հեղինակ՝ էվկլիդես |
Պնդում 102
Այն (ուղիղ գիծը), որի վրա կառուցված քառակուսին միջինական մակերեսի հետ միասին կազմում է միջինական ամբողջություն, ռացիոնալ (ուղիղ գծի) վրա դրված` ստանում է վեցերորդ կտրվածք (ապոտոմե) որպես լայնություն։
Թող AB-ն լինի այն ուղիղ գիծը, որը միջինական մակերեսի հետ կազմում է միջինական ամբողջություն, և CD-ն լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ): Եվ թող CE-ն, որը հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա, պարփակված AG-ով և GB-ով, որոնք միջինական են, և AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 10.78]:
Ուստի, թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, դրված լինի CD-ի վրա, արտադրելով CK որպես լայնություն, և KL-ը, որը հավասար է GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Այսպիսով, CL-ի ամբողջությունը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին։ CL-ը, հետևաբար, միջինական է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ CD-ի վրա, արտադրելով CM որպես լայնություն։ Ուստի, CM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]:
Հետևաբար, քանի որ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, որոնցից CE-ն հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, մնացորդ FL-ը, հետևաբար, հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 2.7]: Եվ քանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունը միջինական է, FL-ը նույնպես միջինական է։ Եվ այն դրված է ռացիոնալ FE-ի վրա, արտադրելով FM որպես լայնություն։ Ուստի, FM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]:
Քանի որ AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը անհամաչափ է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյան հետ, CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, իսկ FL-ը հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյան, CL-ը, հետևաբար, անհամաչափ է FL-ի հետ։ Եվ ինչպես CL-ն է FL-ի նկատմամբ, այնպես էլ CM-ը MF-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]:
Ուստի, CM-ը երկարությամբ անհամաչափ է MF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ են։ Ուստի, CM-ն և MF-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ CF-ը, հետևաբար, ապոտոմե է [Տե՛ս "Տարրեր" 10.73]: Ուրեմն, ես ասում եմ, որ այն նաև վեցերորդ (կտրվածքն) է։
Քանի որ FL-ը հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյանին, թող FM-ը բաժանված լինի կեսի վրա N-ում, և թող NO-ն քաշված լինի N-ի միջով, զուգահեռ CD-ին։ Այսպիսով, FO-ն և NL-ը յուրաքանչյուրն հավասար են AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյան։ Եվ քանի որ AG-ն և GB-ն անհամաչափ են քառակուսով, AG-ի վրա կառուցված քառակուսին, հետևաբար, անհամաչափ է GB-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Սակայն, CH-ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, իսկ KL-ը հավասար է GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն։
Ուստի, CH-ը անհամաչափ է KL-ի հետ։ Եվ ինչպես CH-ն է KL-ի նկատմամբ, այնպես էլ CK-ն KM-ի նկատմամբ է [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]: Ուստի, CK-ն երկարությամբ անհամաչափ է KM-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]: Եվ քանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյունը միջին չափաբաժին է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների միջև [Տե՛ս "Տարրեր" 10.21-ի լեմմա], իսկ CH-ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, KL-ը՝ GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, NL-ը՝ AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյունին, NL-ը, հետևաբար, նույնպես միջին չափաբաժին է CH-ի և KL-ի միջև։
Ուստի, ինչպես CH-ն է NL-ի նկատմամբ, այնպես էլ NL-ը KL-ի։ Եվ նույն տրամաբանությամբ, CM-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է MF-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը լայնությամբ արտադրում է CF։ Ես ասում եմ, որ CF-ը վեցերորդ ապոտոմեն է։
Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։