Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ հեղինակ՝ Յա. Ի. Պերելման թարգմանիչ՝ Ս. Ա. Գրիգորյան (ռուսերենից) աղբյուր՝ «Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ»

Անավարտ Այս ստեղծագործությունը դեռ ամբողջովին տեղադրված չէ Գրապահարանում



ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հաճախ հանրահաշիվն անվանում են «Յոթ գործողությունների թվաբանություն», ցանկանալով ընդգծել, որ մաթեմատիկական հանրահայտ չորս գործողություններին այն միացնում է երեք նորը՝ աստիճան բարձրացնելը և դրան հակադարձ երկու գործողությունները։

Հանրահաշվական մեր զրույցները կսկսվեն «Հինգերորդ գործողություն»- ից՝ աստիճան բարձրացնելուց։

Այդ նոր գործողության կարիքն զգացվո՞ւմ է արդյոք պրակտիկ կյանքում։ Անպայման։ Մենք իրական կյանքում հաճախ ենք հանդիպում դրան։ Հիշենք մակերեսների և ծավալների հաշվման բազմաթիվ դեպքեր, որտեղ սովորաբար հարկ է լինում թվերը բարձրացնել երկրորդ և երրորդ աստիճան։ Այնուհետև՝ տիեզերական (ձգողականության ուժը, էլեկտրաստատիկ և մագնիսական փոխազդեցությունները, լույսը, ձայնը թուլանում են հեռավորության քառակուսուն համեմատականորեն։ Մոլորակների պտույտի տևողությունը Արեգակի շուրջը (և արբանյակներինը՝ մոլորակների շուրջը) պտտման կենտրոնից նրանց ունեցած հեռավորությունների հետ նույնպես կապված է աստիճանային կախվածությամբ՝ պտտման ժամանակամիջոցների քառակուսիները միմյանց հարաբերում են այնպես, ինչպես հեռավորությունների խորանարդները։

Չպետք է մտածել, որ պրակտիկայում։ մենք հանդիպում ենք միայն երկրորդ և եըրոբդ աստիճանների, իսկ ավելի բարձր ցուցիչներ գոյության ունեն միայն հանրահաշվի խնդրագրքերի վարժություններում։ Ինժեները, կատարելով դիմացկունության վերաբերյալ հաշվարկներ, անընդհատ և միշտ գործ ունի չորրորդ աստիճանի հետ. իսկ այլ հաշվումների դեպքում, օրինակ շոգեմուղի խողովակների տրամագծի, անգամ վեցերորդ աստիճանի հետ։ Ուսումնասիրելով այն ուժը, որի դեպքում հոսուն ջուրը քշում է քարը, հիդրոտեխնիկը նույնպես առնչվում է վեցերորդ աստիճանի կախման հետ. եթե մի գետում հոսանքի արագությունը չորս անգամ մեծ է, քան մյուսում, ապա արագընթաց գետը ընդունակ է իր հունով գլորել այսինքն՝ ^[1] անգամ ավելի ծանր քարեր, քան դանդաղ գետը^[2]։

Ավելի բարձր աստիճանների հետ մենք հանդիպում ենք՝ ուսումնասիրելով շիկացած մարմնի պայծառության կախումը ջերմաստիճանից, օրինակ՝ շիկացած լարինը էլեկտրական լամպում։ Ընդհանուր պայծառությունն աճում է բացարձակ ջերմաստիճանի տասներկուերորդ աստիճանով՝ սպիտակ շիկացման դեպքում և շերմաստիճանի երեսուներորդ աստիճանով՝ կարմրելիս։ Այս նշանակում է, մարմինը, որը տաքացած է, օրինակ, -ից մինչև Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

(բացարձակ), այսինքն՝ երկու անգամ ուժեղ, -վ պայծառ է դառնում, այլ կերպ ասած՝ ավելի քան  անգամ։ Այն մասին, թե ինչպիսի նշանակություն ունի այդ յուրատեսակ կախումը էլեկտրական լամպերի պատրաստման տեխնիկայում, մենք դեռ կխոսենք այլ տեղ։

ԱՍՏՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԹՎԵՐ

Թերևս ոչ ոք այնպես լայնորեն չի օգտվում մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությանից, ինչպես աստղսգետները։ Տիեզերքն ուսումնասիրելիս, յուրաքանչյուր քայլափոխում հարկ է լինում հանդիպել հսկայական թվերի, որոնք կազմված են մեկից-երկու իմաստալից թվանշաններից և զրոների երկար շարքից։ Սովորական ձևով նման վիթխարի թվերի պատկերումը, իրավացիորեն անվանելով «աստղագիտական թվեր», անխուսափելիորեն կհանգեցներ մեծ անհարմարությունների, հատկապես հաշվումների ժամանակ։ Հեռավորությունը, օրինակ, մինչև Անդրոմեդի միգամածությունը, արտահայտված կիլոմետրերով սովորական կարգով, պատկերվում է այսպիսի թվով՝

Աստղագիտական հաշվումներ կատարելիս հաճախ անհրաժեշտ է լինում երկնային հեռավորություններն արտահայտել ոչ միայն կիլոմետրերով կամ ավելի խոշոր միավորներով, այլև սանտիմետրերով։ Այդ դեպքում դիտարկված հեռավորությունը պատկերվում է մի թվով, որը հինգ զրոներ ավելի ունի՝

Աստղերի զանգվածներն արտահայտվում են ավելի քան մեծ թվերով, հատկապես, եթե դրանք արտահայտել ենք գրամներով, ինչպես պահանջվում է շատ հաշվարկների համար։ Մեր արեգակի զանգվածը գրամներով հավասար է՝

Դժվար չէ պատկերացնել, թե ինչպիսի դժվարություններ կլինեին այդպիսի վիթխարի թվերով հաշվումներ կատարելիս և ինչպես հեշտությամբ այդ դեպքում կարելի էր սխալվել։ Իսկ չէ՞ որ այստեղ բերված են ամենևին էլ դեռ ոչ ամենամեծ աստղագիտական թվերը։

Մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությանը հաշվողներին տալիս է այդ դժվարություններից դուրս գալու հասարակ ելք։ Մեկով և զրոներnվ պատկերվող թիվն իրենից ներկայացնում է տասի որոշակի աստիճան՝

և այլն։

Ուստի սկզբում բերված թվային հսկաները կարող են ներկայացվել այսպիսի տեսքով՝

առաջինը	. . . . . .	,
երկրորդը	. . . . . .	։

Այդ կատարվում է ոչ միայն տեղի խնայողության, այլև հաշվումների հեշտացման համար։ Իսկ եթե պահանջվեր, օրինակ, այդ երկու թվերն էլ բազմապատկել, ապա բավական կլիներ գտնել արտադրյալը և գրել այն արտադրիչից առաջ.

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Այդ իհարկե, անհամեմատ հարմար է, քան թե նախ զրոյով, այնուհետև և, վերջապես, զրոյով թվեր գրելը. դա ոչ միայն հարմար է, այլև հուսալի, քանի որ տասնյակ զրոներ գրելիս հնարավոր է վրիպել մեկ-երկու զրո և ստանալ ոչ ճիշտ արդյունք։

ՈՐՔԱ՞Ն Է ԿՇՌՈՒՄ ՕԴԸ

Համոզվելու համար, թե որքան են հեշտանում գործնական հաշվումները մեծ թվերից աստիճանային պատկերմամբ օգտվելու դեպքում, կատարենք այսպիսի հաշվարկ՝ որոշենք, թե քանի անգամ երկրագնդի մասսան մեծ է նրան շրջապատող ամբողջ օդի մասսայից։

Մենք գիտենք, որ երկրի մակերևույթի յուրաքանչյուր քառ. սանտիմետրի վրա օդը ճնշում է մոտ մեկ կիլոգրամ ուժով։ Այդ նշանակում է, որ մթնոլորտի այն սյունի կշիռը, որը հենված է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ի վրա, հավասար է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։ Երկրի մթնոլորտային շերտը, կարծես թե, ամբողջությամբ կազմված է այդպիսի օդային սյուներից. դրանք այնքան են, որքան քառ. սանտիմետր պարունակում է մեր մոլորակի մակերևույթը. այդքան կիլոգրամ էլ կշռում է ամբողջ մթնոլորտը։ Նայելով տեղեկատուն, իմանում ենք, որ երկրագնդի մակերևույթի մեծությունը հավասար է միլիոն Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): , այսինքն՝ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։

Հաշվենք, թե մեկ քառակուսի կիլոմետրը քանի՛ քառակուսի սանտիմետր է։ Գծային կիլոմետրը պարունակում է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): , յուրաքանչյուրում՝ -ական Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): , այսինքն հավասար է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): , իսկ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

պարունակում է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 

։ Ուստի՝ երկրագնդի ամբողջ մակերևույթը պարունակում է

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։ Երկրի մթնոլորտը այդքան կիլոգրամ էլ կշռում է։ Վելածելով տոննաների, կստանանք՝

։

Երկրագնդի մասսան արտահայտվում է հետևյալ թվով՝

տոննա։

Որպեսզի որոշենք, թե մեր մոլորակը որքան անգամ ծանր է իր օդային շերտից, կատարենք բաժանում՝

,

այսինքն՝ մթնոլորտի մասսան մոտավորապես կազմում է երկրագնդի մասսայի մեկ միլիոներորդական մասը։

ԱՅՐՈՒՄ՝ ԱՌԱՆՑ ԿՐԱԿԻ ԵՎ ՋԵՐՄՈՒԹՅԱՆ

Եթե դուք հարցնեք քիմիկոսին, թե ինչո՞ւ փայտը կամ ածուխն այրվում են միայն բարձր ջերմաստիճանում, նա ձեզ կպատասխանի, որ ածխածնի և թթվածնի միացումը կատարվում է, խիստ ասած, ամեն մի ջերմաստիճանի դեպքում, բայց ցածր ջերմաստիճանների դեպքում այդ պրոցեսն ընթանում է արտակարգ դանդաղ (այսինքն՝ ռեակցիայի մեջ են մտնում խիստ աննշան թվով մոլեկուլներ), այդ պատճառով էլ վրիպում է մեր տեսողությունից։ Քիմիական ռեակցիաների արագությունը որոշող օրենքն ասում է, որ ջերմաստիճանը Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ով իջեցնելիս ռեակցիայի արագությունը (նրա մեջ մասնակցող մոլեկուլների թիվը) փոքրանում է երկու անգամ։

Ասվածը կիրառենք թթվածնի հետ բնափայտի միացման ռեակցիայի դեպքում, այսինքն՝ փայտի այրման պրոցեսի դեպքում։ Դիցուք, ջերմությամբ կրակի մեջ յուրաքանչյուր վայրկյանում այրվում է 1 գրամ բնափայտ։ Որքա՞ն ժամանակում կայրվի գրամ փայտը Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ում։ Մենք արդեն գիտենք, որ երբ ջերմաստիճանը -ով իջնում է, ռեակցիայի արագությունը փոքրանում է անգամ, այսինքն՝ գրամ փայտն այրվում է վայրկյանում։

Քանի՞ տարվա է հավասար այդ ժամանակամիջոցը։ Մենք կարող ենք դա մոտավորապես հաշվել չկատարելով կրկնվող բազմապատկումները երկուսով և շրջանցելով լոգարիթմական աղյուսակները։ Օգտվենք այն բանից, որ ։ Հետևաբար՝

,

այսինքն՝ մոտ քառորդ տրիլիոն վայրկյան։ Տարին ունի մոտ միլիոն, այսինքն՝ վայրկյան, ուստի՝

։

Տա՛սը միլիարդ տարի։ Ահա թե որքան ժամանակում կայրվեր մեկ գրամ փայտն առանց բոցի և ջերմության։

Այսպիսով, փայտը, ածուխը այրվում են և սովորական ջերմաստիճանում, ամենևին չվառվելով։ Կրակ ստանալու գործիքների գյուտը անխուսափելիորեն արագացրեց այդ չափազանց դանդաղ պրոցեսը միլիարդավոր անգամ։

ԵՂԱՆԱԿԻ ԲԱԶՄԱԶԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ

Խնդիր

Եղանակը մենք կբնութագրենք միայն մեկ հատկանիշով, այն է՝ երկինքը ամպամած է արդյոք, թե ոչ, այսինքն՝ կտարբերենք միայն պարզ և ամպամած օրերը։ Ի՞նչ եք կարծում, այդ դեպքում կլինե՞ն արդյոք շատ շաբաթներ՝ տարբեր եղանակի օրերի հաջորդումներով։

Թվում է թե քիչ. կանցնի մի երկու ամիս, և շաբաթվա պարզ ու ամպամած օրերի բոլոր կոմբինացիաները կսպառվեն, այդ ժամանակ անխուսափելիորեն կկրկնվի այն կոմբինացիաներից մեկը, որն արդեն դիտվել էր առաջ։

Փորձենք, սակայն, ճիշտ հաշվել, թե որքան տարբեր կոմբինացիաներ են հնարավոր այդ պայմաններում։ Դա այն խնդիրներից մեկն է, որն անսպասելիորեն հանգեցվում է մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությանը։

Այսպիսով, մի շաբաթում պարզ և ամպամած օրերը քանի՞ տարբեր եղանակներով կարող են իրար հաջորդել։

Լուծում

Շաբաթվա աոաջին օրը կարող է լինել կամ պարզ, կամ ամպամած. նշանակում է, առայժմ ունենք երկու «կոմբինացիա»։

Երկու օրվա ընթացքում հնարավոր են պարզ և ամպամած օրերի հետևյալ հաջորդականությունը՝

պարզ և պարզ,
պարզ և ամպամած,
ամպամած և պարզ,
ամպամած և ամպամած։

Ընդամենը երկու օրվա ընթացքում կա տարբեր տեսակի հաջորդականություն։ Երեք օրվա ընթացքում առաջին երկու օրերի չորս կոմբինացիաներից յուրաքանչյուրը զուգակցվում է երրորդ օրվա, երկու կոմբինացիաների հետ. բոլոր տեսակի հաջորդականությունները կլինեն՝

։

Չորս օրերի ընթացքում հաջորդականությունների թիվը հասնում է՝

։

Հինգ օրերի համար հնարավոր է , վեց օրերի համար՝ և, վերջապես, շաբաթվա համար՝ տարբեր տեսակի հաջորդականություն։

Այստեղից հետևում է, որ շաբաթն ունի պարզ և ամպամած օրերի տարբեր հաջորդականություն։ օր հետո անհրաժեշտորեն պետք է կրկնվի նախկին միացություններից մեկը. կրկնությունը, իհարկե, կարող է տեղի ունենալ և շուտ, բայց օրը մի այնպիսի ժամանակ է, որն անցնելով՝ նման կրկնությունն անխուսափելի է։ Եվ հակառակը, կարող է անցնել ամբողջ երկու տարի, անգամ՝ ավելի ( տարի և օր), որոնց ընթացքում ոչ մի շաբաթ ըստ եղանակի նման չի լինի մյուսին։

ԳԱՂՏՆԻ ՓԱԿՈՎ ԿՈՂՊԵՔ

Խնդիր

Սովետական մի հիմնարկում հայտաբերվել էր մինչռևոլյուցիոն տարիներից մնացած չհրկիզվող պահարան։ Գտնվեց նաև նրա համար մի բանալի, սակայն նրանից օգտվելու համար պետք է իմանային կողպեքի գաղտնիքը. պահարանի դուռը կրացվեր միայն այն ժամանակ, երբ գռան շրջանակների օղերի վրա այբբենական կարգով դասավորված տառերից կազմեին որոշակի բառ։ Քանի որ ոչ ոք այդ բառը չգիտեր, ապա պահարանը չկոտրելու համար որոշվել էր փորձել շրջանակների մեջ եղած տառերի բոլոր կոմբինացիաները։ Մի կոմբինացիա կազմելու համար պահանջվում էր վայրկյան ժամանակ։

Կարելի՞ է արդյոք հուսալ, որ պահարանը կբացվի մոտակա աշխատանքային օրվա ընթացքում։

Լուծում

Հաշվենք, թե ընդամենը քանի՞ կոմբինացիա էր հարկավոր փորձել։

Առաջին շրջանակի տառերից յուրաքանչյուրը կարող է համադրվել երկրորդ շրջանակի տառերից յուրաքանչյուրի հետ։ Նշանակում է. հնարավոր է երկտառալին

կոմբինացիա։

Այս կոմբինացիաներից յուրաքանչյուրին կարելի է միացնել երրորդ շրջանակի տառերից ցանկացածը։ Ուստի հնարավոր է եռատառային

կոմբինացիա։

Այս ձևով որոշում ենք, որ հնարավոր է չորստառային կոմբինացիաներ՝ , հինգառային՝ կամ ։ Ավելի քան միլիոն այս կոմբինացիաները կազմելու համար, եթե յուրաքանչյուրին հաշվենք վայրկյան, կպահանջվի

վայրկյան։

Այդ կազմում է մոտ ժամ կամ ութժամյա աշխատանքային օր՝ ավելի քան տարի։

Նշանակում. է պահարանը մոտակա աշխատանքային օրում բացելու շանսը ունի -ը : -ի կամ -ը : -ի հավանականություն։ Դա շատ փոքր հավանականություն է։

ՍՆԱՀԱՎԱՏ ՀԵԾԱՆՎՈՐԴԸ

Խնդիր

Մեկը մի հեծանիվ գնեց, ցանկանալով քշել սովորել։ Պարզվեց, որ հեծանվի տերը բացառիկ սնահավատ մարդ է։ Իմանալով հեծանվի անվի «ութաձև» պտտվելու վնասվածքի գոյության մասին (восьмepка), նա գտավ, որ երբեք հաջողություն չի ունենա, եթե նրան ընկնի հեծանվի այնպիսի համար, որի մեջ թվանշաններից թեկուզ մեկը լինի։ Սակայն, համար ստանալու գնալիս նա իրեն մխիթարեց հետևյալ դատողությամբ։ Յուրաքանչյուր գրված թվի մեջ կարող է լինել թվանշան՝ ։ Դրանցից «անբախտը» հանդիսանում է միայն թվանշանը։ Ուստի տասից միայն մեկ համարը կարող է լինել «անբախտ»։

Ճիշտ է արդյո՞ք այդ դատողությունը։

Լուծում

Հեծանվային համարները վեցանիշ են լինում։ Ընդամենը կա համար՝ և այլն, մինչև ։ Հաշվենք, թե քանի «բախտավոր» համարներ գոյություն ունեն։ Առաջին տեղում կարող է լինել ինը «բախտավոր» թվանշաններից ցանկացածը ։ Երկրորդ տեղում՝ նույնպես այդ ինը թվանշաններից ցանկացածը։ Ուստի գոյություն կունենան «բախտավոր» երկանիշ կոմբինացիաներ։ Այդ կոմբինացիաներից յուրաքանչյուրին կարելի է կցագրել (երրորդ տեղում) ինը թվանշաններից ցանկացածը, այնպես որ հնարավոր է «բախտավոր» եռանիշ կոմբինացիաներ՝

։

Այսպիսով որոշում ենք, որ վեցանիշ «բախտավոր» կոմբինացիաների թիվը հավասար է ։ Սակայն անհրաժեշտ է հաշվի առնել, որ այդ թվի մեջ մտնում է կոմբինացիան, որը պիտանի չէ որպես հեծանվային համար։ Այսպիսով, հեծանվային համարների «բախտավոր» թիվը հավասար է , որը կազմում է բոլոր համարների -ից փոքր-ինչ ավելի, բայց ոչ -ը, ինչպես ենթադրում էր հեծանվորդը։

Թողնում ենք ընթերցողին ինքնուրույնաբար համոզվելու, որ ութանիշ համարների մեջ «անբախտ» համարներն ավելի շատ են, քան՝ «բախտավորները»։

ԿՐԿՆՎՈՂ ԿՐԿՆԱՊԱՏԿՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆՔԸ

Կրկնվող կրկնապատկման դեպքում ամենափոքր մեծության չափազանց արագ աճման մասին զարմանալի օրինակ է տալիս շախմատ խաղի գյուտարարի պարգևատրման վերաբերյալ հանրածանոթ առասպելը^[3]։ Կանգ չառնելով այդ կլասիկ օրինակի վրա՝ բերենք ուրիշ, ոչ այնքան հայտնի օրինակներ։

Խնդիր

Հողաթափիկ ինֆուզորիան (միաբջիջ միկրոսկոպիկ օրգանիզմ) յուրաքանչյուր ժամում, (միջին հաշվով) բաժանվում է երկու հավասար մասի։ Եթե այդպիսով ծնված բոլոր ինֆուզորիաները մնային կենդանի, ապա որքա՞ն ժամանակ հարկավոր կլիներ, որպեսզի մի հողաթափիկի սերնդի զբաղեցրած ծավալը հավասար լիներ Արեգակի ծավալին։

Հաշվելու տվյալներն են՝ հողաթափիկի -րդ սերունդը, որը բաժանվելուց հետո չի ոչնչացել, զբաղեցնում է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

ծավալ, Արեգակի ծավալն ընդունենք հավասար Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 

։

Լուծում

Խնդիրը հանգում է այն բանին, թե քանի անգամ պետք կրկնապատկել Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ը, որպեսզի ստացվի Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

ծավալ։ Կատարենք հետևյալ ձևափոխությունները՝

։

Քանի որ , ապա նշանակում է՝ Արեգակի ծավալին հասնելու համար քառասուներորդ սերունդը պետք է ենթարկվի դարձյալ բաժանման։ Սերունդների ընդհանուր թիվը, հաշվելով առաջինից, հավասար է ։ Հեշտ է հաշվել, որ այդ տեղի կունենա -րդ օրում։

Նկատենք, որ մի միկրոբիոլոգ (Մետալնիկովը) փաստորեն դիտել է հողաթափիկի բաժանումը։ Թողնում ենք ընթերցողին անձամբ հաշվելու, թե ինչպիսի հսկայական ծավալ կզբաղեցներ վերջին սերունդը, եթե ոչ մի ինֆուզորիա այդ քանակությունից չոչնչանար։

Այս խնդրում դիտարկված հարցը կարելի է շարադրել, այսպես ասած, հակադարձ տեսքով՝

Պատկերացնենք, որ մեր Արեգակը բաժանվել է երկու հավասար մասի, կեսը նույնպես բաժանվել է երկու հավասար մասի և այլն։ Քանի՞ այդպիսի բաժանումներ հարկավոր կլինի, որպեսզի ստացվեն ինֆուզորիայի մեծությամբ մասնիկներ։ Թեև պատասխանն արդեն հայտնի է ընթերցողներին (), այնուամենայնիվ, այն զարմացնում է իր անչափ համեստ լինելով։

Ինձ առաջարկել են նույն խնդիրը այսպիսի տեսքով։

Թղթի թերթը բաժանում են երկու հավասար մասի, ստացված մի կեսը նորից բաժանում են երկու հավասար մասի և այլն։ Որքա՞ն բաժանում հարկավոր կլինի, որպեսզի ստացվեն ատոմին հավասար մասնիկներ։

Ենթադրենք թղթի թերթը կշռում է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

և ընդունենք, որ ատոմի կշռի մեծությունը մոտ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 
է։ Քանի որ վերջին արտահայտության մեջ կարելի է -ը փոխարինել մոտավորապես նրան հավասար  արտահայտությամբ, ապա պարզ է, որ թղթի երկու հավասար մասի բաժանելը կպահանջվեր կրկնել ընդամենը  և ոչ թե միլիոն անգամ, ինչպես երբեմն լսվում է որպես այդ խնդրի հարցի պատասխան։

ԱՆԳԱՄ ԱՎԵԼԻ ԱՐԱԳ

Էլեկտրական գործիքը, որը կոչվում է տրիգեր, պարունակում է երկու, էլեկտրոնային լամպեր (այսինքն՝ մոտավորապես այնպիսի լամպեր, ինչպիսիք կիրառվում են ռադիոընդունիչների մեջ)։ հոսանքը տրիգերում կարող է գնալ միայն մեկ լամպի միջով՝ կա՛մ «ձախի», կա՛մ «աջի»։ Տրիգերն ունի երկու կոնտակտ, որոնց կարելի է դրսից կարճատև էլեկտրական ազդանշան (իմպուլս) հաղորդել և երկու կոնտակտ, որոնցով տրիգերից ստացվում է պատասխան իմպուլսը։

Դրսից էլեկտրական իմ պուլսի մուտքի պահին տրիգերը հոսանքափոխվում է. այն լամպը, որի միջով հոսանքն անցել է, անջատվում է, և հոսանքն սկսում է գնալ արդեն մյուս լամպի միջով։ Պատասխան իմպուլսը տրիգերը տալիս է այն պահին, երբ անջատվում է աջ լամպը և միացվում ձախը։

Հետևենք, թե ինչպես կաշխատի տրիգերը, եթե մեկը մյուսի ետևից, նրան մոտեցնենք մի քանի էլեկտրական իմպուլսներ։

Տրիգերի վիճակը կբնութագրենք ըստ նրա աջ լամպի, եթե հոսանքն աջ լամպի միջով չի գնում, ապա կասենք, որ տրիգերը գտնվում է « դիրքում», իսկ եթե հոսանքն աջ լամպի միջով է գնում, ապա՝ « դիրքում»։

Դիցուք, տրիգերը սկզբում գտնվում է դիրքում, այսինքն՝ հոսանքն անցնում է ձախ լամպի միջով (նկ. 1)։ Առաջին իմպուլսից հետո հոսանքը կանցնի աջ լամպով, այսինքն՝ տրիգերը կփոխարկվի դիրքի։ Այդ դեպքում տրիգերից պատասխան իմպուլս չի ստացվի, քանի որ պատասխան ազդանշանը տրվում է աջ (այլ ոչ ձախ) լամպի անջատման պահին։

Երկրորդ իմպուլսից հետո հոսանքը կանցնի արդեն ձախ լամպով, այսինքն՝ տրիգերը նորից ընդունում է դիրքը։ Սակայն այդ դիրքում տրիգերը կտա պատասխան ազդանշան (իմպուլս)։

Վերջ ի վերջո (երկու իմպուլսներից հետո) տրիգերը կրկին կընդունի իր սկզբնական դրությունը։ Ուստի երրորդ իմպուլսից (ինչպես և առաջինից հետո) տրիգերը կընդունի , իսկ չորրորդից հետո (ինչպես և երկրորդից հետո) դիրքը՝ պատասխան ազդանշանի միաժամանակյա մատուցմամբ և այլն։ Յուրաքանչյուր երկու իմպուլսներից հետո տրիգերի դրությունը կրկնվում է։

Այժմ պատկերացնենք, որ կան մի քանի տրիգերներ և որ արտաքին իմպուլսները հաղորդվում են առաջին տրիգերին, առաջին տրիգերի պատասխան իմպուլսները հաղորդվում են երկրորդին) երկրորդի պատասխան իմպուլսները՝ երրորդին և այլն (նկ. 2-րդում տրիգերները դասավորված են մեկը մյուսից հետո՝ ձախից աջ)։ Հետևենք, թե ինչպես կաշխատի տրիգերների այդպիսի շղթան։

Դիցուք, սկզբից բոլոր տրիգերները գտնվում էին դիրքում։ Օրինակ, հինգ տրիգերներից կազմված շղթայի համար մենք ունեինք կոմբինացիան։ Առաջին իմպուլսից հետո առաջին տրիգերը (ամենաաջը) կընդունի դիրքը, իսկ քանի որ այդ դեպքում պատասխան իմպուլս չի լինի, ապա մնացած բոլոր տրիգերները կմնան դիրքերում, այսինքն՝ շղթան կբնութագրվի կոմբինացիայով։ Երկրորդ իմպուլսից հետո առաջին տրիգերը կանջատվի (կընդունի դիրքը), բայց այդ դեպքում ստացվում է պատասխան իմպուլս, որի շնորհիվ էլ միացվում է երկրորդ տրիգերը։ Մնացած տրիգերները կմնան դիրքերում, այսինքն՝ կստացվի կոմբինացիան։ Երրորդ իմպուլսից հետո միացվում է առաջին տրիգերը, իսկ մնացածները չեն փոխում իրենց դիրքերը։ Մենք կունենանք կոմբինացիան։ Չորրորդ իմպուլսից հետո անջատվում է առաջին տրիգերը՝ տալով պատասխան ազդանշան. այդ պատասխան իմպուլսից կանջատվի երկրորդ տրիգերը և նույնպես կտա պատասխան իմպուլս. վերջապես, այդ վերջին իմպուլսից միացվում է երրորդ տրիգերը։ Արդյունքում մենք կստանանք կոմբինացիան։

Համանման դատողությամբ կարելի է շարունակել և հետագայում։ Տեսնենք, թե այդ դեպքում ի՛նչ կստացվի.

-ին	իմպուլս		կոմբինացիա
-րդ	»		»
-րդ	»		»
-րդ	»		»
-րդ	»		»
-րդ	»		»
-րդ	»		»
-րդ	»		»

Մենք նկատում ենք, որ տրիգերների շղթան «հաշվում է» դրսից տրված ազդանշանները և յուրատեսակ եղանակով՝ «գրում է» այդ ազդանշանների թիվը։ Դժվար չէ նկատել, որ արված իմպուլսների թվի «գրելը» կատարվում է ոչ թե մեզ համար սովորական տասնորդական սիստեմով, այլ թվարկության երկուական սիստեմով։

Թվարկության երկուական սիստեմով ամեն մի թիվը գրվում է զրոներով և մեկերով։ Հաջորդ կարգի մեկը ոչ թե տասն անգամ (ինչպես սովորական տասնորդական գրառումը), այլ միայն երկու անգամ է մեծ նախորդ կարգի մեկից։ Երկուական գրառման մեջ վերջին տեղում (ամենաաջ) դրված մեկը, սովորական մեկ է։ Հաջորդ կարգի մեկը (աջից երկրորդ տեղում) նշանակում է երկու, հաջորդ մեկը նշանակում է չորս, այնուհետև ութ և այլն։

Օրինակ, թիվը երկուական սիստեմում գրվում է տեսքով։

Այսպիսով, տրիգերների շղթան «համրում է» տրված ազդանշանների թիվը և այն «գրում է» թվարկության երկուական սիստեմով։ Նշենք, որ տրիգերի հոսանքափոխումը, այսինքն՝ հաղորդվող մեկ իմպուլսի գրանցումը շարունակվում է ընդամենը... վայրկյանի մեկ տասմիլոներորդի ընթացքում։ Ժամանակակից տրիգերային հաշվիչները կարող են մեկ վայրկյանում «համրել» մինչև իմպուլս և ավելին։ Դա մոտավորապես անգամ ավելի արագ է, քան այն հաշիվը, որը կարող է կատարել մարդը՝ առանց որևէ գործիքի. մարդու աչքը կարող է որոշակի տարբերել միմյանց հաջորդող ազդանշանները ոչ ավելի հաճախ, քան Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

հետո։

Եթե շղթան կազմենք քսան տրիգերներից, այսինքն՝ տրված ազդանշանների թիվը գրենք երկուական վերլուծման ոչ ավելի քան քսան թվանշաններով, ապա կարելի է «հաշվել» մինչև . այս թիվը մեծ է միլիոնից։ Իսկ եթե շղթան կազմենք տրիգերներից, ապա դրանց միջոցով կարելի է գրել հայտնի «շախմատային թիվը»։

Վայրկյանում հարյուրավոր ազդանշանները համրելու հնարավորությունը շատ կարևոր է միջուկային ֆիզիկային վերաբերող էքսպերիմենտալ աշխատանքների համար։ Օրինակ, կարելի է համրել այս կամ այն տեսքի մասնիկների թիվը, որոնք թռչում են ատոմի տրոհման ժամանակ։

ՎԱՅՐԿՅԱՆՈՒՄ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ

Զարմանալի է, որ տրիգերային սխեմաները թույլ են տալիս նույնպես գործողություններ կատարել թվերի հետ։ Տեսնենք, օրինակ, թե ինչպես կարելի է իրագործել երկու թվերի գումարումը։

Դիցուք, տրիգերների երեք շղթաները միացած են այնպես, ինչպես ցույց է տրված 3-րդ նկարում։ Տրիգերների վերին շղթան ծառայում է առաջին գումարելին գրելու համար, երկրորդ շղթան՝ երկրորդ գումարելին գրելու համար, իսկ ներքևի շղթան՝ գումարը ստանալու համար։ Գործիքի միացման մոմենտին ներքևի շղթայի տրիգերին անցնում են իմպուլսներ վերին և միջին շղթաների այն տրիգերներից, որոնք գտնվում են դիրքում։

Դիսուք, օրինակ, ինչպես այդ ցույց է տրված 3-րդ նկարում,առաջին երկու շղթաներում գրված են և գումարելիները (թվարկության երկուական սիստեմով)։ Այդ ժամանակ ներքևի շղթայի առաջին (ամենաաջ) տրիգերի վրա գործիքի միացման պահին առաջանում են երկու իմպուլսներ՝ առաջին տրիգերների յուրաքանչյուր գումարելիներից։ Մենք արդեն գիտենք, որ երկու իմպուլսների ստացման հետևանքով առաջին տրիգերը կմնա դիրքում, բայց կտա պատասխան իմպուլս երկրորդ տրիգերին։ Բացի այդ, երկրորդ տրիգերին ազդանշան է գալիս երկրորդ գումարելիից։ Այսպիսով, երկրորդ տրիգերի վրա առաջանում են երկու իմպուլս, որի հետևանքով էլ երկրորդ տրիգերը կգտնվի դիրքում և կուղարկի պատասխան իմպուլս երրորդ տրիգերին։ Բացի այդ, երրորդ տրիգերին են գալիս դարձյալ երկու իմպուլսներ (գումարելիներից յուրաքանչյուրից)։ Ստացված երեք ազդանշանների հետևանքով երրորդ տրիգերը կանցնի դիրքին և կտա պատասխան իմպուլս։ Այդ պատասխան իմպուլսը չորրորդ տրիգերը կփոխադրի դիրքը (այլ ազդանշաններ չորրորդ տրիգերի վրա չեն ստացվում)։ Այսպիսով, 3-րդ նկարում պատկերված գործիքը կատարեց (թվարկության երկուական սիստեմով) երկու թվերի գումարում «սյունակով»։

կամ տասնորդական սիստեմով՝ ։ Տրիգերների ներքևի շղթայում պատասխան իմպուլսները համապատասխանում են նրան, որ գործիքը, կարծես թե, «հիշում է մտքում» մեկ միավոր և այն տեղափոխում հետևյալ կարգը, այսինքն՝ կատարում է նույնը, ինչ մենք կատարում ենք «սյունակով» գումարելիս։

Իսկ եթե յուրաքանչյուր շղթայում լիներ ոչ թե , այլ սսենք, տրիգեր, ապա կարելի էր կատարել թվերի գումարում միլիոնի սահմաններում, իսկ մեծ թվով տրիգերների դեպքում կարելի է գումարել է՛լ ավելի մեծ թվեր։

Նկատենք, որ իրականում գործիքը գումարումներ կատարելու համար պետք է ունենա զգալիորեն ավելի բարդ սխեմա, քան 3-րդ նկարում պատկերվածը։ Մասնավորապես գործիքին պետք է միացված լինի հատուկ հարմարանք, որը իրագործի ազդանշանների «ուշացումը»։ Ընդ որում ցույց տրված սխեմայում գործիքի ազդանշանները երկու գումարելիներից ներքևի շղթայի առաջին տրիգերն են անցնում միաժամանակ (գործիքի միացման պահին)։ Արդյունքում երկու ազդանշաններն էլ միաձուլվում են, և տրիգերը դրանց ընկալում է որպես մեկ ազդանշան, այլ ոչ թե՝ երկու։ Դրանից խուսափելու նպատակով պետք է, որ ազդանշանները գումարելիներից հաղորդվեին ոչ միաժամանակ, այլ մեկը մյուսից հետո, որոշ «ուշացումով»։ Այդպիսի «ուշացումների» առկայությունը հանգում է նրան, որ երկու թվերի գումարելի ավելի շատ ժամանակ է պահանջում, քան մեկ ազդանշանի գրանցումը տրիգերային հաշվիչում։

Փոխելով սխեման՝ կարելի է ստիպել, որ գործիքը կատարի ոչ թե գումարում, այլ հանում։ Կարելի է նույնպես իրագործել բազմապատկում (այն հանգում է գումարման հաջորդական կատարմանը, և դրա համար պահանջում է մի քանի անգամ ավելի շատ ժամանակ, քան գումարումը), բաժանումը և այլ օպերացիաներ։

Այն սարքավորումները, որոնց մասին խոսվեց վերևում, կիրառվում են ժամանակակից հաշվիչ մեքենաներում։ Այդ մեքենաները մեկ վայրկյանում թվերով կարող են կատարել մինչև և ավելի գործողություններ։ Թվամ է, թե գործողություններ կատարելու այդպիսի գլխապտույտ արագությունը պետք չէ։ Օրինակ, ինչ տարբերություն այն բանում, թե որքան ժամանակում մեքենան 15-անիշ թիվը կբարձրացնի քառակուսի՝ վայրկյանի մեկ տասհազարերորդական մասո՞ւմ թե՞, ասենք, քառորդ վայրկյանում։ Ե՛վ այս, և՛ այն մեզ թվում է խնդրի «ակնթարթային լուծում»։

Սակայն մի շտապեք եզրակացություններ անելու։ Վերցնենք այսպիսի օրինակ։ Լավ շախմատիստը, նախքան խաղաքայլն անելը, վերլուծում է տասնյակ և անգամ հարյուրավոր հնարավոր տարբերակներ։ Եթե, ասենք, մի տարբերակի հետազոտումը պահանջում է մի քանի վայրկյան, ապա հարյուրավոր տարբերակների վերլուծման համար հարկավոր են րոպեներ և տասնյակ րոպեներ։

Շատ անգամ պատահում է, որ խաղացողները բարդ պարտիաներում ընկնում են «ցեյտնոտի» մեջ, այսինքն՝ հարկադրվում են խաղաքայլերն արագացնել, քանի որ նախորդ խաղաքայլերի մտածելու վրա նրանք ծախսել են գրեթե նրանց համար սահմանված ամբողջ ժամանակը։ Բայց ինչո՞ւ շախմատային պարտիաների տարբերակների հետազոտումը չհանձնարարել մեքենային։ Չէ՞ որ վայրկանում կատարելով հազար հաշվումներ՝ մեքենան հետազոտում է բոլոր տարբերակները «ակնթարթորեն» և երբեք չի ընկնում ցեյտնոտի մեջ...

Դուք, իհարկե, կառարկեք, որ այլ գործ է հաշվումները (թեկուզ և շատ բարդ)) և այլ շախմատ խաղալը։ Մեքենան չի կարող այդ անել։ Շախմատիստը տարբերակների հետազոտման ժամանակ չի հաշվում, այլ մտածում է։

Չվիճենք, մենք ստորև այդ հարցին դեռ կանդրադառնանք։

ՇԱԽՄԱՏԱՅԻՆ ՀՆԱՐԱՎՈՐ ՊԱՐՏԻԱՆԵՐԻ ԹԻՎԸ

Անդրադառնանք շախմատային տարբեր պարտիաների թվի մոտավոր հաշվարկմանը, այն է՝ ընդհանրապես քանի պարտիա կարող է խաղացվել շախմատային տախտակի վրա։ Տվյալ դեպքում ճիշտ հաշվարկը անհնարին է, բայց մենք ընթերցողին կծանոթացնենք շախմատային հնարավոր պարտիաների թվի մեծությունը մոտավորապես գնահատելու փորձի հետ։ Բելգիական մաթեմատիկոս Մ. Կրայչիկի „Математика игр и математические развлечения” գրքում գտնում ենք այսպիսի հաշվարկ.

«Առաջին քայլի ժամանակ սպիտակները կարող են ընտրել խաղաքայլերից մեկը ( խաղաքայլ ութ զինվորի համար, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է տեղաշարժվել մեկ կամ երկու դաշտի վրա, և 2-ական խաղաքայլ յուրաքանչյուր ձիու համար)։ Սպիտակների յուրաքանչյուր խաղաքայլին սևերը կարող են պատասխանել միևնույն խաղաքայլից մեկով։ Զուգադրելով սպիտակների յուրաքանչյուր խաղաքայլը սևերի յուրաքանչյուր խաղաքայլի հետ՝ կունենանք տարբեր պարտիաներ յուրաքանչյուր կողմի առաջին քայլից հետո։

Աոաջին քայլից հետո հնարավոր խաղաքայլերի թիվը մեծանում է։ Եթե, օրինակ, սպիտակներն արել են առաջին e2—e4 խաղաքայլը, նրանք երկրորդ քայլի համար կարող են ընտրել խաղաքայլից որևէ մեկը։ Հետագայում հնարավոր խաղաքայլերի թիվն ավելի մեծ է։ Միայն թագուհին, կանգնելով, օրինակ, d5 դաշտում՝ կարող է ընտրել խաղաքայլից մեկը (ենթադրելով, որ բոլոր դաշտերը, որտեղ նա կարող է կանգնել, ազատ են)։ Սակայն հաշվարկը պարզ դարձնելու համար նկատի կունենանք հետևյալ թվերի միջինը՝

առաջին հինգ խաղաքայլերում երկու կողմերի համար 20-ական հնարավոր խաղաքայլ։

հետագա խաղաքայլերի դեպքում երկու կողմերի համար էլ 30-ական հնարավոր խաղաքայլ։

Բացի դրանից։ ընդունենք, որ նորմալ պարտիայի խաղաքայլերի միջին թիվը հավասար է -ի։ Այն ժամանակ հնարավոր պարտիաների թվի համար կունենանք հետևյալ արտահայտությունը՝

։

Այս արտահայտության մոտավոր մեծությունը որոշելու համար օգտվենք հետևյալ ձևափոխություններից և պարզեցումներից՝

։

-ը փոխարինենք նրան մոտ թվով՝ -ով, այսինքն -ով։

արտահայտությունը ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

։

Հետևաբար՝

։

Այս թվից շախմատի խաղի գյուտի համար պահանջված պարգևը՝ ցորենի հատիկների առասպելական բազմությունը չափազանց ետ է մնում։ Եթե երկրագնդի ամբողջ բնակչությունը օր ու գիշեր շախմատ խաղար, անելով ամեն վայրկյանում մեկական քայլ, ապա շախմատային բոլոր հնարավոր պարտիաները սպառելու համար այդպիսի ընդհանուր և անընդհատ խաղը պետք է շարունակվեր ոչ պակաս դար։

ՇԱԽՄԱՏԱՅԻՆ ԱՎՏՈՄԱՏԻ ԳԱՂՏՆԻՔԸ

Դուք, հավանաբար, շատ կզարմանաք՝ իմանալով, որ մի ժամանակ գոյություն են ունեցել շախմատային ավտոմատներ։ Իրոք, ինչպե՞ս այդ համատեղել այն բանի հետ, որ շախմատային տախտակի վրա ֆիգուրների կոմբինացիաները գործնականորեն անսահման են։

Դա պարզաբանվում է հեշտությամբ։ Գոյություն է ունեցել ոչ թե շախմատային ավտոմատ, այլ միայն հավատ նրա նկատմամբ։ Հատուկ ժողովրդականություն է ունեցել հունգարական մեխանիկ Վոլֆգանգ ֆոն Կեմպելենի (1734-1804) ավտոմատը, որն իր մեքենան ցույց տվեց ավստրիական և ռուսական պալատներում, իսկ այնուհետև հրապարակորեն ցուցադրեց Փարիզում և Լոնդոնում։

Նապոլեոն առաջինը խաղացել է այդ ավտոմատի հետ, վստահ լինելով, որ իր ուժը չափում է մեքենայի ուժի հետ։ Անցյալ դարի կեսերին հանրահայտ ավտոմատն ընկավ Ամերիկա, և այնտեղ էլ Ֆիլադելֆիայի հրդեհի ժամանակ վերջ տրվեց նրա գոյությանը։

Շախմատային խաղի մյուս ավտոմատները արդեն չեն ունեցել այդպիսի հռչակ։ Այնուամենայնիվ, հավատը նման ավտոմատորեն գործող մեքենաների գոյության նկատմամբ չսպառվեց նաև հետագայում։

Իրականում ոչ մի շախմատային մեքենա ավտոմատիկորեն չի գործել։ Ներսում թագնվում էր հմուտ, կենդանի շախմատիստ, որը և շարժում էր ֆիգուրները։ Այն կեղծ ավտոմատը, որի մասին մենք հիմա հիշատակեցինք, իրենից ներկայացրել է մեծածավալ արկղ բարդ մեխանիզմով։ Արկղի վրա կար շախմատային տախտակ՝ ֆիգուրներով, որոնք տեղաշարժվում էին մեծ տիկնիկի ձեռքով։ Նախքան խաղն սկսվելը հասարակությանը հնարավորություն էին տալիս համոզվելու, որ արկղի ներսում ոչինչ չկա, բացի մեխանիզմի դետալներից։ Սակայն նրա մեջ մնում էր բավականաչափ տեղ, որպեսզի թաքնվեր ոչ մեծ հասակի մարդ (այդ դերը խաղում էին հանրաճանաչ խաղացողներ Իոհան Ալգայերը և Վիլյամ Լյուիսը)։ հավանական է, որ մինչև հասարակությանը հաջորդաբար ցույց էին տալիս արկղի տարբեր մասերը, թաքնված մարդը անաղմուկ տեղափոխվում էր հարևան բաժանմունքը։ Իսկ մեխանիզմը ապարատի աշխատանքին ոչ մի մասնակցություն չէր ունենում և միայն քողարկում էր կենդանի խաղացողի ներկայությունը։

Ամբողջ ասածից կարելի է անել հետևյալ եզրակացությունը՝ շախմատային պարտիաների թիվը գործնականորեն անսահման է, իսկ մեքենա, որը թույլատրում է ավտոմատիկորեն ընտրել ամենաճիշտ խաղաքայլը, գոյություն ունի միայն դյուրահավատ մարդկանց երևակայության մեջ։ Ուստի, շախմատային ճգնաժամի երկյուղ կրելու հարկ չկա։

Սակայն վերջին տարիներում տեղի են ունեցել դեպքեր, որոնք թույլ են տալիս կասկածելու այդ եզրակացության ճշտությունը։ Ներկայումս արդեն գոյություն ունեն շախմատ «խաղացող» մեքենաներ։ Դրանք բարդ հաշվիչ մեքենաներն են, որոնք հնարավորություն են տալիս վայրկյանում կատարել հազարավոր հաշվումներ։ Այդպիսի մեքենաների մասին մենք արդեն խոսել ենք։ Ինչպե՞ս կարող է մեքենան շախմատ «խաղալ»։

Իհարկե, հաշվիչ ոչ մի մեքենա ոչինչ անել չի կարող բացի թվերով գործողություններից։ Բայց մեքենայով հաշվումը կատարվում է գործողությունների որոշակի սխեմայով, նախապես կազմված որոշակի ծրագրով։

Շախմատային «ծրագիրը» կազմվում է մաթեմատիկոսների կողմից խաղի որոշակի տակտիկայի հիման վրա. ընդսմին, տակտիկա ասելով հասկացվում է կանոնների սիստեմը, որը թույլատրում է յուրաքանչյուր դիրքի համար ընտրել միակ («ամենալավագույն»-ը այդ տակտիկայի իմաստով) խաղաքայլը։ Ահա այդպիսի տակտիկայի օրինակներից մեկը։ Յուրաքանչյուր ֆիգուրին վերագրվում է միավորների որոշակի թիվ (արժեք)։

Թագավոր	+200 միավոր	Զինվոր	+1 միավոր
Թագուհի	+9 միավոր	Ետ մնացած զինվոր	-0,5 միավոր
Նավակ	+5 միավոր	Մեկուսացված զինվոր	-0,5 միավոր
Փիղ	+3 միավոր	Կրկնակի զինվոր	-0,5 միավոր
Ձի	+3 միավոր

Բացի այդ, որոշակի ձևով գնահատվում են դիրքային առավելությունները (ֆիգուրների շարժունակությանը, ֆիգուրների դասավորությունը կենտրոնին ավելի մոտ, քան ծայրերում և այլն), որոնք արտահայտվում են միավորի տասներորդ մասերով։ Սպիտակ ֆիգուրների համար միավորների ընդհանուր գումարից հանում ենք սև ֆիգուրների համար միավորների ընդհանուր գամարը։ Ստացված տարբերությունը որոշ չափով բնութագրվում է սպիտակների նյութական և դիրքային առավելությունը սևերի նկատմամբ։ Եթե այդ տարբերությունը դրական է, ապա սպիտակների մոտ ավելի հարմար դրություն է, քան սևերի մոտ, իսկ եթե այն բացասական է՝ ավելի քիչ հարմար դրություն։

Հաշվիչ մեքենան հաշվում է, թե ինչպես կարող է փոխվել մատնանշված տարբերությունը մոտակա երեք խաղաքայլերի ընթացքում, ընտրում է ամենալավագույն տարբերակը երեք խաղաքայլերի երեք հնարավոր կոմբինացիաներից և այն տպում է հատուկ քարտի վրա՝ «խաղաքայլն» արված է^[4]։

Մեքենան մեկ խաղաքայլի վրա վատնում է շատ քիչ ժամանակ (նայած ծրագրի տեսակին և մեքենայի գործելու արագությանը), այնպես որ նա «ցեյտնոտից» չի վախենում։

Իհարկե, միայն երեք խաղաքայլ առաջ «մտածելը» մեքենային բնութագրում է որպես բավական թույլ «խաղացողի»^[5], բայց կարելի է չկասկածել նրանում, որ ներկայումս հաշվիչ տեխնիկայի ավելի արագ կատարելագործմամբ մեքենաները շուտով «կսովորեն» անհամեմատ ավելի լավ «խաղալ» շախմատ։

Հաշվիչ մեքենաների համար շախմատային ծրագրեր կազմելու մասին ավելի մանրամասն պատմելը այս գրքում դժվար կլիներ։ Ծրագրերի մի քանի պարզագույն տեսակները մենք սխեմատիկ կերպով կդիտարկենք հաջորդ գլխում։

ԵՐԵՔ ԵՐԿՈՒՍՆԵՐՈՎ

Բոլորին հավանաբար հայտնի է, թե ինչպես պետք է գրել երեք թվանշան, որպեսզի նրանցով պատկերենք հնարավորին չափ մեծ թիվ։ Պետք է վերցնել երեք ինը և դրանց դասավորել այսպես՝

,

այսինքն՝ գրել երրորդ «գերաստիճան» -ից։

Այդ թիվն այնքան ահռելի մեծ է, որ ոչ մի բաղդատում չի օգնում պարզելու նրա վիթխարիությունը։ Տեսանելի տիեզերքի էլեկտրոնների թիվը չնչին է նրա հետ համեմատած։ Իմ «Հետաքրքրաշարժ թվաբանություն» գրքում (գլ. 10) արդեն ասվել է այդ մասին։ Անդրադառնում եմ այս խնդրին միայն նրա համար, որովհետև ուզում եմ այստեղ նրա ձևով առաջարկել մեկ ուրիշը։

Երեք երկուսներով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով գործողությունների նշանները։

Լուծում

Ինների եռահարկ դասավորության թարմ տպավորության տակ դուք, հավանաբար, պատրաստ եք երկուսներին տալու այսպիսի դասավորություն՝

Սակայն այս անգամ սպասվելիք արդյունքը չի ստացվում։ Գրված թիվը մեծ չէ, անգամ փոքր է, քան -ը։ Իրոք, չէ՞ որ մենք ընդամենը գրել էինք միայն , այսինքն՝ ։

Իսկապես, երեք երկուսներից կազմված ամենամեծ թիվը ո՛չ է, և ո՛չ էլ (այսինքն՝ ), այլ՝

։

Օրինակը շատ ուսանելի է։ Այն ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկայի մեջ վտանգավոր է վարվել համանմանությամբ. դա հեշտությամբ կարող է սխալ եզրակացությունների հասցնել։

ԵՐԵՔ ԵՐԵՔՆԵՐՈՎ

Խնդիր

Այժմ, հավանաբար, դուք զգուշորեն կմոտենաք հետևյալ խնդրի լուծմանը՝

Երեք երեքներով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով գործողությունների նշանները։

Լուծում

Եռահարկ դասավորությունը ևս այստեղ չի բերում սպասելիք արդյունքին, քանի որ

-ը, այսինքն՝ -ը փոքր է, քան -ը։

Վերջին դասավորությունը տալիս է խնդրի հարցի պատասխանը։

ԵՐԵՔ ՉՈՐՍԵՐՈՎ

Խնդիր

Երեք չորսերով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով գործողութսունների նշանները։

Լուծում

Եթե տվյալ դեպքում դուք վարվեք նախորդ երկու խնդիրների ձևով, այսինքն՝ տաք ալդպիսի պատասխան

,

ապա կսխալվեք, քանի որ այս անգամ եռահարկ դասավորությունը՝

հենց տալիս է ավելի մեծ թիվ։ Իրոք, , իսկ -ը մեծ է, քան -ը։

ԵՐԵՔ ՄԻԱՏԵՍԱԿ ԹՎԱՆՇԱՆՆԵՐՈՎ

Փորձենք խորանալ այդ կասկած առաջացնող երևույթի մեջ և պարզենք, թե ինչու որոշ թվանշաններ եռահարկ դասավորության դեպքում առաջացնում են թվային հսկաներ, իսկ մյուսները՝ ոչ։ Դիտարկենք ընդհանուր դեպքը։

Երեք հավասար թվանշաններով պատկերել հնարավորին մեծ թիվ չկիրառելով գործողությունների նշանները։

Թվանշանը նշանակենք տառով։

դասավորություններին համապատասխանում է հետևյալ արտահայտությունը՝

, այսինքն՝ ։

Իսկ եռահարկ դասավորությունն ընդհանուր տեսքով կպատկերվի այսպես`

Որոշենք` -ի ի՞նչ արժեքների դեպքում վերջին դասավորությունը կպատկերի ավելի մեծ թիվ, քան առաջին դասավորությունը։ Քանի որ երկու արտահայտություններն էլ հանդիսանում են հավասար ամբողջական հիմք ունեցող թվի աստիճաններ, ապա մեծ մեծությանը համապատասխանում է մեծ ցուցիչին։ Իսկ ե՞րբ կլինի՝

։^[6]

Անհավասարության երկու մասն էլ բաժանենք -ի վրա, կստանանք՝

։

Հեշտ է նկատել, որ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ն մեծ է -ից միայն այն պայմանի դեպքում, երբ -ն մեծ է -ից, քանի որ

,

մինչդեռ,

-ն և -ը

փոքր են -ից։

Այժմ հասկանալիի են ալն անակնկալութլունները, որոնց մենք հանդիպեցինք նախորդ խնդիրները լուծելիս. երկուսների և երեքների համար հարկավոր էր վերցնել այլ դասավորություն, չորս և մեծ թվերի համար՝ այլ։

ՉՈՐՍ ՄԵԿԵՐՈՎ

Խնդիր

Չորս միավորներով գրել հնարավորին մեծ թիվ՝ չկիրառելով մաթեմատիկական գործողությունների և ոչ մի նշան։

Լուծում

Բնականորեն մտքով անցած թիվը չի պատասխանում խնդրի պահանջին, քանի որ՝

շատ անգամ մեծ է այդ թվից։ Հազիվ թե որևէ մեկը համբերություն ունենա այդ թիվը հաշվելու համար անգամ բազմապատկում կատարել -ով։ Բայց նրա մեծությունը անհամեմատ արագ կարելի է գնահատել լոգարիթմական աղյուսակների միջոցով։

Այդ թիվը գերազանցում է միլիարդը և, հետևաբար, թվից մեծ է ավելի քան միլիոն անգամ։

ՉՈՐՍ ԵՐԿՈՒՍՆԵՐՈՎ

Խնդիր

Դիտարկվող բնույթի խնդիրների զարգացման մեջ անենք հաջորդ քայլը և մեր հարցը դնենք չորս երկուսների համար։

Իչպիսի՞ դասավորության դեպքում են չորս երկուսները պատկերում. ամենամեծ թիվ։

Լուծում

Հնարավոր են 8 կոմբինացիաներ՝

Այդ թվերից ո՞րն է ամենամեծը։

Նախ զբաղվենք վերին շարքով, այսինքն երկհարկ դասավորված թվերով։

Առաջինը՝ -ը, ակնհայտ է, փոքր է մնացած երեքից։ Հաջորդ երկուսը՝

և

բաղդատելու համար ձևափոխենք նրանցից երկրորդը՝

։

Վերջին թիվը մեծ է -ից, քանի որ աստիճանի թե՛ հիմքը, թե՛ ցուցիչը ավելի մեծ է։ քան -ը։

Այժմ -ը բաղդատենք առաջին տողի չորրորդ թվի՝ -ի հետ։ -ը փոխարինեք մեծ թվով և ցույց տանք, որ անգամ այդ մեծ թիվն իր մեծությամբ զիջում է թվին։

Իրոք՝

,

իսկ այս թիվը փոքր է քան թե -ը։

Այսպիսով, վերին տողի ամենամեծ թիվը -ն է։

Այժմ մեզ մնում է միմյանց հետ բաղդատել հինդ թվեր՝ հենց նոր ստացվածը և հետևյալ չորսը՝

։

Վերջին թիվն ընդամենը է և միանգամից դուրս է գալիս մրցությունից։

Այնուհետև, այդ շարքի առաջին թիվը հավասար է և փոքր է, քան -ը կամ -ը. փոքր է հաջորդ երկու թվերից յուրաքանչյուրից։ Բաղդատման ենթակա են, հետևաբար, երեք թվեր, որոնցից յուրաքանչյուրը -ի տարբեր աստիճաններն են։ Ակնհայտ է, որ մեծ է -ի այն աստիճանը, որի ցուցիչը մեծ է։ Բայց երեք ցուցիչներից՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ^[7]

վերջինը, բացահայտորեն ամենամեծն է։

Ուստի, ամենամեծ թիվը, որ կարելի է պատկերել չորս երկուսներով, այսպիսին է

։

Չդիմելով լոգարիթմական աղյուսակների, մենք կարող ենք մոտավոր պատկերացում կազմել այդ թվի մեծության մասին, օգտվելով հետևյալ մոտավոր հավասարությունից՝

Իրոք՝

։^[8]

Այսպիսով, այդ թվի թվանշանների քանակը միլիոնից ավելի է։

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԿԱԶՄԵԼՈՒ ԱՐՎԵՍՏԸ

Հանրահաշվի լեզուն հավասարումներն են։ «Թվերին կամ մեծությունների վերացական հարաբերություններին վերաբերող հարցը լուծելու համար։ Հարկավոր է միայն մայրենի լեզվից այն թարգմանել հանրահաշվական լեզվի»— գրել է մեծ Նյուտոնը հանրահաշվի իր դասագրքում, որը կոչվում է «Համընդհանուր թվաբանություն»։ Թե ինչպես է կատարվում այդպիսի թարգմանությունը մայրենի լեզվից հանրահաշվական լեզվի, Նյուտոնը ցույց է ավել օրինակներով։ Ահա դրանցից մեկը.

Մայրենի լեզվով	Հանրահաշվի լեզվով
Վաճառականը ուներ մի որոշ գումար։
Առաջին տարում նա ծախսեց ֆունտ։
Մնացած գումարին նա ավելացրեց նրա երրորդ մասը։
Հաջորդ տարում նա նորից ծախսեց ֆունտ
և մնացած գումարը մեծացրեց նրա երրորդ մասով։	Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):
Երրորդ տաքում նա դարձյալ ծախսեց ֆունտ։
Դրանից հետո, երբ նա մնացորդին ավելացրեց դրա երրորդ մասը,
նրա դրամագլուխը դարձավ սկզբնականից երկու անգամ ավելի։

Վաճառականի սկզբնական դրամագլուխը որոշելու համար մնում է միայն լուծել վերքին հավասարումը։

Հավասարումների կազմելն ըստ խնդրի տվյալների ավելի դժվար է, քան դրանց լուծումը։ Դուք այժմ նկատեցիք, որ հավասարումներ կազմելու արվեստը իրոք հանգում է «մայրենի լեզվից հանրահաշվականի» հմտորեն թարգմանելուն։ Բայց հանրահաշվի լեզուն խիստ սակավաբառ է. դրա համար էլ մայրենի լեզվից հանրահաշվականի թարգմանելը այնքան էլ դյուրին գործ չէ։ Ըստ դժվարությունների թարգմանությունները լինում են տարբեր, դրանում կհամոզվի ընթերցողը առաջին աստիճանի հավասարումներ կազմելու վերաբերյալ բերված հետագա մի շարք օրինակներից։

ԴԻՈՖԱՆՏԻ ԿՅԱՆՔԸ

Խնդիր

Պատմությունը հնադարյան նշանավոր մաթեմատիկոս Դիոֆանտի կենսագրության վերաբերյալ մեզ քիչ բան է թողել։ Այն բոլորը, ինչ հայտնի է նրա մասին, վերցված է նրա գերեզմանաքարի վրայի արձանագրությունից, արձանագրություն, որը կազմված է մաթեմատիկական խնդրի տեսքով։ Բերենք այդ արձանագրությունը՝

Մայրենի լեզվով	Հանրահաշվի լեզվով
Ճանապարհո՛րդ։ Այստեղ հանգչում է Դիոֆանտը, և թվերը կպատմեն քեզ, թե որքան է տևել նրա կյանքը։
Նրա կյանքի վեցերորդ մասը կազմել է սքանչելի մանկությունը։
Էլի կյանքի տասներկուերորդ մասն անցավ և դեմքը ծածկվեց աղվամազով։
Ամուսնությունից հետո կյանքի յոթերորդ մասն անզավակ ապրեց Դիոֆանտը։
Անցավ հինգ տարի և բախտավորվեց նա՝ ունենալով արու զավակ,
որին ճակատագիրը հոր սքանչելի ու պայծառ կյանքի միայն կեսը պարգևեց։
Եվ խոր թախծի մեջ ծերուկը մահ ընդունեց, ապրելով միայն չորս տարի այն պահից ի վեր, երբ զրկվեց որդուց։
Ասա՛, քանի՞ տարեկան հասակում մահացավ Դիոֆանտը։

Լուծում

Լուծելով հավասարումը և գտնելով, որ , իմանում ենք Դիոֆանտի կենսագրության հետևյալ գծերը. նա ամուսնացավ տարեկան հասակում, դարձավ հայր -րդ տարում, որդուն կորցրեց -րդ տարում և մեռավ տարեկան հասակում։

ՁԻՆ ԵՎ ՋՈՐԻՆ

Խնդիր

Ահա դարձյալ հինավուրց ոչ բարդ խնդիր, որը հեշտությամբ մայրենի լեզվից թարգմանվում է հանրահաշվական լեզվի։

«Ձին և ջորին գնում էին կողք-կողքի՝ ծանր բեռով բեռնված։ Ձին դժգոհեց իր անչափ ծանր բեռան համար։ Ինչո՚՞ւ ես դու դժգոհում,— պատասխանեց նրան ջորին, չէ՞ որ եթե ես վերցնեմ քեզանից մեկ պարկ, իմ բեռը երկու անգամ ծանր կդառնա քոնից։ Իսկ եթե դու իմ մեջքից վերցնես մի պարկ, քո բեռը կդառնա իմին հավասար»։

Ասացե՛ք, իմաստուն մաթեմատիկոսներ, քանի՞ պարկ էր կրում ձին և քանի՞սը՝ ջորին։

Լուծում

Եթե ես քեզանից վերցնեմ մի պարկ,
իմ բեռը
երկու անգամ ծանր կդառնա քոնից։
Իսկ եթե դու իմ բեռից վերցնես մի պարկ,
քո բեռը
իմին հավասար կդառնա։

Մենր խնդիրը բերեցինք երկու անհայտով հավասարումների սիստեմի.

կամ

Լուծելով այն, գտնում ենք ։ Ձին կրում էր պարկ, շորին՝ ։

ՉՈՐՍ ԵՂԲԱՅՐՆԵՐ

Խնդիր

Չորս եղբայրներ ունեին ռուբլի։ Եթե առաջինի փողը ավելացնենք ռուբլով, երկրորդի փողը պակասեցնենք ռուբլով, երրորդի փողն ավելացնենք երկու անգամ, իսկ չորրորդի փողը պակասեցնենք երկու անգամ, ապա բոլորն էլ կունենան հավասարապես։ Որքա՞ն փող ուներ յուրաքանչյուրը։

Լուծում

Չորս հղբայրներ ունեին ռուրլի,
Եթե առաջինի փողը ավելացնենք ռուբլով,
երկրորդի փողը պակասեցնենք ռուբլով,
երրորդի փողը ավելացնենք երկու անգամ,
չորրորդի փողը պակասեցնենք երկու անցամ,
ապա բոլորն էլ կունենան հավասարապես։

Վերջին հավասարումը մասնատենք երեք մասերի՝

,

,

,

որտեղից՝

,

,

։

Այս արժեքները տեղադրելով առաջին հավասարման մեջ, կստանանք՝

,

որտեղից ։ Այնուհետև կգտնենք՝ ։ Այսպիսով, եղբայրներն ունեին՝ 8 ռ., 12 ռ., 5ռ., 20 ռ.։

ԹՌՉՈՒՆՆԵՐԸ ԳԵՏԻ ՄՈՏ

Խնդիր

11-րդ դարի արաբական մի մաթեմատիկոսի մոտ գտնում ենք հետևյալ խնդիրը։

Գետի երկու ափերին աճում են երկու արմավենիներ՝ մեկը մյուսի դիմաց։ Մեկի բարձրությունը կանգուն է, մյուսինը՝ ։ Դրանց հիմքերի միջև եղած հեռավորությունը կանգուն է։ Յուրաքանչյուր արմավենու կատարին նստած է մի թռչուն։ Երկու թռչունն էլ հանկարծ նկատեցին մի ձուկ, որը արմավենիների միջև ջրի մեջ լողում էր դեպի մակերևույթը։ Նրանք դեպի ձուկը նետվեցին միանգամից և նրան հասան միաժամանակ (նկ. 4)։

Բարձր արմավենու հիմքից ի՞նչ հեռավորության վրա երևաց ձուկը։

Լուծում

Սխեմատիկ գծագրից ելնելով (նկ. 5), օգտվելով Պյութագորի թեորեմայից, գտնում ենք՝

Բայց AB=AC, քանի որ երկու թռչունն էլ այդ հեռավորությունները թռչել են միևնույն ժամանակում։ Ուստի՝

։ Բացելով փակագծերը և կատարելով պարզեցումները՝ կստանանք առաջին աստիճանի հավասարում.

,

որտեղից

։

Ձուկը երևաց կանգուն հեռու այն արմավենուց, որի բարձրությունը կանգուն է։

ԶԲՈՍԱՆՔ

Խնդիր

— Անցեք ինձ մոտ վաղը ցերեկով։— ասաց ծեր բժիշկն իր ծանոթին։

— Շնորհակալություն։ Ես դուրս կգամ ժամը երեքին։ Գուցե դուք ևս ցանկանաք զբոսնել, այդ դեպքում դուրս եկեք նույն ժամին, կհանդիպենք կիսաճանապարհին։

— Դուք մոռանում եք, որ ես ծեր եմ, ընդամենը ժամnւմ քայլում եմ միայն Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): , իսկ դուք՝ երիտասարդ, ամենադանդաղ քայլելու դեպքում անցնում եք ժամում Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։ Հանցանք չէր լինի ինձ մի փոքր արտոնություն տալ։

— Արդարացի է։ Քանի որ ես ձեզանից ժամում Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ով ավելի եմ անցնում, ապա հավասարության համար այդ կիլոմետրը կտամ ձեզ, այսինքն՝ դուրս կգամ քառորդ ժամ առաջ։ Բավակա՞ն է։

— Ձեր կողմից դա մեծ սիրալիրություն է,— շտապեց համաձայնվել ծերունին։

Երիտասարդն այդպես էլ կատարեց. տնից դուրս եկավ երեքին քառորդ պակաս և անցավ ժամում Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

արագությամբ։ Իսկ բժիշկը դուրս եկավ ուղիղ երեքին՝ ժամում անցնելով Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 

։ Երբ նրանք հանդիպեցին, ծերունին ետ դարձավ և երիտասարդ բարեկամի հետ միասին ուղղվեց դեպի տուն։

Միայն տուն վերադառնալիս, երիտասարդը կշռադատեց, որ մի քառորդ ժամ արտոնության պատճառով, նա ընդհանրապես անցավ ոչ թե երկու, այլ չորս անգամ ավելի, քան բժիշկը։

Ի՞նչ հեռավորության վրա էր բժշկի տունը իր երիտասարդ ծանոթի տնից։

Լուծում

Տների միջև եղած հեռավորությունը նշանակենք -ով։

Երիտասարդն ընդամենը անցավ , իսկ բժիշկը չորս անգամ պակաս, այսինքն՝ ։ Մինչև հանդիպելը բժիշկն անցավ իր անցնելիք ճանապարհի կեսը, այսինքն , իսկ երիտասարդը մնացածը, այսինքն՝ ։ Բժիշկը ճանապարհի իր մասն անցավ ժամում, իսկ երիտասարդը ժամում, ընդ որում մենք գիտենք, որ նա ճանապարհին եղավ ¼ ժամով ավելի, քան բժիշկը։

Ունենք հետևյալ հավասարումը՝

,

որtեղից՝ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։

Երիտասարդի տնից մինչև բժշկի տունը Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

է։

ՀՆՁՎՈՐՆԵՐԻ ԱՐՏԵԼԸ

Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Վ. Ցինգերը Լ. Ն. Տոլստոյի մասին իր հիշողություններում պատմում է հետևյալ խնդրի մասին, որը մեծ գրողին շատ էր դուր եկել։

«Հնձվորների արտելը պետք է հնձեր երկու մարդագետին, մեկը մյուսից երկու անգամ մեծ։ Կես օր արտելը հունձ արեց մեծ մարգագետնում։ Դրանից հետո արտելը բաժանվեց երկու հավասար մասի՝ առաջին կեսը մնաց մեծ մարգագետնում և մինչև երեկո այն հնձեց ու վերջացրեց, իսկ երկրորդ կեսը հնձեց փոքր մարգագետինը, որի որոշ մասը երեկոյան մնաց չհնձված և որը հաջորդ օրվա ընթացքում հնձեց մի հնձվոր։ Քանի՞ հնձվոր կար արտելում։

Լուծում

Այս դեպքում, բացի գլխավոր անհայտից՝ հնձվորների թվից, որը մենք կնշանակվեք -ով, հարկ է լինում մտցնել օժանդակ անհայտ, այսինքն՝ այն հողամասի չափը, որը մի հնձվորը հնձում է մեկ օրում. այն նշանակենք -ով։ Թեպետ խնդիրը չի պահանջում նրա որոշելը, բայց այն հեշտացնում է գլխավոր անհայտի գտնելը։

Մեծ մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք -ի և -ի միջոցով։ Այդ մարգագետինը հնձեցին x հնձվորները կես օրում. նրանք հնձեցին՝

Օրվա երկրորդ կեսին այն հնձեց միայն արտելի կեսը այսինքն՝ հնձվոր։ Նրանք Հնձեցին

Քանի որ երեկոյան հնձվեց ամբողջ մարգագետինը, ապա նրա մակերեսը հավասար է՝

։ Այժմ փոքր մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք -ի և -ի միջոցով։ Այն կես օրում հնձեցին հնձվորներ և հնձեցին մակերես։ Ավելացնենք չհնձված հողամասը, որ հավասար է -ի (մի հնձվորի մեկ աշխատանքային օրում հնձած մակերեսը), և կստանանք փոքր մարգագետնի մակերեսը՝

։

Մնում է հանրահաշվական լեզվի թարգմանել հետևյալ դարձվածքը. «Առաջին մարգագետինը երկու անգամ մեծ է երկրորդից» և հավասարումը կազմված է՝

կամ ։

Հավասարման ձախ մասի կոտորակը կրճատենք y-ով։ Դրա շնորհիվ օժանդակ անհայտը արտաքսվում է, և հավասարումն ընդունում է հետևյալ տեսքը՝

կամ ,

որտեղից ^[9]։

Արտելում կար հնձվոր։

«Հետաքրքրաշարժ հանրահաշվի» առաջին հրատարակության լույս տեսնելուց հետո պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը ինձ ուղարկեց այս խնդրի վերաբերյալ շատ հետաքրքիր և մանրամասն հաղորդում։ Խնդրի գլխավոր էֆեկտը, ըստ նրա կարծիքի, այն է, որ «այն բոլորովին էլ հանրահաշվական չէ, այլ թվաբանական է և այն էլ չափազանց հասարակ, միայն դժվարացնողը նրա ոչ շաբլոն ձևն է»։

«Այդ խնդրի պատմությունն այսպես է,— շարունակում է պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը։— Մոսկվայի Համալսարանի մաթեմատիկական ֆակուլտետում այն ժամանակ, երբ այնտեղ սովորում էին իմ հայրը և իմ քեռին՝ Ի. Ի. Ռաևսկին (Լ. Տոլստոյի մոտիկ բարեկամը), այլ առարկաների հետ միասին դասավանդվում էր մանկավարժության նման ինչ-որ բան։ Այդ նպատակով ուսանողները պետք է հաճախեին համալսարանի համար հատկացված քաղաքային ժողովրդական դպրոցը և այնտեղ աշխատակցելով փորձված հմուտ ուսուցիչների հետ՝ վարժվեին դասավանդման մեջ։ Ցինգերի և Ռաևսկու ընկերների մեջ կար ոմն ուսանող՝ Պետրով, ըստ պատմածների — արտակարգ շնորհալի և յուրահատուկ մարդ։ Այդ Պետրովը (մահացել է շատ երիտասարդ հասակում, թվում է, թոքախտից) հաստատում էր, որ թվաբանության դասերին աշակերտներին փչացնում են՝ նրանց սովորեցնելով շաբլոն խնդիրներ և լուծման շաբլոն եղանակներ։ Իր միտքը հաստատելու համար Պետրովը հորինեց խնդիրներ, որոնք շաբլոն չլինելու հետևանքով շատ էին դժվարացնում «փորձված հմուտ ուսուցիչներին», բայց հեշտությամբ լուծվում էին ավելի ընդունակ աշակերտների կողմից» որոնք դեռ չէին փչացել այդ պարապմունքներում։ Այդպիսի խնդիրների (Պետրովը հնարել է նման մի քանի խնդիրներ) թվին է պատկանում նաև հնձվորների արտելի մասին խնդիրը։ Փորձված ուսուցիչները, անշուշտ, հեշտությամբ կարող էին լուծել այն՝ հավասարում կազմելու միջոցով, բայց թվաբանական պարզ լուծումը նրանց մտքով չէր անցնում։ Այնինչ խնդիրը այնքան պարզ է, որ նրա լուծման համար հանրահաշվական եղանակ մեջ բերել բոլորովին չարժե։

«Եթե մեծ մարգագետինը հնձել է մինչև օրվա կեսը ամբողջ արտելը և օրվա մյուս կեսը՝ արտելի կեսը, ապա պարզ է, որ կես օրում արտելի կեսը կարող է հնձել մարգագետնի մասը։

Հետևաբար, փոքր մարգագետնում մնում է չհնձված

հողամաս։ Եթե մեկ հնձվորը օրական հնձում է մարգագետնի -ը,

իսկ հնձվածը եղել է , ապա հնձվորները -ն էին։

Տոլստոյը, որ իր կյանքում սիրում էր ֆոկուսային և ոչ թե խիստ խորամանկ խնդիրներ, այդ խնդիրը սովորել էր իմ հորից դեռ երիտասարդ տարիներին։ Երբ այդ խնդրի մասին իմ և ծերունի Տոլստոյի միջև զրույց տեղի ունեցավ, նրան առանձնապես զմայլեց այն, որ խնդիրը դառնում է անհամեմատ պարզ և հստակ, եթե լուծելիս օգտվել միանգամայն պարզունակ գծագրից (նկ. 7)։

Ստորև մեզ կհանդիպեն ևս մի քանի խնդիրներ, որոնք որոշ ըմբռնողության դեպքում թվաբանորեն ավելի պարզ են լուծվում, քան հանրահաշվորեն։

ԿՈՎԵՐԸ ՄԱՐԳԱԳԵՏՆՈՒՄ

Խնդիր

«Գիտություններն ուսումնասիրելիս խնդիրներն ավելի օգտավետ են, քան կանոնները»— գրել է Նյուտոնը իր «Համընդհանուր թվաբանություն» աշխատության մեջ, և տեսական ցուցումներին նա կցում էր մի շարք օրինակներ։ Այդ վարժությունների թվում գտնում ենք մարգագետնում արածող կովերի մասին եղած խնդիրը, որը և հանդիսանում է հետևյալ խնդրի նման հատուկ տիպի յուրատեսակ խնդիրների նախամայրը։

«Ամբողջ մարգագետնում խոտն աճում է նույն խտությամբ և արագությամբ։ Հայտնի է, որ կովը այն կարածեին օրում, իսկ կովը՝ օրում։ Քանի՞ կով կարող էին արածել մարգագետնի ամբողջ խոտը օրում»։

Այս խնդիրը հումորիստական պատմվածքի համար սյուժետ դարձավ՝ հիշեցնելով չեխովյան „Penemumop”-ը։ Մի դպրոցականի հանձնարարել էին լուծելու այդ խնդիրը։ Նրա երկու չափահաս ազգականները ապարդյուն կերպով աշխատում էին նրա վրա և տարակուսում.

— Ստացվում է ինչ-որ տարօրինակ բան։— ասում է լուծողներից մեկը,— եթե 24 օրում 70 կովը արածում են մարգագետնի ամբողջ խոտը, ապա քանի՞ կով այն կարող է արածել 96 օրում։ Իհարկե, -ի ¼-ը, այսինքն՝ ½ կով... Առաջին անհեթեթություն։ Եվ ահա երկրորդը՝ կով արածում են խոտը օրում, քանի՞ կով կարող է այն արածել օրում։ Ստացվում է ավելի վատ՝ ¾ կով։ Բացի այդ, եթե կովը խոտն արածում է օրում, ապա կովը այն կարածի օրում և ոչ թե օրում, ինչպես հաստատում է խնդիրը։

— Իսկ դուք հաշվի առնո՞ւմ եք, որ խոտն ամբողջ ժամանակ աճում է,— հարցնում է մյուսը։

Դիտողությունը խելացի է՝ խոտն անընդհատ աճում է, և եթե այդ հաշվի չառնվի, ապա ոչ միայն չի կարելի լուծել խնդիրը, այլև հենց նրա պայմանը կթվա հակասական։ Իսկ ինչպե՞ս է լուծվում խնդիրը։

Լուծում

Այստեղ ևս մտցնենք օժանդակ անհայտ, այսինքն՝ մարգագետնի խոտի օրվա աճը նրա պահեստի այն հողակտորներում, որ տվյալ օրը կովերը չեն արածում։ Մեկ օրում աճում է , օրում՝ . եթե ընդհանուր պաշարն ընդունենք , ապա օրվա ընթացքում կովերը կարածեն

։

Ամբողջ նախիրը ( կովից) մեկ օրում կարածի

,

իսկ մեկ կովը մեկ օրում՝

Նույն ձևով, քանի որ կովը միևնույն մարգագետնի խոտը կարածեր օրում, եզրակացնում ենք, որ մեկ կովը մեկ օրում արածում է

Բայց մի կովի մեկ օրում կերած խոտի քանակը երկու նախիրների համար հավասար է։ Ուստի՝

,

որտեղից՝

։

Գտնելով -ը (խոտի աճի մեծությունը), արդեն հեշտ է որոշել, թե մեկ կովը խոտի նախնական պաշարի ո՛ր մասը կուտի մեկ օրում.

։

Վերջապես, խնդրի վերջնական լուծման համար կազմենք հավասարում. եթե կովերի որոնելի թիվը է, ապա

,

որտեղից ։

կովը ամբողջ խոտը կարածեր օրում։

ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԽՆԴԻՐԸ

Այժմ դիտարկենք եզների մասին նյուտոնյան խնդիրը, որի ձևով կազմված է ստորև դիտարկվող խնդիրը։

Խնդիրը, ի միջի այլոց, հորինված չէ հենց Նյուտոնի կողմից. այն ժողովրդի մաթեմատիկական ստեղծագործության արդյունքն է։

«Երեք մարգագետիններ, որոնք ծածկված են միատեսակ խտություն և աճման արագություն ունեցող խոտով, ունեն Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): , Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

և Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 
մակերեսներ։ Առաջինում կերակրվում է  եզ  շաբաթվա ընթացքում. երկրորդում՝  եզ  շաբաթվա ընթացքում։ Քանի՞ եզ կարող է կերակրել երրորդ մարգագետինը  շաբաթվա ընթացքում»։

Լուծում

Մտցնենք օժանդակ անհայտ՝ , որը նշանակում է, թե խոտի նախնական պաշարի ո՞ր մասն է աճում Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ի վրա մեկ շաբաթվա ընթացքում։ Առաջին մարգագետնի վրա մեկ շաբաթվա ընթացքում աճում է նրա վրա եղած խոտի նախնական ամբողջ պաշարի , իսկ շաբաթվա ընթացքում` մասը։ Սա համարժեք է այն բանին, թե իբր մարգագետնի նախնական մակերեսը մեծացվել և հավասարվել է

հեկտարի։

Այլ խոսքով, եզները կերել են այնքան խոտ, որքան կծածկեր հեկտար մակերեսով մարգագետինը։ Մեկ շաբաթում եզը կուտեր այդ քանակի ¼-ը, իսկ մեկ եզը նույն քանակի, այսինքն՝

հեկտար մակերես ունեցող մարգագետնի խոտի պաշարի -ը։

Նույն ձևով, երկրորդ մարգագետնի տվյալներից գտնում ենք նրա այն մակերեսը, որ մեկ շաբաթում կերակրում է մեկ եզան։

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ի	մեկ	շաբաթվա աճը =	,
Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ի		շաբաթվա աճը =	,
Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ի		շաբաթվա աճը =	։

շաբաթ եզ կերակրելու համար խոտի պաշար ունեցող հողակտորի մակերեսը հավասար է

։

Մեկ շաբաթ 1 եզանը կերակրելու համար անհրաժեշտ է

հեկտար։

Կերակրման երկու նորմաներն էլ պետք է լինեն հավասար՝

Լուծելով այդ հավասարումը կգտնենք ։ Այժմ որոշենք մարգագետնի այն մակերեսը, որի խոտի պաշարը բավականացնում է մեկ շաբաթվա ընթացքում մեկ եզ կերակրելու համար.

հեկտար։

Վերջապես մոտենում ենք խնդրի հարցին։ Նշանակելով եզների որոնելի թիվը -ով, կունենանք.

,

որտեղից ։ Երրորդ մարգագետինը շաբաթվա ընթացքում կարող է կերակրել եզ։

ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆԸ

Խնդիր

Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Էյնշտեյնի կենսագիր և բարեկամ Ա. Մոշկովսկին, մեկ անգամ ցանկանալով զբաղեցնել իր մտերիմին նրա հիվանդության ժամանակ, նրան առաջարկեց հետևյալ խնդիրը (նկ. 9)։

«Վերցնենք սլաքների դիրքը ժամը -ին,— ասաց Մոշկովսկին։ Եթե այդ դիրքում մեծ և փոքր սլաքները փոխանակեին տեղերը, այնուամենայնիվ, նրանք ճիշտ ցույց կտային ժամանակը։ Բայց մյուս պահերին, օրինակ՝ ժամը -ին, սլաքների փոխադարձ տեղափոխումը կհանգեցներ անհեթեթության, մի դրության, որ կանոնավոր աշխատող ժամացույցների վրա տեղի չի ունենա, րոպե ցույց տվող սլաքը չի կարող կանգնել -ի վրա, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը ցույց է տալիս -ը։ Հարց է առաջանում՝ ե՞րբ և քանի՞ ժամը մեկ ժամացույցի սլաքները գրավում են այնպիսի դիրք, որ մեկը մյուսով փոխարինելիս տալիս են այնպիսի նոր դիրք, որը նույնպես հնարավոր է ճիշտ աշխատող ժամացույցների համար։

— Այո,— պատասխանեց Էյնշտեյնը, դա միանգամայն հարմար խնդիր է այն մարդու համար, որը որևէ հիվանդությունից հարկադրված՝ մնում է անկողնում. բավականաչափ հետաքրքիր է և շատ էլ հեշտ չէ։ Միայն վախենում եմ, որ զվարճությունը երկար չի տևի, ես արդեն նշմարեցի լուծման ճանապարհը։

Եվ մի փոքր բարձրանալով անկողնում, նա մի քանի գծանշումներով թղթի վրա գծեց խնդրի պայմանը պատկերող սխեման։ Լուծելու համար նրան հարկավոր եղավ ավելի քիչ ժամանակ, քան թե ինձ՝ խնդիրը ձևակերպելու համար...»

Ինչպե՞ս է լուծվում այս խնդիրը։

Լուծում

Շրջանագծի -երորդական մասերով կչափենք սլաքների հեռավորությունները թվացույցի շրջանով, այն կետից, որտեղ գրված է թվանշանը։

Դիցուք, սլաքների պահանջվող դիրքերից մեկը գիտվում է այն ժամանակ, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը թվանշանից հեռացավ բաժանումով, իսկ րոպեներինը՝ բաժանումով։ Քանի որ ժամ ցույց տվող սլաքը ժամվա ընթացքում անցնում է բաժանում, այսինքն՝ ժամում բաժանում, ապա , բաժանումը նա կանցնի ժամում։ Այլ կերպ ասած, այն պահից հետո,երբ ժամացույցը ցույց էր տալիս -ը, անցավ ժամ։ Րոպե ցույց տվող սլաքը բաժանումն անցավ րոպեում, այսինքն՝ ժամում։ Այլ կերպ ասած, րոպե ցույց տվող սլաքը թվանշանն անցավ ժամ այն պահից առաջ, կամ ժամ այն պահից հետո, երբ երկու սլաքներն էլ գտնվում էին տասներկուսի վրա։ Այս թիվն ամբողջական է (զրոյից մինչև ), քանի որ նա ցույց է տալիս, թե քանի լրիվ ժամ անցավ տասներկուսից հետո։

Երբ սլաքները տեղերը փոխում են, մենք համանման ձևով գտնում ենք, որ ժամը -ից հետո անցած այն ժամանակը, որ ցույց են տալիս սլաքները, կազմում է

լրիվ ժամ։ Այդ թիվը նույնպես ամբողջական է (զրոյից մինչև )։

Ունենք հավասարումների հետևյալ սիստեմը՝

որտեղ -ը և -ը ամբողջ թվեր են, որոնք կարող են փոխվել -ից մինչև ։ Այդ սիստեմից գտնում ենք՝

։

-ին և -ին տալով -ից մինչև ամբողջ արժեքները, մենք որոշում ենք սլաքների բոլոր պահանջվող դիրքերը։ Քանի որ -ի արժեքներից յուրաքանչյուրը կարելի է համադրել -ի արժեքներից յուրաքանչյուրի հետ, ապա թվում է, թե բոլոր լուծումների թիվը հավասար է ։

Բայց իրականում ալն հավասար է -ի, որովհետև երբ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

և երբ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 
ստացվում է սլաքների միևնույն դիրքը։

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ի դեպքում ունենք՝

,

այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս -ը այնպես, ինչպես Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

դեպքում։

Բոլոր հնարավոր դիրքերը մենք չենք քննարկի, վերցնենք միայն երկու օրինակ։

Առաջին օրինակ.

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): .

,

այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս ժամ րոպե. այդ պահին սլաքները համատեղվում են. դրանց տեղերը, իհարկե, կարելի է փոխել (ինչպես և սլաքների մյուս բոլոր համատեղումների դեպքերում)։

Երկրորդ օրինակ.

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։

։

Համապատասխանող պահերն են` ժամ րոպե և ժամ րոպե։

Լուծումների թիվը մենք գիտենք՝ ։ Որպեսզի գտնենք թվացույցի ալն բոլոր կետերը, որոնք տալիս են սլաքների պահանջվող դիրքերը, պետք է թվացույցի շրջանագիծը բաժանենք հավասար մասի. կստանանք կետ, որոնք հանդիսանում են որոնելիներ։ Սլաքների պահանջվող դիրքերը այդ կետերի միջակայքներում հնարավոր չեն։

ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՀԱՄԸՆԿՆՈՒՄԸ

Խնդիր

Կանոնավոր աշխատող ժամացույցի վրա քանի՞ դիրք կա, երբ ժամ և րոպե ցույց տվող սլաքները համատեղվում են։

Լուծում

Մենք կարող ենք օգտվել այն հավասարումներից, nրոնք ստացվել են նախորդ խնդիրը լուծելիս. չէ՞ որ, եթե ժամ և րոպե ցույց տվող սլաքները համատեղվել են, ապա կարելի է դրանց տեղերը փոխել. դրանից ոչինչ չի փոխվի։ Ընդ որում երկու սլաքներն էլ թվանշանից անցել են հավասար թվով բաժանումներ, այսինքն՝ ։ Այսպիսով, նախորդ խնդրի վերաբերյալ արած դատողություններից մենք արտածում ենք հետևյալ հավասարումը.

,

որտեղ -ը ամբողջ թիվ է՝ -ից մինչև ։ Այդ հավասարումից գտնում ենք՝

։

-ի համար տասներկու հնարավոր արժեքներից (-ից մինչև ) մենք կստանանք սլաքների ոչ թե , այլ միայն տարբեր դիրքեր, քանի որ դեպքում մենք գտնում ենք , այսինքն՝ երկու սլաքներն էլ անցել են բաժանում և գտնվում են թվանշանի վրա, այդ նույնը ստացվում է, երբ ։

ՅՈԹ ԽԱՂԱՑՈՂԵՐ

Խնդիր

Յոթ խաղացողներ պայմանավորվեցին, որ յուրաքանչյուր տարվող մնացած վեց խաղակիցներից յուրաքանչյուրին վճարի այնքան փող, որքան նա ունի, այլ խոսքով, կրկնապատկի նրա փողը։

Խաղացին պարտիա։ Բոլորն էլ տարվեցին՝ յուրաքանչյուրը մեկական անգամ։ Խաղն ավարտվելուց հետո հաշվեցին, թե յուրաքանչյուրը որքան փող ունի։ Պարզվեց, որ յուրաքանչյուրի մոտ կա ռուբ. կ.։

Յուրաքանչյուրը որքա՞ն փող ուներ խաղի սկզբին։

Լուծում

Չնայած թվացող բարդությանը, խնդիրը լուծվում է բավականին հեշտ, եթե ըմբռնենք, որ խաղի ժամանակ բոլոր խաղացողների մոտ փողի ընդհանուր գումարը եղել է անփոփոխ՝ միայն մեկի գրպանից այն անցել է մյուսը գրպանը։ Այստեղից հետևում է, որ խաղի սկզբին փողի ընդհանուր քանակը եղել է նույնը, ինչ որ վերջում, այսինքն՝ ռուբլի։

Հետևենք, թև առաջին տարվողի փողի քանակն ինչպես էր փոխվում խաղի ընթացքում։

Նրա մոտ խաղի սկզբին կար ռուբլի։

Առաջին պարտիայից հետո, տարվելով, նա վեց խաղակիցներին վճարեց այնքան, որքան նրանք բոլորն ունեին, այսինքն՝ ։ Առաջին պարտիայից հետո նրա մոտ մնաց՝

։

Երկրորդ պարտիայից հետո նրա փողը կրկնապատկվեց և, այդպիսով, հավասար եղավ՝

։

Երրորդ պարտիայից հետո նրա փողը նորից կրկնապատկվեց և կազմեց՝

։

Չորրորդ պարտիայից հետո նրա մոտ եղավ՝

։

Յոթերորդ պարտիայից հետո, ալսինքն՝ խաղի ավարտից հետո, նա ուներ ռ., հետևաբար՝

։

Լուծենք այս հավասարումը՝

,

,

։

Այսպիսով, խաղի սկզբին առաջին խաղացողն ուներ ռ. կ.։ Նույն ձևով որոշենք երկրորդ տարվողի փողը։ Խաղի սկզբին նրա մոտ կար ։

Առաջին պարտիայից հետո նրա մոտ դարձավ ։

Երկրորդ պարտիան նա տարվեց և վճարեց

,

նրա մոտ մնաց

։

Երրորդ պարտիայից հետո նրա մոտ կար

։

Չորրորդից հետո`

։

Յոթերորդից հետո՝

։

Կունենանք հետևյալ հավասարումը

,

որտեղից՝

ռուբ. կ.։

Նման ձևով էլ կգտնենք երրորդ խաղացողի փողը՝ ռ. կ.։

Առաջարկում ենք ընթերցողին ինքնուրույնաբար որոշելու մնացած խաղացողների փողերը։ Լուծման ստուգումը կլինի այն, որ բոլոր խաղացողների փողերի ընդհանուր գումարը խաղից առաջ և հետո պետք է հավասար լինի։

ԿԵՂԾ ԱՆՀԵԹԵԹՈՒԹՅՈՒՆ

Խնդիր

Ահա մի խնդիր, որ կարող է միանգամայն անհեթեթ թվալ։

Ինչի՞ է հավասար -ը, եթե -ի։

Այս տարօրինակ հարցը իմաստից զուրկ չէ և խնդիրը հնարավոր է լուծել հավասարման միջոցով։

Փորձեցեք վերծանել այն։

Լուծում

Հավանաբար դուք գուշակեցիք, որ խնդրի մեջ մտնող թվերը գրված են ոչ տասնորդական սիստեմով, այլապես «ինչի է հավասար -ը» հարցը կլիներ անհեթեթ։ Դիցուք թվարկության անհայտ սիստեմի հիմքը է։ Այն ժամանակ «» թիվը նշանակում է երկրորդ կարգի միավոր և առաջինի՝ միավոր, այսինքն՝

„” ։

„” թիվը նշանակում է ։

Կունենանք հավասարումը, այսինքն՝ տասնորդական սիստեմում.

,

որտեղից ։ Թվերը գրված են տասներկուական սիստեմով, և „” ։ Նշանակում է՝ եթե „”, ապա „” ։

Նման ձևով էլ լուծվում է այդ տիպի այլ խնդիր։

Ինչի՞ է հավասար -ը, երբ ։

Պատասխան՝ (թվարկության իննական սիստեմ)։

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ ՄՏԱԾՈՒՄ Է ՄԵՐ ՓՈԽԱՐԵՆ

Եթե դուք կասկածում եք այն բանում, որ հավասարումը որոշ դեպքում մեզանից կանխատես է լինում, լուծեցեք հետևյալ խնդիրը.

Հայրը տարեկան է, տղան տարեկան։ Քանի՞ տարի հետո հայրը անգամ մեծ կլինի տղայից։

Որոնելի ժամանակը նշանակենք -ով։ տարի հետո հայրը կլինի տարեկան, տղան՝ ։ Եվ քանի որ հայրը այդ ժամանակ պետք է անգամ մեծ լինի տղայից, ապա կունենանք հետևյալ հավասարումը

։

Լուծելով այն, կստանանք ։

«Մինուս երկու տարի հետո» նշանակում է՝ «երկու տարի առաջ»։ Երբ մենք կազմեցինք հավասարումը, չմտածեցինք այն մասին, որ հոր տարիքը ապագայում երբեք անգամ չի կարող մեծ լինել տղայի տարիքից, այդպիսի հարաբերություն կարող էր տեղի ունենալ միմիայն անցյալում։ Հավասարումն ավելի խորհող հանդիսացավ, քան թե մենք և շտկեց սխալը։

ԿՈՒՐՅՈԶՆԵՐ ԵՎ ԱՆԱԿՆԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Հավասարումներ լուծելիս մենք երբեմն հանդիպում ենք այնպիսի պատասխանների, որոնք անփորձ մաթեմատիկոսին կարող են փակուղու, մեջ դնել։ Բերենք մի քանի օրինակներ։

I. Գտնել երկանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները։ Տասնավորների թվանշանը միավորների թվանշանից փոքր լինի -ով։ Եթե նույն թվանշաններով, բայց հակառակ կարգով գրված թվից հանենք որոնելի թիվը, ապա կստանանք ։

Նշանակելով տասնավորների թվանշանը -ով, իսկ միավորների թվանշանը՝ -ով, մենք այդ խնդրի համար հեշտությամբ կկազմենք հետևյալ հավասարումների սիստեմը՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Առաջին հավասարումից -ի արժեքը տեղադրելով երկրորդի մեջ՝ կգտնենք

,

իսկ ձևափոխությունից հետո՝

։

Մեզ մոտ չորոշվեցին անհայտների արժեքները, սակայն մենք իմացանք, որ ... Ի՞նչ է սա նշանակում։

Այս նշանակում է՝ որ տրված հավասարումներին բավարարող երկանիշ թվեր գոյություն չունեն և որ այդ հավասարումները հակասում են մեկը մյուսին։ Իսկապես առաջին հավասարման երկու մասերը բազմապատկելով -ով, մենք նրանից կգտնենք՝

։

իսկ երկրորդից (փակագծերը բացելուց և նման անդամների միացումից հետո)՝

։

Միևնույն մեծությունը՝ , համաձայն առաջին հավասարման, հավասար է -ի, իսկ համաձայն երկրորդի՝ -ի։ Դա անպայման անհնարին է, քանի որ ։

Նման թյուրիմացություն է սպասում նաև հետևյալ հավասարումների սիստեմը լուծողին՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Առաջին հավասարումը բաժանելով երկրորդի վրա, կստանանք

,

իսկ նոր ստացված հավասարումը համեմատելով երկրորդի հետ, նկատում ենք, որ

այսինքն՝ ։ Այդ սիստեմին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։ (Այն հավասարումները, որոնց կազմած սիստեմը լուծումներ չունի, կոչվում են անհամատեղելի)։

II. Այլ տեսքի անսպասելիության կհանդիպենք մենք, եթե մասամբ փոխենք նախորդ խնդրի պայմանը։ Այն է՝ հաշվենք, որ տասնավորների թվանշանը ոչ թե -ով, այլ -ով է փոքր միավորների թվանշանից, իսկ խնդրի մնացած պայմանը նույնն է։ Ի՞նչ թիվ է դա։

Կազմում ենք հավասարում։ Եթե տասնավորների թվանշանը նշանակենք -ով, ապա միավորների թվանշանը կլինի ։ Խնդիրը թարգմանելով հանրահաշվի լեզվով, կստանանք՝

։

Կատարելով պարզումներ, կհանգենք հետևյալ հավասարությանը՝

։

Այս հավասարությունը անվիճելիորեն ճիշտ է, բայց նա մեզ ոչինչ չի ասի -ի արժեքի մասին։ Սա նշանակո՞ւմ է արդյոք, որ խնդրի պահանջին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։

Ընդհակառակն, այդ նշանակում է, որ մեր կազմած հավասարումը նույնություն է, այսքիքն՝ այն ճիշտ է անհայտի ցանկացած արժեքի դեպքում։ Իսկապես, հեշտ է համոզվել նրանում, որ խնդրում նշված հատկությունն ունի յուրաքանչյուր երկանիշ թիվ, որի միավորների թվանշանը -ով մեծ է տասնավորների թվանշանից.

,		,
,		,
,		։

III. Գտնել եռանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները՝

1) տասնավորների թվանշանը է,

2) հարյուրավորների թվանշանը -ով փոքր է միավորների թվանշանից։

3) եթե այդ թվի թվանշանները դասավորենք հակառակ կարգով, ապա նոր թիվը -ով մեծ կլինի որոնելիից։

Կազմենք հավասարում, միավորների թվանշանը նշանակելով -ով.

։

Այս հավասարումը պարզեցնելուց հետո բերվում է հետևյալ հավասարությանը՝

։

Ընթերցողներն արդեն գիտեն, թե ինչպես պետք է մեկնաբանել նման արդյունքը։ Այն նշանակում է, որ յուրաքանչյուր եռանիշ թիվ, որի առաջին թվանշանը -ով փոքր է երրորդից^[10], մեծանում է -ով, եթե թվանշանները գրենք հակառակ կարգով։

Մինչև այժմ մենք դիտարկել ենք խնդիրներ, որոնք քիչ թե շատ արհեստական, գրքային բնույթ ունեին։ Դրանք ուղղված էին հավասարումներ կազմելու և լուծելու համար հմտություն ձեռք բերելու նպատակին։ Այժմ տեսականորեն զինված զբաղվենք գործնական խնդիրների մի քանի օրինակներով՝ արտադրության, առօրյա կենցաղի, ռազմական գործի և սպորտի բնագավառներից։

ՎԱՐՍԱՎԻՐԱՆՈՑՈՒՄ

Խնդիր

Կարո՞ղ է արդյոք հանրահաշիվը պետք գալ վարսավիրանոցում։ Պարզվում է, որ այդպիսի դեպքեր պատահում են։ Ես դրանում համոզվեցի, երբ մի անգամ վարսավիրանոցում ինձ մոտեցավ վարպետը անսպասելի խնդրանքով՝

— Չէիք բարեհաճի մեզ օգնել լուծելու մի խնդիր, որից մենք ոչ մի կերպ գլուխ չենք հանում։

— Արդեն դրա պատճառով ինչքա՜ն լուծույթ է փչացել,— ավելացրեց մյուսը։

— Ինչո՞ւմն է խնդիրը,— հարց ու փորձ արի ես։

— Մենք ունենք ջրածնի պերօքսիդի երկու լուծույթ՝ տոկոսանոց և տոկոսանոց։ Հարկավոր է դրանք խառնել այնպես, որ ստացվի տոկոսանոց լուծույթ։ Չենք կարող գտնել ճիշտ հարաբերություն...

Ինձ տվեցին թուղթ, և պահանջված հարաբերությունը գտնվեց։

Պարզվեց, որ այն շատ պարզ է։ Իսկ ի՞նչու։

Լուծում

Խնդիրր կարելի է լուծել նաև թվաբանորեն, բայց այստեղ հանրահաշիվը նպատակին է հասցնում ավելի պարզ և ավելի արագ։ Դիցուք, տոկոսանոց խառնուրդ կազմելու համար պահանջվում է վերցնել գրամ տոկոսանոց և գրամ տոկոսանոց լուծույթներ։ Այդ ժամանակ առաջին բաժնում պարունակվում է գրամ մաքուր ջրածնի պերօքսիդ, երկրորդում՝ , իսկ ընդամենը՝

։

Արդյունքում ստացվում է գրամ լուծույթ, որի մեջ մաքուր պերօքսիդը պետք է լինի ։

Ունենք հետևյալ հավասարումը՝

։

Այս հավասարումից գտնում ենք , այսինքն՝ տոկոսանոց լուծույթից պետք է վերցնել երկու անգամ ավելի, քան տոկոսանոցից։

ՏՐԱՄՎԱՅԸ ԵՎ ՀԵՏԻՈՏՆԸ

Գնալով տրամվայի ճանապարհի երկարությամբ, ես նկատեցի, որ յուրաքանչյուր րոպեից հետո ինձ հասնում է տրամվայը, իսկ յուրաքանչյուր րոպեում ես ինքս եմ դիմավորում տրամվային։ Թե՛ ես, թե՛ տրամվայները շարժվում ենք հավասարաչափ։ Յուրաքանչյուր քանի՞ րոպեն մեկ տրամվայները մեկը մյուսի ետևից հեռանում են իրենց վերջին կետից։

Լուծում

Եթե վագոններն իրենց վերջին կետից հեռանում են յուրաքանչյուր րոպեն մեկ, ապա այդ նշանակում է, որ այն տեղով, որտեղ ես հանդիպել եմ տրամվայներից մեկին, յուրաքանչյուր րոպեն մեկ անցում է հաջորդ տրամվայը։ Եթե նա հասնում է իմ հետևից, ապա մնացած րոպեում նա պետք է անցնի այն ճանապարհը, որ ես կարողանում եմ անցնել րոպեում։ Նշանակում է, այն ճանապարհը, որը ես անցնում եմ րոպեում, տրամվայը կանցնի րոպեում։

Մինչդեռ, եթե տրամվայը գալիս է ինձ ընդառաջ, ապա նա ինձ կհանդիպի նախորդից րոպե հետո, իսկ մնացած րոպեում նա կանցնի այն ճանապարհը, որ ես կարողացա անցնել այդ րոպեում։ Հետևաբար, այն Ճանապարհը, որ ես անցնում եմ րոպեում, տրամվայը կանցներ րոպեում։

Կստանանք հետնյալ հավասարումը՝

։

Այստեղից ։ Վագոնները հեռանում են յուրաքանչյուր րոպեն մեկ։

Կարելի է նաև առաջարկել խնդրի հետևյալ (ըստ էության թվաբանորեն) լուծումը։ Մեկը մյուսին հաջորդող երկու տրամվայների միջև եղած հեռավորությունը նշանակենք -ով։ Այդ ժամանակ իմ և ինձ ընդառաջ շարժվող տրամվայի միջև եղած հեռավորությունը փոքրանում է րոպեում -ով (քանի որ հենց նոր անցնող տրամվայի և հաջորդի միջև եղած հեռավորությունը, որը հավասար է -ի, մենք միասին անցնում ենք րոպեում)։ Իսկ եթե տրամվայը հասնում է ինձ, ապա մեր միջև եղած հեռավորությունը ամեն րոպե փոքրանում է -ով։ Այժմ ենթադրենք, որ ես մի րոպե տևողությամբ շարժվեցի առաջ, իսկ այնուհետև շրջվեցի և գնացի էլի մի րոպե (այսինքն՝ վերադարձա նախկին տեղը)։ Այդ ժամանակ իմ և տրամվայի միջև որը սկզբում շարժվում էր ինձ ընդառաջ) եղած հեռավորությունը առաջին րոպեից հետո կփոքրանա -ով, իսկ երկրորդ րոպեում (երբ այդ տրամվայը արդեն հասել էր ինձ) կփոքրանա -ով։ Ընդամենը րոպեում մեր միջև եղած հեռավորությունը կփոքրանա -ով։ Նույնը տեղի կունենար, եթե ես ամբողջ ժամանակ կանգնած մնայի տեղում, քանի որ վերջին հաշվով ես վերադարձա ետ։ Այսպիսով, եթե ես շարժվեի, ապա մեկ րոպեում (և ոչ թե երկու) տրամվայը կմոտենար ինձ -ով, իսկ ամբողջ հեռավորությունը նա կանցներ րոպեում։ Այդ նշանակում է, որ անշարժ կանգնած դիտողի մոտով տրամվայներն անցնում են րոպե ընդմիջումներով։

ՇՈԳԵՆԱՎԸ ԵՎ ԼԱՍՏԱՆԱՎԵՐԸ

Խնդիր

քաղաքից դեպի քաղաքը շոգենավը գետի հոսանքով առանց կանգառումների անցավ ժամում։ Մինչդեռ հոսանքին հակառակ նա անցավ (շարժվելով սեփական նույն արագությամբ և առանց կանգառումների) ժամում։ Քանի՞ ժամում կանցնեն լաստանավերը -ից (լաստանավերը շարժվում են գետի հոսանքի արագությամբ)։

Լուծում

Այն ժամանակը, որը պետք է շոգենավին -ից մինչև հեռավորությունը կանգնած ջրում այսինքն՝ սեփական արագությամբ շարժվելիս, նշանակենք -ով, իսկ լաստանավերի շարժման ժամանակը՝ -ով։ Այդ ժամանակ շոգենավը մեկ ժամում կանցնի հեռավորության -ը, իսկ լաստանավերը (հոսանքը)՝ այդ հեռավորության -ը։ Ուստի՝ հոսանքի ուղղությամբ շոգենավը մեկ ժամում կանցնի հեռավորության -ը, իսկ հոսանքին հակառակ՝ -ը։ Բայց խնդրի պայմանից մենք գիտենք, որ հոսանքի ուղղությամբ շոգենավը մեկ ժամում անցնում է հեռավորության -ը, իսկ հոսանքին հակառակ՝ -ը։ Կստանանք հետևյալ սիստեմը՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Նկատենք, որ այս սիստեմի լուծման համար պետք չէ

ազատվել հայտարարներից, պետք է պարզապես առաջին հավասարումից հանել երկրորդը։ Արդյունքում մենք կստանանք՝

,

որտեղից՝ ։ Լաստանավերը -ից կգնան ժամում։

ԵՐԿՈՒ ԹԻԹԵՂԱՏՈՒՓ ՍՈՒՐՃ

Խնդիր

Սուրճով լփված երկու թիթեղատուփեր ունեն միատեսակ ձև և պատրաստված են միևնույն թիթեղից։ Առաջինը կշռում է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

և ունի Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 
բարձրություն. երկրորդը կշռում է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 
և ունի Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 
բարձրություն։

Որքա՞ն է սուրճի մաքուր կշիռը թիթեղատուփերում։

Լուծում

Մեծ թիթեղատուփի պարունակության կշիռը նշանակենք -ով, փոքրինը՝ -ով։ Թիթեղատուփերի կշիռը համապատասխանորեն նշանակենք -ով և -ով։ Կունենանք հետևյալ հավասարումները՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Քանի որ լիքը թիթեղատուփերի պարունակության կշիռները հարաբերում են, ինչպես դրանց ծավալները, այսինքն՝ ինչպես դրանց բարձրությունների^[11] խորանարդները, ապա

կամ ։

Իսկ դատարկ թիթեղատուփերի կշիռները հարաբերում են, ինչպես դրանց լրիվ մակերևույթները, այսինքն՝ ինչպես դրանց բարձրությունների քառակուսիները։ Ուստի՝

կամ ։

և -ի արժեքները տեղադրելով առաջին հավասարման մեջ՝ կստանանք հետևյալ սեստեմը՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Լուծելով այն՝ գտնում ենք.

։

Եվ հետևաբար՝

։

Առանց տարայի սուրճի կշիռը մեծ թիթեղատուփի մեջ կգ է, փոքրում՝ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ^[12]։

ԵՐԵԿՈՒՅԹ

Երեկույթին կային պարողներ։ Մարիան պարում էր յոթ պարողների հետ, Օլգան՝ ութի հետ, Վերան՝ իննի հետ և այդպես շարունակ մինչև Նինան, որը պարում էր բոլոր պարողների հետ։ Քանի՞ պարողներ (տղամարդ) կային երեկույթին։

Լուծում

Խնդիրր լուծվում է շատ պարզ, եթե անհայտը ընտրենք հաջողությամբ։ Կորոնենք ոչ թե պարողների թիվը, այլ պարողուհիների, որը կնշանակենք -ով։

I-ը,	Մարիան	պարում էր		պարողների	հետ,
II-ը,	Օլգան	»		»	»
III-ը,	Վերան	»		»	»
...............................................................................
x-ը,	Նինան	»		»	»

Կունենանք հավասարումը՝

,

որտեղից

,

և, հետևաբար, պարող տղամարդկանց թիվը կլինի՝

։

ԾՈՎԱՅԻՆ ՀԵՏԱԽՈՒԶՈՒԹՅՈՒՆ

Խնդիր առաջին

Հետախույզին (հետախույզ նավին), որը շարժվում է նավախմբի հետ, տրված է առաջադրանք՝ նավախմբի շարժման ուղղությամբ հետազոտել ծովի շրջանը մղոնի վրա։ Նավախմբի արագությունը ժամում մղոն է, հետախույզի արագությունը ժամում մղոն։ Պահանջվում է որոշել որքա՞ն ժամանակից հետո հետախույզը կվերադառնա նավախումբը։

Լուծում

Ժամերի որոնելի թիվը նշանակենք -ով։ Այդ ժամանակամիջոցում նավախումբը կարող է անցնել մղոն, իսկ հետախուզող նավը՝ ։ Հետախույզն անցավ մղոն առաջ և դեպի ետ դարձավ այդ ճանապարհի մի մասը, իսկ նավախումբը անցավ այդ ճանապարհի մնացած մասը։ Նրանք միասին անցան ճանապարհ, որը հավասար է մղոն։ Ունենք հետևյալ հավասարումը՝

,

Հետախույզը նավախումբ է վերադառնում մոտավորապես ժամ րոպե հետո։

Խնդիր երկրորդ

Հետախույզը հրաման ստացավ հետախուզումը կատարել նավախմբի առջևից՝ նրա շարժման ուղղությամբ։ ժամ հետո այդ նավը պետք է վերադառնա նավախումբ։ Նավախումբը թողնելուց որքա՞ն ժամանակ անց հետախուզական նավը պետք է ետ դառնա, եթե նրա արագությունը հանգույց է, իսկ նավախմբի արագությանը՝ հանգույց։

Լուծում

Դիցուք հետախույզը պետք է ետ դառնա ժամ հետո. նշանակում է, նավախմբից նա հեռանում էր ժամ, իսկ գալիս է նրան ընդառաջ ժամ։ Քանի դեռ բոլոր նավերը գնում են մեկ ուղղությամբ, հետախույզը ժամում նավախմբից կհեռանա նրանց անցած ճանապարհների տարբերության չափով, այսինքն՝

։

Վերադարձին, մինչև նավախմբին հանդիպելը, հետախույզն անցավ ճանապարհ, իսկ նավախումբը՝ ։ Մեկը և մյուսը միասին անցան ։ Հետևաբար՝

,

որտեղից՝

։ Հետախույզը պետք է ետ դառնա նավախումբը թողնելուց ժամ րոպե հետո։

ՎԵԼՈԴՐՈՄՈՒՄ

Խնդիր

Վելոդրոմի շրջանաձև ճանապարհով գնում են երկու հեծանվորդներ անփոփոխ արագությամբ։ Երբ նրանք գնում են հակադիր ուղղություններով, ապա հանդիպում են յուրաքանչյուր վայրկյանը մեկ, իսկ երթ գնում են մի ուղղությամբ, ապա մեկը մյուսին հասնում է յուրաքանչյուր վայրկյանից հետո։ Որքա՞ն է յուրաքանչյուր հեծանվորդի արագությունը, եթե շրջանաձև ճանապարհի երկարությանը Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

է։

Լուծում

Եթե առաջին հեծանվորդի արագությունը է, ապա վայրկյանում նա անցնում է մետր, իսկ երկրորդը, շարժվելով նրան ընդառաջ, հանդիպումից մինչև մյուս հանդիպումն անցնում է շրջանի մնացած մասը, այսինքն՝ մետր։ Եթե երկրորդի արագությունը է, ապա դա կազմում է մետր. այսպիսով,

։

Իսկ եթե հեծանվորդները գնում են միևնույն ուղղությամբ, ապա վայրկյանում առաջինը անցնում է մետր, իսկ երկրորդը՝ մետր։ Եթե առաջինը երկրորդից արագ է գնում, ապա մի հանդիպումից մինչև մյուսը նա անցնում է երկրորդից մի շրջանով ավելի, այսինքն՝

։

Այդ հավասարումները պարզեցնելուց հետո կստանանք՝

,

որտեղից՝

(մետր վայրկյանում)։

ՄՈՏՈՑԻԿԼՆԵՐԻ ՄՐՑՈՒՄԸ

Խնդիր

Մոտոցիկլետային մրցումների դեպքում միաժամանակ ստարտ վերցնող երեք մեքենաներից մեկը, կատարելով ժամում առաջինից Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ով պակաս և երրորդից Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ով ավել վազք, հասավ վերջին վայրը առաջինից րոպեով ավելի ուշ և երրորդից րոպեով շուտ։ Ճանապարհին կանգառումներ չեն եղել։

Պահանջվում է որոշել՝

ա) ի՞նչ մեծություն ունի ճանապարհի հատվածը.

բ) ի՞նչ մեծություն ունի յուրաքանչյուր մեքենայի արագությունը.

գ) որքա՞ն է յուրաքանչյուր մեքենայի վազքի տևողությունը։

Լուծում

Թեև պահանջվում է որոշել յոթ անհայտ մեծություններ, բայց խնդիրը լուծելիս մենք կբավարարվենք միայն երկուսով. կազմենք երկու անհայտով երկու հավասարումների սիստեմ։

Երկրորդ մեքենայի արագությունը նշանակենք -ով։ Այն ժամանակ առաջինի արագությունը կարտահայտվի -ով, իսկ երրորդինը -ով։

Ճանապարհի հատվածի երկարությունը նշանակենք տառով։ Այդ դեպքում վազքի տևողությունը կլինի՝

առաջին	մեքենայի	համար	. . .	,
երկրորդ	»	»	. . .	,
երրորդ	»	»	. . .	։

Մեն գիտենք, որ երկրորդ մեքենան ճանապարհին եղել է առաջինից րոպեով (այսինքն՝ ժամով) ավելի։ Ուստի՝

։

Երրորդ մեքենան ճանապարհին եղել է երկրորդից րոպեով (այսինքն, ժամով) ավելի։ Հետևաբար՝

։

Այդ հավասարումներից երկրորդը բազմապատկենք -ով և հանենք աոաջինից՝

։

Այս հավասարման բոլոր անդամները բաժանենք -ի վրա (այդ մեծությունը, ինչպես մենք գիտենք, զրոյի հավասար չէ) և դրանից հետո ազատվենք հայտարարներից։ Մենք կստանանք՝

կամ փակագծերը բացելուց և նման անդամների միացումից հետո՝

,

որտեղից՝

։

Գիտենալով -ը, առաջին հավասարումից գտնում ենք -ը՝

,

որտեղից՝

։

Այսպիսով, մեքենաների արագությունները որոշված են՝ ժամում և կիլոմետր։

Ամբողջ ճանապարհի երկարությունը Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։

Ճանապարհի երկարությունը բաժանելով յուրաքանչյուր մեքենայի արագության վրա, գտնում ենք վազքերի տևողությունը՝

առաջին մեքենայինը . . . ժամ։

երկրորդ մեքենայինը . . . ժամ րոպե։

երրորդ մեքենայինը . . . ժամ րոպե։

Այսպիսով, բոլոր յոթ անհայտները որոշված են։

ԸՆԹԱՑՔԻ ՄԻՋԻՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆԸ

Խնդիր

Ավտոմեքենան երկու քաղաքների միջև եղած հեռավորությունն անցավ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

արագությամբ և վերադարձավ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 
արագությամբ։ Որքա՞ն է եղել նրա ընթացքի միջին արագությունը։

Լուծում

Խնդրի խաբուսիկ պարզությունը շատերին մոլորության մեջ է գցում։ Խորամուխ չլինելով հարցի պայմանի մեջ, հաշվում են -ի և -ի միջին թվաբանականը, այսինքն՝ գտնում են հետևյալ կիսագումարը՝

։

Այդ «պարզ» լուծումը ճիշտ կլիներ, եթե ընթացքը երկու ուղղությամբ էլ հավասար ժամանակ տևեր։ Բայց պարզ է, որ ետ վերադառնալը (փոքր արագությամբ) պետք է խլեր ավելի շատ ժամանակ, քան այնտեղ գնալը։ Նկատի ունենալով այս, մենք գտնում ենք, որ պատասխանը՝ -ը ճիշտ չէ։

Եվ իրոք, հավասարումը տալիս է այլ պատասխան։ Հավասարում կազմելը դժվար չէ, եթե մտցնենք օժանդակ անհայտ մեծությունը՝ քաղաքների միջև հղած հեռավորությունը։ Նշանակելով որոնելի միջին արագությունը -ով, կազմում ենք հավասարում՝

։

Քանի որ -ը զրոյի հավասար չէ, կարող ենք հավասարումը բաժանել -ի վրա. կստանանք՝

,

որտեղից՝

։

Այսպիսով, ճիշտ պատասխանը ոչ թե Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

է, այլ՝ ։

Իսկ եթե մենք այդ խնդիրը լուծեինք տառային նշանակումներով (ավտոմեքենան գնում էր Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

արագությամբ և ետ էր վերադառնում Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 
արագությամբ), ապա կստացվեր հետևյալ հավասարումը՝

,

որտեղից -ի համար կստանանք հետևյալ արժեքը՝

։

Այդ մեծությունը և մեծությունների համար կոչվում է միջին հարմոնիկ։

Այսպիսով, ընթացքի միջին արագությանը շարժման արագությունների համար արտահայտվում է ոչ թե միջին թվաբանականով, այլ միջին հարմոնիկով։ և դրական թվերի համար միջին հարմոնիկը միշտ փոքր է դրանք միջին թվաբանականից՝

-ից,

որը և մենք նկատեցինք թվային օրինակի վրա (-ը փոքր է -ից)։

ԱՐԱԳԱԳՈՐԾ ՀԱՇՎԻՉ ՄԵՔԵՆԱՆԵՐ

Հետաքրքրաշարժ հանրահաշվի» պլանում հավասարումների մասին եղած զրույցը չի կարող հաշվիչ մեքենաներով հավասարումների լուծման կողքով անցնել։ Մենք արդեն խոսել ենք այն մասին, որ հաշվիչ մեքենաները կարող են շախմատ (կամ շաշկի) «խաղալ»։ Մաթեմատիկական մեքենաները կարող են կատարել և այլ առաջադրանքներ, օրինակ, մի լեզվից մյուսին թարգմանելը, երաժշտական մելոդիաները նվագախմբի համար պատրաստելը և այլն։ Հարկավոր է միայն մշակել համապատասխան «ծրագիր», որով մեքենան գործելու է։

Իհարկե, մենք այստեղ չենք դիտարկի «ծրագրեր» մշակելու հարցը շախմատ խաղալու կամ մի լեզվից մյուսին թարգմանելու համար։ Այդ «ծրագրերը» ծայրահեղ բարդ են։ Մենք կվերլուծենք միայն երկու շատ հասարակ «ծրագրեր»։ Սակայն, սկզբում հարկավոր է մի քանի խոսք ասել հաշվիչ մեքենայի կառուցվածքի մասին։

Վերևում (գլ. I) մենք խոսել ենք այն հարմարանքների մասին, որոնք թույլատրում են վայրկյանում հազարավոր և տասը հազարավոր հաշվումներ կատարել։ Մեքենալի այն մասը, որը ծառայում է գործողությունները անմիջականորեն կատարելու համար (մեծ մասամբ թվարկության երկուական սիստեմով), կոչվում է արիֆմոմետր։ Բացի այդ, մեքենան կազմված է կառավարող հարմարանքից (որ կարգավորում է ամբողջ մեքենայի աշխատանքը) և այսպես կոչված հիշողությունից։ Հիշողությունը կամ, այլ կերպ, հիշող հարմարանքն իրենից ներկայացնում է թվերի և պայմանական ազդանշանների համար պահեստարան։ Վերջապես, մեքենան ունի հատուկ հարմարանքներ նիշավոր նոր տվյալներ մտցնելու և պատրաստի արդյունքներ ստանալու համար։ Այդ պատրաստի արդյունքները մեքենան տպում է (արդեն տասնորդական սիստեմով) հատուկ քարտերի վրա։

Բոլորին լավ հայտնի է, որ ձայնը կարելի է գրի առնել սկավառակի կամ ժապավենի վրա և այնուհետև վերարտադրել։ Բայց ձայնի գրառումը սկավառակի վրա հնարավոր է կատարել միայն մեկ անգամ. նոր գրանցման համար արդեն հարկավոր է նոր սկավառակ։ Փոքր ինչ այլ կերպ է իրականացվում մագնիտաֆոնով ձայնագրումը, որը տեղի է ունենում հատուկ ժապավենի մագնիսացման միջոցով։ Գրված ձայնը կարելի է վերարտադրել ուզածին չափ, իսկ եթե գրառումը հարկավոր չէ, ապա կարելի է ժապավենը «ապամագնիսացնել» և նրա վրա կատարել նոր գրանցում։ Միևնույն ժապավենի վրա կարելի է կատարել հաջորդաբար մի քանի գրանցումներ, ընդ որում յուրաքանչյուր նոր գրանցման դեպքում նախորդը «ջնջվում է»։

Նման սկզբունքի վրա էլ հիմնված է հիշող հարմարանքների գործողությունը։ Թվերը և պայմանական ազդանշանները գրանցվում են (էլեկտրական, մագնիսական կամ մեխանիկական ազդանշանների միջոցով) հատուկ թմբկագլանի, ժապավենի կամ այլ հարմարանքի վրա։ Անհրաժեշտ պահին գրված թիվը հնարավոր է «կարդալ», իսկ եթե այն այլևս հարկավոր չէ, ապա կարելի է ջնջել և նրա տեղը դրել նոր թիվ։ Թվերի կամ պայմանական ազդանշանների «հիշելը» և «կարդալը» ընդամենը տևում է վայրկյանի միլիոներորդ մասը։

«Հիշողությունը» կարող է պարունակել մի քանի հազար բջիջներ, յուրաքանչյուր բջիջ մի քանի տասնյակ էլեմենտներ, օրինակ՝ մագնիսական։ Թվերը երկուական սիստեմով գրելու համար պայմանավորվում ենք հաշվել, որ յուրաքանչյուր մագնիսացված էլեմենտ պատկերում է թվանշանը, իսկ չմագնիսացվածը՝ թվանշանը։ Դիցուք, հիշողության յուրաքանչյուր բջիջը պարունակում է էլեմենտ (կամ, ինչպես ասում են, «երկուական կարգեր»), ընդ որում բջիջի առանձին էլեմենտը ծառայում է թվի նշանը (+ կամ -) նշանակելու համար, հաջորդ կարգերը ծառայում են թվի ամբողջ մասը գրելու համար, իսկ վերջին կարգերը՝ կոտորակային մասը գրելու համար։ 11-րդ նկարում սխեմատիկորեն պատկերված են հիշողության երկու բջիջներ՝ յուրաքանչյուրը կարգով։ Մագնիսացված էլեմենտները նշանակված են + նշանով, չմագնիսացվածները՝ - նշանով։ Պատկերված բջիջներից դիտարկենք վերևինը (ստորակետը ցույց է տալիս, թե որտեղ է սկսվում թվի կոտորակային մասը, իսկ կետագիծը մնացածներից անջատում է առաջին կարգը, որը ծառայում է նշանը գրելու համար)։ Նրա մեջ գրված է (թվարկության երկուական սիստեմով) թիվը կամ մեզ համար սովորական թվարկության տասնորդական սիստեմով՝ թիվը։

Բացի թվերից, հիշողության բշիջներում գրվում են հրամաններ, որոնցից կազմված է ծրագիրը։ Դիտարկենք, թե ինչպիսի տեսք կունենան հրամանները այսպես կոչված երեքհասցեանի մեքենայի համար։ Այդ դեպքում հրամանը գրելիս հիշողության բջիջը բաժանվում է 4 մասի (կետագծերը ներքևի բջիջի վրա, նկ. 11)։ Առաջին մասը ծառայում է օպերացիան նշանակելու համար, ընդ որում օպերացիաները գրվում են թվերով (համարներով)։ Օրինակ,

գումարում	—	օպերացիա		I	,
հանում	—	օպերացիա		II	,
բազմապատկում	—	օպերացիա		III	և այլն։

Հրամանները վերծանում են այսպես՝ բջիջի առաջին մասը օպերացիայի համարն է, երկրորդ և երրորդ մասերի բջիջների համարները (հասցեները), որոնցից պետք է վերցնել այդ օպերացիան կատարելու համար թվեր, չորրորդ մասը բջիջի համարն է (հասցեն), որտեղ պետք է ուղարկել ստացված արդյունքը։ Օրինակ, 11-րդ նկարի վրա ներքևի տողում) գրված են երկուական սիստեմով կամ տասնորդական սիստեմով՝ թվերը, որ նշանակում է հետևյալ հրամանը՝ կատարել III օպերացիան (այսինքն բազմապատկում) այն թվերի հետ, որոնք գտնվում են հիշողության երրորդ և յոթերորդ բջիջներում, իսկ ստացված արդյունքը «հիշել» (այսինքն՝ գրել) տասնմեկերորդ բջիջում։

Հետագայում մենք թվերը և հրւսմանները կգրենք ոչ թե պայմանական նշաններով, ինչպես 11-րդ նկարում է, այլ ուղղակի թվարկության տասնորդական սիստեմով։ Օրինակ, 11-րդ նկարի ներքևի տողում պատկերված հրամանը գրվում է այսպես՝

բազմապատկում

3

7

11։

Այժմ դիտարկենք ծրագրերի երկու հասարակ օրինակներ։

Ծրագիր 1
1)	գումարում	4		5		4
2)	բազմապատկում	4		4
3)	կ. փ.					1
4)	0
5)	1

Տեսնենք թե ինչպես կաշխատի մեքենան, որի առաջին հինգ բջիջներում գրված են այդ տվյալները։

1-ին հրաման՝ գումարել 4-րդ և 5-րդ բջիջներում գրված թվերը և արդյունքը նորից ուղարկել 4-րդ բջիջը (վաղօրոք այնտեղ գրվածի փոխարեն)։ Այսպիսով, մեքենան 4-րդ բջիջում գրում է թիվը։ Առաջին հրամանը կատարելուց հետո 4-րդ և 5-րդ բջիջներում կլինեն հետևյալ թվերը՝

4)	1
5)	1։

2-րդ հրամանը. չորրորդ բջիջում եղած թիվը բազմապատկել իրենով (այսինքն՝ այն բարձրացնել քառակուսի) և արդյունքը, այսինքն՝ , գրել քարտի վրա (սլաքը ցույց է տալիս պատրաստի արդյունքը)։

3-րդ հրաման՝ կառավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին։ Այլ կերպ ասած, կ. փ. հրամանը նշանակում է, որ պետք է նորից կատարել բոլոր հրամանները ըստ կարգի, սկսած 1-ից։ Այսպիսով, նորից 1-ին հրաման։

1-ին հրաման. 4-րդ և 5-րդ բջիջներում եղած թվերը գումարել և արդյունքը նորից գրել 4-րդ բջիջում։ 4-րդ բջիջում արդյունքը կլինի թիվը

4)	2
5)	1։

2-րդ հրաման. 4-րդ բջիջում եղած թիվը բարձրացնել քառակուսի և ստացված արդյունքը, այսինքն , գրել քարտի վրա (սլաքը ցույց է տալիս արդյունքը)։

3-րդ հրաման. կատավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին (այսինքն՝ դարձյալ անցում առաջին հրամանին)։

1-ին հրաման. թիվը ուղարկել 4-րդ բջիջին.

4)	3
5)	1։

2-րդ հրաման. քարտի վրա գրել թիվը։

3-րդ հրաման. կառավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին և այլն։

Մենք տեսնում ենք, որ մեքենան մեկը մյուսի հետևից հաշվում է ամբողջ թվերի քառակուսիները և դրանք գրում է քարտի վրա։ Նկատեցեք, որ յուրաքանչյուր անգամ ձեռքով նոր թիվ հավաքելը պետք չէ, մեքենան ինքը իրար հետևից ընտրում է ամբողջ թվեր և դրանց բարձրացնում քառակուսի։ Գործելով այդ ծրագրով՝ մեքենան հաշվում է -ից մինչև -ը եղած բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները մի քանի տասնյակ վայրկյանի ընթացքում։

Պետք է նշել, որ իրականում ամբողջ թվերի քառակուսիները հաշվելու համար ծրագիրը մասամբ ավելի բարդ կլինի, քան այն, որ բերված է վերևում։ Դա ամենից առաջ վերաբերում է 2-րդ հրամանին։ Բանն այն է, որ քարտի վրա պատրաստի արդյունքի գրելը պահանջում է ավելի շատ ժամանակ, քան մեքենայով մեկ օպերացիայի կատարելը։ Ուստի, սկզբից պատրաստի արդյունքները «հիշվում են» «հիշողության» ազատ բջիջներում, իսկ դրանից հետո «առանց շտապելու» արտադրվում են քարտի վրա։ Այսպիսով, առաջին վերջնական արդյունքը պետք է «հիշվի» «հիշողության» 1-ին ազատ բջիջում, երկրորդ արդյունքը՝ 2-րդ ազատ բջիջում, երրորդը՝ 3-րդում և այլն։ Վերը բերված պարզեցված ծրագրում դա ոչ մի կերպ հաշվի չէր առնված։

Բացի այդ, մեքենան չի կարող երկար ժամանակ զբաղվել քառակուսիների հաշվումներով, քանի որ «հիշողության» րջիջները չեն բավարարում, իսկ մենք չենք կարող «գուշակել», թե մեքենան արդեն հաշվե՞լ է մեզ անհրաժեշտ քառակուսիների թիվը, որպեսզի այդ պահին անջատենք այն. (չէ՞ որ մեքենան վայրկյանում կատարում է հազարավոր օպերացիաներ)։ Դրա համար էլ նախատեսված են հատուկ հրամաններ՝ պահանջված պահին մեքենաները կանգնեցնելու համար։ Օրինակ, ծրագիրը կարելի է կազմել այնպես, որ մեքենան հաշվի 1-ից մինչև 10000 բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները և դրանից հետո ավտոմատորեն անջատվի։

Կան և հրամանների ուրիշ, ավելի բարդ տեսակները, որոնց մենք այստեղ չենք անդրադառնա պարզության համար։

Ահա թե ինչ տեսք կունենա -ից մինչն -ը բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները հաշվելու ծրագիրը (ավելի լրիվ տեսքով)։

Ծրագիր 1ա
1)	գումարում	8		9		8
2)	բազմապատկում	8		8		10
3)	գումարում	2		6		2
4)	կ. պ. փ. (կառավարման պայմանական փոխանցում)	8		7		1
5)	կանգնիր
6)		0		0		1
7)	10000
8)	0
9)	1
10)	0
11)	0
12)	0
..................................

Առաջին երկու հրամանները քիչ են տարբերվում այն հրամաններից, որոնք կային նախորդ պարզեցված ծրագրում։ Այդ երկու հրամանների կատարումից հետո 8-րդ, 9-րդ և 10-րդ բջիջներում կլինեն հետևյալ թվերը՝

8)	1
9)	1
10)

Երրորդ հրամանը շատ հետաքրքիր է. պետք է գումարել այն, ինչ կա 2-րդ և 6-րդ բջիջներում, և արդյունքները նորից գրել 2-րդ բջիջում, որից հետո 2-րդ բջիջը կունենա հետևյալ տեսքը՝

2)

բազմապատկում

8

8

11

Ինչպես տեսնում եք, երրորդ հրամանը կատարելուց հետո փոխվում է երկրորդ հրամանը, ավելի ճիշտ՝ փոխվում է 2-րդ հրամանի հասցեներից մեկը։ Ստորև մենք կպարզաբանենք, թե ինչի համար է դա արվում։

Չորրորդ հրաման. կառավարման պայմանական փոխանցումը (ծրագրում վաղօրոք դիտարկված 3-րդ հրամանի փոխարեն)։ Այդ հրամանը կատարվում է այսպես. եթե 8-րդ բջիջում եղած թիվը փոքր է 7-րդ բջիջում եղած թվից, ապա կառավարումն հաղորդվում է 1-ին բջիջին. հակառակ դեպքում կատարվում է հաջորդ (այսինքն՝ 5-րդ) հրամանը։ Մեր դեպքում իրոք , այնպես որ տեղի կունենա կառավարման փոխանցում 1-ին բջիջին։ Այսպիսով, նորից 1-ին հրամանը։

1-ին հրամանը կատարելուց հետո, 8-րդ բջիջում կլինի 2 թիվը.

Երկրորդ հրամանը, որն այժմ ունի հետևյալ տեսքը՝

2)

բազմապատկում

8

8

11

կայանում է նրանում, որ թիվը ուղարկվում է 11-րդ բջիջին։ Այժմ պարզ է, թե ինչու ավելի շուտ կատարվեց 3-րդ հրամանը նոր թիվը, այսինքն , պետք է ընկնի ոչ թե 10-րդ բջիջում, որն արդեն զբաղված է, այլ հաջորդում։ 1-ին և 2-րդ հրամանները կատարվելուց հետո մենք կունենանք հետևյալ թվերը

8)	2
9)	1
10)
11)

3-րդ հրամանը կատարվելուց հետո 2-րդ բջիջը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

2)

բազմապատկում

8

8

12։

Քանի որ 8-րդ բջիջում դեռևս փոքր թիվ է գտնվում, քան 9-րդ բջիջում, ապա 4-րդ հրամանը նշանակում է կրկին կառավարման փոխանցում 1-ին բջիջին։

Այժմ 1-ին և 2-րդ հրամանները կատարվելուց հետո կստանանք՝

8)	3
9)	1
10)
11)
12)

Մինչև ե՞րբ մեքենան այդ ծրագրով կհաշվի քառակուսիները։ Այնքան ժամանակ, մինչև որ 6-րդ բջիջում չի հայտնվել թիվը, այսինքն՝ քանի դեռ -ից մինչև թվերի քառակուսիները չեն հաշվարկվել։ Դրանից հետո 4-րդ հրամանը կառավարումն արդեն չի փոխանցի 1-ին բջիջին (քանի որ 8-րդ բջիջում եղած թիվը ոչ թե փոքր է, այլ հավասար է այն թվին, որը գտնում է 7-րդ բջիջում), այսինքն՝ 4-րդ հրամանից հետո մեքենան կատարում է 5-րդ հրամանը՝ կանգնում է(անջատվում է)։

Այժմ դիտարկենք ավելի բարդ ծրագրի օրինակ՝ հավասարումների սիստեմների լուծումը։ Այդ դեպքում մենք կդիտարկենք պարզեցված ծրագիրը։ Ցանկության դեպքում ընթերցողն ինքը կմտածի այն մասին, թե ինչպես կարտահայտվի այդպիսի ծրագիրը ավելի լրիվ տեսքով։

Դիցու֊ք տրված է հավասարումների հետևյալ սիստեմը՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Այս սիստեմը դժվար չէ լուծել.

։

Այդպիսի սիստեմներ լուծելու համար (a, b, c, d, e, f գործակիցների տրված թվային արժեքներով) հավանաբար, ձեզ անհրաժեշտ է մի քանի տասնյակ վայրկյան։ Իսկ մեքենան կարող է լուծել վայրկյանում հարյուրավոր այդպիսի սիստեմներ։

Դիտարկենք համապատասխան ծրագիրը։ Ասենք թե միանգամից տրված են մի քանի սիստեմներ՝

a, b, c, d, e, f, a՛, b՛,... գործակիցների թվային արժեքներով։

Ահա համապատասխան ծրագիրը՝

Ծրագիր 2
1)		28		30		20				14)		3		19		3				27)	b
2)		27		31		21				15)		4		19		4				28)	c
3)		26		30		22				16)		5		19		5				29)	d
4)		27		29		23				17)		6		19		6				30)	e
5)		26		31		24				18)	կ. փ.					1				31)	f
6)		28		29		25				19)		6		6		0				32)	a՛
7)		20		21		20				20)	0									33)	b՛
8)		22		23		21				21)	0									34)	c՛
9)		24		25		22				22)	0									35)	d՛
10)		20		21						23)	0									36)	e՛
11)		22		21						24)	0									37)	f՛
12)		1		19		1				25)	0									38)	a՛՛
13)		2		19		2				26)	a									.....

1-ին հրաման. կազմել 28-րդ և 30-րդ բջիջներում գտնվող թվերի արտադրյալը և արդյունքն ուղարկել 20-րդ բջիջին։ Այլ կերպ աաած, 20-րդ բջիջում կգրվի թիվը։

Համանման ձևով կատարվում են 2-րդից 6-րդ հրամանները։ Դրանց անջատումից հետո 20-րդից մինչև 25-րդ բջիջներում կգտնվեն հետևյալ թվերը՝

20)
21)
22)
23)
24)
25)

7-րդ հրաման. 20-րդ բջիջում գտնվող թվերից հանել 21-րդ բջիջում գտնվող թիվը և արդյունքը (այսինքն՝ նորից գրել 20-րդ բջիջում։

Համանման ձևով կատարվում են 8-րդ և 9-րդ հրամանները։ 20-րդ, 21-րդ, 22-րդ բջիջներում կառաջանան հետևյալ թվերը

20)
21)
22)

10-րդ և 11-րդ հրամաններ. կազմվում են

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

քանորդները և գրվում քարտի վրա (այսինքն՝ տրվում են՝ ինչպես պատրաստի արդյունքներ)։ Դա հենց հավասարումների առաջին սիստեմից ստացված անհայտների արժեքներն են։

Այսպիսով, առաջին սիստեմը լուծված է։ Ինչի՞ համար են հետագա հրամանները։ Ծրագրի հետագա մասը (12-րդից մինչև 19-րդ բջիջները) նշանակված է նրա համար, որպեսզի մեքենային ստիպեն «անցնելու» հավասարումների երկրորդ սիստեմին։ Տեսնենք, թե ինչպես է կատարվում այդ։

10-րդից մինչև 11-րդ հրամանները կայանում են նրանում, որ 1-ից 6-րդ բջիջների պարունակությանն ավելանում է այն գրանցումը, որն ունի 19-րդ բջիջը, իսկ արդյունքում նորից մնում են 1-ից 6-րդ բջիջները։ Այս ձևով 17-րդ հրամանը կատարելուց հետո առաջին վեց բջիջները կունենան հետևյալ տեսքը՝

1)		34		36		20
2)		33		37		21
3)		32		36		22
4)		33		35		23
5)		32		37		24
6)		34		35		25

18-րդ հրաման. կառավարման փոխանցումը առաջին բջիջին։

Առաջին վեց բջիջներում ինչո՞վ են տարբերվում նոր գրանցումները նախկին գրանցումներից։ Նրանով, որ այդ բջիջներում առաջին երկու հասցեներն ունեն ոչ թե 26-ից մինչև 31^[13] համարները,ինչպես առաջ, այլ 32-ից մինչև 37 համարները։ Այլ կերպ ասած, մեքենան կրկին կկատարի նույն գործողությունները, բայց թվերը կվերցնի ոչ թե 20-րդ, 31-րդ բջիջներից, այլ 32-րդ, 37-րդ բջիջներից, որտեղ գտնվում են հավասարումների երկրորդ սիստեմի գործակիցները։ Այսպիսով, մեքենան լուծում է հավասարումների երկրորդ, սիստեմը։ Երկրորդ սիստեմը լուծելուց հետո մեքենան անցնում է երրորդին և այլն։

Ասածից պարզ է դառնում, թե ինչքան կարևոր է ճիշտ «ծրագիր» կազմել կարողանալը։ Չէ՞ որ մեքենան «ինքը» ոչինչ անել չի «կարող»։ Նա կարող է կատարել միայն իրեն առաջադրված ծրագիրը։ Կան ծրագրեր, արմատներ, լոգարիթմներ, սինուսներ հաշվելու, բարձր աստիճանի հավասարումներ լուծելու համար և այլն։ Մենք արդեն վերևում խոսել ենք այն մասին, որ գոյություն ունեն ծրագրեր շախմատի խաղի, օտար լեզուներից թարգմանություն կատարելու համար,...։ Իհարկե, որքան բարդ է առաջադրանքը, այնքան էլ բարդ է նրան համապատասխանող ծրագիրը։

Վերջում նշենք, որ գոյություն ունեն այսպես կոչված ծրագրող ծրագրեր, այսինքն այնպիսիներ, որոնց օգնությամբ մեքենան ինքը կարող է կազմել խնդրի լուծման համար պահանջվող ծրագիրը։

Այդ զգալիորեն թեթևացնում է ծրագրի կազմելը, որը հաճախ շատ աշխատատար է լինում։

Թվաբանությունը հաճախ ի վիճակի չէ սեփական միջոցներով խստորեն ապացուցել իր պնդումներից մի քանիսի ճշտությունը։ Այդպիսի դեպքերում ստիպված ենք լինում դիմել հանրահաշվի ընդհանրացնող եղանակներին։ Թվաբանության՝ հանրահաշվորեն հիմնավորված նման դրույթներին են պատկանում, օրինակ, գործողությունների կրճատ կատարման բազմաթիվ կանոնները, մի քանի թվերի հետաքրքիր առանձնահատկությունները, բաժանելիության հատկանիշները և այլն Այդպիսի հարցերի դիտարկմանն է նվիրված ներկա գլուխը։

ԱԿՆԹԱՐԹԱՅԻՆ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄ

Վիրտուոզ հաշվողները բազմաթիվ դեպքերում իրենց հաշվողական աշխատանքը հեշտացնում են՝ դիմելով ոչ բարդ հանրահաշվական ձևափոխությունների։ Օրինակ հաշվումը կատարվում է այսպես՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Հեշտ է հասկանալ, որ հաշվողն այդ դեպքում օգտվում է հետևյալ հանրահաշվական ձևափոխությունից՝

։

Բանավոր հաշվումների ժամանակ գործնականում մենք կարող ենք հաջողությամբ օգտվել այդ բանաձևից. օրինակ՝

,

,

,

,

,

։

Այնուհետև, բազմապատկումը կատարվում է այսպես՝

։

Ինչի՞ վրա է հիմնված այդ եղանակը։ Արտադրիչները ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

և այդ երկանդամները բազմապատկենք հանրահաշվի կանոններով՝

։

Կատարենք ձևափոխությունները՝

։ Վերջին տողը պատկերում է հենց հաշվողի եղանակը։

Հետաքրքիր է երկու եռանիշ թվերի բազմապատկման եղանակը, որոնց տասնյակների թիվը նույնն է, իսկ միավորների թվանշանների գումարը հավասար է -ի։ Օրինակ,

։

Բազմապատկումը կատարում ենք այսպես՝

,

արդյունքը՝

։

Եղանակի հիմնավորումը պարզ է հետևյալ ձևափոխություններից՝

։

Նման բազմապատկումների կատարման համար հետևյալ եղանակն ավելի քան պարզ է՝

։

Այս օրինակում հարկ եղավ թիվը բարձրացնել քառակուսի։

-ով վերջացող թվերը արագ աստիճան բարձրացնելու համար շատ հարմար է հետևյալ եղանակը՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ,

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ,

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։

Կանոնը կայանում է նրանում, որ տասնյակների թիվը բազմապատկում են նրանից մեկով մեծ թվով և արտադրյալին կցագրում ։

Եղանակը հիմնավորվում է հետևյալ կերպ։ Եթե տասնավորների թիվը է, ապա ամբողջ թիվը կարելի է պատկերել այսպես.

։

Այդ թվի քառակուսին, որպես երկանդամի քառակուսի, հավասար է՝

։

արտահայտությունը տասնյակների և նրան ամենամոտ մեծ թվի արտադրյալն է։ Թիվը -ով բազմապատկել և ստացածին ավելացնել, միևնույնն է, թե նրան կցագրել։

Նույն եղանակից հետևում է թիվը քատսսկա.սէտ բարձրացնելու պարզ միջոցը, որը կազմված է ամբողջից և -ից։

Օրինակ՝

,

,

և այլն։

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ԹՎԱՆՇԱՆՆԵՐԸՉհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ԹՎԱՆՇԱՆՆԵՐԸ

Հավանաբար բոլորը նկատել են, որ մեկով կամ հինգով վերջացող թվերի բազմապաակումից ստացվող թվերը վերջանում են միևնույն թվանշաններով։ Մինչդեռ, քչերը գիտեն, որ ասվածը վերաբերվում է նաև թվին։ Վեցով վերջացող թվի յուրաքանչյուր աստիճանը նույնպես վերջանում է վեցով։

Օրինակ՝

։

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

թվանշանների այդ հետաքրքիր առանձնահատկությունը կարելի է հիմնավորել հանրահաշվորեն։ Դիտարկենք այն -ի համար։

Վեցով վերջացող թվերը պատկերվում են այսպես՝

և այլն,

որտեղ -ն և -ն դրական ամբողջ թվեր են։

Երկու այդպիսի թվերի արտադրյալը հավասար է՝

։

Ինչպես տեսնում ենք, արտադրյալը կազմված է մի քանի տասնավորներից և թվանշանից, որն, անշուշտ, պետք է լինի վերջում։

Ապացուցման նույն եղանակը կարելի է կիրառել -ի և -ի համար։

	վերջանում է	-ով,
	»	-ով,
	»	-ով և այլն։

Ասվածը մեզ իրավունք է տալիս հաստատելու, որ , օրինակ,

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ԹՎԵՐԸՉհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ԹՎԵՐԸ

Կան երկանիշ թվեր, որոնք ունեն միևնույն հատկությունը, ինչ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

թվերը։ Այդ թիվը -ն է, և հավանական է, շատերի համար անսպասելի,  թիվը։ Յուրաքանչյուր երկու թվեր, որոնք վերջանում են -ով, արտադրյալում տալիս են մի թիվ, որը վերջանում է -ով։

Ապացուցենք այդ։ Այդպիսի թվերի ընդհանուր արտահայտությունը այսպես է՝

և այլն։

Բազմապատկելով այդպիսի երկու թվեր՝ կստանանք.

։

Դրույթը ապացուցված է, արտադրյալը կվերջանա թվով։

Այստեղից հետևում է, որ -ով վերջացող թվի ամեն մի աստիճանը այնպիսի թիվ է, ինչպիսիք են՝

,^{[14] [15]} և այլն։

ԱՆՎԵՐՋ «ԹՎԵՐ»

Գոյություն ունեն ավելի մեծ խմբեր այնպիսի թվանշանների, որոնք գտնվելով թվերի վերջում, պահպանվում են նաև դրանց արտադրյալում։ Այդպիսի թվանշանների խմբերի թիվ, ինչպես մենք ցույց կտանք, անվերջ մեծ է։

Մենք գիտենք երկանիշ թվանշանների խմբեր, որոնք ունեն այդ հատկությունը՝ դա -ն է և -ը։ Որպեսզի գտնենք եռանիշ խմբեր, պետք է -ի կամ թվի առջևից կցագրել այնպիսի թվանշան, որ ստացված եռանիշ թվանշանների խումբը նույնպես ունենա պահանջված հատկությունը։

Ինչպիսի՞ թվանշան պետք է կցագրել թվին։ Նշանակենք այն -ով։ Այդ ժամանակ որոնելի եռանիշ թիվը կպատկերվի այսպես՝

։

Այդ թվանշանների խմբով վերջացող թվերի համար ընդհանուր արտահայտությունը այսպես է՝

և այլն։

Բազմապատկենք այս տեսքի երկու թվեր. կստանանք՝

։

Բոլոր գումարելիները, բացի վերջին երկուսից, վերջում ունեն երեք զրոյից ոչ պակաս։ Ուստի՝ արտադրյալը վերջանում է -ով, եթե

տարբերությունը բաժանվում է -ի։ Դա, ակնհայտ է, կլինի միայն այն դեպքում, երբ ։

Այսպիսով, որոնելի թվանշանների խումբն ունի տեսքը։ Ուստի և թվի ամեն մի աստիճանը վերջանում է -ով։ Օրինակ՝

։

Եթե մենք այժմ ցանկանանք գտնել թվանշանների քառանիշ խումբ, որն ունենա միևնույն հատկությունը, ապա -ի առջևից պետք է կցագրենք ես մեկ թվանշան։ Եթե այդ թվանշանը նշանակենք -ով, ապա կհանգենք հետևյալ խնդրին՝ -ի ի՞նչ արժեքի դեպքում

արտադրյալը վերջանում է -ով։ Եթե այս արտադրյալի մեջ բացենք փակագծերը և դեն գցենք այն բոլոր գումարելիները, որոնք վերջանում են և ավելի զրոներով, ապա կմնան հետևյալ անդամները՝

։

Արտադրյալը վերջանում է -ով, եթե

տարբերությունը բաժանվում է -ի վրա։ Դա, ակնհայտ է, կլինի միայն այն դեպքում, երբ ։

Որոնելի թվանշանների քառանիշ խումբն է ։

Ստացված թվանշանների քառանիշ խմբին կարելի է ավելացնել ես մեկ թվանշան, որի համար պետք է դատել ճիշտ այնպես, ինչպես և վերևում։ Մենք կստանանք ։ Կատարելով ես մի քայլ, գտնում ենք թվանշանների խումբը, այնուհետև և այլն։

Ձախից թվանշանների այդպիսի գրառումը կարելի է կատարել անսահմանափակորեն։ Արդյունքում մենք կստանանք մի «թիվ», որը կունենա անսահման շատ թվանշաններ՝

,

Նման «թվերը» կարելի է գումարել և բազմապատկել սովորական կանոնով, չէ՞ որ դրանք գրվում են աջից ձախ, իսկ գումարումը և բազմապատկումը («սյունակով») նույնպես կատարվում է աջից ձախ, այնպես որ այդպիսի երկու թվերի գումարում, արտադրյալում մեկը մյուսի հետևից կարելի է հաշվել թվանշաններ, որքան պետք է։

Հետաքրքիր է, որ վերը գրված անսահման «թիվը» բավարարում է

հավասարմանը, որքան էլ դա անհավանական չի թվում։

Իրոք, այդ «թվի» քառակուսին (այսինքն՝ բազմապատկումն ինքն իրենով) վերջանում է -ով, քանի որ արտադրիչներից յուրաքանչյուրը վերջում ունի . նույն պատճառով, գրված «թվի» քառակուսին վերջանում է -ով, վերջանում է -ով և այլն։ Այլ կերպ ասած, «թվի» թվանշանները, հաշվելով մեկը մյուսից հետո, որտեղ , մենք կստանանք այն թվանշանները, որոնք կան թվի մեջ, այնպես որ ։

Մենք դիտարկեցինք թվանշանների խմբեր, որոնք վերջանում են -ով^[16]։ Եթե համանման դատողություններ անենք -ով վերջացող թվանշանների խմբերի համար։ ապա մենք կստանանք թվանշանների այսպիսի խմբեր՝

և այլն։

Արդյունքում մենք կարող ենք գրել դարձյալ մի անսահման «թիվ».

,

որը նույնպես բավարարում է հավասարմանը։ Կարելի էր ցույց տալ, որ այդ անսահման «թիվը» «հավասար է»

Ստացված հետաքրքիր արդյունքն անսահման «թվերի» լեզվով ձևակերպվում է այսպես՝ հավասարումը, բացի սովորական Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

լուծումներից, ունի երկու «անսահման» լուծումներ՝

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ,

Իսկ այլ լուծումներ (թվարկության տասնորդական սիստեմում) գոյություն չունեն^[17]։

ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ ՎՃԱՐ

Հինավուրց ժողովրդական խնդիր

Հին ժամանակներում մի անգամ տեղի է ունեցել այսպիսի դեպք։ Երկու անասնավաճառներ վաճառեցին իրենց պատկանող եզների նախիրը, ընդ որում յուրաքանչյուր եզան համար ստացան այնքան ռուբլի, որքան եզներ կալին նախիրում։ Ստացած դրամով գնեցին ոչխարների հոտ, յուրաքանչյուր ոչխարը ռուբլով և մեկ գառ։ Հավասարապես բաժանելու դեպքում մեկին մնաց մի ավելորդ ոչխար, իսկ մյուսը վերցրեց գառը և ընկերակցից ստացավ համապաmասխան լրացուցիչ վճար։ Ի՞նչքան էր եղել լրացուցիչ վճարը (ենթադրվում է, որ լրացուցիչ վճարը արտահայտվում է ամբողջ ռուբլիներով)։

Լուծում

Խնդիրը ուղղակիորեն, ենթակա չէ «հանրահաշվական լեզվի» թարգմանելուն, նրա համար հավասարումներ չի կարելի կազմել։ Հարկ է լինում այն լուծել հատուկ եղանակով, այսպես ասած մաթեմատիկական ազատ դատողություններով։ Բայց այստեղ ևս հանրահաշիվը թվաբանությանը ցույց է տալիս էական օգնություն։

Հոտի ամբողջ արժեքը ռուբլիներով ճիշտ քառակուսի է, քանի որ հոտը գնված է եզների վաճառքի դրամով, որոնցից յուրաքանչյուրը վաճառվել է -ական ռուբլի։ Ընկերակիցներից մեկին մնացել է ավելորդ ոչխար, հետևաբար՝ ոչխարների թիվը կենտ է. նշանակում է՝ թվի մեջ տասնավորների թիվը ևս կենտ է։ Ինչպիսի՞ն է միավորների թվանշանը։

Կարելի է ապացուցել, որ եթե ճիշտ քառակուսու մեջ տասնավորների թիվը կենտ է, ապա նրա միավորների թվանշանը կարող է լինել միայն -ը։

Իրոք, տասնավորների և միավորների յուրաքանչյուր թվի քառակուսին, այսինքն՝ -ն հավասար է

։

Այս թվի մեջ տասնյակների քանակն է , և էլի որոշ թվով տասնյակներ էլ պարունակում է -ին։ բաժանվում է -ի վրա, այս թիվը զույգ է։ Ուստի՝ տասնյակների թիվը, որ պարունակվում է մեջ, կլինի կենտ, եթե միայն թվի մեջ լինի կենտ թվով տասնյակներ։ Վերհիշենք, թե -ն ինչ է։ Այն միավորների թվանշանի քառակուսին է, այսինքն՝ հետևյալ թվերից մեկը

։

Դրանց միջև կենտ թվով տասնյակներ ունեն միայն -ը և -ը։ Երկուսն էլ վերջանում են -ով։ Նշանակում է ճիշտ քառակուսին՝

,

կարող է ունենալ կենտ թվով տասնյակներ միայն այն դեպքում, եթե վերջանում է -ով։

Այժմ հեշտ է գտնել խնդրի հարցի պատասխանը։ Պարզ է, որ գառը վաճառվել է ռուբլով։ Հետևաբար ընկերակիցը, որին մնացել է գառը, ստացավ մյուսից ռուբլով ավելի պակաս։ Մասերը հավասարեցնելու համար գառան տերն ընկերակցից պեատ է ետ ստանար իր ռուբլին։

Լրացուցիչ վճարը հավասար է ռուբլու։

-Ի ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հանրահաշիվը խիստ հեշտացնում է այն հատկանիշների որոնումը, որոնցով կարելի է նախօրոք, չկատարելով բաժանում, որոշել, թե տվյալ թիվը բաժանվո՞ւմ է արդյոք այս կամ այն բաժանարարի վրա։ -ի բաժանելիության հատկանիշները հանրածանոթ են։ Արտածենք -ի բաժանելիության հատկանիշը. այն բավականին պարզ է և գործնական։

Դիցուք, բազմանիշ թիվն ունի միավորների թվանշանը, տասնավորների թվանշանը, հարյուրավորների թվանշանը, հազարավորների թվանշանը և այլն, այսինքն՝

.

որտեղ բազմակետը նշանակում է հետագա կարգերի գումարը։ -ից հանենք թիվը, տասնմեկի բազմապատիկը։ Այդ ժամանակ ստացված տարբերությունը, ինչպես հեշտ է նկատել, հավասար է՝

,

որը կունենա -ի վրա բաժանումից ստացված այն նույն մնացորդը, ինչ որ թիվը։ Այդ տարբերությանը ավելացնենք թիվը՝ տասնմեկի բազմապատիկը, մենք կստանանք՝

թիվը, որը նույնպես կունենա -ի վրա բաժանումից ստացված այն նույն մնացորդը, ինչ որ թիվը։ Նրանից հանենք թիվը, տասնմեկի բազմապատիկը և այլն։

Արդյունքում մենք կստանանք՝

թիվը, որն ունի է -ի վրա բաժանումից ստացված այն նույն մնացորդը, ինչ որ սկզբնական թիվը։

Այստեղից բխում է -ի բաժանելիության հետևյալ հատկանիշը՝ պետք է կենտ տեղերում գրված բոլոր թվանշանների գումարից հանել այն բոլոր թվանշանների գումարը, որոնք զբաղեցնում են զույգ տեղերը։ Եթե տարբերությունում ստացվում է Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): -ի բազմապատիկ թիվ (դրական կամ բացասական), ապա և փորձարկվող թիվը -ի բազմապատիկն է, հակառակ դեպքում մեր թիվը առանց մնացորդի չի բաժանվի -ի վրա։

Փորձենք, օրինակ, թիվը՝

,

,

։

Նշանակում է, տրված թիվը բաժանվում է -ի վրա։ Գոյություն ունի -ի բաժանելիության և այլ հատկանիշ, որը հարմար է կարճ թվերի համար։ Այն կայանում է նրանում, որ փորձարկվող թիվը աջից ձախ բաժանում են խմբերի՝ յուրաքանչյուրում երկուական թվանշան և այդ խմբերը գումարում են։ Եթե ստացված գումարը առանց բաժանվի -ի վրա, ապա և փորձարկվող թիվը -ի բազմապատիկն է, հակառակ դեպքում՝ ոչ։ Դիցուք պահանջվում է փորձարկել թիվը։ Թիվը բաժանենք խմբերի և գումարենք երկու խմբերը՝

։

Քանի որ -ը բաժանվում է -ի վրա առանց մնացորդի, ապա թիվը -ի բազմապատիկն է՝

։

Ապացուցենք բաժանելիության այդ հատկանիշը։ բազմանիշ թիվը վերլուծենք խմբերի։ Այդ դեպքում մենք կստանանք երկանիշ (կամ միանիշ^[18]) թվեր, որոնք նշանակենք (աջից ձախ) և այլն, այնպես որ թիվը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝

։

թվից հանենք թիվը՝ տասնմեկի բազմապատիկը։ Ստացված թիվը՝

-ի վրա բաժանումից կունենա այն նույն մնացորդը, ինչ որ թիվը։ Այդ թվից հանենք թիվը՝ տասնմեկի բազմապատիկը և այլն։ Արդյունքում մենք կգտնենք, որ թիվը -ի վրա բաժանումից կունենա այն մնացորդը, ինչ որ

թիվը։

ԱՎՏՈՄԵՔԵՆԱՅԻ ՀԱՄԱՐԸ

Խնդիր

Քաղաքում շրջագայելիս երեք ուսանող-մաթեմատիկոսներ նկատեցին, որ ավտոմեքենայի վարորդը կոպիտ կերպով խախտեց փողոցի երթևեկության կանոնները։ Մեքենայի համարը (քառանիշ) ուսանողներից և ոչ մեկը չէր հիշում, բայց քանի որ նրանք մաթեմատիկոսներ էին, նրանցից յուրաքանչյուրը նկատել էր այդ քառանիշ թվի մի որևէ առանձնահատկություն։ Ուսանողներից մեկը վերհիշել է, որ թվի առաջին երկու թվանշանները միատեսակ էին։ Երկրորդը վերհիշել էլ որ վերջին երկու թվանշանները նույնպես համընկել են միմյանց։ Վերջապես, երրորդը հաստատել է, որ այդ ամբողջ քառանիշ թիվը ճիշտ քառակուսի է։ Հնարավո՞ր է արդյոք այդ տվյալներով իմանալ մեքենայի համարը։

Լուծում

Որոնելի թվի առաջին (և երկրորդ) թվանշանը նշանակենք -ով, իսկ երրորդը (և չորրորդը) -ով։ Այդ դեպքում ամբողջ թիվը հավասար կլինի՝

։

Այդ թիվը բաժանվում է -ի վրա, և այդ պատճառով (լինելով ճիշտ քառակուսի) նա բաժանվում է նաև -ու վրա։ Այլ կերպ ասած, թիվը բաժանվում է -ի վրա։ Կիրառելով -ի բաժանելիության վերը բերված երկու հատկանիշներից ցանկացածը, գտնում ենք, որ թիվը բաժանվում է -ի վրա։ Բայց այդ նշանակում է, որ

,

քանի որ թվանշաններից յուրաքանչյուրը փոքր է տասից։

թվի վերջին թվանշանը, որը ճիշտ քառակուսի է, կարող է ընդունել միայն հետևյալ արժեքները՝

։

Ուստի, թվանշանի համար, որը հավասար է , կգտնենք այսպիսի հնարավոր արժեքներ՝

։

Առաջին երկու արժեքները պիտանի չեն, մնում են հետևյալ հնարավորությունները՝

,

,

,

։

Մենք տեսնում ենք, որ ավտոմեքենայի համարը պետք է փնտրել հետևյալ չորս թվերի մեջ՝

։

Բայց այդ թվերից վերջին երեքը չեն հանդիսանում ճիշտ քառակուսիներ՝ թիվը բաժանվում է -ի վրա, բայց չի բաժանվում -ի. թիվը բաժանվում է -ի, բայց չի բաժանվում -ի. թիվը նույնպես չի հանդիսանում քառակուսի։ Մնում է միայն մեկ թիվ՝ , որը և տալիս է խնդրի լուծումը։

-Ի ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հիմնավորենք -ի բաժանելիության հետևյալ հատկանիշը։ Թիվը -ի վրա առանց մնացորդի բաժանվում է միայն այն ժամանակ, երբ նրա տասնավորների թիվը՝ գումարելով միավորների կրկնապատիկ թվի հետ տալիս է -ի բազմապատիկը։

Լուծում

Ամեն մի թիվ կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

,

որտեղ -ը տասնավորների թիվն է (ոչ թե տասնավորների կարգի թվանշանը, այլ ամբողջ թվում ամբողջական տասնավորների ընդհանուր թիվը), -ը միավորների թվանշանն է։ Մեզ հարկավոր է ցույց տալ, որ -ը բազմապատիկ է -ին միայն այն ժամանակ, երբ

բազմապատիկ է -ին։ Դրա Տամար -ը բազմապատկենք -ով և այդ արտադրյալից հանենք -ը. կստանանք՝

։

Այստեղից երևում է, որ եթե -ը -ի բազմապատիկ է, ապա

ևս -ի վրա բաժանվում է առանց մնացորդի. և հակառակն, եթե -ը -ի վրա բաժանվում է առանց մնացորդի, ապա

-ի բազմապատիկ է, իսկ այդ դեպքում, ակնհայտ է, -ը ևս -ի վրա բաժանվում է առանց մնացորդի։

Դիցուք պահանջվում է որոշել, թե թիվը բաժանվո՞ւմ է արդյոք -ի վրա։

Հաջորդաբար կիրառենք բաժանելիության մեր հատկանիշը.

4		7		0		4		5		8		8	/	1
+ 2
4		7		0		4		5	/	9	0
+ 18
4		7		0		6	/	3
+ 6
4		7		1	/	2
+ 4
4		7	/	5
+ 10
5	/	7
+14
19

Քանի որ -ը բաժանվում է -ի վրա առանց մնացորդի, ապա -ի բազմապատիկներն են նաև թվերը։

Այսպիսով, մեր թիվը բաժանվում է -ի վրա։

ՍՈՖՅԱ ԺԵՐՄԵՆԻ ԹԵՈՐԵՄԱՆ

Ահա մի խնդիր, որն առաջարկել է ֆրանսիական հայտնի մաթեմատիկոս Սոֆյա Ժերմենը՝

Ապացուցել, որ տիպի յուրաքանչյուր թիվ բարդ թիվ է (եթե -ն հավասար չէ -ի)։

Լուծում

Ապացույցը բխում է հետևյալ ձևափոխությունից՝

։

Ինչպես մենք համոզվում ենք, թիվը կարող է պատկերվել երկու արտադրիչների արտադրյալի տեսքով, որոնցից մեկը հավասար չէ այդ թվին, իսկ մյուսը՝ մեկի^[19], այլ խոսքով, այդ թիվը բարդ է։

ԲԱՐԴ ԹՎԵՐ

Պարզ թվերի քանակը անվերջ մեծ է։ (Պարզ թվերը մեկից մեծ այն ամբողջ թվերն են որոնք առանց մնացորդի ոչ մի ամբողջ թվի վրա չեն բաժանվում, բացի մեկից և իրենցից)։

Սկսվելով Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

թվերով, պարզ թվերի շարքը ձգվում է անվերջ։ Գտնվելով բարդ թվերի միջև, դրանք բնական թվերի շարքը տրոհում են բարդ թվերի քիչ թե շատ երկար մասերի։ Ինչպիսի՞ երկարություն են ունենում այդ մասերը։ Որևէ տեղ հաշորդո՞ւմ են արդյոք միմյանց, օրինակ, հազար բարդ թվեր, չընդհատվելով ոչ մի պարզ թվով։

Կարելի է ապացուցել (չնայած այդ կարող է թվալ անհավատալի), որ պարզ թվերի միջև եղած բարդ թվերի մասերը լինում են ցանկացած երկարությամբ։ Այդպիսի մասերի երկարության համար չկա սահման. դրանք կարող են բաղկացած լինել հազարավոր, միլիոնավոր, միլիարդավոր և այլն թվերից։

Հարմարության համար կօգտվենք պայմանական սիմվոլից, որը նշանակում է -ից մինչև ներառյալ բոլոր թվերի արտադրյալը։ Օրինակ ։ Մենք այժմ կապացուցենք, որ

շարքը կազմված է հաջորդական բարդ թվերից։

Բնական շարքում այդ թվերը անմիջականորեն ընթանում են մեկը մյուսի ետևից, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդը -ով մեծ է նախորդից։ Մնում է ապացուցել, որ այդ բոլոր թվերը բարդ են։

Առաջին թիվը՝

զույգ է, քանի որ նրա երկու գումարելիներն էլ պարունակում են արտադրիչը։ Իսկ -ից մեծ ամեն մի զույգ թիվ բարդ թիվ է։

Երկրորդ թիվը

կազմված է երկու գումարելիներից, որոնցից յուրաքանչյուրը -ի բազմապատիկն է։ Նշանակում է այգ թիվը ևս բարդ է։

Երրորդ թիվը

առանց մնացորդի բաժանվում է -ի, քանի որ կազմված է այնպիսի գումարելիներից, որոնք -ի բազմապատիկն են։

Նույն ձևով կհաստատենք, որ հետևյալ թիվը՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ը,

-ի բազմապատիկն է և այլն։ Այլ կերպ ասած, մեր շարքի յուրաքանչյուր թիվը պարունակում է մի արտադրիչ, որը տարբերվում է մեկից և ինքն իրենից, հետևաբար այն հանդիսանում է բարդ թիվ։

Եթե դուք ցանկանում եք գրել, օրինակ, հինգ հաջորդական բարդ թվեր, ձեզ բավական է վերը բերված շարքում

-ի փոխարեն տեղադրել թիվը։ Դուք կստանաք հետևյալ շարքը՝

։

Բայց դա հինգ հաջորդական բարդ թվերից միակ շարքը չէ։ Կան և ուրիշները, օրինակ՝

։

Կամ դարձյալ ավելի փոքր թվեր՝

։

Այժմ փորձենք լուծել հետևյալ խնդիրը.

Գրել տասը հաջորդական բարդ թվեր։

Լուծում

Քիչ առաջ ասվածի հիման վրա որոնելի տասը թվերից որպես առաջին թիվ կարելի է վերցնել

։

Թվերի որոնելի սերիան, հետևաբար, կլինի այսպես՝

և այլն։

Սակայն գոյություն ունեն անհամեմատ ավելի փոքր տասը հաջորդական բարդ թվերի սերիաներ։ Այսպես, կարելի է ցույց տալ ոչ միայն տասը, այլ նաև տասներեք հաջորդական բարդ թվերի սերիաներ արդեն երկրորդ հարյուրյակում՝

և այլն մինչև -ը ներառյալ։

ՊԱՐԶ ԹՎԵՐԻ ՔԱՆԱԿԸ

Միմյանց հաջորդող բարդ թվերի՝ ցանկացածին չափ երկար սերիաների գոյությունը կարող է կասկածանքի տեղիք տալ, թե արդյո՞ք պարզ թվերի շարքը վերջ չունի։ Դրա համար, ավելորդ չի լինի այստեղ բերել պարզ թվերի շարքի անսահմանության ապացույցը։

Այդ «սպացույցր պատկանում է հին հունական մաթեմատիկոս Էվկլիդին և շարադրված է նրա հռչակավոր «Սկզբունքներ» գրքի մեջ։ Այն վերաբերում է «հակասող ընդունելությամբ» ապացույցների կարգին։ Ենթադրենք, որ պարզ թվերի շարքը վերջավոր է և այդ շարքի վերջին պարզ թիվը նշանակենք տառով։ Կազմենք հետևյալ արտադրյալը

և նրան ավելացնենք ։ Կստանանք՝

։

Այս թիվը լինելով ամբողջ՝ կպարունակի գոնե մեկ պարզ արտադրիչ, այսինքն՝ կբաժանվի գոնե մեկ պարզ թվի վրա։ Բայց բոլոր պարզ թվերը, ըստ ենթադրության, չեն գերազանցում -ը, իսկ թիվը առանց մնացորդի չի բաժանվում -ից փոքր կամ նրան հավասար թվերից և ոչ մեկի վրա՝ ամեն անգամ ստացվում է մնացորդ։

Այսպիսով, չի կարելի ընդունել, որ պարզ թվերի շարքը վերջավոր է. այդ ենթադրությունը բերում է հակասության։ Նշանակում է՝ բնական թվերի շարքում հաջորդական բարդ թվերիին ինչպիսի երկար սերիալի էլ հանդիպենք, մենք համոզված կլինենք, որ նրանից հետո էլի կգտնվեն անվերջ բազմությամբ պարզ թվեր։

ՀԱՅՏՆԻ ԱՄԵՆԱՄԵԾ ՊԱՐԶ ԹԻՎԸ

Այլ բան է համոզված լինել, որ գոյություն ունեն որքան հնարավոր է մեծ պարզ թվեր, իսկ այլ բան է գիտենալ, թե որ թվերն են հանդիսանում պարզ թվեր։ Որքան մեծ է բնական թիվը, այնքան մեծ հաշվումներ պետք է կատարել, իմանալու համար՝ նա հանդիսանո՞ւմ է պարզ թիվ, թե ոչ։ Ահա մի մեծագույն թիվ, որի մասին ներկայումս հայտնի է, որ ալն պարզ է՝

։

Այս թիվն ունի մոտ յոթ հարյուր տասնորդական նիշ։ Հաշվումները, որոնց օգնությամբ սահմանվել է, որ այդ թիվը հանդիսանում է պարզ թիվ, կատարվել են ժամանակակից հաշվիչ մեքենաներով (տե՛ս գլ. I, II)։

ՊԱՏԱՍԽԱՆԱՏՈՒ ՀԱՇՎԱՐԿ

Հաշվողական պրակտիկայում հանդիպում են այնպիսի զուտ թվաբանական հաշվումներ, որոնց կատարումը առանց հանրահաշվի հեշտացնող մեթոդների օգնության՝ արտակարգ դժվար է։ Դիցուք, պահանջվում է գտնել այսպիսի գործողությունների արդյունքը՝

(Այս հաշվարկն անհրաժեշտ է նրա համար, որպեսզի հաստատվի, թե իրավացի՞ է այն տեխնիկան, որը գործ ունի էլեկարամագնիսական ալիքների տարածման արագության համեմատ փոքր արագությամբ շարժվող մարմինների հետ, որպեսզի կարելի լինի օգտվել արագությունների գումարման նախկին օրենքից՝ հաշվի չառնելով այն փոփոխությունները, որոնք ներմուծված են մեխանիկայի մեջ հարաբերականության^[20] տեսության կողմից։ Համաձայն հին մեխանիկայի, այն մարմինը, որը մասնակցում է վայրկյանում Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

կիլոմետր արագություններով միատեսակ ուղղված երկու շարժումների, վայրկյանում ունի  կիլոմետր արագություն։ Մինչդեռ նոր գիտությունը մարմնի արագության համար տալիս է հետևյալ արտահայտությունը.

^[21] կիլոմետր վայրկյանում,

որտեղ -ն լույսի տարածման արագությունն է դատարկության մեջ, որը վայրկյանում մոտավորապես հավասար է կիլոմետրի։ Մասնավորապես, մարմնի արագությունը, որը մասնակցում է միատեսակ ուղղված երկու շարժումների, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

արագություն, ըստ հին մեխանիկայի հավասար է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): 

, իսկ ըստ նորի՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Իսկ այդ արդյունքները որքանո՞վ են տարբերվում միմյանցից։ Որսո՞ւմ է արդյոք ամենանուրբ չափողական գործիքն այս տարբերությունը։ Այդ կարևոր հարցը պարզաբանելու համար էլ հենց հարկ է լինում կատարել վերոհիշյալ հաշվարկը)։

Այդ հաշվարկը կատար ենք երկու կերպ. նախ թվաբանական սովորական ճանապարհով, և ապա հանրահաշվի կիրառմամբ։ Սակայն բավական է մի հայացք գցենք ստորև բերված թվանշանների շարքի վրա և կհամոզվենք հանրահաշվական եղանակի առավելության անվիճելիության մեջ։

Նախ և առաջ ձևափոխենք մեր «բազմահարկ» կոտորակը

։

Այժմ կատարենք համարիչի բաժանումը հայտարարի վրա։

180000000000												90000000001
90000000001												1,999999999977...
	899999999990
	810000000009												[22]
		899999999810
		810000000009
			899999998010												[23]
			810000000009
				899999980010
				810000000009
					899999800010
					810000000009
						899998000010
						810000000009
							899980000010
							810000000009
								899800000010
								810000000009
									898000000010
									810000000009
										880000000010
										810000000009
											700000000010
											630000000007
												70000000003

Հաշվարկը, ինչպես տեսնում ենք, հոգնեցուցիչ է, մանրակրկիտ, նրանում հեշտ է շփոթվել և սխալվել։ Մինչդեռ, խնդիրը լուծելու համար կարևոր է ճշտությամբ իմանալ որտեղ է հատկապես ընդհատվում ինների շարքը և սկսվում մյուս թվանշանների սերիան։

Այժմ համեմատեցեք, թե հանրահաշիվը որքան կարճ է կատարում այդ հաշվարկը։ Այն օգտվում է հետևյալ մոտավոր հավասարությունից՝ եթե -ն շատ փոքր կոտորակ է, ապա

,

որտեղ նշանը նշանակում է «մոտավորապես հավասար է»։ Այս պնդման իրավացիության մեջ համոզվելը շատ հեշտ է՝ բաժանելին բաղդատենք այն արտադրյալի հետ, որն ստացվում է բաժանարարը քանորդով բազմապատկելուց՝

,

այսինքն՝

,

Քանի որ -ն շատ փոքր կոտորակ է (օրինակ, ), ապա -ն ավելի քան փոքր կոտորակ է () և այն կարելի է անտեսել։

Ասվածը կիրառենք մեր հաշվարկի համար^[24]

Մենք ստացանք միևնույն արդյունքը, ինչ որ առաջ, բայց անհամեմատ ավելի կարճ ճանապարհով։

(Հավանաբար ընթերցողին հետաքրքիր է իմանալ, թե մեխանիկայի բնագավառից բերված մեր խնդրում ստացված արդյունքն ի՛նչ արժեք ունի) Այդ արդյունքը ցույց է տալիս,որ լույսի արագության համեմատությամբ դիտարկվող արագությունները փոքր լինելու պատճառով արագությունների գումարման հին օրենքից շեղվելը պրակտիկորեն չի հայտնաբերվում՝ այն հայտնվում է որոշված թվի տասնմեկերորդ թվանշանի վրա, իսկ երկարության ամենաճշգրիտ չափումների ժամանակ էլ չեն վերցնում ինը թվանշանից ավելի. նույնիսկ սովորական տեխնիկայի մեջ սահմանափակվում են անգամ 3-4 թվանշաններով։ Դրա համար մենք, առանց որևէ վերապահության, իրավունք ունենք հաստատելու, որ էյնշտեյնյան նոր մեխանիկան գործնականորեն ոչինչ չի փոխում տեխնիկական հաշվումների մեջ, որը վերաբերում է (լույսի տարածման համեմատությամբ) «դանդաղ» շարժվող մարմիններին)։

ԵՐԲ ԱՌԱՆՑ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ԱՎԵԼԻ ՊԱՐԶ Է

Այն դեպքերին զուգընթաց, երբ հանրահաշիվը թվաբանությանը ցnւյց է տալիս էական ծառայություններ, լինում են և այնպիսի դեպքեր, երբ հանրահաշվի միջամտությունը բերում է միայն անտեղի բարդացումներ։ Մաթեմատիկայի իրական արժեքը մաթեմատիկան միջոցներից հմտորեն օգտվելու մեջ է, որպեսզի ընտրենք միշտ ամենաուղիղ և հարմարավետ ճանապարհը՝ հաշվի առնելով այն, թե խնդրի լուծման մեթոդը վերաբերո՞ւմ է արդյոք թվաբանությանը, հանրահաշվին, երկրաչափությանը և այլն։ Այդ պատճառով օգտակար կլինի դիտարկել այն դեպքը, երբ հանրահաշվի ներմուծումը կարող է միայն շփոթեցնել լուծողին։ Ուսանելի օրինակ կարող է ծառայել հետևյալ խնդիրը։

Գտնել այն բոլոր թվերից ամենափոքրը, որոնք բաժանելիս

-ի,	տալիս են		մնացորդ,
-ի,	»		»
-ի,	»		»
-ի,	»		»
-ի,	»		»
-ի,	»		»
-ի,	»		»
-ի,	»		»

Լուծում

Այս խնդիրն ինձ առաջարկել են հետևյալ բառերով՝ «Դուք ինչպե՞ս կլուծեիք այսպիսի խնդիրը։ Այստեղ չափազանց շատ հավասարումներ կան, դրանցից գլուխ հանել չի լինի»։

Գաղտնիքը հեշտ է բացվում. այս խնդրի լուծման համար ոչ մի հավասարում, ոչ մի հանրահաշիվ չի պահանջվում՝ այն լուծվում է պարզ թվաբանական դատողությամբ։

Որոնելի թվին ավելացնենք մեկ։ Այդ դեպքում ի՞նչ մնացորդ կտա այն -ի բաժանելիս։

Մնացորդը . այլ խոսքով, թիվը բաժանվում է -ի առանց մնացորդի։

Ճիշտ նույնպես այն բաժանվում է առանց մնացորդի և -ի, -ի, -ի, -ի, -ի, -ի, -ի։ Այդ թվերից ամենափոքրը , և որոնելի թիվը հավասար է , որը դժվար չէ ստուգել փորձելով։

ՓՈՂԿԱՊ ԳՆԵԼԸ

Խնդիր

Խանութում գնված փողկապի համար դուք պետք է վճարեք ռուբ.։

Ձեր ունեցածը միայն երեք ռուբլիանոցներ են, գանձապահինը՝ միայն հինգ ռուբլիանոցներ։ Դուք կարո՞ղ եք արդյոք այդպիսի փողերի առկայության դեպքում գանձապահի հետ հաշիվները փակել և ինչպե՞ս։

Խնդրի հարցը պահանջում է իմանալ որքան երեք ռուբլիանոց պետք է դուք տաք գանձապահին, որպեսզի վճարելով ռուբլի, ստանաք հինգ ռուբլիանոցներով մանր դրամ։ Խնդրի անհայտները երկուսն են՝ երեք ռուբլիանոցների թիվը () և հինգ ռուբլիանոցների թիվը ()։ Բայց կարելի է կազմել մի այն մեկ հավասարում՝

։

Թեև երկու անհայտով մի հավասարումն ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ, բայց բնավ դեռ ակներև չէ, որ նրանց մեջ -ի և -ի համար գտնվի թեկուզ մեկ լուծում ամբողջ դրական թվերով (հիշենք, որ այն թղթադրամների թիվն է)։

Ահա թե ինչու հանրահաշիվը մշակել է նման «անորոշ» հավասարումների լուծման մեթոդ։ Դրանց հանրահաշվի մեջ ներմուծելու ծառայությունը պատկանում է այդ գիտության առաջին եվրոպական ներկայացուցչին, հեռավոր անցյալի հռչակավոր մաթեմատիկոս Դիոֆանտին, որի պատճառով այդպիսի հավասարումները հաճախ կոչվում են «դիոֆանտյան» հավասարումներ։

Լուծում

Բերված օրինակի վրա ցույց տանք, թե ինչպես պետք է լուծել նման հավասարումները։

հավասարման միջոցով պետք է գտնել -ի և -ի արժեքները, ընդ որում գիտենալով, որ -ը և -ը ամբողջ և դրական թվեր են։

Մեկուսացնենք այն անհայտը, որի գործակիցը փոքր է այսինքն՝ անդամը, կստանանք՝

,

որտեղից՝

։

Քանի որ -ը, -ը և -ը ամբողջ թվեր են, ապա հավասարությունը կարող է ճիշտ լինել միայն այն պայմանի դեպքում, երբ -ը նույնպես ամբողջ թիվ է։ Նշանակենք այն տառով։ Այդ դեպքում

,

որտեղ

,

և, նշանակում է՝

։

Վերջին հավասարումից որոշենք -ը՝

։ Քանի որ -ը և -ն ամբողջ թվեր են, ապա և պետք է

լինի մի որոշ ամբողջ թիվ։ Հետևաբար,

,

ընդ որում

,

որտեղից

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

արժեքը տեղադրենք նախորդ հավասարման մեջ՝

,

։

Այսպիսով, -ի և -ի համար մենք գտանք հետևյալ արտահայտությունները^[25]

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

թվերը, ինչպես գիտենք, ոչ միայն ամբողջ են, այլև դրական, այսինքն մեծ են -ից։ Հետևաբար,

,

։

Այս անհավասարությունից կստանանք՝

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ,

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

Դրանով էլ մեծությունը սահմանափակվում է. այն մեծ է, քան -ը^[26] Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։ Բայց քանի որ -ը ամբողջ թիվ է, ապա եզրակացնում ենք, որ նրա համար հնարավոր են միայն հետևյալ արժեքները՝

-ի և -ի համար համապատասխան արժեքները կլինեն

Այժմ մենք որոշեցինք, թե ինչպես պետք է կատարել վճարումը։

Դուք կամ կվճարեք երեք ռուբլիանոցներ՝ ստանալով մի հինգ ռուբլիանոց մանր դրամ՝

,

կամ կվճարեք երեք ռուբլիանոցներ՝ ստանալով հինգ ռուբլիանոց մանր դրամ՝

և այլն։

Տեսականորեն խնդիրն ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ, իսկ գործնականում լուծումների թիվը սահմանափակ է, քանի որ ո՛չ գնորդի և ո՛չ էլ գանձապահի մոտ չկա անթիվ բազմությամբ թղթադրամ։ Եթե, օրինակ, յուրաքանչյուրի մոտ կա ընդամենը -ական թղթադրամ, ապա վճարումը հնարավոր է կատարել միայն մեկ եղանակով՝ երեք ռուբլիանոցներ վճարելով և ռուբլի մանր դրամ ստանալով։ Ինչպես տեսնում ենք, անորոշ հավասարումները գործնականում կարող են տալ միանգամայն որոշակի, զույգ լուծումներ։

Անդրադառնալով մեր խնդրին՝ առաջարկում ենք ընթերցողին որպես վարժություն ինքնուրույնաբար լուծել միայն այն վարիանտը, երբ գնորդն ունի միայն հինգ ռուբլիանոցներ, իսկ գանձապահը՝ միայն երեք ռուբլիանոցներ։ Արդյունքում ստացվում է լուծումների այսպիսի շարք՝

Իրոք,

,

,

,

..........................

Մենք այս արդյունքները կարող էինք ստանալ նաև հիմնական խնդրի արդեն պատրաստի լուծումներից՝ օգտվելով հանրահաշվական պարզ եղանակից։ Քանի որ տալ հինգ ռուբլիանոցներ և ստանալ երեք ռուբլիանոցներ միևնույնն է, թե «ստանալ բացասական հինգ ռուբլիանոցներ» և «տալ բացասական երեք ռուբլիանոցներ», ապա խնդրի նոր վարիանտը լուծվում է այն նույն հավասարմամբ, որը մենք կազմեցինք հիմնական խնդրի համար.

,

բայց այն պայմանով, որ -ը և -ը բացասական թվեր են։ Ուստի՝

հավասարություններից գիտենալով, որ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): , եզրակացնում ենք՝

,

և, հետևաբար,

։^[27]

Ընդունելով և այլն, նախորդ բանաձևերից կստանանք -ի և -ի համար հետևյալ արժեքները։

Լուծումների առաջին զույգը՝ նշանակում է, որ գնորդը «վճարում է մինուս երեք ռուբլիանոցներ» և ստանում է մինուս հինգ ռուբլիանոցներ», այսինքն՝ սովորական լեզվով ասած, վճարում է հատ հինգ ռուբլիանոց և ստանում է հատ երեք ռուբլիանոց մանր դրամ։

Նման ձևով կմեկնաբանենք և մյուս լուծումները։

ՎԵՐՍՏՈՒԳՈՒՄ ԽԱՆՈՒԹՈՒՄ

Խնդիր

Խանութի առետրամատյանների ստուգման ժամանակ պարզվեց, որ գրանցումներից մեկը ծածկված է թանաքով, ունի այսպիսի տեսք՝

Հնարավոր չէր վերծանել վաճառված մետրերի թիվը, բայց կասկած չկար, որ այդ թիվը կոտորակային չէ. ստացված գումարում կարելի էր տարբերել միայն վերջին երեք թվանշանները, և դարձյալ հաստատել, որ դրանցից առաջ եղել են ինչ-որ երեք այլ թվանշաններ։

Կարո՞ղ է արդյոք վերստուգիչ հանձնաժողովը այդ հետքերով որոշել գրանցումը։

Լուծում

Մետրերի թիվը նշանակենք -ով։ Վաճառքից ստացված մուտքը արտահայտված կոպեկներով կլինի

։

Գրանցման դրամական գումարի երեք ծածկված թվանշաններով արտահայտված թիվը նշանակենք -ով։ Հավանորեն այդ թիվը հազար կոպեկների թիվ է, իսկ ամբողջ գումարը կոպեկներով կարտահայտվի այսպես՝

։

Կունենանք հետևյալ հավասարումը՝

,

կամ, -ով կրճատելուց հետո,

։

Այս հավասարման մեջ -ը և -ը ամբողջ թվեր են և ընդսմին -ը մեծ չէ -ից, քանի որ երեքից ավելի թվանշաններով այն կազմվել չի կարող։ Լուծենք այդ հավասարումը, ինչպես ցույց էր տրված առաջ՝

,

։

(Այստեղ մենք ընդունեցինք , քանի որ մեզ ձեռնտու է ունենալ հնարավորին չափ ավելի փոքր մնացորդներ։

կոտորակը ամբողջ թիվ է, իսկ քանի որ -ը չի բաժանվում -ի, ապա կոտորակը պետք է լինի ամբողջ թիվ, որը և մենք նշանակել ենք -ով)։

Այնուհետև

հավասարումից ունենք`

,

, որտեղ

և, հետևաբար,

,

։^[28]

Մենք գիտենք, որ

։

Հետևաբար,

,

որտեղից

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

Ակնհայտ է, որ -ի համար գոյություն ունի միայն մեկ ամբողջ արժեք՝

,

և այդ ժամանակ , այսինքն՝ վաճառված էր մետր կտոր ռ. կ. գումարով։ Գրանցումը վերականգնված է։

ՆԱՄԱԿԱՆԻՇԵՐԻ ԳՆՈՒՄ

Խնդիր

Պահանջվում է ռուբլով գնել հատ նամականիշ՝ -կոպեկանոց, -կոպեկանոց և կոպեկանոց։ Յուրաքանչյուր արժողության քանի՞ նամականիշ կարելի է գնել։

Լուծում

Այս դեպքում մենք ունենք երեք անհայտով երկու հավասարում՝

,

,

որտեղ -ը -կոպեկանոց նամականիշերի թիվն է, -ը՝ -կոպեկանոց, -ը՝ -կոպեկանոց։ Առաջին հավասարումը բաժանելով -ի և նրանից հանելով երկրորդը, կստանանք երկու անհայտով մեկ հավասարում՝

։

Գտնենք -ը՝

։

Հավանորեն, -ը ամբողջ թիվ է։ Այն նշանակենք -ով։ Կունենանք՝

։

-ի և -ի արտահայտությունները տեղադրենք սկզբնական հավասարումներից երկրորդի մեջ՝

,

կստանանք՝

։

Քանի որ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): , ապա դժվար չէ որոշել -ի սահմանները

, որտեղից եզրակացնում ենք, որ -ի համար հնարավոր են միայն երկու ամբողջ արժեքներ՝

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

-ի, -ի և -ի համապատասխան արժեքները կլինեն այսպես՝

				Ստուգում
				,
				։

Այսպիսով, նամականիշերի, գնումը հնարավոր է կատարել միայն երկու եղանակով։

Հաջորդ խնդիրը միևնույն կարգի է։

ՄՐԳԵՐ ԳՆԵԼԸ

Խնդիր

ռուբլով գնված է հատ տարբեր տեսակի մրգեր, որոնց գները այսպիսին են՝

ձմերուկ,	հատը	. . . . .		ռուբ.[29]
խնձոր	»	. . . . .		»
սալոր	»	. . . . .		կոպ.։

Որքա՞ն միրգ էր գնված յուրաքանչյուր տեսակից։

Լուծում

Ձմերուկների թիվը նշանակենք -ով խնձորներինը՝ -ով և սալորներինը՝ -ով. կազմենք երկու հավասարումներ՝

,

։

Առաջին հավասարումը բաժանելով -ի և նրանից հանելով երկրորդը, կստանանք երկու անհայտով մեկ հավասարում՝

։

Լուծման հետագա ընթացքը այսպիսին է՝

,

,

։

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

անհավասարություններից գտնում ենք, որ

և հետևաբար ։ Ուստի`

։

-ի և -ի այս արժեքները տեղադրելով երկրորդ հավասարման մեջ, կստանանք ։

Այսպիսով, գնված էր ձմերուկ, խնձոր և սալոր։

Այլ կոմբինացիաներ հնարավոր չեն։

ԾՆՆԴՅԱՆ ՕՐՎԱ ԳՈՒՇԱԿՈՒՄԸ

Խնդիր

Անորոշ հավասարումներ լուծել կարողանալը հնարավորություն է տալիս կատարելու մաթեմատիկական հետևյալ ֆոկուսը։

Դուք առաջարկում եք ձեր ընկերոջը իր ծննդյան ամսաթիվը բազմապատկել -ով, իսկ ամսվա համարը՝ -ով։ Նա հաղորդում է ձեզ երկու արտադրյալների գումարը, և դուք այդ թվով գտնում եք նրա ծննդյան ամիսը և ամսաթիվը։

Եթե, օրինակ, ձեր ընկերը ծնվել է փետրվարի -ին, ապա նա կատարում է հետևյալ հաշվումները՝

։

Այդ վերջին թիվը՝ -ը, նա հաղորդում է ձեզ, և դուք որոշում եք նրա մտածած ամսաթիվը։ Ինչպե՞ս։

Լուծում

Խնդիրը հանգում է ամբողջ և դրական թվերով՝

անորոշ հավասարման լուծմանը, ընդ որում ամսաթիվը մեծ չէ -ից, իսկ ամսվա համարը մեծ չէ -ից։

,

,

,

,

,

։

Գիտենալով, որ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): , գտնում ենք -ի համար հետևյալ սահմանները՝

։

Հետևաբար՝

։

Ծննդյան ամսաթիվը երկրորդ ամսվա -րդ թիվն է, այսինքն՝ փետրվարի -ը։

Ապացուցենք, որ ֆոկուսը միշտ հաջողվում է, այսինքն՝ հավասարումը միշտ ունի դրական ամբողջ մեկ լուծում։ Այն թիվը, որ հաղորդեց ձեր ընկերը, նշանակենք -ով, այդ դեպքում նրա ծննդյան ամսաթվի գտնելը հանգում է

հավասարման լուծմանը։

Դատենք «հակառակը»։ Ենթադրենք, որ այդ հավասարումն ունի երկու տարբեր դրական ամբողջ լուծումներ, այն է՝ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): , ընդ որում -ը և -ը չեն գերազանցում -ին, իսկ -ը և -ը չեն գերազանցում -ին։

Մենք ունենք՝

,

։

Առաջին հավասարությունից հանելով երկրորդը, կստանանք՝

։

Այս հավասարությունից հետևում է, որ թիվը բաժանվում է -ի։ Քանի որ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

թվերը դրական են և չեն գերազանցում -ին, ապա դրանց  տարբերությունը փոքր է -ից։ Ուստի՝  թիվը կբաժանվի -ի միայն այն դեպքում, երբ , այսինքն՝ երբ առաջին լուծումը համընկնում է երկրորդի հետ։ Այսպիսով, երկու տարբեր լուծումների գոյության մասին ենթադրությունը բերում է հակասության։

ՃՏԵՐԻ ՎԱՃԱՌՔ

Հինավուրց խնդիր

Երեք քույրեր շուկա եկան ճտեր վաճառելու։ Վաճառքի համար մեկը բերեց ճուտ, մյուսը՝ , երրորդը՝ ։ Մինչև կեսօր նրանք իրենց Ճտերի մի մասը վաճառեցին միևնույն գնով։ Կեսօրից հետո, վախենալով, որ բոլոր ճտերը չեն վաճառվի, նրանք իջեցրին գինը և մնացած բոլոր ճտերը նորից վաճառեցին միևնույն գնով։ Երեքն էլ տուն վերադարձան հավասար դրամով՝ յուրաքանչյուր քույրը վաճառքից ստացավ ռուբլի։

Նրանք ի՞նչ գնով վաճառեցին ճտերը կեսօրից առաջ և հետո։

Լուծում

Մինչև կեսօր յուրաքանչյուր քրոջ վաճառած ճտերի թիվը նշանակենք ։ Օրվա երկրորդ կեսին նրանք վաճառեցին ճուտ։ Մինչև կեսօր գինը նշանակենք -ով, կեսօրից հետո՝ -ով։ Պարզության համար զուգադրենք այդ նշանակումները.

Վաճառված ճտերի թիվը					Գինը
Մինչև կեսօր	. . .
Կեսօրից հետո	. . .				Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Առաջին քույրը վաճառքից ստացավ՝

, հետևաբար՝ ,

երկրորդը՝

, հետևաբար՝ ,

երրորդը՝

, հետևաբար՝ ։

Ձևափոխենք այս երեք հավասարումները.

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Երրորդ հավասարումից հանելով առաջինը, այնուհետև երկրորդը, հաջորդաբար կստանանք՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

կամ

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Այս հավասարումներից առաջինը բաժանենք երկրորդի վրա՝

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

Քանի որ -ը, -ը, -ը ամբողջ թվեր են, ապա և տարբերությունները նույնպես ամբողջ թվեր են։ Ոստի

^[30]

հավասարման գոյության համար անհրաժեշտ է, որ -ը բաժանվի -ի, իսկ -ը՝ -ի։

Հետևաբար՝

,

որտեղից

,

։

Նկատենք, որ թիվը ոչ միայն ամբողջ է, այլև դրական, քանի որ (հակառակ դեպքում առաջին քույրը չէր կարող վաստակել այնքան, որ քան երրորդը)։

Քանի որ , ապա ։

Ամբողջ և դրական -ի ու -ի դեպքում վերջին անհավասարությունը բավարարվում է միայն մեկ դեպքում՝ երբ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։ Տեղադրելով այդ արժեքները

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

հավասարումների մեջ, գտնում ենք՝ ։

Այժմ անդրադառնանք հետևյալ հավասարումներին՝

,

,

և դրանց մեջ տեղադրենք -ի, -ի, -ի գտնված արժեքները. կիմանանք այն գները, որոնցով վաճառվեցին ճտերը՝

ռուբ., ռուբ.։

Այսպիսով, մինչև կեսօր վաճառվել են ռուբ. կոպ.-ով, կեսօրից հետո՝ ռուբ. կոպ.-ով։

ԵՐԿՈՒ ԹՎԵՐ ԵՎ ՉՈՐՍ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Խնդիր

Նախորդ խնդիրը, որը հանգեցրեց հինգ անհայտով երեք հավասարման, մենք լուծեցինք ոչ ընդհանուր ձևով, այլ մաթեմատիկական ազատ կշռադատությամբ։ Ճիշտ այդպես էլ կլուծենք երկրորդ աստիճանի անորոշ հավասարումների բերվող հետևյալ խնդիրները։

Ահա դրանցից առաջինը։

Երկու ամբողջ դրական թվերով կատարել են հետևյալ չորս գործողությունները՝

1) դրանք գումարել են.

2) մեծից հանել են փոքրը.

3) բազմապատկել են.

4) մեծը բաժանել են փոքրի վրա։

Ստացված արդյունքները գումարել են, որը կազմել է ։ Գտնել այդ թվերը։ Լուծում

Եթե մեծ թիվը է, փոքրը՝ , ապա

։

Եթե այս հավասարումը բազմապատկենք -ով, այնուհետև բացենք փակագծերը և կատարենք նման անդամների միացում, ապա կստանանք՝

։

Բայց

։

Ուստի՝

։

Որպեսզի -ը լինի ամբողջ թիվ, հայտարարը պետք է լինի -ի բաժանարարներից մեկը (որովհետև -ը -ի հետ չի կարող ունենալ ընդհանուր արտադրիչներ)։ Գիտենալով, որ –ի, եզրակացնում ենք, որ -ը բաժանվում է միայն հետևյալ թվերի վրա, որոնք հանդիսանում են ճիշտ քառակուսիներ՝ ։ Այսպիսով՝ -ն պետք է հավասար լինի Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): , որտեղից(հիշելով, որ -ը պետք է լինի դրական) գտնում ենք, որ -ը հավասար է Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

Այդ դեպքում -ը հավասար է

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

Այսպիսով, որոնելի թվերն են՝ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

ԻՆՉՊԻՍԻ՞ ՈՒՂՂԱՆԿՅՈՒՆ Է

Խնդիր

Ուղղանկյան կողմերը արտահայտվում են ամբողջ թվերով։ Ի՞նչ երկարություններ պետք է ունենան դրանք, որպեսզի ուղղանկյան պարագիծը թվապես հավասարվի նրա մակերեսին։

Լուծում

Ուղղանկյան կողմերը նշանակելով -ով և -ով, կազմենք հետևյալ հավասարումը՝

,

որտեղից

։

Քանի որ -ը և -ը պետք է լինեն դրական, ապա դրական պետք է լինի նաև թիվը, այսինքն՝ -ը պետք է լինի -ից մեծ։

Նկատենք այժմ, որ

։

Քանի որ -ը պետք է լինի ամբողջ թիվ, ապա արտահայտությունը պետք է լինի ամբողջ թիվ։ Բայց դեպքում այդ հնարավոր է, եթե միայն հավասար է Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։ -ի համապատասխան արժեքները կլինեն ։

Այսպիսով, որոնելի պատկերը կա՛մ ուղղանկյուն է Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

կողմերով, կա՛մ քառակուսի՝  կողմով։

ԵՐԿՈՒ ԵՐԿԱՆԻՇ ԹՎԵՐ

Խնդիր

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

թվերն ունեն հետաքրքիր առանձնահատկություն՝ դրանց արտադրյալը չի փոխվում, եթե տեղափոխենք այդ թվերի թվանշանները։

Իրոք,

։

Պահանջվում է որոշել՝ գոյություն ունե՞ն արդյոք երկանիշ թվերի այլ զույգեր՝ միևնույն հատկությամբ։ Ի՞նչպեսդրանց գտնել։

Լուծnւմ

Որոնելի թվերի թվանշանները նշանակելով Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): , կազմենք հավասարում՝

։

Բացելով փակագծերը և պարզեցնելով, կստանանք՝

,

որտեղ -ը, -ը, -ը, -ն ամբողջ թվեր են և փոքր են -ից։ Լուծումները փնտրելու համար թվանշաններից կազմենք հավասար արտադրյալներով բոլոր զույգերը՝

Բոլոր հավասարությունները հատ են։ Յուրաքանչյուրից կարելի է կազմել թվերի մեկ կամ երկու որոնելի խումբ։ Օրինակ՝ հավասարությունից գտնում ենք մի լուծում՝

։

հավասարությունից գտնում ենք երկու լուծումներ՝

։

Այս ձևով որոնում ենք հետևյալ լուծումները՝

ՊՅՈՒԹԱԳՈՐՅԱՆ ԹՎԵՐ

Տեղանքում ուղղահայաց գծեր անցկացնելու համար հողաչափերի կողմից գործածվող շատ ճիշտ և հարմար միջոցը կայանում է հետևյալում։ Դիցուք, պահանջվում է. Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

ուղղին տանել ուղղահայաց (գծ. 13)։ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): 
ուղղությամբ երեք անգամ տեղադրում են մի որևէ  հեռավորություն։ Այնուհետև լարի վրա կապում են երեք հանգույց, որոնց միջև եղած հեռավորությունները հավասար են Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): 

. Ծայրերի հանգույցները կցելով Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

կետերին, լարը ձգում են միջին հանգույցի կողմը։ Լարը ստանում է եռանկյան ձև, որի մեջ  անկյունը ուղիղ է։

Այդ հնադարյան եղանակը, որ կիրառում էին եգիպտական բուրգերի շինարարները դեռ հազարամյակներ սրանից առաջ, հիմնված էր այն բանի վրա, որ յուրաքանչյուր եռանկյան, եթե նրա կողմերը հարաբերում են՝ ինչպես , համաձայն Պյութագորի հանրածանոթ թեորեմայի, ուղղանկյուն է, քանի որ

։

Բացի թվերից, ինչպես հայտնի է, գոյություն անեն անթիվ բազմությամբ ամբողջ դրական թվեր, որոնք բավարարում են հետևյալ առնչությանը՝

։

Դրանք կոչվում են Պյութագորյան թվեր։ Պյութագորի թեորեմայի համաձայն այդպիսի թվերը կարող են ծառայել որպես որոշ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարություններ. դրա համար էլ -ն և -ն կոչվում են «էջեր», իսկ -ն՝ «ներքնաձիգ»։

Պարզ է, որ եթե թվերը Պյութագորյան թվերի եռյակ են, ապա (որտեղ -ն ամբողջ արտադրիչ է) թվերը ևս պյութագորյան թվեր են։ Հակադարձաբար, եթե պյութագորյան թվերն ունեն ընդհանուր արտադրիչ, ապա այդ ընդհանուր արտադրիչով կարելի է դրանք բոլորը կրճատել, և նորից ստանալ պյութագորյան թվերի եռյակ։ Ուստի՝ սկզբում կհետազոտենք պյութադորյան թվերի միայն փոխադարձ պարզ եռյակները (մնացածները ստացվում են դրանցից՝ բազմապատկելով p ամբողջ արտադրիչով)։

Ցույց տանք, որ տիպի եռյակներից յուրաքանչյուրի մեջ «էջեր»-ից մեկը պետք է լինի զույգ, իսկ մյուսը՝ կենտ։ Դատենք «հակառակը»։ Եթե Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

երկու «էջերն» էլ զույգ են, ապա զույգ կլինի  թիվը. նշանակում է զույգ է նաև «ներքնաձիգը»։ Սակայն, այդ հակասում է այն բանին, որ  թվերը չունեն ընդհանուր արտադրիչներ, քանի որ երեք զույգ թվերը ունեն  ընդհանուր արտադրիչը։ Այսպիսով, Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): 
«էջեր»-ից թեկուզ մեկը կենտ է։

Մնում է դարձյալ մի հնարավորություն։ Երկու «էջերն» էլ կենտ են, իսկ «ներքնաձիգը» զույգ է։ Դժվար չէ ապացուցել, որ այդ հնարավոր չէ։ Իրոք, եթե «էջերն» ունեն հետևյալ տեսքը՝

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ,

ապա դրանց քառակուսիների գումարը հավասար է

,

այսինքն` իրենից ներկայացնում է մի թիվ, որը -ի բաժանելիս մնացորդում տալիս է ։ Այնինչ, ամեն մի զույգ թվի քառակուսին կբաժանվի -ի վրա առանց մնացորդի։ Նշանակում է՝ երկու կենտ թվերի քառակուսիների գումարը չի կարող լինել զույգ թվի քառակուսի. այլ կերպ ասած, մեր երեք թվերը՝ պյութագորյան չեն։

Այսպիսով, «էջեր»-ից մեկը զույգ է, իսկ մյուսը՝ կենտ։ Ուստի՝ թիվը կենտ է, իսկ այս նշանակում է, որ կենտ է նաև «ներքնաձիգը»։

Պարզության համար, ենթադրենք, որ «էջը» հանդիսանում է կենտ, իսկ -ն՝ զույգ։

հավասարությունից մենք հեշտությամբ կստանանք՝

։

Աջ մասում գրված Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

արտադրիչները փոխադարձ պարզ են։ Իրոք, եթե այդ թվերն ոնենային մեկից տարբեր ընդհանուր պարզ արտադրիչ, ապա այդ արտադրիչի վրա կբաժանվեր և՛ գումարը՝

,

և՛ տարբերությունը՝

,

և՛ արտադրյալը

,

այսինքն` Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

թվերը կունենային ընղհանուր արտադրիչ։ Քանի որ -ն կենտ է, ապա այդ արտադրիչը երկուսից տարբեր է, և այս պատճառով էլ  թվերն ունեն հենց այդ ընդհանուր արտադրիչը, որը, սակայն, հնարավոր չէ։

Ստացված հակասությունը ցույց է տալիս, որ Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

թվերը փոխադարձ պարզ են։

Բայց եթե փոխադարձ պարզ թվերի արտադրյալը ճիշտ քառակուսի է, ապա դրանցից յուրաքանչյուրը հանդիսանում է քառակուսի, այսինքն՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

Լուծելով այս սիստեմը, գտնում ենք՝

,

։

Այսպիսով, դիտարկված պյութագորյան թվերն ունեն հետևյալ տեսքը՝

,

որտեղ -ը և -ը որոշ փոխադարձ պարզ, կենտ թվեր են։ Ընթերցողը կարող է հեշտությամբ. համոզվել և հակադարձի մեջ՝ ցանկացած կենտ -ի և -ի դեպքում գրված բանաձևերը տալիս են պյութագորյան երեք թվեր։

Ահա պյութագորյան թվերի մի քանի եռյակներ, որոնք ստացվում են -ի և -ի տարբեր արժե քների դեպքում՝

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

(Պյութագորյան թվերի մնացած բոլոր եռյակները կա՛մ ունեն ընդհանուր արտադրիչներ, կա՛մ պարունակում են թվեր, որ մեծ են հարյուրից)։

Պյութագորյան թվերն ընդհանրապես մի շարք հետաքրքիր առանձնահատկություններ ունեն, որոնք մենք ստորև կթվարկենք առանց ապացուցումների։

1) «էջեր»-ից մեկը պետք է երեքի բազմապատիկը լինի։

2) «էջեր»-ից մեկը պետք է չորսի բազմապատիկը լինի։

3) Պյութագորյան թվերից մեկը պետք է հինգի բազմապատիկը լինի։

Ընթերցողը կարող է համոզվել այդ հատկությունների առկայության մեջ՝ նայելով պյութագորյան թվերի խմբերի վերը բերված օրինակները։

ԵՐՐՈՐԴ ԱՍՏԻՃԱՆԻ ԱՆՈՐՈՇ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ

Երեք ամբողջ թվերի խորանարդների գումարը կարող է լինել չորրորդ թվի խորանարդը։ Օրինակ՝

։

Այդ նշանակում է, ի միջի այլոց, որ խորանարդը, որի կողը հավասար է Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): -ի, հավասարամեծ է երեք այնպիսի խորանարդների գումարին, որոնց կողերը հավասար են՝ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

(նկ. 14). այս առնչությունը, ըստ ավանդության, Պլատոնին չափազանց զբաղեցրել է։

Փորձենք գտնել այդպիսի տեսքի այլ առնչություններ, այսինքն՝ մեր առջև դնենք այսպիսի խնդիր՝ գտնել հավասարման լուծուքմները։ Հարմար է, սակայն, անհայտը նշանակել -ով։ Այդ դեպքում հավասարումը կունենա ավելի պարզ տեսք

։

Դիտարկենք այն եղանակը, որը թույլ է տալիս գտնել այդ հավասարման անթիվ բազմությամբ ամբողջական լուծումները (դրական և բացասական)։ Դիցուք Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

երկու քառյակ թվեր են, որոնք բավարարում են հավասարմանը։ Առաջին քառյակի թվերին ավելացնենք երկրորդ քառյակի թվերը՝ նախապես դրանք բազմապատկելռվ մի որոշ  թվով, և աշխատենք  թիվն ընտրել այնպես, որ ստացված

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

թվերը նույնպես բավարարեն մեր հավասարմանը։ Այլ կերպ ասած, -ն ընտրենք այն ձևով, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։

Բացելով փակագծերը և վերհիշելովդ որ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

քառյակ թվերը բավարարում են մեր հավասարմանը, այսինքն՝ տեղի կունենան

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ,

հավասարությունները, մենք կստանանք՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

կամ

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։^[31]

Արտադրյալը կարող է դառնալ զրո միայն այն դեպքում, երբ նրա արտադրիչներից գոնե մեկը դառնում է զրո։ Արտադրիչներից յուրաքանչյուրը հավասարեցնելով զրոյի, -ի համար մենք կստանանք երկու արժեքներ։ Առաջին արժեքը , մեզ չի հետաքրքրում. այն նշանակում է, որ եթե թվերին ոչինչ չավելացնենք, ապա ստացված թվերը բավարարում են մեր հավասարմանը։ Ուստի՝ մենք -ի համար վերցնում ենք միայն երկրորդ արժեքը՝

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։

Այսպիսով, գիտենալով թվերի երկու քառյակներ, որոնք բավարարում են սկզբնական հավասարմանը, հնարավոր է գտնել նոր քառյակ. դրա համար պետք է առաջին քառյակի թվերին ավելացնել երկրորդ քառյակի թվերը՝ դրանք նախապես բազմապատկելով -ով, որտեղ -ն ունի վերը գրված արժեքը։

Այդ եղանակը կիրառելու համար պետք է գիտենալ թվերի երկու քառյակներ, որոնք բավարարում են սկզբնական հավասարմանը։ Այդպիսի մի քառյակ մենք արդեն գիտենք։ Որտեղի՞ց վերցնել ևս մեկ քառյակ։ Այդ դրությունից դուրս գալը շատ հեշտ է՝ որպես երկրորդ քառյակ կարելի է վերցնել թվերը, որոնք, ակնհայտորեն, բավարարում են սկզբնական հավասարմանը։ Այլ կերպ ասած, ընդունենք

,

Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։

Այդ դեպքում, ինչպես հեշտ է նկատել, -ի համար մենք կստանանք հետևյալ արժեքը՝

,

իսկ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ):

թվերը համապատասխանորեն հավասար կլինեն

։

Համաձայն վերը ասվածի, այդ չորս արտահայտությունները բավարարում են

^[32]

սկզբնական հավասարմանը։

Քանի որ այդ բոլոր արտահայտություններն ունեն միատեսակ հայտարար, ապա այն կարելի է դեն գցել (այսինքն՝ այդ կոտորակների համարիչները նույնպես բավարարում են դիտարկվող հավասարմանը)։ Այսպիսով, գրված հավասարմանը բավարարում են (ցանկացած -ի և -ի դեպքում) հետևյալ թվերը՝

,

,

,

,

այդ բանում, իհարկե, կարելի է համոզվել և անմիջականորեն՝ այդ արտահայտությունները խորանարդ բարձրացնելով և գումարելով։ -ին և -ին տալով տարբեր, ամբողջ արժեքներ՝ մենք կարող ենք ստանալ մեր հավասարման ամբողջական լուծումների մի ամբողջ շարք։ Եթե այդ դեպքում ստացված թվերը կունենան ընդհանուր արտադրիչ, ապա նրա վրա կարելի է այդ թվերը բաժանել։ Օրինակ, երբ , -ի, -ի, -ի, -ի համար կստանանք հետևյալ արժեքները՝ կամ -ով կրճատելուց հետո՝ արժեքները։ Այսպիսով՝

։

Ահա ևս նույն տիպի հավասարությունների մի ամբողջ շարք (որոնք ստացվում են ընդհանուր արտադրիչով կրճատելուց հետո).

երբ ,

երբ ,

երբ ,

երբ ,

երբ ,

երբ ,

երբ ։

. . . . . . . . . . .

Նկատենք, որ եթե սկզբնական քառյակի մեջ կամ հենց նոր ստացված քառյակներից մեկի մեջ թվերի տեղերը փոխենք և կիրառենք նույն եղանակը, ապա կստանանք լուծումների նոր սերիա։ Օրինակ՝ վերցնելով քառյակը (այսինքն՝ ենթադրելով ), մենք -ի, -ի, -ի, -ի համար կստանանք հետևյալ արժեքները՝

,

,

,

։

Այստեղից -ի և -ի տարբեր արժեքների դեպքում կստանանք նոր առնչություններ՝

երբ ,

երբ ,

երբ ,

երբ ,

երբ ,

երբ

և այլն։

Այս ճանապարհով կարելի է ստանալ դիտարկվող հավասարման համար անթիվ բազմությամբ լուծումներ։

ՀԱՐՅՈՒՐ ՀԱԶԱՐ՝ ԹԵՈՐԵՄԱՅԻ ԱՊԱՑՈՒՑՄԱՆ ՀԱՄԱՐ

Անորոշ հավասարումներից մի խնդիր մեծ ճանաչում էր գտել, քանի որ այն ճիշտ լուծելու համար կտակված էր մի ամբողջ հարստություն՝ գերմանական մարկ։

Խնդիրը կայանում է նրանում, որպեսզի ապացուցվի Ֆերմայի թեորեմա կամ «մեծ առաջադրություն» կոչվող հետևյալ դրույթը։

Երկու ամբողջ թվերի միատեսակ աստիճանների գումարը չի կարող լինել որևէ երրորդ ամբողջ թվի նույն աստիճանը։ Բացառություն է կազմում միայն երկրորդ աստիճանը, որի համար այդ հնարավոր է։

Այլ կերպ ասած, պետք է ապացուցել, որ

հավասարումը լուծելի չէ ամբողջ թվերի համար։

Պարզաբանենք ասվածը։ Մենք տեսանք, որ

,

հավասարումները ունեն ցանկացածին չափ ամբողջական լուծումներ։ Բայց փորձեցեք գտնել երեք ամբողջ դրական թվեր, որոնց համար տեղի ունենա հավասարությունը. ձեր որոնումները կմնան ապարդյուն։

Նույն անհաջողությանը կմատնվեք դուք նաև չորրորդ, հինգերորդ, վեցերորդ և այլն աստիճանների համար օրինակներ փնտրելիս։ Հենց դա է հաստատում «Ֆերմայի մեծ առաջադրությունը»։

Իսկ ի՞նչ է պահանջվում նվիրատվություն փնտրողներից։ Նրանք պետք է ապացուցեն այդ դրույթը բոլոր այն աստիճանների համար, որոնց համար այն ճիշտ է։ Բանն այն է, որ Ֆերմայի թեորեման դեռ ապացուցված չէ և կախված է, այսպես ասած, օդում։^[33]

Այն ժամանակից, երբ առաջարկվել է այդ թեորեման, անցել է երեք հարյուր տարի, սակայն մաթեմատիկոսներին չի հաջողվել մինչև այժմ էլ գտնել նրա ապացույցը։ Մեծագույն մաթեմատիկոսները ջանք են թափել այդ պրոբլեմի վրա, սակայն լավագույն դեպքում նրանց հաջողվել է ապացուցել թեորեման միայն այս կամ այն առանձին ցուցիչի համար կամ ցուցիչների խմբերի համար, անհրաժեշտ է գտնել ընդհանուր ապացույց ամեն մի ամբողջ ցուցիչի համար։

Զարմանալի է, որ Ֆերմայի թեորեմայի անըմբռնելի ապացույցը, ըստ երևույթին, մի անգամ արդեն գտնվել է, բայց այնուհետև նորից կորել է։ Թեորեմայի հեղինակը՝ 17-րդ դարի հանճարեղ մաթեմատիկոս Պիեռ Ֆերման^[34] պնդում էր, որ նրա ապացույցը իրեն հայտնի է։ Իր «Մեծ առաջադրությունը» (ինչպես և մի շարք այլ թեորեմաներ թվերի տեսությունից) դիտողության տեսքով գրեց Դիոֆանտի երկերի լուսանցքներում, այն ուղեկցելով այսպիսի լրացումով՝

«Ես գտա այդ առադրության իսկապես զարմանալի ապացույցը, բայց այստեղ տեղը փոքր է, որպեսզի այն մեջ բերեմ»։

Մեծ մաթեմատիկոսի ո՛չ թղթերում, ո՛չ գրագրություններում և ընդհանրապես ոչ մի տեղ այդ ապացույցի հետքերը գտնել չհաջողվեց։

Ֆերմայի հետևորդները ստիպված էին գնալ ինքնուրույն ճանապարհով։ Ահա այդ ջանքերի արդյունքները. Էյլերը (1797) ապացուցեց Ֆերմայի թեորեման երրորդ և չորրորդ աստիճանների համար, հինգերորդ աստիճանի համար այն ապացուցեց Լեժանդրը (1823), յոթերորդի^[35] համար՝ Լամեն և Լեբեգը (1840)։ 1849 թվականին Կումերը թեորեման ապացուցեց աստիճանների ընդհանուր խմբի համար և, ի միջի այլոց, հարյուրից փոքր բոլոր ցուցիչների համար։ Այդ վերջին աշխատանքները հեռանում են մաթեմատիկայի բնագավառի այն սահմաններից, որ ծանոթ էր Ֆերմային) և դառնում է հանելուկային, թե ինչպես վերջինս կարող էր իր «Մեծ առաջադրության» ընդհանուր ապացույց փնտրել։

Ֆերմայի խնդրի պատմությամբ և նրա ժամանակակից վիճակով հետաքրքրվողներին կարելի էր հանձնարարել Ա. Յա. Խինչինի «Ֆերմայի մեծ թեորեման» բրոշյուրը։ Մասնագետի կողմից գրված այս բրոշյուրը նախատեսված է մաթեմատիկայից տարրական գիտելիքներ ունեցող ընթերցողի համար։

ՎԵՑԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ

Գումարումը և բազմապատկումը ունեն մեկական հակադարձ գործողություն, որոնք կոչվում են հանում և բաժանում։ Մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությունը՝ աստիճան բարձրացնելն ունի երկու հակադարձ գործողություն՝ հիմքի գտնելը և ցուցչի գտնելը։ Հիմքի գտնելը մաթեմատիկական վեցերորդ գործողությունն է և կոչվում է արմատ հանել։ Ցուցչի գտնելը՝ յոթերորդ գործողությունն է, որը կոչվում է լոգարիթմում։ Այն պատճառը, որ աստիճան բարձրացնելն ունի երկու հակադարձ գործողություն, իսկ գումարումը և բազմապատկումը միայն մեկական, հասկանալ դժվար չէ. երկու գումարելիներն էլ (առաջին և երկրորդ) իրավահավասար են, դրանց տեղերը կարելի է փոխել, նույնը ճիշտ է բազմապատկման վերաբերյալ։ Սակայն այն թվերը, որ մասնակցում են աստիճան բարձրացնելուն, այսինքն՝ հիմքը և աստիճանի ցուցիչը իրավահավասար չեն. դրանց տեղափոխել ընդհանրապես չի կարելի (օրինակ՝ )։

Ուստի, գումարման և բազմապատկման մեջ մասնակցող թվերից յուրաքանչյուրի գտնելը կատարվում է նույն ձևով, իսկ աստիճանի հիմքի և աստիճանի ցուցչի գտնելը՝ տարբեր ձևերով։

Վեցերորդ գործողությունը՝ արմատ հանելը, նշանակվում է նշանով։ Ոչ բոլորը գիտեն, որ դա լատինական «արմատ» բառի սկզբնատառի ձևափոխությունն է։ Եղել է ժամանակ (XVI դ.), երբ արմատի նշանը ծառայել է ոչ թե փոքրատառը, այլ գլխատառը, իսկ նրա կողքին գրվել է լատինական «քառակուսի» բառի առաջին տառը () կամ «խորանարդ» բառի առաջին տառը () որպեսզի ցույց տրվեր, թե ինչպիսի արմատ էր պահանջվում հանել^[36]։ Օրինակ՝ այժմյան նշանակման փոխարեն գրում էին

։

Եթե դրան ավելացնենք, որ այն դարաշրջանում դեռ գործածական չէին պլյուսի, մինուսի համար ներկայիս նշանները, իսկ դրանց փոխարեն գրում էին Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։):

տառեր, և որ մեր փակագծերը փոխարինվում էին  նշաններով, ապա պարզ է դառնում, թե ժամանակակից տեսանկյունով ինչպիսի անսովոր տեսք պետք է ունենար հանրահաշվական արտահայտությունները։

Ահա մի օրինակ հնագույն մաթեմատիկոս Բոմբելլիի գրքից (1572)։

։

Մենք կգրենք միևնույնը այլ նշաններով՝

։

Բացի նշանակումից, այժմ գործածվում է նույն գործողության համար դարձյալ մի ուրիշը՝ , որ ընդհանրացման իմաստով խիստ հարմար է. այն ակնհայտ ընդգծում էյ որ յուրաքանչյուր արմատ ոչ այլ ինչ է, քան աստիճան, որի ցուցիչը կոտորակային թիվ է։ Այն առաջադրվել է 16-րդ դարի հոլանդական նշանավոր մաթեմատիկոս Ստեվինի կողմից։

Ո՞ՐՆ Է ՄԵԾ

Խնդիր առաջին

Ո՞րն է մեծ՝ -ը, թե՞ -ը։

Այս և հետագա խնդիրները պահանջվում է լուծել, առանց արմատների արժեքները հաշվելու։

Լուծում

Երկու արտահայտություններն էլ բարձրացնելով -րդ աստիճան, կստանանք՝

։

Քանի որ , ապա

։

Խնդիր երկրորդ

Ո՞րն է մեծ՝ -ը թե՞ -ը։

Լուծում

Երկու արտահայտություններն էլ բարձրացնելով -րդ աստիճան, կստանանք՝

,

։

Քանի որ , ապա և

։

Խնդիր երրորդ

Ո՞րն է մեծ` -ը, թե՞ -ը։

Լուծում

Երկու արտահայտությունն էլ բարձրացնելով քառակուսի, կստանանք՝

,

։

Երկու արտահայտությունն էլ փոքրացնենք -ով, կստանանք

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

Այդ արտահայտությունները բարձրացնենք քառակուսի։ Կունենանք՝

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

Հանելով -ական, համեմատենք՝

Չհաջողվեց վերլուծել (PNG վերածումը ձախողվեց. ստուգեք latex, dvips, gs և convert ծրագրերի տեղադրման ճշտությունը։): ։

Քանի որ մեծ է -ից, ապա ,

հետևաբար՝

։

ԼՈՒԾԵԼ ՄԵԿ ՀԱՅԱՑՔՈՎ

Խնդիր

Ուշադրությամբ նայեցեք

հավասարմանը և ասացեք` ինչի՞ է հավասար -ը։

Լուծում

Հանրահաշվական սիմվոլների հետ լավ վարժված յուրաքանչյուր ոք հասկանում է, որ

։

Իրոք. այդ դեպքում

,

և հետևաբար, ,

այն, ինչ պահանջվում էր։

Ում համար «մեկ հայացքով լուծումը» հանդիսանում է ուժից վեր, նա կարող է հեշտացնել անհայտի որոնելը հետևյալ ձևով.

Դիցուք

։

Այդ ժամանակ

,

և հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

,

կամ բարձրացնելով խորանարդ՝

։

Պարզ է, որ և, հետևաբար,

։

ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԱԿԱՆ ԿՈՄԵԴԻԱՆԵՐ

Խնդիր առաջին

Մաթեմատիկական վեցերորդ գործողությունը հնարավորություն է տալիս իսկական հանրահաշվական կոմեդիաներ և ֆարսեր ցուցադրել այնպիսի սյուժեներով, ինչպես՝ և այլն։ Մաթեմատիկական նման ներկայացումների հումորը նրանում է, որ սխալը բավականին տարրական է, մասամբ քողարկվում և միանգամից աչքի չի ընկնում։

Այդ կոմիկական ռեպերտուարից ներկայացնենք երկու պիես հանրահաշվի վերաբերյալ։

Առաջին՝

։

Սկզբում դրաւոաիյտակին հալանվռէ մ է հետևյալ ա նվիճելի հավաս ար ութ լռւնըճ

։

Հաջորդ «էտապում» հավասարության երկու մասերին էլ ավելացվում եմ հավասար մեծություններ՝ ,

։

Կոմեդիայի հետագա քայլը կայանում է հետևյալ ձևափոխությունում,

,

։^[37]

Հավասարության երկու մասից էլ քառակուսի արմատ հանելով, ստանում են՝ ։

Երկու մասին էլ ավելացնելով , հանգում են անհեթեթ հավասարության՝

։

Որտե՞ղ է թաքնված սխալը։

Լուծում

Սխալը սպրդեց հետևյալ եզրակացության մեջ՝

։

հավասարությունից արվել է հետևություն, որ

։

Բայց քառակուսիների հավասարությունից երբեք չի հետևում, որ հավասար են նաև առաջին աստիճանները։ Չէ՞ որ , բայց -ը հավասար չէ -ի։ Քառակուսիները կարող են հավասար լինել և այն դեպքում, երբ առաջին աստիճանները տարբերվում են նշաններով։ Մեր օրինակում մենք ունենք հենց այդպիսի դեպք՝

,

բայց -ը հավասար չէ -ի։

Խնդիր երկրորդ

Մյուս հանրահաշվական ֆարսը (նկ. 15)

ներկայացվում է նախորդ ձևով և հիմնված է նույն տրյուկի վրա։ Գրատախտակի վրա հայտնվում է կասկած չհարուցող հետևյալ հավասարությունը՝

։

Ավելացնում են հավասար թվեր՝

և կատարում են հետևյալ ձևափոխությունները՝

,

։

Այնուհետև նույն ոչ օրինական եզրակացության միջոցով անցնում են ֆինալին՝

,

։

Այս կոմիկական դեպքերը սակավափորձ մաթեմատիկոսին պետք է նախազգուշացնեն արմատանշանի տակ անհայտ պարունակող հավասարումների հետ անզգույշ օպերացիաներ կատարելուց։

1. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ 4036։— Մ.։
2. ↑ Այդ մասին մանրամասն տե՛ս իմ գրքում՝ „Занимательная механика”, գլուխ 9։
3. ↑ Տե՛ս իմ գիրքը „Живая математика”, գլ. 7։
4. ↑ Գոյություն ունեն շախմատային «տակտիկայի» և այլ տեսակներ։ Այսպես, օրինակ, հաշվումներում կարելի է դիտարկել հակառակորդի ոչ բոլոր հնարավոր պատասխան խաղաքայլերր, այլ միայն «ուժեղ» խաղաքայլերր (շախը, վերցնելը, հարձակումը, պաշտպանությունը և այլն)։ Այնուհետև, հակառակորդի հատուկ ուժեղ խաղաքայլերի դեպքում կարելի է անել հաշվումներ ոչ թե երեք, այլ վաղօրոք ավելի թվով խաղաքայլեր։ Կարելի է նույնպես օգտագործել ֆիգուրների արժեքի այլ սանդղակ։ Նայած այս կամ այն տակտիկայի ընտրության, փոխվում է մեքենայի «խաղի ոճը»։
5. ↑ Շախմատային խաղի լավագույն վարպետների պարտիաներում հանդիպում են կոմբինացիաներ, որոնք հաշվարկված են 10 և ավելի խաղաքայլ առաջ։
6. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
7. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
8. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
9. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
10. ↑ Տասնավորների թվանշանը դեր չի խաղա։
11. ↑ Այդ համեմատությունից թույլատրելի է օգտվել միայն այն դեպքում, երբ թիթեդատուփերի պատերը չափազանց հաստ չեն (քանի որ թիթհղատուփերի արտաքին և ներքին մակերևույթները, խիստ ասած, նման չեն և, բացի այդ, բանկայի ներքին խոռոչի բարձրությունը, խիստ ասած, տարբերվում է բանկայի բարձրությունից։
12. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։— Մ.։
13. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ 11։— Մ.։
14. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
15. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
16. ↑ Նկատենք, որ թվանշանների երկանիշ խումբը կարող է գտնվել վերևում արված դատողություններին համանման դատողությունների միջոցով. բավական է հարցը լուծենք այն մասին, թև ինչպիսի թվանշան պետք է կցագրել թվանշանի առջևից, որպեսզի ստացված թվանշանների երկանիշ խմբերն ունենան դիտարկվող հատկությունը։ Ուստի՝ «թիվը» կարելի է ստանալ՝ վեցի առջևից իրար հաջորդող թվանշաններ կցագրելու միջոցով։
17. ↑ Անվերջ «թվեր» կարելի է դիտարկել ոչ միայն տասնորդական, այլև թվարկության ուրիշ սիստեմներում։ Այդպիսի թվերը, որոնք դիտարկվում են հիմքով թվարկության սիստեմում, կոչվում են -ական թվեր։ Այդ թվերի մասին որոշ բան կարելի է կարդալ Ե. Բ. Դինկինի ևՎ. Ա. Ուսպենսկու, „Математические беседы” գրքում (Гостехиздат, 1952)։
18. ↑ Եթե թիվը ունենար կենտ թվով թվանշաններ, ապա վերջին (ամենաձախ) խումբը կլիներ միանիշ, բացի այդ, տեսքի խումբը նույնպես պետք է դիտարկել որպես միանիշ թիվ՝ ։
19. ↑ Վերջինս այն պատճառով, որ
    ։
20. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ հավանականության։— Մ.։
21. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
22. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ 810000000008— Մ.։
23. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ 899999998001— Մ.։
24. ↑ Այնուհետև մենք կօգտվենք հետևյալ մոտավոր հավասարությունից
    ։
25. ↑ Խիստ ասած, մենք ապացուցեցինք միայն այն, որ հավասարման ամեն մի ամբողջ թվով լուծում ունի տեսքը, որտեղ -ը որևէ ամբողջ թիվ է։ Հակադարձը (այսինքն՝ այն, որ ցանկացած ամբողջի դեպքում մենք կստանանք մեզ տրված հավասարման մի քանի ամբողջ թվով լուծում) չի ապացուցվել։ Սակայն դրանում հեշտությամբ կարելի է համոզվել՝ տանելով հակադարձ կարգով դատողություններ կամ -ի և -ի գտնված արժեքները տեղադրելով սկզբնական հավասարման մեջ։
26. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
27. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
28. ↑ Ուշադրություն դարձրեք այն բանին, որ -ի դեպքում գործակիցները հավասար են սկզբնական հավասարման -ի և -ի գործակիցներին, ընդ որում -ի գործակիցներից մեկի մոտ նշանը հակառակ է։ Այդ պատահականություն չէ, կարելի է ապացուցել, որ միշտ այդպես կարող է լինել, եթե -ի և -ի գործակիցները փոխադարձ պարզ են։
29. ↑ Գները թողնված են հին մասշտաբի՝ խնդիրների տվյալները պահպանելու համար։ Թարգմ. խմբ.։
30. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
31. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ Չհաջողվեց վերլուծել (բառական սխալ): ։— Մ.։
32. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։
33. ↑ Ֆերմայի թեորեմն ապացուցել է Անդրյու Ուայլսը (Andrew Wiles) 1995 թ.։— Մ.։
34. ↑ Ֆերման (1603—1660) մասնագետ-մաթեմատիկոս չէր։ Կրթությամբ իրավաբան, պառլամենտի խորհրդատու, նա զբաղվել է մաթեմատիկական հետազոտումներով միայն աշխատանքի ժամանակ։ Այդ նրան չխանգարեց անել արտակարգ կարևոր հայտնագործումներ, որոնք նա, այնուամենայնիվ, չհրապարակեց և ըստ իր դարաշրջանի սովորության, նամակներով իրազեկ դարձրեց իր գիտնական բարեկամներին՝ Պասկալին, Դեկարտին, Հյուգենսին, Ռոբերվալին և մյուսներին։
35. ↑ Բարդ ցուցիչների համար (բացի -ից) հատուկ ապացույցներ չեն պահանջվում՝ այդ դեպքերը հանգում են պարզ ցուցիչներով դեպքերի։
36. ↑ Մագնիցկու մաթեմատիկայի դասագրքում, որով մեզ մոտ սովորել են 18-րդ դարի ամբողջ առաջին կեսի ընթացքում, բոլորովին էլ չկա հատուկ նշան արմատ հանելու գործողության համար։
37. ↑ Գրքում վրիպակ է՝ ։— Մ.։