Տարերք/Գիրք 12

Բուրգերը, որոնք ունեն միևնույն բարձրություն և ունեն բազմանկյուն հիմքեր, միմյանց համար որպես հիմքեր են հանդիսանում:

Դիտարկենք նույն բարձրության բուրգեր, որոնց հիմքերն են ABCDE և FGHKL բազմանկյունները, իսկ գագաթները՝ M և N կետերը (համապատասխանաբար): Ինչպես ABCDE հիմքը նման/հարաբերվում է է FGHKL-ին է, այնպես էլ ABCDEM բուրգը նման է FGHKLN բուրգին:

Թող AC, AD, FH և FK հատվածները միացված լինեն: Հետևաբար, քանի որ ABCM-ը և ACDM-ը երկու բուրգեր են, որոնք ունեն եռանկյունաձև հիմքեր և հավասար բարձրություն, դրանք միմյանց նկատմամբ համեմատելի են իրենց հիմքերի չափերով [Պնդ. 12.5]։ Այսպիսով, ինչպես ΑΒC հիմքն է հարաբերվում ACD հիմքին, այնպես էլ բուրգը ABCM-ն է հարաբերվում ACDM բուրգին: Եվ, կոմպոզիցիայի միջոցով, ինչպես ABCD հիմքն է հարաբերվում ACD հիմքին, այնպես էլ բուրգը ABCDM է հարաբերվում ACDM բուրգին [Prop. 5.18]: Բայց, քանի որ ACD հիմքն է ահրաբերվում ADE հիմքին, այնպես էլ նաև ACDM բուրգն է հարաբերվում ADEM բուրգին [Պնդ. 12.5]։ Այսպիսով, հավասարության միջոցով, ABCD հիմքի հարաբերությաւոնը ADE հիմքին հավասար է ABCDM բուրգի հարաբորուտըանը ADEM բուրգին [Պնդ. 5.22]: Եվ, դարձյալ, կոմպոզիցիայի միջոցով, ինչպես ABCDE հիմքն է հարաբերվում ADE հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգն է հարաբերվում ADEM բուրգին [Պնդ. 5.18]: Այսպիսով, նման կերպով կարելի է նաև ցույց տալ, որ ինչպես FGHKL հիմքն է հարաբերվում FGH հիմքին, այնպես էլ FGHKLN բուրգն է հարաբերվում FGHN բուրգին: Եվ քանի որ ADEM-ը և FGHN-ը երկու բուրգեր են, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր և հավասար բարձրություն, հետևաբար, ADE և FGH հիմքերի հարաբերությունը հավասար է ADEM և FGHN բուրգերի հարաբերությանը [Պնդ. 12.5]։ Բայց, ինչպես ADE հիմքն է հարաբերվում ABCDE հիմքին, այնպես էլ ADEM բուրգն է հարաբերվում ABCDEM բուրգին: Այսպիսով, հավասարության միջոցով, քանի որ ABCDE հիմքը հարաբերվում է FGH հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգը հարաբերվում է նաև FGHN բուրգին [Պնդ. 5.22]: Բայց, ավելին, ինչպես FGH հիմքն է հարաբերվում FGHKL հիմքինին, այնպես էլ FGHN բուրգն է նույնպես հարաբերվում FGHKLN բուրգին: Այսպիսով, հավասարության միջոցով, քանի որ ABCDE հիմքը հարաբերվում է FGHKL հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգը հարաբերվում է նաև FGHKLN բուրգին [Պնդ. 5.22]: Ինչը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:

Եռանկյուն հիմք ունեցող ցանկացած պրիզմա բաժանվում է երեք բուրգերի, որոնց եռանկյուն հիմքերը հավասար են միմյանց:

Դիտարկենք պրիզմա, որի հիմքը ABC եռանկյունին է, իսկ հակառակ հարթությունը DEF: Ենթադրենք, որ ABCDEF պրիզման բաժանված է երեք բուրգերի, որոնք ունեն միմյանց հավասար եռանկյուն հիմքեր:

Թող BD-ն, EC-ը և CD-ն միացված լինեն: Քանի որ ABED-ը զուգահեռագիծ է, իսկ BD-ն նրա անկյունագիծն է, հետևաբար ABD եռանկյունը հավասար է EBD եռանկյունին [Պնդ. 1.34]: Եվ այսպես, բուրգը, որի հիմքը ABD եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ C կետը, հավասար է բուրգին, որի հիմքը DEB եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ C կետը [Պնդ. 12.5]։ Բայց բուրգը, որի հիմքը DEB եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ C կետը, նույնն է, ինչ բուրգը, որի հիմքը EBC եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ D կետը։ Որովհետև դրանք սահմանափակված են նույն հարթություններում: Եվ այսպես, բուրգը, որի հիմքը ABD է, իսկ գագաթը՝ C կետը, հավասար է բուրգին, որի հիմքը EBC է, իսկ գագաթը՝ D կետը: Կրկին, քանի որ FCBE-ն զուգահեռագիծ է, իսկ CE-ն նրա անկյունագիծն է, CEF եռանկյունը հավասար է CBE եռանկյանը [Պնդ. 1.34]: Եվ այսպիսով, բուրգը, որի հիմքը BCE եռանկյունն է, և գագաթը D կետը, հավասար է բուրգին, որի հիմքը ECF եռանկյունն է, իսկ գագաթը D կետը [Պնդ. 12.5]։ Եվ բուրգը, որի հիմքը BCE եռանկյունն է, իսկ գագաթը D կետը, ցույց տրվեց, որ հավասար է այն բուրգին, որի հիմքը ABD եռանկյունն է, և գագաթը C կետն է: Այսպիսով, բուրգը, որի հիմքը CEF եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ D կետը, նույնպես հավասար է բուրգին, որի հիմքը ABD եռանկյունն է, իսկ գագաթնակետը C կետն է։ Այսպիսով, ABCDEF պրիզման բաժանվել է երեք բուրգերի, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր, որոնք հավասար են միմյանց:

Եվ քանի որ բուրգը, որի հիմքը ABD եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ C կետը, նույնն է, ինչ բուրգը, որի հիմքը CAB եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ D կետը, դրանք սահմանափակված են նույն հարթություններում։ Իսկ բուրգը, որի հիմքը ABD եռանկյունին է, իսկ գագաթը՝ C կետը, ցույց տրվեց, որ այն պրիզմայի մեկ երրորդն է, որի հիմքը ABC եռանկյունն է, և հակառակ հարթությունը DEF, հետևաբար բուրգը, որի հիմքը ABC եռանկյունն է, և D կետի գագաթը, նույնպես բուրգի մեկ երրորդն է, որն ունի նույն հիմքը, ABC եռանկյունը և հակառակ հարթություն DEF:

Եվ սրանից պարզ է դառնում, որ ցանկացած բուրգ պրիզմայի երրորդ մասն է, որն ունի իր նույն հիմքը և հավասար բարձրություն։ Իինչը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:

Նման բուրգերը, որոնք նույնպես ունեն եռանկյուն հիմքեր, հարաբերվում են իրենց համապատասխան կողմերի խորանարդ հարաբերությամբ:

Թող լինեն նման և նույն ձևով դասավորված բուրգեր, որոնց հիմքերը ABC և DEF եռանկյուններն են, իսկ գագաթները՝ G և H կետերը (համապատասխանաբար): Ստուգենք արդյո՞ք ABCG բուրգի հարաբերությունը DEFH բուրգին հավասար է BC-ի հարաբեությանը EF-ին ըստ խորանարդ աստիճանի:

Թող զուգահեռանիստ պինդ մարմինները BGML և EHQP ամփոփ լինեն: Եվ քանի որ ABCG բուրգը նման է DEFH բուրգին, հետևաբար ABC անկյունը հավասար է DEF անկյանը, իսկ GBC-ն՝ HEF-ին և ABG-ն՝ DEH-ին: Եվ ինչպես AB-ն է հարաբերվում DE-ին, այնպես էլ BC է հարաբերվում EF-ին, իսկ BG-ն՝ EH-ին [Սահմանում. 11.9]։ Եվ քանի որ AB-ն DE-ին է հարաբերվում, ուստի BC հարաբերվում է EF-ին, և (այդպիսով) հավասար անկյունների շուրջ կողմերը համաչափ են, BM զուգահեռագիծն այսպիսով նման է EQ զուգահեռագծին: Այսպիսով, նույն (պատճառներով) BN-ն նույնպես նման է ER-ին, իսկ BK-ն՝ EO-ին: Այսպիսով, երեք զուգահեռագծերը MB, BK և BN նման են երեք զուգահեռագծերին EQ, EO, ER (համապատասխանաբար): Բայց երեք զուգահեռագծեր MB, BK և BN-ը և’ ) հավասար են, և’ նման են երեք հակադիր զուգահեռագծերին, իսկ երեք զուգահեռագծեր EQ, EO և ER և’ հավասար, և’ նման են երեք հակադիր զուգահեռագծերին [Պնդ. 11.24]: Այսպիսով, պինդ մարմիններ BGML և EHQP-ը սահմանափակված են հավասար թվով նման (և նմանապես դասավորված) հարթություններում: Այսպիսով, պինդ BGML-ը նման է պինդ EHQP-ին [Սահմ. 11.9]։ Իսկ նման զուգահեռանիստ պինդ մարմինները ունեն համապատասխան կողմերի խորանարդ հարաբերությունը [Պնդ. 11.33]: Այսպիսով, պինդ մարմին BGML-ի հարաբերությունը պինդ մարմին EHQP-ին խորանարդային հարաբերակցությամբ, նույնն է, ինչ համապատասխան BC կողմի հարաբերությունը EF կողմին: Եվ ինչպես պինդ մարմին BGML-ն է հարաբերվում պինդ մարմին EHQP-ին, այնպես էլ ABCG բուրգն է հարաբերվում DEFH բուրգին, քանի որ բուրգը պինդ մարմնի վեցերորդ մասն է, պրիզմայի հաշվին, լինելով զուգահեռանիստ պինդ մարմնի կեսը [Պնդ. 11.28]՝ լինելով նաև բուրգի եռապատիկ [Պնդ. 12.7]: Այսպիսով, ABCG բուրգը նույնպես պետք է ունենա բուրգի DEFH խորանարդ հարաբերակցությունը, ինչպես BC -ի հարաբերությունը EF-ին: (Սա հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ):