AC-ն E կետով բաժանված է հավասար մասերի և նրան ավելացված է FA-ը, CF և FA կողմերով ուղղանկյան և AE կողմով քառակուսու գումարը հավասար է EF հիմքով քառակուսուն [Պնդում 2․6]։ EF-ն ու EB-ն հավասար են։ Հետևաբար, CF և FA կողմերով կառուցված ուղղանկյան և AE հիմքով քառակուսու գումարը հավասար է EB հիմքով քառակուսուն։ Սակայն BA և AE հիմքերով քառակուսիների գումարը հավասար է EB հիմքով քառակուսուն։ Անկյուն A-ն ուղիղ անկյուն է [Պնդում 1․47]։ Այդ պատճառով էլ, CF և FA կողմերով ուղղանկյան և AE կողմով քառակուսու գումարը հավասար է BA և AE հիմքերով քառակուսիների գումարին։ Երկու կողմից էլ հանենք AE հիմքով քառակուսին։ CF և FA կողմերով մնացյալ ուղղանկյունը հավասար է AB կողով քառակուսուն։ FK անկյունագծով ուղղանկյունն էլ կառուցված է CF-ով և FA-ով։ AF-ը հավասար է FG-ին։ Իսկ AD անկյունագծով քառակուսին AB հիմքով կառուցված քառակուսին է։ Հետևաբար, FK նակյունագծով ուղղանկյունը հավասար է AD անկյունագծով քառակուսուն։ Երկու կողմերից էլ հանենք AK անկյունագծով ուղղանկյունը։ FH անկյունագծով մնացյալ քառակուսին հավասար է HD անկյունագծով ուղղանկյանը։ Իսկ HD անկյունագծով ուղղանկյունը AB և BH կողմերով է կառուցված։ AB-ն հավասար է BD-ին։ FH անկյունագծով քառակուսին AH հիմքով է սահմանված։ Այսպիսով՝ AB և BH կողերով ուղղանկյունը հավասար է HA հիմքով քառակուսուն։ Հետևում է, որ AB հատվածը հատվեց H կետում այնպես, որ AB և BH կողերով ուղղանկյունը հավասար եղավ HA կողով քառակուսուն։ Սա հենց այն էր, ինչ պետք էր ստանալ։

† Հատվածի այսպիսի հատման ձևը, երբ ողջ հատվածի և հատման արդյունքում առաջացած ավելի մեծ մասի հարաբերությունը հավասար է հատման արդյունքում առաջացած մեծ և փոքր մասեր հարաբերությանը, երբեմն անվանվում է «Ոսկե հարաբերակցություն»։

Պնդում 12†

Բութանկյուն եռանկյուններում բութ անկյանը հանդիպակաց կողմի վրա կառուցված քառակուսին բութ անկյանը կից կողմերով կառուցված քառակուսիների գումարից մեծ է բութ անկյանը կից կողմով, որի վրա ընած է ուղղահայացը և դրսի կողմից բութ անկյանը միացող հատվածով, որը հատած է ուղղահայացով, կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի չափով։

էջ 64․

Դիցուք՝ ABC-ն բութանկյուն եռանկյուն է, որում BAC-ն բութ անկյունն է։ B կետով՝ CA-ին ուղղահայաց կառուցենք BD ուղիղը [Պնդում 1․12]։ Արդյունքում՝ BC-ի վրա կառուցված քառակուսին BA և AC կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարից մեծ է CA և AD կողմերով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի չափով։ Քանի որ CD-ն հատված է կամայական A կետում, DC-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է CA-ի և AD-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին և CA և AD կողմերով կառուցած ուղղանկյան կրկնապատիկին [Պնդում 2․4]։ Երկու կողմին էլ ավելացնենք DB կողով կառուցվածքառակուսին։ Հետևաբար, CD և DB հիմքերով քառակուսիների գումարը հավասար է CA, AD և DB հիմքերով քառակուսինեի գումարին և CA ու AD կողմերով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկին։ Սակայն CB-ի վրա ընկած քառակուսին էլ հավասար է CD և DB հիմքերով քառակուսիների գումարին։ Անկյուն D-ն ուղիղ անկյուն է [Պնդում 1․47]։ AB-ի վրա կառուցված քառակուսին էլ հավասար է AD և DB կողմերով քառակուսիների գումարին [Պնդում1․47]։ Հետևում է, որ CB-ի վրա ընկած քառակուսին հավասար է CA-ի և AB-ի վրա ըհնկած քառակուսիների գումարին և CA ու AD կողմերով ուղղանկյան կրկնապատիկին։ Այսպիսով՝ CB-ի վրա ընկած քառակուսին CA և AB հիմքերով քառակուսինեի գումարից մեծ է CA և AD կողմերով ուղղանկյան կրկնապատիկի չափով։ Հետևաբար, բութանկյուն եռանկյուններում բութ անկյանը հանդիպակաց կողմի վրա կառուցված քառակուսին բութ անկյանը կից կողմերով կառուցված քառակուսիների գումարից մեծ է բութ անկյանը կից կողմով, որի վրա ընած է ուղղահայացը և դրսի կողմից բութ անկյանը միացող հատվածով, որը հատած է ուղղահայացով, կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի չափով։ Սա հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ։

† Այս պնդումը համարժեք է բոլորիս հայտնի կոսինուսնորի բանաձևին՝ BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2AB*A*cos(BAC), քանի որ cos(BAC) = −AD / AB։

Պնդում 13†

Սուրանկյուն եռանկյուններում սուր անկյանը հանդիպակաց կողմի վրա կառուցված քառակուսին սուր անկյանը կից կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարից փոքր է սուր անկյանը այն կից կողմով, որի վրա ընկնում է ուղղահայացը և ներսի կողմից եռանկյան սուր անկյանը միացող այն հատվածով, որը հատած է ուղղահայացով, կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի չափով։

էջ 65․

Դիցուք՝ ABC-ն սուրանկյուն եռանկյուն է, որում B-ն սուր անկյունն է։ A կետով՝ BC-ին ուղղահայաց կառուցենք AD-ն [Պնդում 1․12]։ Արդյունքում՝ AC հիմքով քառակուսին CB և BA հիմքերով քառակուսիներից փոքր է CB և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի չափով։ Քանի որ CB հատվածը հատած է կամայական D կետում, CB և BD կողերով քառակուսինեի գումարը հավսաքար է CB և BD կողերով ուղղանկյան կրկնապատիկին և DC հիմքով քառակուսուն [Պնդում 2․7]։ Երկու կողմին էլ ավելացնենք DA հիմքով քառակուսին։ Արդյունքում՝ CB, BD և DA հիմքերով քառակուսիների գումարը հավասար է CB և BD կողերով ուղղանկյան կրկնապատիկին և AD ու DC հիմքերով քառակուսիների գւմարին։ Սակայն AB հիմքով քառակուսին էլ հավասար է BD և DA հիմքերով քառակուսիների գումարին։ Անկյուն D-ն ուղիղ անկյուն է [Պնդում 1․47]։ AC-ի վրա կառուցված քառակուսին էլ հավասար է AD և DC հիմքերով քառակուսիների գումարին [Պնդում 1․47]։ Այդ պատճառով էլ CB և BA հիմքերով քառակուսիների գումարը հավասար է AC հիմքով քառակուսուն և CB ու BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկին։ Հետևաբար, AC հիմքով քառակուսին առանձին վերցված CB և BA հիմքերով քառակուսիներից ավելի փոքր է CB-ով և BD-ով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի չափով։ Այսպիսով՝ ոուրանկյուն եռանկյուններում սուր անկյանը հանդիպակաց կողմի վրա կառուցված քառակուսին սուր անկյանը կից կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարից փոքր է սուր անկյանը այն կից կողմով, որի վրա ընկնում է ուղղահայացը և ներսի կողմից եռանկյան սուր անկյանը միացող այն հատվածով, որը հատած է ուղղահայացով, կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի չափով։

† Այս պնդումը համարժեք է բոլորիս հայտնի կոսինուսնորի բանաձևին՝ AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2AB*BC*cos(ABC), քանի որ cos(ABC) = BD / AB:

Պնդում 14

Կառուցել տրված ուղղագիծ պատկերին հավասար քառակուսի։

էջ 66․

Դիցուք՝ տրված է A ուղղագիծ պատկերը։ Պահանջվում է կառուցել A-ին հավասար քառակուսի։ Կառուցենք BD անկյունագծով զուգահեռագիծն այնպես, որ հավասար լինի A-ին [Պնդում 1․45]։ Հետևաբար, եթե BE-ն հավասար լինի ED-ին, ապա տեղի կունան այն, ինչ պետք է ցույղ տալ։ Կառուցենք A-ին հավասար BD անկյունագծով քառակուսին։ Եթե այպես չստացվի, կնշանակի, որ BE-ից կամ ED-ից մեկը մյուսից մեծ է։ Դիցուք՝ BE-ն ավելի մեծ է, շարունակենք այն մինչ F կետն այնպես, որ EF-ն ու ED-ն հավասար լինեն [Պնդում 1․3]։ G կետով հավասար լիսենք BF հատվածը [Պնդում 1․10]։ G կենտրոնով և GB կամ GF շառավղով կառուցենք BHF կիսաշրջանը։ Շարունակենք DE-ն մինչ H կետը և միացնենք GH հատվածը։ Հետևաբար, քանզի BF-ը G կետով բաժանված է հավասար մասերի և E-ով՝ անհավասար, BE և EF կողմերով ուղղանկյան և EG հիմքով քառակուսու գումարը հավասար է GF հիմքով քառակուսուն [Պնդում 2․5]։ GF-ն էլ հավասար է GH-ին։ Հետևաբար, BE և EF կողմերով ուղղանկյան և GE հիմքով քառակուսու գումարը հավասար է GH հիմքով քառակուսուն։ HE և EG հիմքերով քառակուսիների գումարն էլ հավասար է GH հիմքով քառակուսուն [Պնդում 1․47]։ Այսպիսով՝ BE և EF կողմորով ուղղանկյոան և GE կողով քառակուսու գումարը հավասար է HE և EG հիմքերով քառակուսիների գումարին։ Երկոը կողմերին էլ ավելացնենք GE հիմքով քառակուսին։ Հետևում է, որ BE և EF կողերով մնացյալ ուղղանկյունը հավասար է EH կողով քառակուսուն։ Սակայն BD անկյունագծով ուղղանկյունը BE և EF կողերով է կառուցված։ EF-ը հավասար է ED-ին։ Այս ամենի արդյունքում էլ BD անկյունագծով զուգահեռագիծը հավասար է HE հիմքով քառակուսուն։ BD անկյունագծով ուղղանկյունն էլ հավասար է ուղղագիծ A պատկերին։ Հետևաբար, ուղղագիծ A պատկերը ևս հավասար է քառակուսուն, որը կարելի է կառուցել EH հատվածով։ Այսպիսով՝ կառուցվեց A ուղղագիծ պատկերին հավասար քառակուսին, որը կարելի է սահմանել EH հատվածի վրա: Սա հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ: